(共48张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
进阶6
解析几何中的定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有：
(1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
(2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数.
(3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证.
例1 在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点坐标为(1，0)，其中一条渐近线的倾斜角为.
(1)求双曲线C的标准方程；
点在定直线上
题型一
根据题意，设双曲线C的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
由题知a＝1，＝tan ，可得b＝，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)过点T(2，0)作直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|，证明：点E在一条定直线上.
易知T(2，0)为双曲线的右焦点，如图所示，
由题知直线l的斜率存在，
设斜率为k，则－
故直线l的方程为y＝k(x－2)，
代入双曲线方程得(3－k2)x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝－，
且x1≤－1，1≤x2<2，
设E(x0，y0)，点E在线段AB上，
所以x1由|AE|·|TB|＝|EB|·|AT|可得
(x0－x1)·(2－x2)
＝(x2－x0)·(2－x1)，
化简得4x0－(2＋x0)(x1＋x2)＋2x1x2＝0，
代入x1＋x2和x1x2并化简可得x0＝，
即存在点E满足条件，并且点E在定直线x＝上.
证明点在定直线上的一般方法
(1)联立方程消去参数.
(2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标.
(3)将横、纵坐标分别用参数表示，再消去参数.
(4)设点，对方程变形解得定直线.
思维升华
跟踪训练1 如图，在△ABC中，|BC|＝2，|AB|＋|AC|＝4，若以BC所在直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.设动顶点A(x，y).
(1)求顶点A的轨迹方程；
由|AB|＋|AC|＝4>|BC|＝2，
可知点A的轨迹为以B，C为焦点的椭圆(去掉(－2，0)，(2，0)两点)，且该椭圆的长轴长为2a＝4，a＝2，
该椭圆的焦距为2c＝2，c＝，
即b＝＝1，
故顶点A的轨迹方程为＋y2＝1(y≠0).
(2)记第(1)问中所求轨迹为M，设D1(－2，0)，D2(2，0)，过点(1，0)作动直线l与曲线M交于P，Q两点(点P在x轴下方).求证：直线D1P与直线D2Q的交点E在一条定直线上.
直线l的方程可设为x＝my＋1，
联立
消去x可得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，
Δ＝4m2＋12(m2＋4)>0显然成立，
设Q(x1，y1)，P(x2，y2)，y1>0，y2<0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
即2my1y2＝3(y1＋y2)，
设直线D2Q：y＝(x－2)，
直线D1P：y＝(x＋2)，
联立上述两方程，
消去y可得(x－2)＝(x＋2)，
x－x＝，
x＝2y1(x2＋2)＋2y2(x1－2)，
又x2＝my2＋1，x1＝my1＋1，
则x＝2y1(my2＋3)＋2y2(my1－1)，(3y1＋y2)x＝4my1y2＋6y1－2y2，
由4my1y2＝6(y1＋y2)，
则(3y1＋y2)x＝6(y1＋y2)＋6y1－2y2
＝12y1＋4y2，3y1＋y2不恒为0，解得x＝4，
综上所述，交点E在定直线x＝4上.
例2 已知R是圆M：(x＋)2＋y2＝8上的动点，点N(，0)，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
三角形内心(外心、重心、垂心)在定直线上
题型二
圆M的圆心坐标为M(－，0)，半径r＝2，
因为MS∥NL，
所以△MSR∽△LNR，
又因为|MR|＝|MS|，
所以|LR|＝|LN|，
所以||LM|－|LN||＝||LM|－|LR||＝|MR|＝r＝2<2＝|MN|，
所以点L在以M，N为焦点，2为实轴长的双曲线上，
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
则2a＝2，2c＝2.
所以a＝，c＝，b＝1，
又L不可能在x轴上，所以曲线C的方程为－y2＝1(y≠0).
(2)若过点P(－2，0)的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上？请你给出结论并证明.
在x轴上存在定点Q(－1，0)，使得△QAB的内心在一条定直线上.
证明如下：
由条件可设l：x＝my－2.代入－y2＝1，
得(m2－2)y2－4my＋2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x1|>，|x2|>，
则得m2≠2，
所以y1＋y2＝>0，y1y2＝>0，
所以y1＋y2＝2my1y2，
取Q(－1，0)，
则kAQ＋kBQ＝
＝0，
又A，B都在x轴上方，所以∠AQB的平分线为定直线x＝－1，
所以在x轴上存在定点Q(－1，0)，使得△QAB的内心在定直线x＝－1上.
三角形内切圆的圆心在三角形的角平分线上，角平分线是角的关系，因此找角与斜率的关系即可.
思维升华
跟踪训练2 (2025·衡水模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(1，1)是椭圆C上一点，且点M到点F1，F2的距离之和为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
由题意，得解得
故椭圆C的标准方程为＝1.
(2)斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，则△MAB的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由.
△MAB的外心在定直线2x－y－1＝0上.理由如下：
由题意设直线l的方程为y＝x＋t，
因为直线l不能过点M(1，1)，所以t≠，
联立
得3x2＋4tx＋4t2－6＝0，
所以Δ＝16t2－12(4t2－6)>0，
即－设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
若直线MA⊥x轴，则A(1，－1)，
代入直线l：y＝x＋t，
得t＝－，不符合题意，故x1≠1；
同理可得x2≠1，
所以直线MA，MB的斜率一定存在，
则kMA＋kMB＝
＝
＝
＝＝0，
即直线MA与MB的斜率互为相反数.
设直线MA的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k.
若k＝0，则直线MA：y＝1，
此时A(－1，1)，代入直线l：y＝x＋t，
则t＝，不符合题意，故k≠0，
联立
得(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－3＝0，
由Δ＝4(2k＋1)2>0得k≠－，
则k≠－且k≠0，
则x1＋1＝－，
设线段MA的中点为N(x0，y0)，
所以x0＝＝－，
所以y0＝kx0＋1－k
＝k·＋1－k＝，
即N，
所以线段MA的垂直平分线的方程为
y－＝－，
即y＝－x＋， ①
直线MB的方程为y－1＝－k(x－1)，k≠0，且k≠，
同理可得线段MB的垂直平分线的方程为
y＝x－， ②
联立①②，得
即2x－y－1＝0，
故△MAB的外心在定直线2x－y－1＝0上.
课时精练
答案
1
2
(1)当经过点P(2，1)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，
与抛物线C：x2＝4y有且只有一个公共点P(2，1)，符合题意；
当经过点P(2，1)的直线斜率存在时，
不妨设直线方程为y－1＝k(x－2)，
代入抛物线方程化简得x2－4kx＋8k－4＝0，
令Δ＝(－4k)2－4(8k－4)＝0，得k＝1，
直线方程为x－y－1＝0，
因此所求直线方程为x＝2或x－y－1＝0.
1.
答案
1
2
(2)设过点P与抛物线C相切的切线方程为l：y－n＝k(x－m)，
由
消去y整理得x2－4kx＋4(km－n)＝0，
因为l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4k)2－4×1×4(km－n)＝0，
即k2－mk＋n＝0.
又因为k1，k2是方程k2－mk＋n＝0的两根，
1.
答案
1
2
则k1＋k2＝m，k1k2＝n，
由(k1－1)(k2－1)＝4，
可得k1k2－(k1＋k2)－3＝0，即n－m－3＝0，
从而动点P(m，n)在直线x－y＋3＝0上.
1.
答案
1
2
(1)因为椭圆G的焦点在x轴上，且过点E(2，0)，
所以a＝2，又椭圆G过点D，
所以＝1，解得b2＝3，
故椭圆G的标准方程为＝1.
(2)如图，设直线l的方程为y＝x＋t，
因为点D在直线l上方，
所以t<1，
2.
答案
1
2
联立
消去y得3x2＋4＝12，
整理得x2＋tx＋t2－3＝0.
由Δ>0得t2－4(t2－3)>0 t2<4，
则－2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2.
答案
1
2
则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－3.
若AD⊥x轴，则A，
代入直线l：y＝x＋t，得t＝－2，不符合题意，
故x1≠1；
同理可得x2≠1.
所以直线AD，BD的斜率一定存在，
故kAD＝·，kBD＝·，
2.
答案
1
2
因为kAD＋kBD＝··
＝·
＝·
＝＝0，
所以∠ADB的平分线为直线x＝1，
故△DAB的内切圆圆心一定在直线x＝1上.
2.
1.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，设动点P的坐标为(m，n).
(1)若m＝2，n＝1，求过点P与抛物线C有且只有一个公共点的直线方程；
1
2
答案
1
2
答案
当经过点P(2，1)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，
与抛物线C：x2＝4y有且只有一个公共点P(2，1)，符合题意；
当经过点P(2，1)的直线斜率存在时，不妨设直线方程为y－1＝k(x－2)，
代入抛物线方程化简得x2－4kx＋8k－4＝0，
令Δ＝(－4k)2－4(8k－4)＝0，得k＝1，
直线方程为x－y－1＝0，
因此所求直线方程为x＝2或x－y－1＝0.
(2)设过动点P的两条直线l1，l2均与C相切，且l1，l2的斜率分别为k1，k2，满足(k1－1)(k2－1)＝4.证明：动点P在一条定直线上.
1
2
答案
1
2
答案
设过点P与抛物线C相切的切线方程为l：y－n＝k(x－m)，
由
消去y整理得x2－4kx＋4(km－n)＝0，
因为l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4k)2－4×1×4(km－n)＝0，
即k2－mk＋n＝0.
又因为k1，k2是方程k2－mk＋n＝0的两根，
1
2
答案
则k1＋k2＝m，k1k2＝n，
由(k1－1)(k2－1)＝4，
可得k1k2－(k1＋k2)－3＝0，即n－m－3＝0，
从而动点P(m，n)在直线x－y＋3＝0上.
1
2
答案
2.(2024·葫芦岛模拟)已知椭圆G：＝1(a>b>0)经过D，E(2，0)
两点.作斜率为的直线l与椭圆G交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且点D
在直线l上方.
(1)求椭圆G的标准方程；
因为椭圆G的焦点在x轴上，且过点E(2，0)，
所以a＝2，又椭圆G过点D，
所以＝1，解得b2＝3，
故椭圆G的标准方程为＝1.
1
2
答案
(2)证明：△DAB的内切圆的圆心在一条定直线上.
1
2
答案
如图，设直线l的方程为y＝x＋t，
因为点D在直线l上方，
所以t<1，
联立
消去y得3x2＋4＝12，
整理得x2＋tx＋t2－3＝0.
1
2
答案
由Δ>0得t2－4(t2－3)>0 t2<4，
则－2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－3.
若AD⊥x轴，则A，
代入直线l：y＝x＋t，得t＝－2，不符合题意，故x1≠1；
同理可得x2≠1.
1
2
答案
所以直线AD，BD的斜率一定存在，
故kAD＝·，kBD＝·，
因为kAD＋kBD＝··
＝·
＝·
＝＝0，
1
2
答案
所以∠ADB的平分线为直线x＝1，
故△DAB的内切圆圆心一定在直线x＝1上.(共52张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
进阶5
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等)的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，始终是一个确定的数值.
解决定值问题的基本方法是函数方法
(1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
常见的定值问题有：①斜率为定值；②斜率和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离、面积为定值；⑤数量积为定值；⑥系数和为定值.
例1 已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点.
(1)求抛物线E的标准方程；
与斜率、角度有关的定值问题
题型一
由题意可知，焦点F到准线的距离为p＝2，
所以抛物线E的标准方程为y2＝4x.
(2)已知点T(t，0)，若E上存在一点P，使得·＝－1，求t的取值范围；
设P(x，y)，可知y2＝4x，x≥0，
则＝(－x，－y)，＝(t－x，－y)，
可得·＝－x(t－x)＋y2＝x2－tx＋4x＝x2＋(4－t)x＝－1，
显然x＝0不满足上式，则x>0，可得t－4＝x＋，
又因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝，
即x＝1时，等号成立，则t－4≥2，即t≥6，
所以t的取值范围为[6，＋∞).
(3)过M(－4，0)的直线交E于A，B两点，过N(－4，4)的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：∠BOC为定值.
设A，B，C，
则直线AB的斜率kAB＝，
可得直线AB的方程为y－y1＝，
整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理可得，直线AC的方程为4x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
由题意可得
整理得4(y3－y2)＝(y2y3＋16)，
又因为直线OB，OC的斜率分别为kOB＝，kOC＝，
显然∠BOC为锐角，则
tan∠BOC＝
＝，
所以∠BOC为定值.
解决定值问题的处理技巧
(1)思路：可从特殊情况入手(如直线的斜率不存在时)，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数，以利于向目标靠拢.
思维升华
跟踪训练1 (2025·邯郸模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，离心率为.过点(4，0)的直线l与C的
右支交于M，N两点，设直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3.
(1)若k1＝，求k3；
设双曲线C的焦距为2c，
由题意得，a＝2，，所以c＝.
因为c2＝a2＋b2，
所以b＝，所以双曲线C的标准方程为＝1.
直线AM的方程为y＝(x＋2)，
由
消去y化简并整理得x2－2x－8＝0，
解得x＝4或x＝－2，
又因为A点坐标为(－2，0)，所以M点的坐标为(4，3).
又直线MN过点(4，0)，所以直线MN的方程为x＝4，
所以N(4，－3)，k3＝＝－.
(2)证明：k2(k1＋k3)为定值.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则k1＝，k2＝，k3＝.
因为点M，N在双曲线C：＝1上，
所以k1k2＝·.
设直线MN的方程为x＝my＋4，由
消去x化简并整理得(3m2－4)y2＋24my＋36＝0.
则
故k2k3＝·
＝＝－.
所以k2(k1＋k3)＝k1k2＋k2k3＝＝－，为定值.
例2 已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与a＝(3，－1)共线.
(1)求椭圆C的离心率；
与距离、面积、系数和有关的定值问题
题型二
设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，F(c，0)，
则直线AB的方程为y＝x－c，
联立
消去y并整理得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，Δ>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝，
由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，
且与a共线，得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，
又y1＝x1－c，y2＝x2－c，
则3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，
∴x1＋x2＝，即，
可得a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴，
∴椭圆C的离心率为e＝.
(2)设M为椭圆C上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，证明：λ2＋μ2为定值.
由(1)知a2＝3b2，
所以椭圆C的方程＝1可化为x2＋3y2＝3b2，
设＝(x，y)，由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，
∴
∵M(x，y)在椭圆上，
∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2，
∴λ2(＋3)＋μ2(＋3)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2， ①
由(1)知，x1＋x2＝，a2＝c2，b2＝c2，
x1x2＝c2，
x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)
＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
又＋3＝3b2，＋3＝3b2，
代入①得，λ2＋μ2＝1，
故λ2＋μ2为定值1.
解析几何中的定值，从代数角度看，定值与参数的取值无关，选择适当的变量以及消参方法，就可以得出定值.解答解析几何问题，方法的选择至关重要，如果方法选择不当，那么会导致计算量过大，就不易得到正确的运算结果，在分析清楚解题思路的基础上，树立优化意识，即算法的内在逻辑分析，优化解法.
思维升华
跟踪训练2 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋3相切，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆C的标准方程；
依题意有b＝，∴b2＝3，
由|PF1|＝2及椭圆的定义得|PF2|＝2a－2，
由余弦定理得－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝，
即a2－3a＋3＝c2，
又a2－c2＝b2＝3，∴a＝2，
故椭圆C的标准方程为＝1.
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－，试判断△AOB的面积是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.
易知m≠0，联立
可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则Δ＝48(3＋4k2－m2)>0， ①
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
由kOA·kOB＝－，
可得＝－，∴y1y2＝－x1x2，
即＝－·，
解得2m2－4k2＝3，满足①，
∵|AB|＝
＝＝，
设原点到直线l的距离为d，d＝，
∴S△AOB＝·d·|AB|＝××，
故S△AOB为定值，定值为.
课时精练
答案
1
2
(1)由题意，设点P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
则直线PA的斜率为kPA＝，
直线PB的斜率为kPB＝，
所以kPA·kPB＝·，
又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得＝1，
即＝1－，
1.
答案
1
2
所以kPA·kPB＝＝－，
即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.
(2)由直线l过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l的方程为x＝ky＋1，
联立
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
1.
答案
1
2
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
则，
即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直线AM：y＝(x＋2)，
直线BN：y＝(x－2)，
联立方程组，可得(x＋2)＝(x－2)，
1.
答案
1
2
整理得··
＝＝3，
解得x＝4，即点Q(4，yQ)，
又由向量＝(－2，0)，＝(4，yQ)，
所以·＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即·为定值.
1.
答案
1
2
(1)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
因为顶点到渐近线的距离为，
所以，
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
则··＝4，
所以＝4(－a2)，
2.
答案
1
2
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以＝1，
所以－a2)，所以＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)设直线MN的方程为x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
2.
答案
1
2
联立
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
则Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，
且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
因为直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，
2.
答案
1
2
所以
即解得m>，
所以yE＝，
xE＝myE－2＝，
即E，所以kOE＝＝4m，
2.
答案
1
2
又，所以，
所以yF＝，
所以xF＝myF－2＝－，所以F，
所以kOF＝＝－，
所以kOE·kOF＝4m·＝－12，
即直线OE，OF的斜率之积为定值－12.
2.
1.已知椭圆C：＋y2＝1，A，B是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点.
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；
1
2
答案
1
2
答案
由题意，设点P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
则直线PA的斜率为kPA＝，
直线PB的斜率为kPB＝，
所以kPA·kPB＝·，
又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得＝1，
即＝1－，
1
2
答案
所以kPA·kPB＝＝－，
即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.
(2)设经过D(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，直线AM与直线BN交于点Q，求证：·为定值.
1
2
答案
1
2
答案
由直线l过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l的方程为x＝ky＋1，
联立
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
1
2
答案
则，即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直线AM：y＝(x＋2)，
直线BN：y＝(x－2)，
联立方程组，可得(x＋2)＝(x－2)，
整理得··
＝＝3，
1
2
答案
解得x＝4，即点Q(4，yQ)，
又由向量＝(－2，0)，＝(4，yQ)，
所以·＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即·为定值.
1
2
答案
2.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且顶点到渐近线的距离为，点P是双曲线C右支上一动点(不与A2重合)，且
满足PA1，PA2的斜率之积为4.
(1)求双曲线C的标准方程；
1
2
答案
双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
因为顶点到渐近线的距离为，
所以，
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
则··＝4，
所以＝4(－a2)，
1
2
答案
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以＝1，
所以－a2)，所以＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
1
2
答案
(2)过点Q(－2，0)的直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，若E是线段MN的中点，F是线段MN上一点，且，O为坐标原点，试判断直线OE，OF的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
1
2
答案
设直线MN的方程为x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
则Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
因为直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，
1
2
答案
所以
即解得m>，
所以yE＝，
xE＝myE－2＝，
即E，所以kOE＝＝4m，
1
2
答案
又，所以，
所以yF＝，
所以xF＝myF－2＝－，所以F，
所以kOF＝＝－，
所以kOE·kOF＝4m·＝－12，
即直线OE，OF的斜率之积为定值－12.(共49张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
进阶4
解析几何中的定点问题
在解析几何中，有些含有参数的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，这类问题称为“定点问题”.定点问题是高考中考查解析几何的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定.
直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出相应的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解，即可得到定点.
定点问题常见类型：①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点.
例1 已知点P(4，3)为双曲线E：＝1(a>0，b>0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线E的标准方程；
直线过定点
题型一
设F1(－c，0)(c>0)到渐近线y＝x，
即bx－ay＝0的距离为，
则，结合a2＋b2＝c2得b＝，
又P(4，3)在双曲线＝1上，
所以＝1，得a2＝4，
所以双曲线E的标准方程为＝1.
(2)不过点P的直线y＝kx＋t与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y＝kx＋t过定点，并求该定点的坐标.
联立
消去y并整理得(3－4k2)x2－8ktx－4t2－12＝0，
则3－4k2≠0，Δ＝64k2t2＋4(3－4k2)(4t2＋12)>0，即t2＋3>4k2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠4，x2≠4，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
则kPA＋kPB＝
＝
＝＝1，
所以2kx1x2＋(t－4k－3)(x1＋x2)－8t＋24＝x1x2－4(x1＋x2)＋16，
所以(2k－1)x1x2＋(t－4k＋1)(x1＋x2)－8t＋8＝0，
所以－－8t＋8＝0，
整理得t2－6k＋2kt－6t－8k2＋9＝0，
所以(t－3)2＋2k(t－3)－8k2＝0，
所以(t－3－2k)(t－3＋4k)＝0，
因为直线y＝kx＋t不过点P(4，3)，
即3≠4k＋t，t－3＋4k≠0，
所以t－3－2k＝0，即t＝2k＋3，
所以直线y＝kx＋t＝kx＋2k＋3，
即y－3＝k(x＋2)，
所以该直线过定点，且定点为(－2，3).
解析几何中定点问题的解题策略
(1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为
①设直线方程为y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；
②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值；
③将②的结果代入y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，得到定点坐标.
思维升华
(2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为
①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)；
②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)；
③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法)
思维升华
跟踪训练1 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，且C经
过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
由题意，设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)，焦距为2c，
则c＝，椭圆的另一个焦点为F2(，0)，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝4，则a＝2，
所以b＝＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过点D)，且AD⊥BD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标.
由已知得D(0，1)，
由
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，即4k2>m2－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
由AD⊥BD得，·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即＝0，
所以5m2－2m－3＝0，解得m＝1或m＝－，
①当m＝1时，直线l经过点D，舍去；
②当m＝－时，显然有Δ>0，
直线l经过定点.
综上，直线l经过定点.
例2 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右焦点分别为F1，F2，四边形B1F1B2F2是面积为2的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程；
圆过定点问题
题型二
由题意可得
解得
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知圆O：x2＋y2＝的切线l与椭圆C相交于D，E两点，判断以DE为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
由题意可知，圆O：x2＋y2＝的圆心坐标为(0，0)，半径为，
∵<1，
可知圆O：x2＋y2＝在椭圆C内，切线l与椭圆C相交，
①当直线l的斜率不存在时，
∵直线l与圆相切，
故切线方程为x＝±，
将切线方程x＝代入椭圆方程，
解得y＝±，
设D，E，
则以DE为直径的圆的方程为＋y2＝；
同理，当切线方程为x＝－时，
求得以DE为直径的圆的方程为＋y2＝，
联立方程
解得即两圆只有一个交点(0，0)，
若存在定点，则定点应为(0，0).
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
则圆心到直线的距离d＝，
整理得m2＝(1＋k2)，
联立方程
消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ>0，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝＝0，
即·＝0，
∴以DE为直径的圆经过定点O(0，0)，
综上可知，以DE为直径的圆过定点(0，0).
圆过定点问题的解题策略
(1)利用特殊情况寻找特殊点.
(2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
思维升华
跟踪训练2 (2025·湖北新高考协作体联考)已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
设动圆圆心为(x，y)，
依题意，，即y2＝4x，
所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
依题意，直线l不垂直于y轴，
设直线l的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
消去x并整理得y2－4my－16＝0，Δ>0恒成立，
则
设以线段MN为直径的圆的圆心为E(xE，yE)，
则yE＝2m，xE＝2m2＋4，即E(2m2＋4，2m)，
|MN|＝|y1－y2|
＝·
＝4，
则圆E的方程为[x－(2m2＋4)]2＋(y－2m)2
＝4(m2＋1)(m2＋4)，
化简得4xm2＋4ym－(x2－8x＋y2)＝0，
由得
因此对于 m∈R，圆E恒过原点，
所以以线段MN为直径的圆过定点(0，0).
课时精练
答案
1
2
(1)将点(2，－1)代入抛物线方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，
故抛物线C的标准方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)由题意知直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，
设直线l的方程为y＝kx－1，
与抛物线方程x2＝－4y联立可得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，
设M，N，
1.
答案
1
2
则kOM＝－，kON＝－，
直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得A，
同理可得B，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
且＝2k，
1.
答案
1
2
＝2×＝2，
则圆的方程为(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0，1).
1.
答案
1
2
(1)由已知得e＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a，
又点P(3，4)在C上，故＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，可设A(m，n)，B(m，－n)，
则无解.
2.
答案
1
2
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C联立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
直线PA，PB的斜率分别为
2.
答案
1
2
k1＝，k2＝，
由k1k2＝1，
得(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，
又已知l不过点P(3，4)，故m＋3k－4≠0，
2.
答案
1
2
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直线l的方程为y＝k，
所以直线l过定点.
2.
1.已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；
1
2
答案
将点(2，－1)代入抛物线方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，
故抛物线C的标准方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y＝－1分别交直线OM，ON于A，B两点.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
1
2
答案
1
2
答案
由题意知直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，
设直线l的方程为y＝kx－1，
与抛物线方程x2＝－4y联立可得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，
设M，N，
则kOM＝－，kON＝－，
直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得A，
1
2
答案
同理可得B，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
且＝2k，
＝2×＝2，
1
2
答案
则圆的方程为(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0，1).
1
2
答案
2.(2025·九江模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P(3，4)在C上.
(1)求双曲线C的方程；
由已知得e＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a，
又点P(3，4)在C上，故＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为＝1.
1
2
答案
(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点.
1
2
答案
当直线l的斜率不存在时，可设A(m，n)，B(m，－n)，
则无解.
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C联立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
答案
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
直线PA，PB的斜率分别为
k1＝，k2＝，
由k1k2＝1，
得(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，
1
2
答案
又已知l不过点P(3，4)，故m＋3k－4≠0，
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直线l的方程为y＝k，
所以直线l过定点.(共31张PPT)
第八章
必刷小题16 圆锥曲线
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D B A C B A
题号 9 10 11 12 13 14 答案 AC AD ABD 2 一、单项选择题
1.椭圆C：＝1的长轴长与焦距之差等于
A. B.2 C.2 D.3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题得a2＝80，b2＝35，
所以a＝4，c＝＝3，
所以长轴长2a＝8，焦距2c＝6，
所以长轴长与焦距之差等于2a－2c＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率e<，则a的取值范围是
A.(0，1) B. C.(1，＋∞) D.
√
由题意可知b2＝1，c2＝a2＋1，
所以e2＝，所以1<<3，且a>0，
所以a>.
3.(2024·保定模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为方程
2x2－5x＋2＝0的解，则C的渐近线的斜率的绝对值为
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为方程2x2－5x＋2＝0的解为x＝或x＝2，
且双曲线的离心率大于1，所以e＝2，
由e2＝1＋＝4，解得.
4.在平面直角坐标系中，已知两点A(1，1)，B(－1，－1)，点P为动点，且直线AP与BP的斜率之积为－，则点P的轨迹方程为
A.x2＋2y2＝3 B.x2＋2y2＝3(x≠±1)
C.x2－2y2＝3(x≠±1) D.2x2＋y2＝3(x≠±1)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
设P(x，y)，∵A(1，1)，B(－1，－1)，
∴kAP＝(x≠1)，kBP＝(x≠－1)，
由kAP·kBP＝－，得·＝－(x≠±1)，
即x2＋2y2＝3(x≠±1)，
∴动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝3(x≠±1).
答案
5.(2024·湛江模拟)已知点M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|等于
A.2 B.4 C.6 D.8
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由于M为双曲线C：＝1的左支上一点，
F1，F2分别为C的左、右焦点，
所以|MF2|－|MF1|＝2a，
故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，
由于a＝2，b＝，c＝＝3，
所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2.
6.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，该抛物线C与直线l：y＝kx＋1相交于M，N两点，则|MF|＋3|NF|的最小值为
A.2＋2 B.2＋4
C.4＋2 D.4＋4
√
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答案
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答案
根据题意可得直线l过该抛物线的焦点F，所以＝1，
所以|MF|＋3|NF|＝(|MF|＋3|NF|)
＝4＋≥4＋2，
当且仅当|MF|＝|NF|＝＋1时取等号.
7.已知O为坐标原点，椭圆C：＝1(0A. B.
C. D.
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答案
由直线过椭圆C的右焦点且斜率为，
得直线MN的方程为x＝2y＋c(其中c＝)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠0且x2≠0，
联立
整理得4(b2＋1)y2＋4b2cy－b4＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
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答案
所以kOM·kON＝
＝
＝，
可得25b4－80b2＋64＝0，
解得b＝.
8.已知A，B是圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|等于
A. B. C. D.
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答案
依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，∠APB取得最大值，即A，B是圆C的切点，设∠APB＝2α，P，
∵圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0，
∴圆心C(4，1)，半径为1，
从而sin α＝，
∵|PC|2＝－8x0＋17，
令f(x)＝－8x＋17，则f'(x)＝x3－8，
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答案
∴当x<2时，f'(x)<0，
即函数f(x)在(－∞，2)上单调递减；
当x>2时，f'(x)>0，
即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝5，即|PC|min＝，
∴(sin α)max＝，此时∠APB最大，
∴|AB|＝2|AC|cos α＝2cos α＝.
二、多项选择题
9.(2024·长沙模拟)已知抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，则下列说法正确的是
A.抛物线C的焦点坐标是(－1，0)
B.抛物线C关于y轴对称
C.抛物线C的准线方程为x＝1
D.抛物线C的焦点到准线的距离为4
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答案
因为抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，
所以抛物线C的方程为y2＝－4x，
则抛物线C的焦点坐标是(－1，0)，准线方程为x＝1，故A，C正确；
抛物线C关于x轴对称，故B错误；
抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误.
10.已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2面积的最大值为25
C.|PF1|的最小值为1
D.椭圆C的离心率为
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答案
由题意可知a＝3，b＝，c＝＝2，则|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝4，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10，故A正确；
当P为短轴端点时，△PF1F2面积取到最大值为|F1F2|×b＝2，故B错误；
|PF1|的最小值为a－c＝1，此时P为长轴左端点，但本题取不到长轴左端点，故|PF1|没有最小值，故C错误；
椭圆C的离心率为e＝，故D正确.
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，在点P处经过双曲线反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点(3，－1)，其左、右焦点分别为F1，F2.若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射的光线为PQ，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是
A.双曲线C的方程为x2－y2＝8
B.过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ
C.若PF2⊥PQ，则|PF1|·|PF2|＝18
D.若∠F1PF2＝60°，则|PT|＝
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答案
对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为＝1(a>0)，所以＝1，解得a2＝8，得到双曲线的方程为x2－y2＝8，故A正确；
对于B，
如图，由题知∠F1PT＝∠F2PT，
∠F1PT＝∠MPQ，
所以∠MPQ＝∠F2PT，
若HP⊥TM，所以∠F2PH＝∠QPH，故B正确；
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答案
对于C，因为PF2⊥PQ，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°，所以＝8＝|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝16，故C错误；
对于D，因为∠F1PF2＝60°，
令|PF1|＝m>0，|PF2|＝n>0，
由mnsin 60°＝，得mn＝32，
由m－n＝4，得m2－2mn＋n2＝32，
所以m2＋n2＝96，
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答案
从而有(m＋n)2＝160，得到m＋n＝4，
由m·|PT|sin 30°＋n·|PT|sin 30°＝，
得到(m＋n)|PT|sin 30°＝，
从而有(m＋n)|PT|sin 30°＝8，
解得|PT|＝，故D正确.
三、填空题
12.(2024·北京海淀区质检)抛物线y2＝4x上与焦点距离等于3的点的横坐标是 .
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答案
2
抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
设抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F(1，0)的距离为3，
则|PF|＝x0＋＝x0＋1＝3，所以x0＝2.
13.(2025·长沙模拟)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾
斜角分别为α，β，若α＝5β，则C的离心率为 .
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答案
根据双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾斜角为α，β，
则α＋β＝π，又α＝5β，所以β＝，
所以＝tan β＝，故离心率e＝.
14.已知点F为椭圆C：＝1的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同的两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M(异于点Q)，直线QM恒过定点B，则点B的坐标为 .
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答案
由题意可知直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为y＝k(x＋)，
设P(x1，y1)，M(x2，y2)，则Q(x1，－y1)，
联立直线与椭圆方程
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋4k2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
显然Δ＝16(k2＋1)>0，x1≠x2，
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答案
所以直线QM的方程为y－y2＝(x－x2)，
整理得y＝，
又
＝
＝＝－2，
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答案
所以直线QM的方程为y＝(x＋2)，
当x＝－2时，y＝0恒成立，
故直线QM过定点B(－2，0).(共75张PPT)
第八章
§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0
几何观点 d r d r d r
<
＝
>
>
＝
<
图形 量的关系
外离 ___________
外切 ___________
相交 ________________
2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2| 图形 量的关系
内切 ___________
内含 ___________
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝
.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝ .
2
·
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.( )
(4)在圆中最长的弦是直径.( )
×
×
√
√
2.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是
A.相交且直线经过圆心 B.相切
C.相离 D.相交且直线不经过圆心
√
圆心到直线的距离d＝＝1<4，且直线3x＋4y＝5不经过点(0，0)，所以直线与圆相交且不经过圆心.
3.直线2x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，则弦AB的长度为
A. B.
C. D.
√
设圆x2＋y2＝2的圆心为C(0，0)，半径r＝，
因为C(0，0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
4.圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是
A.外切 B.相交 C.外离 D.内切
圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，
∴圆心C2(4，3)，半径r2＝3，
∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，
故两圆外切.
√
1.牢记三个相关结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x
用替换，y用替换.
2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
命题点1 位置关系的判断
例1 (多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是
A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C相交 D.直线l与圆C相离
直线与圆的位置关系
题型一
√
√
圆C：(x－2)2＋y2＝16的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0恒过定点(3，1)，显然<4＝r，因此点(3，1)在圆C内，直线l与圆C相交，B，D错误，A，C正确.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
思维升华
命题点2 弦长问题
例2 已知直线l：y＝kx＋3与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则k等于
A.－ B.
C. D.－
√
圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，r＝2，
所以圆心C(1，1)到直线l：y＝kx＋3的距离d＝，
而d＝＝1，
所以d＝＝1，解得k＝－.
弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
思维升华
命题点3 切线问题
例3 (多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为
A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0
C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0
√
√
由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，－3)的切线斜率存在时，设切线方程为y＝k(x－4)－3，
则圆心到切线的距离d＝＝1，可得k＝－，
所以y＝－(x－4)－3，即15x＋8y－36＝0；
当切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，显然与圆相切，
综上，切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况.
思维升华
命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为 .
2
圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
如图，连接PC，
因为S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝，
所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心
C到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，即d＝＝3，
所以四边形PACB面积的最小值为＝2.
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
思维升华
跟踪训练1 (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的有
A.直线l恒过定点(3，1)
B.y轴被圆C截得的弦长为2
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
√
√
√
由已知可得，圆心C(1，2)，半径r＝5，
直线方程可化为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
由可得
所以直线l恒过定点(3，1)，A正确；
将x＝0代入圆的方程有1＋(y－2)2＝25，解得y＝2±2，
所以y轴被圆C截得的弦长为4，B错误；
因为点(3，1)到圆心C(1，2)的距离为<5＝r，
所以点(3，1)在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确；
当圆心C(1，2)与定点(3，1)的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，
直线l被圆C截得的弦长最短，则l的斜率k应满足·k＝－1，所以k＝2，
代入点斜式方程有y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，D正确.
(2)(多选)(2024·南京模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝4上，直线l：4x＋3y－12＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，则
A.过点B作圆O的切线，则点B到切点的距离为2
B.满足·＝0的点P仅有1个
C.点P到直线l距离的最大值为
D.||的最小值是1
√
√
√
点A(3，0)，点B(0，4)，设圆O的半径为r，过点B作圆O的切线，所以点B到切点的距离为＝2，故A正确；
由中点坐标公式得线段AB的中点为M，由两点间距离公式得|AB|＝5，则以线段AB为直径的圆M的方程为＋(y－2)2＝，
因为|OM|＝，
而－2＝，＋2＝，
满足<<，所以圆M与圆O相交，所以满足·＝0的点P有2个，故B
错误；
圆心O到直线l的距离为，半径r＝2，所以点P到直线l距离的最大值为，故C正确；
线段AB的中点为M，则)，
所以||＝2||，
因为|PM|min＝|OM|－r＝－2＝，
所以||的最小值是1，故D正确.
例5 (多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.则下列选项正确的是
A.直线C1C2恒过定点(3，0)
B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10
C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a<
D.当a＝时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为
圆与圆的位置关系
题型二
√
√
√
由圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R，
可知C1(1，2a)，C2(4，－a)，故直线C1C2的方程为y＋a＝－a(x－4)，即y＝－a(x－3)，则直线C1C2恒过定点(3，0)，A正确；
圆C1的半径r1＝3，又圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R即(x－4)2＋(y＋a)2＝4，a∈R，
圆C2的半径r2＝2，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|＝r1＋r2＝3＋2＝5，
|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝10，B正确；
若圆C1和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，
又|C1C2|＝，
则3－2<|C1C2|<3＋2，即1<<5，解得－当a＝时，两圆相交，
圆C1：(x－1)2＋＝9，
圆C2：(x－4)2＋＝4，
将两方程相减可得公共弦方程为6x－2y－＝0，
则C1到直线6x－2y－＝0的距离为，
则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2，D正确.
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
思维升华
跟踪训练2 (多选)(2024·长沙模拟)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，则下列选项中正确的是
A.点(1，－1)在圆O2内
B.直线AB的方程为x＋y－1＝0
C.圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2＋
D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB|
√
√
因为12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3>0，所以点(1，－1)在圆O2外，故A错误；
因为圆O1和圆O2相交，将两圆方程相减可得x＋y－1＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x＋y－1＝0，故B正确；
圆O1的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，圆心O1到直线AB：x＋y－1＝0的
距离d＝，所以圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2＋，
故C正确；
直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比线段AB长的弦，故D错误.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D D D D ABD BD
题号 9 10 13 14 答案 0(答案不唯一) m2＋n2＝1 ABD 答案
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两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1，3)，(5，6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
.
解得m＝25＋10.
11.
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(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为2×＝2.
11.
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(1)由题意可知，圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心为C(0，1)，半径r＝.
∴圆心C到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离为
d＝，
由＝5，
解得m＝±1.
(2)∵直线l的方程mx－y＋1－m＝0可化为y－1＝m(x－1)，
∴直线l过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C内，
12.
答案
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P(1，1)，
∴＝(1－x1，1－y1)，＝(x2－1，y2－1)，
∵，
∴(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)，
∴1－x1＝(x2－1)，∴x2＝3－2x1， ①
由得
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(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， (※)
∴x1＋x2＝， ②
由①②解得x1＝，
代入(※)式(1＋m2)－2m2·＋m2－5＝0 m2－1＝0，
解得m＝±1，
∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
12.
一、单项选择题
1.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是
A.相交 B.内切 C.外切 D.内含
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知识过关
答案
两圆方程可分别化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切.
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答案
2.直线y＝k(x－5)－2(k∈R)与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6的位置关系为
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
√
直线y＝k(x－5)－2恒过定点(5，－2)，将定点(5，－2)代入圆的方程，得(5－3)2＋(－2＋1)2＝5<6，则定点(5，－2)在圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6内部，所以直线与圆必相交.
3.(2024·菏泽模拟)过点E(a，－1)向圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝，则
A.a＝2或a＝－1 B.a＝－2或a＝1
C.a＝－3或a＝1 D.a＝3或a＝－1
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答案
圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心M(1，1)，半径r＝，连接AM，ME，
依题意，AM⊥AE，∠AEM＝∠AEB＝，
则|EM|＝2|AM|＝2，
于是＝2，
整理得a2－2a－3＝0，
所以a＝3或a＝－1.
4.在平面直角坐标系Oxy中，直线l：ax＋by＝1上有且仅有一点P，使|OP|＝2，则直线l被圆C：x2＋y2＝16截得的弦长为
A.2 B.2 C.4 D.4
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直线l：ax＋by＝1上有且仅有一点P，
使|OP|＝2，则坐标原点到直线的距离d＝|OP|＝2，
因为圆C的圆心为O(0，0)，半径r＝4.
截得的弦长为2＝2＝4.
答案
5.圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒过的定点为
A.(－2，1)，(2，－1) B.(－1，－2)，(2，1)
C.(－1，－2)，(1，2) D.(－2，－1)，(2，1)
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答案
圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0的方程化为a(x－2y)＋(x2＋y2－5)＝0，
由得或
故圆C恒过定点(－2，－1)，(2，1).
6.已知A，B是圆C1：x2＋y2＝3上的动点，且|AB|＝2.P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则||的取值范围是
A.[8，12] B.[6，10]
C.[10，14] D.[6，14]
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答案
如图，设弦AB的中点为D，
则由|AB|＝2得，|C1D|＝＝1，
即D点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
又||＝2||，
由于P点在圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上，
所以C2(3，4)，|C1C2|＝5，
所以|C1C2|－1－1≤||≤|C1C2|＋1＋1，即3≤||≤7，
所以||＝2||的取值范围是[6，14].
二、多项选择题
7.已知直线l：y＝kx－k，k∈R，圆C：x2＋y2＝4，则下列结论正确的有
A.直线l过定点(1，0)
B.直线l与圆C恒相交
C.直线l被圆C截得的弦长最短为2
D.若直线l被圆C截得的弦长为，则k＝±1
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对于A，直线l：y＝kx－k，即y＝k(x－1)，则直线l过定点(1，0)，故A正确；
对于B，因为12＋02＝1<4，所以定点(1，0)在圆C：x2＋y2＝4内部，所以直线l与圆C恒相交，故B正确；
对于C，当直线l与x轴垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时l：x＝1，直线l被圆C截得的弦长为2＝2，但此时直线l的斜率不存在，不符合题意，故C错误；
对于D，直线l：kx－y－k＝0，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，
得k＝±1，故D正确.
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8.(2024·青岛模拟)已知动点M，N分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2外离
C.|PM|＋|PN|的最小值为2
D.过点P作圆C1的切线，则点P到切点的最短距离为
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答案
圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝，A错误；
|C1C2|＝2>1＋，圆C1和圆C2外离，B正确；
圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，
连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1，
由圆的性质得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－
＝|PC0|＋|PC2|－1－
≥|C0C2|－1－＝2－1－，
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答案
当且仅当点P与P1重合，且M，N分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，C错误；
设点P(t，0)，过点P作圆C1的切线，设切点为A，则|PA|＝≥，当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，D正确.
三、填空题
9.若直线kx－y＋2k＝0(k∈Z)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4有公共点，则k的一个取值是 .
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答案
直线kx－y＋2k＝0恒过定点(－2，0)，
圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(1，2)，半径r＝2，
显然点(－2，0)在圆外，若直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离d＝≤2，
化简得5k2－12k≤0，解得0≤k≤.
又k∈Z，则k＝0或1或2.
即k的一个取值是0.
10.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty＋1表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.若圆C1：x2＋y2＝1是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n满足的关系式为 .
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m2＋n2＝1
由定义可知，mx＋ny＝1与x2＋y2＝1相切，则圆C1的圆心(0，0)到直线mx
＋ny＝1的距离等于1，则d＝＝1，m2＋n2＝1.
四、解答题
11.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时，两圆外切？
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答案
两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1，3)，(5，6)，
半径分别为和.
当两圆外切时，.
解得m＝25＋10.
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答案
两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为2×＝2.
(2)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
12.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C交于A，B两点.
(1)若|AB|＝3，求实数m的值；
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答案
由题意可知，圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心为C(0，1)，半径r＝.
∴圆心C到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离为d＝，
由＝5，
解得m＝±1.
(2)若点P为直线l所过定点，且|PB|＝2|AP|，求直线l的方程.
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答案
∵直线l的方程mx－y＋1－m＝0可化为y－1＝m(x－1)，
∴直线l过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C内，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P(1，1)，
∴＝(1－x1，1－y1)，＝(x2－1，y2－1)，
∵，
∴(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)，
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∴1－x1＝(x2－1)，∴x2＝3－2x1， ①
由得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， (※)
∴x1＋x2＝， ②
由①②解得x1＝，
代入(※)式(1＋m2)－2m2·＋m2－5＝0 m2－1＝0，
解得m＝±1，
∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
13.(多选)(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝－2＋，则
A.f(x)只有1个零点
B.直线y＝2x－1与曲线y＝f(x)有唯一公共点
C.f(x)恰有2个零点
D.曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1外切
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答案
令y＝f(x)，得x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)，则f(x)的图象为半圆，如图所示，
令y＝0，解得x＝0，由图可知，f(x)只有1个零点，A正确，C错误；
联立y＝2x－1与x2＋(y＋2)2＝4，
消去x并整理得5y2＋18y＋1＝0，
解得y1＝，
y2＝(舍去)，
所以直线y＝2x－1与曲线y＝f(x)有唯一公共点，B正确；
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答案
半圆x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)与圆x2＋(y－1)2＝1的圆心分别为(0，－2)，(0，1)，半径分别为2，1，
所以圆心距为|1－(－2)|＝3＝1＋2，
即圆心距等于半径之和，
所以曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1外切，D正确.
14.(2024·内蒙古模拟)已知f(x)＝若直线y＝knx与y＝
f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则＋…＋＝ .
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答案
当－1≤x≤1时，y＝f(x)＝，即x2＋y2＝1，y≥0，
当x>1时，f(x)＝f(x－2)，所以可得函数f(x)的周期为2，
画出函数图象，如图所示.
若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，
根据图象知，直线y＝knx与第n＋1个半圆相切，
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答案
不妨设其圆心为On＋1(2n，0)，切点为P，连接POn＋1，
所以在Rt△OPOn＋1中，
tan∠POOn＋1＝＝kn，
kn＝，
故，
所以＋…＋
＝.
返回(共84张PPT)
第八章
§8.8 抛物线
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.了解抛物线的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线.
相等
焦点
准线
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点 _________ _________ _________ _________
准线方程 ________ ______ _______ ______
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
x＝－
x＝
y＝－
y＝
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
对称轴 ______ ______ 顶点 ________ 离心率 e＝____ x轴
y轴
(0，0)
1
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.
( )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).( )
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.( )
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.( )
×
×
√
√
2.(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是
A.开口向左 B.焦点坐标为(－1，0)
C.准线为x＝1 D.对称轴为x轴
√
对于抛物线y2＝－2x，开口向左，焦点坐标为，
准线方程为x＝，对称轴为x轴，故AD正确.
√
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝，则p等于
A.3 B.6 C.9 D.12
√
抛物线C：y2＝2px(p>0)，准线方程为x＝－，P(6，y0)，
由抛物线的定义可知|PF|＝6＋，解得p＝3.
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2＝2px(p>0)过点A(2，2)，则点A到抛物线准线
的距离为 .
由题意22＝2p×2，解得p＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－，
故所求距离为2＋.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)；
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)若抛物线x2＝8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0等于
A. B.1 C. D.2
抛物线的定义及应用
题型一
√
已知抛物线的方程为x2＝8y，可得p＝4，
所以焦点为F(0，2)，准线为l：y＝－2.
抛物线上一点A(x0，y0)到焦点F的距离等于到准线l的距离，
即|AF|＝y0＋2，
又因为A到x轴的距离为y0，
由已知得y0＋2＝2y0，解得y0＝2.
(2)(多选)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
√
√
√
由题意得=2,则p=4,A正确;
设M(x0,y0),则|MF|=x0+,|OF|=,
又因为x0≥0,所以|MF|≥|OF|,B正确;
由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等,故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确;
当∠OFM=120°时,设M在第一象限,则x0>2,y0>0,
故kMF==tan 60°=,即x0=+2,
又=8x0,所以-8y0-16=0,解得y0=4或y0=-(舍去),
所以S△OFM=|OF|×|y0|=×2×4=4,D错误.
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
思维升华
跟踪训练1 (1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是
A.4 B.6 C.7 D.9
√
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，由抛物线定义可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9，则|yM|＝＝6，即M到x轴的距离为6.
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是
A. B. C.2 D.
√
直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，
如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，
d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离.
∵F(－1，0)，
∴(d1＋d2)min＝.
例2 (1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为 .
抛物线的标准方程
题型二
y2＝x或x2＝－y
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若|AF|＝2|BC|＝4，则抛物线的标准方程为 .
y2＝4x
由题意知C为BF的中点，
因为|AF|＝|AB|，所以AC与BF垂直，
因为|AF|＝2|BC|＝4，所以∠CAF＝30°，
所以∠BAF＝60°，
方法一 则△ABF为等边三角形，设AB交y轴于点D，如图，
在Rt△BCD中，易得|BD|＝1，即＝1，p＝2，
故抛物线的标准方程为y2＝4x.
方法二 A，
代入E：y2＝2px(p>0)可得12＝2p，
化简得p2＋4p－12＝0，
由于p>0，所以p＝2(p＝－6舍去).
故抛物线的标准方程为y2＝4x.
求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
思维升华
跟踪训练2 (1)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为
A.x2＝6y B.x2＝12y C.x2＝18y D.x2＝36y
√
由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，
则抛物线的焦点为，则准线为y＝－，
所以＝－，解得p＝6，
所以抛物线C的方程为x2＝12y.
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，则p等于
A.4 B.6 C.8 D.12
√
方法一 如图，过点P作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴|OM|＝2，则xP＝－2，
又点P在抛物线C1：y2＝－2px(p>0)上，
∴＝4p，则|PM|＝2，
在Rt△PMF1中，|MF1|＝－2，
∵|PM|2＋，
∴＝82，
∴p＝12(p＝－20舍去).
方法二 设P(x0，y0)，则x0<0，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴－x0＋＝2(－2x0)＝8，
∴x0＝－2，p＝12.
例3 (1)(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是
A.开口向上，焦点为(0，2) B.开口向上，焦点为
C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y＝－4
抛物线的几何性质
题型三
√
√
由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则
A.焦点F的坐标为(4，0) B.|AB|＝x1＋x2＋4
C.y1y2＝－8 D.
√
√
由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；
由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；
方法一 设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
＝
＝
＝
＝
＝，故C错误，D正确.
方法二 因为p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，
，故C错误，D正确.
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
思维升华
跟踪训练3 (1)(2024·重庆模拟)A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB(O为坐标原点)的重心恰为F，若|AF|＝5，则p等于
A.1 B.2 C.3 D.4
√
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，
因为△OAB的重心恰为F，则
解得
由y1＝－y2可知A，B关于x轴对称，即x1＝x2，
则x1＋x2＝2x1＝，即x1＝，
又因为|AF|＝x1＋＝5，解得p＝4.
(2)(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则
A.p＝2 B.|AB|≥4
C.·＝－4 D.k1k2＝－4
√
√
√
因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点为F(1，0)，
设直线l：x＝my＋1，联立
消去x整理得y2－4my－4＝0，
则Δ＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；
因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；
由题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝·＝－4，故D正确.
1.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形
叫做阿基米德三角形.如图.
2.阿基米德三角形的常见性质
(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.
(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点P，则另一顶点C的轨迹为一条直线.
(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
阿基米德三角形
微拓展
(4)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的
阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为.
(6)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB为阿基米德三角形的底边，则阿基米德
三角形顶点C的坐标为.
推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦AB与x轴交点D的横坐标互为相反数.
典例 (多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为
蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形
的面积最小值为2p
√
√
√
对于A，由蒙日圆的定义知A正确；
对于B，过点A的切线方程为y1y＝p(x＋x1)， ①
过点B的切线方程为y2y＝p(x＋x2)， ②
又
联立①②③④，解得两切线交点Q，
又M，
∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB的方程为y0y＝p(x＋x0)，
又直线AB经过焦点F，
∴0＝p，∴x0＝－，C正确；
对于D，若底边AB过焦点，
则Q点的轨迹方程是x＝－，
易验证kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB，
故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，
∴|QM|＝≥＝p，
由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)，
∴S△QAB＝|QM||y1－y2|≥|QM|·≥p2，
当且仅当y1＝－y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D A B AD ABD
题号 9 10 13 14 答案 42或22 D B 答案
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(1)由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
(2)设M，
由两点间的距离公式得
|MA|＝＝，
11.
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当m2＝16，即m＝±4时，|MA|min＝4，
即当M的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
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(1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，
12.
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由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，
所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3－2.
即点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值为3－2.
12.
一、单项选择题
1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为
A.x2＝±3y B.y2＝±6x
C.x2＝±12y D.y2＝±12x
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知识过关
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设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，
依题意知＝3，∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
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2.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P(x0，8)是C上一点，且P到F的距离与P到C的对称轴的距离之差为2，则p等于
A. B.1 C.2或4 D.4或36
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答案
因为P(x0，8)是C上一点，
所以＝16p，所以|x0|＝4，
由抛物线的定义可得P到F的距离为8＋，
点P到C的对称轴的距离为|x0|，
则8＋－4＝2，解得p＝4或p＝36.
3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于
A. B. C.3 D.2
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答案
过点Q作QQ'⊥l于点Q'，如图.
∵＝4，
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
∴|QF|＝|QQ'|＝×4＝3.
4.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C：y2＝8x，P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A，B两点，若∠OAP＝60°，则四边形OAPB的周长为
A.64 B.64 C. D.
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根据抛物线的对称性以及AB为线段OP的垂直平分线，
可得四边形OAPB为菱形，
又∠OAP＝60°，可得∠AOP＝60°，
故可设A(a，a)(a>0)，
代入抛物线方程可得＝8a，解得a＝，
故|OA|＝2a＝，
故四边形OAPB的周长为4×.
5.已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l垂直于x轴，且与抛物线C交于P，Q两点，点E在x轴上，且|EF|＝2.若kOP·kEQ＝－2(O为坐标原点)，则C的准线方程为
A.x＝－1 B.x＝－
C.x＝－2 D.x＝－
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由抛物线的方程y2＝2px(p>0)，得F，
由抛物线的对称性，
不妨设P，Q，
当点E的坐标为时，
kOP＝＝2，kEQ＝，
因为kOP·kEQ＝－2，
所以2×＝－2，
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则p＝－2(不符合题意，舍去)；
当点E的坐标为时，
kEQ＝＝－，
因为kOP·kEQ＝－2，所以2×＝－2，
则p＝2，所以抛物线C的准线方程为x＝－1.
6.已知x轴上一定点A(a，0)(a>0)，和抛物线y2＝2px(p>0)上的一动点M，若|AM|≥a恒成立，则实数a的取值范围为
A. B.(0，p]
C. D.(0，2p]
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设M(x0，y0)(x0≥0)，则＝2px0，
所以|AM|＝
＝
＝，
因为|AM|≥a恒成立，
所以－(2a－2p)x0＋a2≥a2恒成立，
所以－(2a－2p)x0≥0恒成立，
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当x0＝0时，显然恒成立，
当x0>0时，x0≥2a－2p恒成立，
所以2a－2p≤0，则a≤p，
又a>0，所以0即实数a的取值范围为(0，p].
二、多项选择题
7.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(5，y0)在抛物线上，且|PF|＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则
A.p＝2 B.抛物线的准线为直线y＝－1
C.y0＝2 D.△FPQ的面积为4
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抛物线y2＝2px(p>0)的准线为直线x＝－，
过点P向准线作垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|＝5＋＝6，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，准线为直线x＝－1，故A正确，B错误；
将x＝5代入抛物线方程，解得y0＝±2，故C错误；
焦点F(1，0)，点P(5，±2)，即|PQ|＝2，
所以S△FPQ＝×2×(5－1)＝4，故D正确.
8.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是
A.|MN|＝|AB| B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点 D.∠QFM＝∠QMF
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如图，由抛物线的定义，
得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，
又|MN|＝，
则|MN|＝|AB|，A正确；
由|MN|＝|AB|，|AM|＝|MB|，
得|MN|＝|AM|，所以∠MAN＝∠MNA.
而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，
所以△ANC≌△ANF，
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答案
可知∠ACN＝∠AFN＝90°，
所以FN⊥AB，B正确；
在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，
所以∠QFM＝∠QMF，D正确；
由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，
所以|QN|＝|QM|，即Q是MN的中点，C不正确.
三、填空题
9.抛物线x2＝y的准线方程是y＝2，则实数a的值为 .
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答案
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由题意－＝2，解得a＝－.
10.已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于 .
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42或22
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答案
当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42；
当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当M，P，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小为|MF|.
① ②
1
2
3
4
5
6
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12
13
14
答案
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去.
综上，p＝42或p＝22.
②
四、解答题
11.已知动点M与点F(2，0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等.
(1)求动点M的轨迹方程；
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答案
由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
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答案
设M，
由两点间的距离公式得
|MA|＝
＝，
当m2＝16，即m＝±4时，|MA|min＝4，
即当M的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
(2)求点M与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.
12.已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
1
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答案
设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值.
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答案
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答案
如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，
所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3－2.
即点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值为3－2.
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，P为抛物线的焦点，则
A.A，B，C的纵坐标成等差数列
B.A，B，C到x轴的距离成等差数列
C.A，B，C到原点的距离成等差数列
D.A，B，C到点P的距离成等差数列
1
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答案
√
能力拓展
设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，P，
准线方程为x＝－，
因为抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，所以有2x2＝x1＋x3，于是有
2，
根据抛物线定义可得2|BP|＝|AP|＋|CP|，显然选项D正确；
当三点A，B，C的坐标分别为(0，0)，(2，2)，(4，2)时，因为p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此选项A不正确；
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答案
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答案
因为A，B，C到x轴的距离分别为0，2，2，p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此选项B不正确；
因为|AO|＝0，|BO|＝，|CO|＝，p>0，所以2×＝0＋不成立，因此选项C不正确.
14.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为
A. B.1
C.2 D.
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答案
√
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答案
返回
作截面，如图所示，设清洁钢球截面圆的圆心为(0，y0)(y0>0)，若清洁钢球能触及凹槽的最底部，则清洁钢球的半径r＝y0，
又抛物线x2＝2y，y∈[0，10]上的点(x，y)到圆心距离的平方为
d2＝x2＋＝2y＋
＝y2＋2(1－y0)y＋，y∈[0，10]，
若d2的最小值在y＝0时取到，则清洁钢球触及凹槽的最底部，
故二次函数f(y)＝y2＋2(1－y0)y＋图象的对称轴方程应满足－1＋y0≤0，
所以y0≤1，所以0从而清洁钢球的半径r的取值范围为(0，1]，
所以清洁钢球的最大半径为1.(共49张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题
进阶3
例1 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
与角度、斜率有关的范围(最值)问题
题型一
抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程为x＝－，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为＝p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值.
方法一 设Q(x0，y0)，
则＝9＝(9－9x0，－9y0)，
∴P(10x0－9，10y0)，
由P在抛物线上可得(10y0)2＝4(10x0－9)，即x0＝>0，
∴直线OQ的斜率kOQ＝，
当y0＝0时，kOQ＝0；
当y0≠0时，kOQ＝，
当y0>0时，∵25y0＋≥2＝30，
此时0当y0<0时，kOQ<0，
综上，直线OQ斜率的最大值为.
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，
则当直线OQ与抛物线y2＝x－相切时，其斜率k取到最值，
联立得k2x2－x＋＝0，
则Δ＝－4k2×＝0，
解得k＝±，
∴直线OQ斜率的最大值为.
方法三 (轨迹方程＋换元求最值法)
同方法一得点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的斜率为k，Q(x，y)，
则k2＝.
令＝t，
则k2＝－t2＋t的对称轴为t＝，
∴0≤k2≤，－≤k≤.
故直线OQ斜率的最大值为.
方法四 由题可设P(4t2，4t)(t≥0)，Q(x，y)，
∵F(1，0)，＝9，
∴(x－4t2，y－4t)＝9(1－x，－y)，
于是∴
则直线OQ的斜率为k＝，
当t＝0时，k＝0；
当t>0时，k＝≤，
当且仅当4t＝，即t＝时等号成立，
综上，直线OQ斜率的最大值为.
求解与斜率、角度有关的最值问题的关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题.
思维升华
跟踪训练1 (2024·皖北协作区联考)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3.
(1)求E的方程；
设双曲线的半焦距为c(c>0)，
∵|PF1||PF2|＝3，
∴|PF1||PF2|＝6.
由题可知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，
即4c2－12＝4a2，∴b2＝3.
又＝2，∴a2＝1.
故E的方程为x2－＝1.
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别为kAM和kBN，求kBN的最小值.
如图，由题可知F2(2，0)，
A(－1，0)，B(1，0)，且直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为x＝ty＋2，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.
∵kAM＝，kBN＝，
∴
＝＝－，
∴kBN＝－3kAM，
∴kBN＝(kAM－1)2－1，
∵直线AM与E的右支有交点，
∴－∴当kAM＝1，kBN＝－3时，kBN取得最小值，且最小值为－1.
例2 已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，以坐标原点O为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切.
(1)求椭圆C的方程；
与参数、向量有关的范围(最值)问题
题型二
由题意可知，短半轴长b＝＝1，
因为e＝，则e2＝，
即a2＝2b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足＝t(t∈R)，当||<时，求实数t的取值范围.
由题意可知，直线AB的斜率存在，
设直线AB为y＝k(x－2)，
联立方程
消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
由Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k2<，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
因为＝t，
则(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，易知t≠0，
可得x＝，
y＝[k(x1＋x2)－4k]＝，
且点P在椭圆上，
则＝2，
整理得16k2＝t2(1＋2k2)，
又因为||＝||<，
则|x1－x2|<，
可得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，
即(1＋k2)<，
整理得(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得k2>，
所以且16k2＝t2(1＋2k2)，
可得t2＝＝8－∈，
解得－2所以实数t的取值范围为∪.
含参数、向量的范围(最值)问题，通常利用向量的运算转化为目标函数，然后利用基本不等式、函数单调性或求导等方法来求最值，也可以利用几何图形的有界性、判别式得到不等关系，从而求出相关量的范围(最值).
思维升华
跟踪训练2 在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且与双曲线－y2＝1共顶点.P为
椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.
(1)求椭圆C的方程；
双曲线－y2＝1的顶点坐标为(±，0)，故a2＝2，
由题意得c＝1，故b2＝a2－c2＝2－1＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若＝λ，且λ∈，求·的最大值.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)，
因为＝λ，λ∈，
所以
即
所以
解得x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(－λx2－λ－1)x2－λ＝－－(1＋λ)x2－λ
＝－－(1＋λ)·－λ
＝，
因为λ∈，
所以λ＋≥2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号，
故·的最大值为.
课时精练
答案
1
2
(1)由题意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2.
(2)显然当直线l的斜率k不存在时，直线x＝0不满足题意，设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
1.
答案
1
2
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝＝k2x1x2＋2k＋4，
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋2k＋4
1.
答案
1
2
＝＋4
＝>0，
解得0，
解得－2所以实数k的取值范围为∪.
1.
答案
1
2
(1)如图1，依题意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
解得a＝2，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则，即b＝，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
2.
图1
答案
1
2
(2)由(1)知a＝2，则双曲线C的方程为＝1，如图2，
设T(x0，y0)，过T的直线l'的方程为y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y0－kx0，显然k≠0，
由
消去y得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
2.
图2
答案
1
2
化简得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y0－kx0得(b2＋)k2－2x0y0k＋－4＝0，
由直线l'与双曲线相切，得k＝，
而＝1，于是k＝，
过点T且与l'垂直的直线的斜率为－，
方程为y－y0＝－(x－x0)，
2.
图2
答案
1
2
令y＝0，得x＝，即M，
令x＝0，得y＝，即N，
设Q(x，y)，由＝λ，λ∈(0，1)，
得
2.
图2
答案
1
2
即
代入＝1，
得＝1，
依题意，该双曲线与双曲线＝1共焦点，
2.
图2
答案
1
2
则＝b2＋4，
化简得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝∈(0，1)，
λb＝≤＝1，
当且仅当b＝2，λ＝时取等号，所以λb的最大值为1.
2.
图2
1.已知椭圆C：＋y2＝1.
(1)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的上顶点，求△PF1F2的周长；
1
2
答案
由题意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2.
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.
1
2
答案
1
2
答案
显然当直线l的斜率k不存在时，直线x＝0不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
1
2
答案
y1y2＝＝k2x1x2＋2k＋4，
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋2k＋4
＝＋4＝>0，
解得0，
1
2
答案
解得－2所以实数k的取值范围为∪.
1
2
答案
2.双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2(F1在F2下方)，虚轴的右端点为A，过点F2且垂直于y轴的直线l交双曲线于点P(P在第一象限)，与直线AF1交于点B，记△ABF2的周长为m，△BPF1的周长为n，|m－n|＝4.
(1)若C的一条渐近线方程为y＝x，求C的标准方程；
1
2
答案
如图1，依题意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
解得a＝2，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则，即b＝，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
图1
1
2
答案
(2)已知动直线l'与C相切于点T，过点T且与l'垂直的直线分别交x轴、y轴于M，N两点，Q为线段MN上一点，＝λ，λ∈(0，1).若||QF2|－|QF1||为定值，求λb的最大值.
1
2
答案
由(1)知a＝2，则双曲线C的方程为＝1，如图2，
设T(x0，y0)，过T的直线l'的方程为y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y0－kx0，显然k≠0，
由
消去y得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
图2
1
2
答案
化简得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y0－kx0得(b2＋)k2－2x0y0k＋－4＝0，
由直线l'与双曲线相切，得k＝，
而＝1，于是k＝，
过点T且与l'垂直的直线的斜率为－，
方程为y－y0＝－(x－x0)，
令y＝0，得x＝，即M，
图2
1
2
答案
令x＝0，得y＝，即N，
设Q(x，y)，由＝λ，λ∈(0，1)，
得
即
代入＝1，
图2
1
2
答案
得＝1，
依题意，该双曲线与双曲线＝1共焦点，
则＝b2＋4，
化简得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝∈(0，1)，
λb＝≤＝1，
当且仅当b＝2，λ＝时取等号，所以λb的最大值为1.
图2(共33张PPT)
第八章
必刷小题15 直线与圆
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A D B B C
题号 9 10 11 12 13 14 答案 ACD ACD BD x2＋(y－1)2＝8 一、单项选择题
1.已知直线l：mx－(5－2m)y－3＝0的倾斜角为，则m等于
A. B.0 C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题意直线l的倾斜角为，则直线l⊥x轴，
故方程mx－(5－2m)y－3＝0中，y的系数为0，
即－(5－2m)＝0，解得m＝，
此时，直线l：x＝符合题意.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋2与圆O恰有一个公共点，则k的值为
A.－1 B.0 C.1 D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
∵直线l：kx－y＋2＝0与圆O恰有一个公共点，
∴直线l与圆O相切，
方法一 圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径为2，
∴圆心到直线l的距离d＝＝2，
解得k＝0.
方法二 由直线l：y＝kx＋2过定点M(0，2)，
由M在圆O：x2＋y2＝4上，直线与圆O相切，
故点M即为切点，故直线l⊥OM，即斜率k＝0.
3.若直线l1：y－2＝(k－1)x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒过定点
A.(2，0) B.(1，－1) C.(1，1) D.(－2，0)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
因为直线l1：y－2＝(k－1)x过定点(0，2)，
点(0，2)关于直线y＝x＋1对称的点为(1，1)，
故直线l2恒过定点(1，1).
4.(2025·黔南模拟)若M为圆(x＋1)2＋y2＝2上的动点，则点M到直线x＋y－3＝0的距离的最小值为
A. B.3－ C.2 D.3
√
1
2
3
4
5
6
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圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，半径r＝，
点C(－1，0)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2>，
即直线x＋y－3＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相离，又点M在该圆上，
所以点M到直线x＋y－3＝0的距离的最小值为d－r＝.
答案
5.已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值是
A. B.2
C.3＋ D.3－
√
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答案
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答案
两点A(－1，0)，B(0，2)，则|AB|＝，
直线AB的方程为y＝2x＋2，
圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C(2，0)，半径r＝1，
点C到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝，
因此点P到直线AB距离的最小值为d－r＝－1，
所以△PAB面积的最小值是
××＝3－.
6.已知实数a，b满足a2＋b2＝a－b，则|a＋b－3|的最小值为
A. B.2
C. D.4
√
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答案
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答案
方法一 由题意知，点(a，b)在曲线C：上，
圆心C到直线x＋y－3＝0的距离d＝，
圆C的半径r＝，
所以|a＋b－3|min＝(d－r)＝×＝2.
方法二 由题意知，点(a，b)在曲线上，
设a＝cos θ，b＝－sin θ，θ为参数，
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答案
则|a＋b－3|＝＝，
因为sin∈[－1，1]，
当θ＝，即a＝1，b＝0时，|a＋b－3|min＝|1－3|＝2.
7.(2025·绥化模拟)已知圆C的圆心为原点O，且与直线x＋y＋4＝0相切.点P在直线x＝8上，过点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点的坐标为
A.(0，2) B.(2，0)
C.(0，) D.(，0)
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答案
依题意得，圆C的半径r＝＝4，所以圆C的方程为x2＋y2＝16.
因为PA，PB是圆C的两条切线，
所以OA⊥AP，OB⊥BP，
所以A，B在以线段OP为直径的圆上，
设点P的坐标为(8，b)，b∈R，
则线段OP的中点坐标为，
所以以线段OP为直径的圆的方程为(x－4)2＋＝42＋，b∈R，
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答案
化简得x2＋y2－8x－by＝0，b∈R，
因为线段AB为两圆的公共弦，
所以直线AB的方程为8x＋by＝16，b∈R，
即8(x－2)＋by＝0，
所以直线AB恒过定点(2，0).
8.在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(1，0)，C(－1，0)，D(0，1)，若点P满足|PA|＝2|PB|，则2|PC|＋|PD|的最小值为
A.4 B.
C. D.2＋
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答案
设P(x，y)，
由|PA|＝2|PB|，得＝2，
化简整理得x2＋y2＝4，
故P的轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，
|PC|＝
＝
＝，
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答案
设M(－4，0)，则|PC|＝|PM|，
所以2|PC|＋|PD|＝|PM|＋|PD|≥|MD|＝，
当且仅当点P为线段MD与圆x2＋y2＝4的交点时取等号，
所以2|PC|＋|PD|的最小值为.
二、多项选择题
9.已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，则下列结论正确的是
A.若l1∥l2，则a＝6
B.若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C.若l1⊥l2，则a＝－
D.若a≠6，则直线l1，l2一定相交
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答案
两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，当l1∥l2时，则3×8－4a＝0，解得a＝6，经检验，满足两直线平行，故A正确；
若l1∥l2，则a＝6，所以平行直线间的距离d＝，故B错误；
当l1⊥l2，则3a＋32＝0，解得a＝－，故C正确；
由选项A得，当a≠6时，直线l1，l2一定相交，故D正确.
10.已知圆C：x2＋y2－6x＝0，则下列说法正确的是
A.圆C的半径r＝3
B.点(1，2)在圆C的内部
C.圆C与圆x2＋y2＋2x＋4y－6＝0的公共弦所在直线的方程为4x＋2y－3＝0
D.圆C'：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交
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答案
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，所以半径r＝3，故A正确；
将点(1，2)代入圆C的标准方程中，得(1－3)2＋＝12>9，所以点(1，2)在圆C的外部，故B错误；
由题意知，两圆相交，由两圆方程x2＋y2－6x＝0，x2＋y2＋2x＋4y－6＝0相减，得4x＋2y－3＝0，则公共弦所在直线的方程为4x＋2y－3＝0，故C正确；
圆C'的圆心为(－1，0)，半径为2，所以两圆C'与C的圆心距为|CC'|＝4，则3－2<|CC'|<3＋2，故两圆相交，故D正确.
11.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2＋y2＝1，点P为直线l：x－y－2＝0上的动点，则
A.圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为
B.若圆C与曲线x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝9
C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q，∠OPQ可以为60°
D.过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点
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答案
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答案
由题知，圆心(0，0)到直线l的距离为d＝，圆的半径为1，由<－1，所以圆上不存在点到直线l的距离为，故A错误；
由x2＋y2－6x－8y＋m＝0整理得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，由题意知曲线为圆，则m<25，圆心为(3，4)，半径为，由题可知，两圆外切时有三条公切线，则＝1＋，解得m＝9，故B正确；
由切点为Q，∠OQP＝90°，则在Rt△OQP中，sin∠OPQ＝，
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答案
当|OP|最小时，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，
过点O作OP'⊥l，垂足为P'，
|OP'|＝，
当点P与点P'重合时，sin∠OPQ最大，即sin∠OPQ的最大值为，
∠OPQ最大为45°，不可能为60°，故C错误；
设点P(x0，y0)，切点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得切线MP的方程为x1x＋y1y＝1，
由点P在切线上，得x1x0＋y1y0＝1，
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答案
同理可得x2x0＋y2y0＝1，
故点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直线x0x＋y0y＝1上，
即直线MN的方程为x0x＋y0y＝1，
又由点P(x0，y0)在直线l：x－y－2＝0上，则y0＝x0－2，
代入直线MN的方程整理得(x＋y)x0－2y－1＝0，
由解得
即直线MN恒过定点，故D正确.
三、填空题
12.(2025·天津滨海区模拟)过点A(－2，－1)，且与直线l：x－y－3＝0相切于点B(2，－1)的圆的方程为 .
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答案
x2＋(y－1)2＝8
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答案
因为圆心与切点的连线与切线垂直，且直线l的斜率kl＝1，
所以圆心和切点连线的斜率k＝－1，
所以圆心与B(2，－1)的连线的直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋y－1＝0.设圆心C(a，1－a)，则|AC|＝|BC|，
即，
解得a＝0，即圆心C(0，1)，
所以半径r＝＝2，
所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝8.
13.若点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是 .
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答案
[0，)
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答案
把直线l的方程化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
由解得
所以直线l恒过定点A(1，1)，
其中直线l不包括直线3x＋2y－5＝0.
又|PA|＝，
且PA与直线3x＋2y－5＝0垂直，即点P到直线3x＋2y－5＝0的距离为，
所以点P到直线l的距离d满足0≤d<.
14.已知☉O1：x2＋(y－2)2＝1，☉O2：(x－3)2＋(y－6)2＝9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|＋|PN|的最小值为 .
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答案
由题意知，☉O1：x2＋(y－2)2＝1的圆心为O1(0，2)，半径r1＝1，
☉O2：(x－3)2＋(y－6)2＝9的圆心为O2(3，6)，半径r2＝3，
设P(t，0)，则|PM|＝
，
|PN|＝
，
则|PM|＋|PN|＝
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答案
，
设A(0，－)，B(3，3)，
则|PM|＋|PN|＝|PA|＋|PB|≥|AB|，
当且仅当A，P，B三点共线时取等号，
此时|PM|＋|PN|的最小值为
|AB|＝.(共70张PPT)
第八章
§8.2 两条直线的位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 _______________ ___________________________________________________
垂直 ____________ ________________
相交 _______ ________________
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|＝ .
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ .
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝
.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.( )
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上.( )
×
√
×
√
2.若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于
A.4 B.－4 C.1 D.－1
√
因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以≠，解得m＝4.
3.两平行直线l1：x－2y－＝0，l2：4y－2x－3＝0之间的距离为
A. B.3 C. D.2
√
直线l1：x－2y－＝0可化为2x－4y－2＝0，
直线l2：4y－2x－3＝0可化为2x－4y＋3＝0，
所以两平行直线之间的距离为.
4.已知直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0相交，则这两条直线的交点坐标
为 ，过交点并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为______
.
＋9＝0
4x－3y
由方程组
解得即交点坐标为，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－，
即4x－3y＋9＝0.
1.三种常见的直线系
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C≠C1)；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0；
(3)过直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
2.谨防四个易误点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)(多选)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则下列说法正确的是
A.若A2＝0，则l2表示与x轴平行或重合的直线
B.直线l1可以表示任意一条直线
C.若A1B2－A2B1＝0，则l1∥l2
D.若A1A2＋B1B2＝0，则l1⊥l2
√
两条直线的平行与垂直
题型一
√
√
当A2＝0时，l2的斜率为0，与x轴平行或重合，故A正确；
当B1＝0时，l1的斜率不存在，当B1≠0时，l1的斜率存在，能表示任意直线，故B正确；
若A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0，则l1∥l2，故C错误；
若B1B2≠0，则由A1A2＋B1B2＝0可得斜率之积为－1，故l1⊥l2，若B1＝0(B2＝0)，可得A2＝0(A1＝0)，此时满足A1A2＋B1B2＝0，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故l1⊥l2，故D正确.
(2)数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为
A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0
C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0
√
因为△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，
所以△ABC的重心为G，
因为kAB＝2，kAC＝－，
所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，
所以△ABC的外心为BC的中点D，
因为三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，所以△ABC的欧拉线为直线GD，
所以△ABC的欧拉线方程为，即4x＋3y－6＝0.
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
思维升华
跟踪训练1 (1)(多选)△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是
A.边BC与直线3x－2y＋1＝0平行
B.边BC上的高所在的直线方程为3x＋2y－12＝0
C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0
D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
√
√
直线BC的斜率为k＝，而直线3x－2y＋1＝0的斜率为，两直线不
平行，A错误；
边BC上的高所在直线斜率为－，直线方程为y＝－(x－4)，即3x＋2y－
12＝0，B正确；
过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x＋y－13＝0，过原点时方程为7x－6y＝0，C错误；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点，中点坐标为(3，5)，D正确.
(2)已知直线l1：ax－y－1＝0，l2：ax－(a－2)y－1＝0，若l1∥l2，则a＝ .
0
①当a＝0时，l1：y＝－1，l2：y＝，l1∥l2；
②当a≠0时，若l1∥l2，则a－2＝1，可得a＝3，l1与l2重合，不符合题意，故a＝0.
例2 (1)过两条直线l1：x＋2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交点，且与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为
A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0
C.x－3y＋3＝0 D.3x＋y－7＝0
两直线的交点与距离问题
题型二
√
由得
设与直线x＋3y＋1＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则3×2－1＋m＝0，得m＝－5，
所以所求直线方程为3x－y－5＝0.
(2)当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为
A.；3x＋2y－5＝0 B.；3x＋2y－5＝0
C.；2x－3y＋1＝0 D.；2x－3y＋1＝0
√
将直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)变形得x＋y－2＋λ(3x＋y－4)＝0，
由解得因此直线l过定点A(1，1)，
当AP⊥l时，点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大，
最大值为|AP|＝，
又直线AP的斜率kAP＝，
则直线l的斜率为－，
所以此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即3x＋2y－5＝0.
利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
思维升华
跟踪训练2 已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，两平行线之间的距离的最大值为 ，此时两平行直线方程分别为 .
3
3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0
两条平行直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕点A，B旋转，
当AB与两平行直线垂直时，两平行线之间的距离最大，
|AB|＝＝3，
这两条平行直线之间的距离有最大值，最大值为3，
∵直线AB的斜率kAB＝，
故这两条平行直线的斜率为－3，
则两平行直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
例3 已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
对称问题
题型三
设点P(－2，－1)关于直线l的对称点为Q(x，y)，
则解得
所以对称点Q的坐标为.
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
由解得即直线l与l1的交点为A(2，0)，
点E(0，－2)是直线l1上的点，设它关于直线l的对称点为B(x1，y1)，
则解得
即B，
kAB＝＝7，
所以直线l2的方程为y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.
(3)直线l关于点M(1，1)对称的直线l'的方程.
方法一 在直线l：x＋2y－2＝0上任取两点，
如A(2，0)，C(0，1)，则A，C关于点M(1，1)的对称点A'，C'均在直线l'上，
易得A'(0，2)，C'(2，1)，
所以直线l'的方程为y－2＝x，即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l关于点M(1，1)对称的直线l'的方程为x＋2y＋m＝0，m≠－2，
由，解得m＝－2(舍去)或m＝－4，
所以直线l'的方程为x＋2y－4＝0.
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
思维升华
跟踪训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标；
设A'(x，y)，由已知条件得
解得所以A'.
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m'的方程；
在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.
设对称点M'(a，b)，则
得M'.
设直线m与直线l的交点为Q，
由得Q(4，3).
又m'经过点Q(4，3)，所以直线m'的方程为，即9x－46y＋102＝0.
(3)直线l关于点A的对称直线l'的方程.
方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，
易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，
所以l'的方程为，即2x－3y－9＝0.
方法二 因为l∥l'，
所以设l'的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1).
因为点A(－1，－2)到两直线l，l'的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得，得C＝－9，
所以l'的方程为2x－3y－9＝0.
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对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A A B B D C
题号 9 10 11 12 13 14 答案 BC ABC ABD x＋y－1＝0 题号 15 16 答案 BD BC 一、单项选择题
1.已知直线l1：x＋(a－1)y－3＝0与直线l2：x＋2y＋3＝0相互垂直，则a的值为
A. B.1 C.3 D.－
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知识过关
答案
∵l1⊥l2，∴1×1＋(a－1)·2＝0 a＝.
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答案
2.“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，得≠且m≠0，解得m＝2或m＝－3，所以“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行”的充分不必要条件.
3.与直线2x＋3y＋1＝0平行且过点(0，1)的直线方程是
A.2x＋3y－3＝0 B.3x＋2y－2＝0
C.2x－3y＋3＝0 D.3x－2y＋2＝0
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答案
设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0(C≠1)，
又过点(0，1)，则可得3＋C＝0，解得C＝－3，
则所求直线方程为2x＋3y－3＝0.
4.已知从点(5，2)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点(1，2)，则入射光线所在的直线方程为
A.x－y－3＝0 B.x＋y－7＝0
C.x－y＋3＝0 D.x＋y－3＝0
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答案
运用点关于直线对称，求出(1，2)关于x轴的对称点为(1，－2)，又(1，－2)与(5，2)在同一条直线上，
运用两点式得到入射光线所在的直线方程为
，整理得x－y－3＝0.
则入射光线所在的直线方程为x－y－3＝0.
5.若曲线y＝f(x)＝2sin x＋2 025在点处的切线与直线y＝ax＋
2 025垂直，则实数a等于
A.1 B.－1 C.2 D.－2
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答案
函数f(x)＝2sin x＋2 025，求导得f'(x)＝2cos x，因此曲线在点处的切线斜率为k＝f'＝1，而切线与直线y＝ax＋2 025垂直，所以a＝－＝－1.
6.已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为
A. B. C.5 D.10
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答案
直线l：x＋my－2m－1＝0，即x－1＋m(y－2)＝0，
由得
所以直线l过定点A(1，2)，
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，
此时最大值为|AP|＝.
7.(2025·大同模拟)已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为
A.1 B.2 C.3 D.4
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答案
由题意得，点A(a，b)在直线3x－4y＋3＝0上，点B(c，d)在直线3x－4y－7＝0上，两直线平行，所以(a－c)2＋(b－d)2的最小值为两平行线间距离
的平方，即＝4.
8.过定点A的动直线x＋ky＝0和过定点B的动直线kx－y－2k＋1＝0交于点M，则|MA|＋|MB|的最大值是
A.2 B.3
C. D.
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由题意知x＋ky＝0过定点A(0，0)，
动直线kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－y＋1＝0过定点B(2，1)，
对于直线x＋ky＝0和动直线kx－y－2k＋1＝0满足1×k＋k×(－1)＝0，
故两直线垂直，
因此点M在以AB为直径的圆上(除去点(2，0))，|AB|＝，
则|MA|2＋|MB|2＝5，
所以(|MA|＋|MB|)2＝|MA|2＋|MB|2＋2|MA||MB|≤2(|MA|2＋|MB|2)＝10，
答案
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当且仅当|MA|＝|MB|＝时，等号成立，
故|MA|＋|MB|的最大值为.
答案
二、多项选择题
9.已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是
A.直线l过第一、三、四象限
B.过点(，1)与直线l平行的直线的方程是x－y－2＝0
C.直线x－y＋2＝0到直线l的距离为
D.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
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答案
直线l过第一、二、三象限，故A错误；
设过点(，1)且与直线l平行的直线的方程为x－y＋t＝0(t≠1)，由于点(，1)
满足该直线，代入得t＝－2，所以所求的直线方程为x－y－2＝0，故B正确；
由于直线l：x－y＋1＝0与直线x－y＋2＝0平行，
故两直线间的距离d＝，故C正确；
直线l的斜率为kl＝，直线m的斜率为km＝，因为klkm≠－1，
所以直线l和直线m不垂直，故D错误.
10.对于直线l1：ax＋2y＋3a＝0，l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，则
A.l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝－2
B.当a＝时，l1⊥l2
C.直线l2经过第二象限内的某定点
D.点P(1，3)到直线l1的距离的最大值为3
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若l1∥l2，则a(a－1)－6＝0，解得a＝3或a＝－2，经检验，符合题意，所以a＝3或a＝－2，所以l1∥l2的充要条件是a＝3或a＝－2，故A正确；
当a＝时，3a＋2(a－1)＝＝0，所以l1⊥l2，故B正确；
由l2：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，得(y－1)a＋3x－y＋3＝0，
令解得
所以直线l2经过定点，位于第二象限，故C正确；
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由l1：ax＋2y＋3a＝0，得(x＋3)a＋2y＝0，令解得
所以直线l1过定点M(－3，0)，当PM⊥l1时，点P(1，3)到直线l1的距离最大，最大值为|PM|＝＝5，故D错误.
答案
11.(2025·眉山模拟)已知直线l：2x－y＋3＝0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1－m，m)，m∈R，下列说法正确的是
A.点P到直线l的距离为
B.若点P与点Q位于直线l的两侧，则m>
C.点P与点Q之间距离的最小值为
D.|QR|＋|QP|的最小值为2
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答案
点P到直线l的距离d＝，A选项正确；
将点P(1，1)代入直线方程得2－1＋3＝4>0，又点P与点Q位于直线l的两
侧，则将点Q(1－m，m)代入直线方程得2－2m－m＋3<0，即m>，B选
项正确；
|PQ|＝
≥，C选项错误；
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答案
∵1－m＋m＝1，∴点Q在直线l1：x＋y－1＝0上，斜率k＝－1，过点P作直线l'⊥l1于点D，如图所示，
则l'：x－y＝0，联立方程组
解得x＝y＝，即D，
∴点P关于直线l1的对称点为原点O(0，0)，
OR与l1的交点为Q，此时|QR|＋|QP|最小，
则(|QR|＋|QP|)min＝|OR|＝2，D选项正确.
三、填空题
12.经过点P(1，0)和两直线l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为 .
x＋y－1＝0
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答案
设所求直线方程为x＋2y－2＋λ(3x－2y＋2)＝0，点P(1，0)在直线上，
∴1－2＋λ(3＋2)＝0，解得λ＝，
∴所求直线方程为x＋2y－2＋×(3x－2y＋2)＝0，即x＋y－1＝0.
13.若l1：2x＋ay－2＝0与l2：x－y＋a＝0平行，则两直线之间的距离为
.
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答案
∵直线l1与l2平行，
∴≠，解得a＝－2，
∴直线l1：x－y－1＝0，直线l2：x－y－2＝0，
∴直线l1与l2之间的距离d＝.
14.请运用数形结合的思想，得出函数y＝的最大值为 .
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因为y＝，
所以它表示点P(x，0)到点A(2，7)和B(4，3)的距离之差，如图所示，
因为|PA|－|PB|≤|AB|＝＝2，
当且仅当P，B，A三点共线时，等号成立，
所以y＝的最大值为2.
15.(多选)若直线m被两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0
所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是
A.30° B.75° C.135° D.165°
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能力拓展
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答案
设直线m与两平行直线所夹的锐角或直角为α，
两平行直线l1：x－y＋＝0与l2：x－y＋3＝0的距离
为d＝，
因为直线m被两平行直线l1与l2所截得的线段长为，
所以sin α＝，所以α＝45°，
因为直线l1的斜率为k＝，倾斜角为30°，
所以直线m的倾斜角可以是75°或165°，如图所示.
16.(多选)(2025·广东九师联盟模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点M(x1，y1)，N(x2，y2)间的折线距离d(M，N)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知A(a，b)，B(1，1)，记s＝a2＋b2＋2a＋4b，则
A.若d(A，B)＝1，则s有最小值8
B.若d(A，B)＝1，则点A的轨迹是一个正方形
C.若d(A，B)≤1，则s有最大值15
D.若d(A，B)≤1，则点A的轨迹所构成区域的面积为π
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答案
对于B，若d(A，B)＝1，由题意可知d(A，B)＝|a－1|＋|b－1|＝1，令x＝a－1，y＝b－1，
则|x|＋|y|＝1，作出其图象如图.
易知，点A(a，b)的轨迹可由正方形|x|＋|y|＝1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故B正确；
对于A，s＝a2＋b2＋2a＋4b
＝(x＋1)2＋(y＋1)2＋2(x＋1)＋4(y＋1)
＝x2＋y2＋4x＋6y＋8
＝(x＋2)2＋(y＋3)2－5，
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答案
结合图象可得的最小值即为点(－2，
－3)到直线x＋y＋1＝0(即点(0，－1))的距离
＝2，此时s取得最小值3，故A错误；
对于C，的最大值即为点(－2，－3)
到点(1，0)，(0，1)的距离中的最大值，max{3，2}＝2，故s的最大值为15，故C正确；
对于D，若d(A，B)≤1，则|x|＋|y|≤1表示正方形及其内部区域，易知其面积
为×2×2＝2，故D错误.(共91张PPT)
第八章
§8.6 双曲线
数学
大
一
轮
复
习
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
3.了解双曲线的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数(_____
|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
绝对值
小于
焦点
焦距
标准方程
图形
性质 焦点 ____________________ ____________________
焦距 ____________ 范围 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴： ；对称中心：______ 2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
x≤－a
x≥a
坐标轴
原点
标准方程
性质 顶点 _____________________ ____________________
轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ；实半轴长： ，虚半轴长：___ 渐近线 __________ __________
离心率 a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
A1A2
2a
2b
a
b
y＝±x
y＝±x
(1，＋∞)
a2＋b2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(3)双曲线＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
×
×
√
√
2.双曲线x2－4y2＝1的离心率为
A. B. C. D.
√
因为x2－4y2＝1，即x2－＝1，
所以a＝1，b＝，c＝，
所以e＝.
3.(多选)已知双曲线方程＝1，下列说法中正确的有
A.焦点坐标为(0，±5) B.虚轴长为6
C.焦距为10 D.渐近线方程为y＝±x
√
√
由双曲线方程＝1，
得a＝4，b＝3，c＝＝5，
又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±5，0)，A选项错误；
所以虚轴长为2b＝6，B选项正确；
焦距为2c＝10，C选项正确；
渐近线方程为y＝±x＝±x，D选项错误.
4.设F1，F2分别为双曲线Γ：＝1的左、右焦点，点M在Γ的右支上，线段F1M与Γ的左支相交于点N，且|MF2|＝|MN|，则|F1N|＝ .
因为点M在Γ的右支上，F1，F2分别为双曲线Γ的左、右焦点，
所以|MF1|－|MF2|＝2×＝3，
又|MF1|＝|MN|＋|NF1|，|MF2|＝|MN|，
所以|F1N|＝|MF1|－|MF2|＝3.
3
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为
A.x2－＝1(x≥1) B.x2－＝1
C.x2－＝1(x≤－1) D.－x2＝1
双曲线的定义及应用
题型一
√
设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，
则|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2－＝1的左半支.
(2)设双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若·＝0，||＝||，则b等于
A.1 B. C. D.2
√
设|MF2|＝t(t>0)，
结合题意得|NF2|＝t，|MN|＝t，
结合双曲线的定义可得|MF2|－|MF1|＝2，
则|MF1|＝t－2，
又由双曲线的定义可得|NF1|－|NF2|＝2，
则t＋t－2－t＝2，解得t＝2，
所以|NF1|＝|MN|＋|MF1|＝2＋2，
|NF2|＝2，∠F1NF2＝45°，
在△F1NF2中，由余弦定理得|F1F2|＝
＝＝2，
所以c＝，则b2＝c2－a2＝3－1＝2，
即b＝.
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0(2)当e>1时，轨迹为双曲线.
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±.
圆锥曲线的第二定义
微拓展
典例 (1)椭圆＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为 .
＝1
依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x＝，
由椭圆第二定义知，
∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
∴椭圆方程为＝1.
(2)已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为 .
设M到直线x＝的距离为d，由双曲线第二定义知，
＝e＝，∴d＝|MF2|，
∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d，
如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－.
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
思维升华
跟踪训练1 (1)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于
A.1 B.17
C.1或17 D.5或13
√
由双曲线＝1得
a＝4，b＝2，c＝6，
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝8.
因为|PF1|＝9，所以|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17，
若|PF2|＝1，则P在双曲线的右支上，应有|PF2|≥c－a＝2，不成立；
若|PF2|＝17，则P在双曲线的左支上，应有|PF2|≥c＋a＝10，成立.
所以|PF2|＝17.
(2)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，且|MF1|＋|MF2|＝6，则∠MF1F2＝ .
30°
由题意可得|F1F2|＝2＝2，
由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2，
而|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
由余弦定理得
cos∠MF1F2＝
＝，
所以∠MF1F2＝30°.
例2 (1)过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
双曲线的标准方程
题型二
√
由9x2＋3y2＝27，得＝1，
所以焦点在y轴上，且c＝.
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
所以解得
所以双曲线的方程为＝1.
(2)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
由双曲线C1与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，
故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)，
又因为C1过点A(－，1)，
代入双曲线C1的方程得15－3＝λ，
解得λ＝12，
所以双曲线C1的标准方程是＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可
将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)，与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为＝1(－a2<λ思维升华
跟踪训练2 双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，点A(，1)在双曲线C上，且满足·＝0，则双曲线C的标准方程为
.
＝1
由题可设F1(－c，0)，F2(c，0)，c>0，
因为A(，1)，
所以＝(－c－，－1)，＝(c－，－1)，
因为·＝0，
所以·＝3－c2＋1＝0，解得c＝2，
又因为解得a2＝b2＝2，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
命题点1 渐近线
例3 (2024·石家庄质检)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长
为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
双曲线的几何性质
题型三
√
设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)(c>0)，
双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，
由点到直线的距离公式可得＝b＝3，
又双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，所以a＝，
所以双曲线C的渐近线方程为3y±x＝0，即y＝±x.
(1)渐近线方程的求法：令＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
思维升华
命题点2 离心率
例4 已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c(c>0).若双曲线C右支上存在点P，使得|PF2|＝4a，且＝12a2，则双曲线C的离心率e等于
A. B. C.＋1 D.
√
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
∵|PF2|＝4a，∴|PF1|＝6a，
设∠F1PF2＝θ，θ∈(0，π)，
则|PF1||PF2|sin θ＝×6a×4a×sin θ＝12a2sin θ＝12a2，
∴sin θ＝1，θ＝，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴|＝|F1F2|2，
∴36a2＋16a2＝4c2，即52a2＝4c2，
∴e2＝＝13，∴e＝.
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
思维升华
命题点3 与双曲线有关的范围(最值)
例5 若双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的
动点，则|PF1|·|PF2|的最小值为 .
3
由题意可知a＝1，b＝，c＝＝2，且|PF1|－|PF2|＝2，
设|PF2|＝m≥c－a＝1，则|PF1|＝m＋2，
可得|PF1|·|PF2|＝m(m＋2)在[1，＋∞)上单调递增，
所以当m＝1时，|PF1|·|PF2|取得最小值3.
与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
思维升华
跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C：＝1(m>0)，则下列说法正确的是
A.双曲线C的实轴长为2
B.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
C.若(2，0)是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D.若m＝2，则双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
√
√
由双曲线C：＝1且m>0，
得实轴长为2a＝2，A错误；
渐近线方程为y＝±x，若渐近线相互垂直，则－＝－1 m＝2，B正确；
若(2，0)为焦点，则c＝2，则2＋m＝c2＝4 m＝2，C正确；
若m＝2，则双曲线C：＝1，故双曲线C上的点到焦点距离的最小
值为c－a＝2－，D错误.
(2)(多选)(2024·泉州模拟)已知双曲线C：－x2＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，上、下焦点分别为F1，F2，则
A.C的方程为－x2＝1
B.C的离心率为2
C.若点A(x0，y0)为双曲线C上支上的任意一点，P(2，0)，则|PA|＋|AF2|的
最小值为2
D.若点M(2，t)为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π
√
√
对于A，双曲线C：－x2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±ax，则a＝，
于是双曲线C的方程为3y2－x2＝1，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率e＝＝2，故B正确；
对于C，F1，F2，
由双曲线的定义得，
|PA|＋|AF2|＝|PA|＋|AF1|＋2a≥|PF1|＋＝2，
当且仅当点A为线段PF1与双曲线上支的交点时取等号，故C正确；
对于D，由点M(2，t)在双曲线上支上，得t＝，
|F1F2|·2，△MF1F2的周长为|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|
＝，
设△MF1F2的内切圆半径为r，
则×r＝，解得r＝，
因此△MF1F2的内切圆面积为π，故D错误.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B B B AD ABD
题号 9 10 13 14 答案 C D 答案
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(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为＝1(b>0)，
将点A(－5，2)代入双曲线的方程得
＝1，解得b2＝16，
因此，双曲线的标准方程为＝1.
(2)在椭圆＝1中，c＝，
11.
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所以椭圆的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，所以a2＋b2＝c2＝5，
点P(－，2)代入双曲线方程，可得＝1，
联立解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
11.
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(1)＝1的渐近线的方程为
y＝±x，即bx±ay＝0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，
则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离d＝＝b＝4，
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，
所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为＝1.
12.
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(2)记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，
当F0，P，A三点共线时，|PA|＋|PF0|最小，
且最小值为|AF0|＝17.
故|PA|＋|PF|的最小值为17＋6＝23.
12.
一、单项选择题
1.已知双曲线mx2－y2＝1(m>0)的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
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知识过关
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由题可知双曲线的实轴长为2，
则2＝1，解得m＝4，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
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答案
2.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点
(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为
A.4 B.3 C.2 D.
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设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，
|PF1|＝＝10，
|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
则e＝＝2.
3.(2025·张家口模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则C的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
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答案
由题意可得＝tan ，所以a＝b，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
焦点(c，0)到渐近线x＋y＝0的距离
d＝＝2，所以c＝4，
又a2＋b2＝c2＝16，a＝b，
所以b2＝4，a2＝12，
所以C的方程为＝1.
4.(2024·安阳模拟)已知双曲线的方程为5mx2－my2＝5(m∈R，m≠0)，则不因m的变化而变化的是
A.顶点坐标 B.渐近线方程
C.焦距 D.离心率
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将双曲线方程化为标准方程可得＝1，
当m>0时，双曲线＝1表示焦点在x轴上的双曲线，
且a2＝，b2＝，c2＝，
此时顶点坐标为，渐近线方程为y＝±x，焦距2c＝，
离心率e＝；
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当m<0时，双曲线＝1表示焦点在y轴上的双曲线，
且a2＝－，b2＝－，c2＝－，
此时顶点坐标为，渐近线方程为y＝±x，焦距2c＝，
离心率e＝.
综上可得，不因m的变化而变化的是渐近线方程.
5.已知点P是双曲线＝1右支上的一点，点A，B分别是圆(x＋6)2＋y2＝4和圆(x－6)2＋y2＝1上的点.则|PA|－|PB|的最小值为
A.3 B.5 C.7 D.9
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由双曲线＝1可知，
a＝4，b＝2，c＝＝6，
且圆(x＋6)2＋y2＝4的圆心为F1(－6，0)，半径r1＝2，圆(x－6)2＋y2＝1的圆心为F2(6，0)，半径r2＝1，
由圆的性质可知|PA|≥|PF1|－r1＝|PF1|－2，
|PB|≤|PF2|＋r2＝|PF2|＋1，
可得|PA|－|PB|≥(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝|PF1|－|PF2|－3，
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可知F1(－6，0)，F2(6，0)为双曲线的焦点，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝8，
可得|PA|－|PB|≥|PF1|－|PF2|－3＝5，
所以|PA|－|PB|的最小值为5.
6.(2024·天津河西区模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF2|＝3|OM|，则双曲线C的离心率为
A. B. C.2 D.3
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由题意得F1(－c，0)，由双曲线的对称性，
设一条渐近线的方程为bx－ay＝0，
所以|MF1|＝＝b，
由勾股定理得|OM|＝＝a，
因为MF1垂直于渐近线，
所以cos∠MOF1＝，
因为|MF2|＝3|OM|，所以|MF2|＝3a，
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答案
而|OF2|＝c，
在△MOF2中，由余弦定理得
cos∠MOF2＝，
因为∠MOF1＋∠MOF2＝π，
所以＝0，
化简得c2＝6a2，所以c＝a，
故e＝.
二、多项选择题
7.(2024·南通调研)已知双曲线C：＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x
＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则
A.C的虚轴长为2
B.C的离心率为
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于－
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双曲线C：＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，
依题意得－＝－，解得b＝，
对于A，C的虚轴长为2b＝2，A正确；
对于B，C的离心率e＝，B错误；
对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离为，
即|PF|的最小值为，C错误；
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对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确.
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答案
8.已知A为双曲线C：＝1上位于第一象限内的点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦点，则下列结论正确的有
A.若|AB|＝10，则AF⊥BF
B.若AF⊥BF，则△ABF的面积为9
C.>2
D.|AF|－|AM|的最小值为8
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答案
设双曲线的右焦点为F1，依题意，四边形AFBF1为平行四边形，如图，
由双曲线C：＝1知a＝4，b＝3，c＝5.
对于A，|AB|＝10＝|FF1|，
则四边形AFBF1为矩形，AF⊥BF，A正确；
对于B，由双曲线定义得|AF|－|AF1|＝8，
而|FF1|＝10，AF⊥BF，
则|AF|2＋|AF1|2＝|FF1|2，
即＋2|AF||AF1|＝|FF1|2，
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答案
于是|AF||AF1|＝18，因此△ABF的面积
S＝|AF||AF1|＝9，B正确；
对于C，在Rt△AFM中，
，
双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x，直线AF的斜率为<，
即有>，>，C错误；
对于D，|AF|－|AM|＝8＋|AF1|－|AM|≥8，当且仅当|AF1|＝|AM|时取等号，D正确.
三、填空题
9.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，
|AB|＝10，则C的离心率为 .
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答案
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答案
|F1A|＝13，|AF2|＝|AB|＝5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|＝＝12.
由双曲线定义可得2a＝|F1A|－|AF2|＝8，
2c＝|F1F2|＝12，
化简得a＝4，c＝6，
则C的离心率e＝.
10.(2024·郑州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的点(不与坐标原点O重合)，点P在双曲线C上且＝2，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为 .
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答案
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答案
如图，由e＝可得a＝b，
故双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的对称性，不妨设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，
因为＝2，
则点P为AB的中点，
则P，
将其代入x2－y2＝a2中，整理得x1x2＝a2，
1
2
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4
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答案
又|OA|＝|x1|，|OB|＝|x2|，且OA⊥OB，
则△AOB的面积为×|x1|×|x2|＝6，
即a2＝6，解得a＝，
故双曲线的实轴长为2.
四、解答题
11.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5，2)；
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答案
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答案
因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为＝1(b>0)，
将点A(－5，2)代入双曲线的方程得
＝1，解得b2＝16，
因此，双曲线的标准方程为＝1.
(2)过点P(－，2)，且与椭圆＝1有相同焦点的双曲线方程.
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答案
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答案
在椭圆＝1中，c＝，
所以椭圆的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，所以a2＋b2＝c2＝5，
点P(－，2)代入双曲线方程，可得＝1，
联立解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
12.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4.
(1)求双曲线C的方程；
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答案
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答案
＝1的渐近线的方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，
则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离d＝＝b＝4，
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，
所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为＝1.
(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|＋|PF|的最小值.
1
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答案
记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，
当F0，P，A三点共线时，|PA|＋|PF0|最小，
且最小值为|AF0|＝17.
故|PA|＋|PF|的最小值为17＋6＝23.
13.(2024·天津)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，
F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
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答案
√
能力拓展
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答案
由题意可知，∠F1PF2＝90°，
又直线PF2的斜率为2，
可得tan∠PF2F1＝＝2，
根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，
得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，
又＝8，所以a2＝2，
1
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答案
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.
又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，
又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，
所以双曲线的方程为＝1.
14.将双曲线＝1绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数y＝的图象(其渐近线分别为x轴和y轴)，所以我们也称反比例函数y＝的图象为双曲线.同样“对勾函数”y＝x＋也能由双曲线的图象绕原点旋转
得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为
A.4 B.4 C.2 D.2
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答案
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答案
“对勾函数”y＝x＋的两条渐近线分别为y＝x和x＝0，夹角为60°，
实轴所在直线是两条渐近线夹角的角平分线，所以实轴所在直线的倾斜角为60°，斜率为，方程为y＝x，
联立解得或
所以此“对勾函数”所对应的双曲线的两个顶点为或，
所以实轴长为＝2.
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第八章
数学
大
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复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
进阶2
解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：
(1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解；
(2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围.
常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利用三角函数有界性.
例1 (2024·衢州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，斜率为的直线l与y轴交于点P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.当P与坐标原点O重合时，△ABT的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
与弦长、周长有关的范围(最值)问题
题型一
当P与坐标原点O重合时，可设A(x0，y0)(x0>0)，
则有B(－x0，－y0)，T(x0，－y0)，
且x0＝2y0，AT⊥BT，
则S△ABT＝|AT|·|BT|＝·2y0·2x0＝，
即2，∴，则，
则有＝1，由离心率为，即，
则a2＝2c2＝b2＋c2，∴a2＝2b2，
即有＝1，解得b2＝1，∴a2＝2，
即椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值.
设直线l的方程为x＝2y＋t(t≠0)，令x＝0，有y＝－，即yP＝－，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则T(x1，－y1)，
联立直线l与椭圆方程
消去x得9y2＋8ty＋2t2－2＝0，
有y1＋y2＝－，y1y2＝，
Δ＝64t2－36(2t2－2)>0，得－3直线BT的方程为y＝(x－x2)＋y2，
令y＝0，xQ＝＋x2＝，
由x＝2y＋t，得
＝＋t＝＋t＝，即xQ＝，
则C△OPQ＝|yP|＋|xQ|＋
＝≥2＋1，
当且仅当t＝±时等号成立，
故△OPQ周长的最小值为＋1.
利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式；
(5)代入根与系数的关系求解.
思维升华
跟踪训练1 (2025·衡阳模拟)已知抛物线C：x2＝4y，过点D(0，2)的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2＝－2；
由题意知，直线l的斜率存在，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋2，
由得x2－4kx－8＝0，
Δ＝16k2＋32>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
由y＝x2，得切点A，B，
y'＝x，所以切线l1的斜率k1＝x1，
切线l2的斜率k2＝x2，
所以k1k2＝x1x2＝×(－8)＝－2.
(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.
由(1)可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝4(k2＋1)，
故＝2(k2＋1)，N(2k，2(k2＋1)).
由(1)得l1：y－(x－x1)，
可化为y＝x1x－， ①
同理得l2：y＝x2x－， ②
由①②，得x＝＝2k，y＝＝－2，即M(2k，－2)，
则|MN|＝2(k2＋1)＋2＝2(k2＋2)，
|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝·＝4，
所以.
由k2≥0，k2＋1≥1，得0<≤1，
故∈，即的取值范围为.
例2 已知P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
与距离、面积有关的范围(最值)问题
题型二
因为P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点，
所以解得
又因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2.
所以椭圆C的方程为＝1，离心率e＝.
(2)设直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围.
联立方程
消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，
因为Δ＝(4k)2－4×(1＋2k2)×(－2)＝32k2＋8>0，
所以设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝＝×.
又因为点O到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝，
所以△AOB的面积S＝×d×|AB|
＝×××
＝，
令t＝4k2＋1(t≥1)，
则S＝≤
，
也就是当k＝0时，△AOB的面积取最大值，
又因为当|k|→＋∞时，S→0，
所以△AOB面积的取值范围是(0，].
强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、距离、三角形的面积等问题.
思维升华
跟踪训练2 双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程；
依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2，
解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.
由(1)知A(－1，0)，显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
联立
消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
在条件下，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
由k1k2＝－2，得·＝－2，
即y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，
所以3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，
化简得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，此时Δ>0，
则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝，
又M，N都在双曲线的右支上，
故有y1y2＝<0，
解得0≤m2<，
此时1≤<，d＝∈(3，6]，
所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6].
课时精练
答案
1
2
(1)双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为，
a＝1，可得c＝，所以b＝1，
可得双曲线C：x2－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组
1.
答案
1
2
消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得1所以线段MN的中点坐标为，
1.
答案
1
2
所以线段MN的垂直平分线方程为y＋＝－，
令x＝0得截距t＝>2，
即线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞).
1.
答案
1
2
(1)由题意知椭圆E的左焦点F1(－1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
设椭圆E的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝，
所以椭圆E的标准方程为＝1.
2.
图1
答案
1
2
(2)如图2，可设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
|F1F2||y1－y2|
＝，
2.
图2
答案
1
2
令t＝(t≥1)，则，
由y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
得≤3，所以的最大值为3，
此时m＝0，直线l的方程为x＝1.
2.
图2
1.已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为.
(1)求此双曲线的渐近线方程；
1
2
答案
双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为，
a＝1，可得c＝，所以b＝1，
可得双曲线C：x2－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)若经过点P(0，－1)的直线与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，求线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围.
1
2
答案
1
2
答案
设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组
消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得11
2
答案
所以线段MN的中点坐标为，
所以线段MN的垂直平分线方程为y＋＝－，
令x＝0得截距t＝>2，
即线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞).
1
2
答案
2.如图，已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P，Q为椭圆上的两个动点，△PQF2周长的最大值为8.
(1)求椭圆E的标准方程；
1
2
答案
由题意知椭圆E的左焦点F1(－1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
设椭圆E的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝，
所以椭圆E的标准方程为＝1.
图1
1
2
答案
(2)过F2作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，求△F1MN面积取最大值时直线l的方程.
1
2
答案
如图2，可设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
|F1F2||y1－y2|
＝，
图2
1
2
答案
令t＝(t≥1)，则，
由y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
得≤3，所以的最大值为3，
此时m＝0，直线l的方程为x＝1.
图2(共80张PPT)
第八章
§8.5 椭 圆
数学
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习
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.掌握椭圆的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的
.
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
常数
焦点
焦距
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 _____________________ _____________________
顶点 _____________________ _____________________ ________________________________________________
2.椭圆的简单几何性质
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 短轴长为 ，长轴长为____ 焦点 ____________________ ____________________
焦距 |F1F2|＝____ 对称性 对称轴： ，对称中心：_____ 离心率 ______________ a，b，c的关系 ____________ 2b
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
x轴和y轴
原点
e＝(0a2＝b2＋c2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )
(3)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.( )
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
×
×
√
×
2.已知平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
因为平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，且8>|F1F2|＝4，
所以动点P的轨迹为焦点位于x轴的椭圆，
设椭圆方程为＝1(a>b>0)，焦距为2c(c>0)，
则解得
故动点P的轨迹方程为＝1.
3.(2024·黔东南模拟)椭圆＝1(m>0)的离心率为
A. B. C. D.
√
由椭圆的标准方程可得a2＝5m，b2＝3m，
所以离心率e＝＝.
4.若椭圆C：＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为
A.3 B.2＋
C.2 D.＋1
由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
√
椭圆中常见结论：
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)已知动圆M和圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是
A.直线 B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆
椭圆的定义及其应用
题型一
√
设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，
且与圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，
可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r＋2，
所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝2，
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝2，
可得a＝4，c＝1，则b＝，
所以动点M的轨迹方程为＝1，
所以其轨迹为焦点在x轴上的椭圆.
(2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为
A. B.
C.3 D.4
√
由题意可得a＝3，b＝，c＝＝2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，
所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，
根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，
所以△PF1F2为等腰三角形，
且F2到PF1的距离为h＝，
故△PF1F2的面积为|PF1|·h＝.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
思维升华
跟踪训练1 (1)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|等于
A.1 B.2 C.4 D.5
√
因为椭圆C：＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
又因为·＝0，
所以⊥，即PF1⊥PF2，
设|PF1|＝m(m>0)，|PF2|＝n(n>0)，
则m＋n＝4， ①
且m2＋n2＝， ②
由①2－②得2mn＝4，即mn＝2，所以|PF1|·|PF2|＝2.
(2)已知F1，F2分别为椭圆C：＝1(4>b>0)的左，右焦点，A为椭圆C的上顶点，且△AF1F2为等边三角形；过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，则△ADE的周长为 .
16
由C：＝1(4>b>0)，得a＝4，
因为△AF1F2为等边三角形，
过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，
所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，
得|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，
则△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|
＝2a＋2a＝4a＝4×4＝16.
例2 (1)过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
椭圆的标准方程
题型二
√
由题意得椭圆＝1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
因为所求椭圆与椭圆＝1有相同的焦点，
设所求椭圆的方程为＝1(a>)，
由于该椭圆经过点(－3，2)，则将点代入方程得，＝1，
解得a2＝15(a2＝3舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(－，－2)和B(－2，1)两
点，则椭圆C的标准方程为 .
＝1
设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
将A和B的坐标代入方程得
解得
则所求椭圆的标准方程为＝1.
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m
≠n)；与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0).
思维升华
跟踪训练2 (1)(2024·九江模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为2，则椭圆C的方程为
A.＋y2＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，
∴OB∥AF2，又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴.
在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝，
设|AF2|＝t(t>0)，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝t.
∵△AF1F2的面积为2，
∴×t×t＝2，t＝2.
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3t＝6，a＝3，
2c＝|F1F2|＝t＝2，c＝，b2＝a2－c2＝6，
则椭圆C的方程为＝1.
(2)已知椭圆的中心在原点且过点P(3，2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短
轴长的3倍，则该椭圆的方程为 .
＝1或＝1
若焦点在x轴上，设该椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
则由题意得解得
∴该椭圆的方程为＝1；
若焦点在y轴上，设该椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
则由题意得解得
∴该椭圆的方程为＝1.
命题点1 离心率
例3 (2024·大庆模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别
为F1，F2，B(0，b)，若经过F1的弦AB满足|AB|＝|AF2|，则椭圆C的离心率是
A. B. C. D.
椭圆的几何性质
题型三
√
由题可知|BF1|＝|BF2|＝a，
所以
解得
由cos∠AF1F2＋cos∠BF1F2＝0，
得＝0，
整理得a2＝3c2，
所以e＝.
求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
思维升华
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)
例4 (多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P
为椭圆上任一点，则
A.的最大值为4
B.|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2]
C.不存在点P使PF1⊥PF2
D.|PB|的最大值为2
√
√
对于A，依题意知a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴端点时，()max＝×2c×b＝4，故A正确；
对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；
对于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；
对于D，设P(x0，y0)，
所以|PB|＝，
又＝1，所以＝16－4，
所以|PB|＝
＝，
又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝，故D错误.
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
思维升华
跟踪训练3 (1)(多选)已知椭圆＝1(0A.椭圆的短轴长为
B.|AF2|＋|BF2|的最大值为8
C.离心率为
D.椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝
√
√
易知当AB⊥x轴时，即线段AB为通径时，|AB|最短，
∴|AB|＝＝4，解得b2＝6，∴椭圆方程为＝1.
对于A，椭圆的短轴长为2b＝2，故A错误；
对于B，∵△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，且|AB|min＝4，∴＝12－|AB|min＝8，故B正确；
对于C，∵c＝，a＝3，∴离心率e＝，故C错误；
对于D，易知当点P位于短轴端点时，∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝a＝3，|F1F2|＝2c＝2，
∴cos∠F1PF2＝>0，
又∠F1PF2为三角形内角，∴∠F1PF2∈，
∴椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝，故D正确.
(2)已知椭圆C：＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C上一动点，则的取值范围是 .
返回
设椭圆C的半焦距为c(c>0)，
则c＝a，
－1，
因为|AF2|∈[a－c，a＋c]，
即|AF2|∈，所以－1∈，
即的取值范围是.
课时精练
对一对
答案
1
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3
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14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C C C B BD BD
题号 9 10 13 14 答案 B D 答案
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14
(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，故e＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，得解得
11.
答案
1
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14
代入＝1，得＝1，
解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆方程为＝1.
11.
答案
1
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(1)由题可得解得
所以椭圆的标准方程是＝1.
(2)由(1)知|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
12.
答案
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14
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|， ②
将②代入①，解得|PF1|＝，
所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×.
因此△PF1F2的面积是.
12.
一、单项选择题
1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点(－4，0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
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知识过关
答案
由题意得a＝4，2c＝6，则c＝3，b2＝a2－c2＝7，
所以该椭圆的标准方程为＝1.
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答案
2.若椭圆＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的半焦距为
A. B. C.3或 D.3或
√
若椭圆的焦点在x轴上，则离心率e＝，得a2＝12，
此时半焦距c＝＝3；
若椭圆的焦点在y轴上，则离心率e＝，此时半焦距c＝.
所以该椭圆的半焦距为3或.
3.设椭圆＝1(m>0，n>0)的两个焦点分别为F1(0，2)与F2(0，－2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形，则m2＋n2等于
A.4＋2 B.2 C.28 D.36
√
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答案
由已知可得椭圆的焦点位于y轴上且|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P位于短轴的端点，且|PF1|＋|PF2|＝2n＝8，解得n＝4.又椭圆的半焦距c＝2，所以m2＝n2－c2＝12，所以m2＋n2＝28.
4.(2024·泸州模拟)已知点P在椭圆C：＝1上，C的左焦点为F，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|的值为
A.2 B.3 C.4 D.8
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答案
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答案
因为椭圆C：＝1，
所以a＝3，b＝2，则c＝1，
设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，记线段PF的中点为Q，连接OQ，因为|OF|＝c＝1，所以|OQ|＝1，
因为O，Q分别为FF1和PF的中点，
所以OQ∥F1P，所以|PF1|＝2|OQ|＝2，
又|PF|＋|PF1|＝2a＝6，
所以|PF|＝6－|PF1|＝4.
5.已知P为椭圆C：＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，O为坐标原点，|PO|＝a，且|PF1|·|PF2|＝a2，则C的离心率为
A. B. C. D.
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答案
令F1(－c，0)，F2(c，0)，显然点P不在x轴上，)，则4＋2||||cos∠F1PF2，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，因此4|PO|2＋|F1F2|2＝2(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1||PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a，
于是3a2＋4c2＝2(2a)2－3a2，整理得2c2＝a2，
则e2＝，又06.已知椭圆C：＝1的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|＋|PF|的最大值为
A. B.5 C. D.
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答案
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答案
如图，设椭圆C的左焦点为F1(－1，0)，
因为<1，
所以点A在椭圆内部.
由椭圆定义可得|PF|＝4－|PF1|，
所以|PA|＋|PF|＝4＋|PA|－|PF1|≤4＋|AF1|
＝4＋＝4＋1＝5.
二、多项选择题
7.已知椭圆C：＝1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意
一点，以下结论正确的是
A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
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答案
√
椭圆C：＝1，则a＝4，b＝2，c＝＝2.
对于A，e＝，故A错误；
对于B，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，故B正确；
对于C，|PF1|的最小值为a－c＝2，故C错误；
对于D，|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等
号成立，故D正确.
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答案
8.已知圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，
且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且△PF1F2的面积为1，则下列结论正确的是
A.椭圆C的长轴长为2 B.椭圆C的短轴长为2
C.椭圆C的离心率为 D.点P的坐标为
√
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答案
因为圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，
所以c＝，又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，则
|F1F2|·xP＝×2·xP＝1，故xP＝，代入圆的方程可得＝3，所以yP＝，故点P的坐标为，故D正确；
将点P的坐标代入椭圆方程可得＝1，又a2＝b2＋c2＝b2＋3，
解得a＝2，b＝1，故椭圆C的长轴长为4，短轴长为2，故A不正确，B正确；
则椭圆C的离心率e＝，故C不正确.
三、填空题
9.已知椭圆C的焦点F1，F2都在x轴上，P为椭圆C上一点，△PF1F2的周长为6，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆C的标准方程为
.
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答案
＝1
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答案
设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
依题意得
即解得
则椭圆的短半轴长b＝，
所以椭圆C的标准方程为＝1.
10.设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆E于P，Q两点，且PF1⊥PQ，|PF2|＝2|QF2|，则椭圆E的离心率为
.
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答案
设|QF2|＝m(m>0)，
则|PF2|＝2m，|PQ|＝3m，
根据椭圆定义，|PF1|＝2a－2m，|QF1|＝2a－m，
又因为PF1⊥PQ，
所以在Rt△PF1Q中，＋|PQ|2＝，
即(2a－2m)2＋(3m)2＝(2a－m)2，解得m＝a，
则|PF2|＝a，|PF1|＝a，
则在Rt△PF1F2中，，
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答案
即＝(2c)2，
所以e2＝，e＝.
四、解答题
11.如图所示，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
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答案
若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，故e＝.
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.
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答案
由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，得解得
代入＝1，得＝1，
解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆方程为＝1.
12.已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是4，离心率是.
(1)求椭圆的标准方程；
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答案
由题可得解得
所以椭圆的标准方程是＝1.
(2)若点P在该椭圆上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积.
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13
14
答案
由(1)知|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|， ②
将②代入①，解得|PF1|＝，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×.
因此△PF1F2的面积是.
13.已知点P是椭圆＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为
A.2 B. C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
能力拓展
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由＝1，得a2＝16，b2＝7，
所以a＝4，b＝，c＝＝3，
所以|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|
＝2a＋2c＝8＋6＝14.
设△PF1F2的内切圆半径为r，
因为(|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|)r＝|F1F2|yP，
所以×14×1＝×6yP，得yP＝.
14.(2025·信阳模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，
F2，过点F2和上顶点A的直线l交C于另外一点B，若＝λ，且
△F1F2B的面积为，则实数λ的值为
A.3 B. C.3或7 D.或7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
由题意可知|AF1|＝|AF2|＝a，
因为＝λ，
则|F2B|＝，|F1B|＝2a－，|AB|＝a＋.
设∠F1AF2＝θ∈(0，π)，
在△F1AB中，由余弦定理可得＋|AB|2－2|AF1|·|AB|cos θ，
即＝a2＋－2a·cos θ，
解得cos θ＝.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
又因为，
则asin θ－a2sin θ，
解得sin θ＝，可得θ＝或θ＝.
若θ＝，则cos θ＝，
解得λ＝，符合题意；
若θ＝，则cos θ＝＝－，
解得λ＝7，符合题意.
综上所述，实数λ的值为或7.
返回(共48张PPT)
第八章
§8.7 离心率的范围问题
数学
大
一
轮
复
习
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
重点解读
例1 (1)已知椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2＝a2－b2，c>0)，则椭圆M的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
题型一
由基本不等式及椭圆定义可知
|PF1|·|PF2|≤＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为a2，
由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴c≤a≤c，∴≤e≤.
(2)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为
A.2 B.1 C. D.2
√
不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，
椭圆的长半轴长为a1，离心率为e1，双曲线的实半轴长为a2，离心率为e2，两曲线的半焦距均为c，
由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，
于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
m2＋n2－2mncos 60°＝4c2
－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，
则＋3＝4c2，得＝4，
由基本不等式得4＝≥2 e1e2≥，
当且仅当e1＝，e2＝时，等号成立，
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为.
此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的取值范围.
思维升华
跟踪训练1 已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于
18，则双曲线C的离心率的取值范围为 .
由右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0，1)，可得|AF|＝＝5.
因为△APF的周长不小于18，所以|PA|＋|PF|≥13.
设F2(－2，0)为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，
当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取得最小值，最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4，
因为c＝2，所以e＝≤，
又e>1，所以e的取值范围为.
例2 (1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为
A. B. C.2 D.
利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
题型二
√
根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
因为|PF1|＝5|PF2|，
所以|PF1|＝，|PF2|＝，
因为点P在双曲线的右支上，
所以|PF2|≥c－a，
即≥c－a，所以≥c，
所以1所以双曲线的离心率e的最大值为.
(2)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，
延长PF1交椭圆于另一交点，记为A，
由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，
易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|，
由椭圆过焦点的弦中通径最短，
所以当PA垂直于x轴时，|PA|最短，
所以b≤|PA|min＝，所以ab≤2b2，即≥，
又0利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(或不等式组)来求解离心率的范围问题.
思维升华
跟踪训练2 已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若对所有的点P均满足|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，则E的离心率的取值范围为
A.(2，＋∞) B.
C. D.
√
由题意，根据双曲线的对称性，不妨设点P在E的右支上，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，
由|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，可得2|PF2|＋2a≥4a－4b，即|PF2|≥a－2b，
又|PF2|的最小值为c－a(当点P为双曲线右顶点时取得最小值)，
可得c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.
当2a－c≤0，即≥2时，不等式显然成立；
当2a－c>0，即1<<2时，(2a－c)2≤4b2＝4c2－4a2，
可得≤<2.
综上可知，双曲线E的离心率的取值范围为.
例3 (1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.(1，2) B.[4，＋∞)
C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
√
利用几何图形的性质求离心率的范围
题型三
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率的绝对值，
∴≥，
∴e2＝＝1＋≥4，故此双曲线离心率的取值范围是[2，＋∞).
(2)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为
A. B. C. D.
√
椭圆C以A，B为焦点，即c＝1，b2＝a2－1，
故可设椭圆方程为＝1(a>1)，
联立方程
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，即a4－6a2＋5≥0，
得a2≥5或a2≤1(舍去)，解得a≥，
所以0利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系来求解离心率的范围问题.
思维升华
跟踪训练3 已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则双曲线离心率e的取值范围是
A.[，＋∞) B.(，＋∞)
C.(1，) D.(1，]
√
设直线AF1：y＝k(x＋c)，
即kx－y＋kc＝0，
则点F2(c，0)到直线AF1的距离为＝2a，
即|k|＝<，即a2.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C B B AC AB
题号 9 10 答案 一、单项选择题
1.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则椭圆离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题意，设椭圆的上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，
则只需∠F1BF2≥即可.
当∠F1BF2＝时，△F1BF2为正三角形，此时a＝2c，
故当∠F1BF2≥时，a≤2c，即≤.
又01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
因为以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b即b2所以e2>，即e>，
又因为0所以椭圆离心率的取值范围为.
3.(2024·绍兴模拟)若双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则C1的离心率的取值范围为
A. B.
C.(1，2) D.(1，2]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，
∴圆心(2，0)到渐近线的距离小于等于半径，
即≤1，
∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤a2，
∴1答案
4.已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，当取最小值时，双曲线离心率e的取值范围是
A.(1，＋∞) B.(2，3]
C.(1，3] D.(1，2]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，
所以|PF2|－|PF1|＝2a，
代入，得＝|PF1|＋4a＋
≥2＋4a＝8a，
当且仅当|PF1|＝2a时取等号，即|PF1|＝2a，
又点P是双曲线左支上任意一点，
所以|PF1|≥c－a，即2a≥c－a e≤3，
又e>1，所以1答案
5.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的长轴长大于4，当m变化时，直线x－my＋2－2m＝0与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为直线x－my＋2－2m＝0即x＋2＝m(y＋2)，
所以该直线过定点(－2，－2)，
所以点(－2，－2)在C上，则＝1，即4(a2＋b2)＝a2b2，
则4(2a2－c2)＝a2(a2－c2)，
所以a2＝，
因为C的长轴长大于4，
所以a>2，a2>12，所以>3，
解得答案
6.设F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，若∠F2PF1＝30°，则椭圆C的离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
设P的坐标为，
根据椭圆的对称性，不妨设t>0，椭圆的半焦距为c，
则F1(－c，0)，F2(c，0)，
设直线PF1的倾斜角为θ，直线PF2的倾斜角为α，
则tan θ＝，tan α＝，
因为α－θ＝30°，所以tan(α－θ)＝，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
故，
由基本不等式有a2－c2＋t2≥2·t，
故≤，
当且仅当a2－c2＝t2时，等号成立，
故e≥，又0答案
二、多项选择题
7.(2024·邯郸调研)已知双曲线C：＝1，则
A.λ的取值范围是(－6，3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1，3)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
对于A，∵＝1表示双曲线，
∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正确；
对于B，由A项可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，
∴C的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的半焦距为c(c>0)，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9，
∴c＝3，即焦距2c＝6，故C正确；
对于D，离心率e＝，
∵－6<λ<3，∴0<<3，
∴e的取值范围是(1，＋∞)，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
8.已知椭圆Γ：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，
点P(，1)在椭圆Γ外，点Q在椭圆Γ上，则
A.椭圆Γ的离心率的取值范围是
B.当椭圆Γ的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2－，2＋]
C.对任意点Q都有·>0
D.的最小值为2
√
1
2
3
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10
答案
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆Γ外，
则>1，解得0所以椭圆Γ的离心率e＝>，
即椭圆Γ的离心率的取值范围是，故A正确；
当e＝时，c＝，b＝＝1，
所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，故B正确；
答案
1
2
3
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5
6
7
8
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10
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由于·＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q使得·≤0，故C错误；
(|QF1|＋|QF2|)＝2＋≥2＋2＝4，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，
又|QF1|＋|QF2|＝4，所以≥1，故D错误.
答案
三、填空题
9.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c，且在该椭圆上存在异于左、右顶点的一点P，满足2a·sin∠PF1F2＝
3c·sin∠PF2F1，则椭圆离心率的取值范围为 .
1
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答案
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答案
在△PF1F2中，由正弦定理知，
又∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a，
又P是异于左、右顶点的一点，
∴|PF1|＝∈(a－c，a＋c)，
即1－e<<1＋e，
又010.(2024·贵阳质检)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F的直线l与C交于点A，B，且满足|AB|＝2a的直线l恰有三条，则双曲线C的离心率的取值范围为 .
1
2
3
4
5
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10
答案
(1，)
1
2
3
4
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8
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10
答案
显然满足|AB|＝2a的直线l其中有1条为x轴，此时A，B为左、右顶点.
当直线l过F，刚好垂直于x轴时，令x＝c，可求得|AB|＝，此时直线l只有1条，
加上前面的1条，总共2条，不满足题意.
如图，由双曲线的对称性知当2a>时，
刚好有2条，总共3条，满足题意，
即b21，
则双曲线C的离心率的取值范围为(1，).(共71张PPT)
第八章
§8.1 直线的方程
数学
大
一
轮
复
习
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.
2.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l_____
的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
向上
0°≤α<180°
3.直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ .(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
正切值
tan α
4.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 _______________ 不含直线x＝x0
斜截式 __________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 ______________________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 _________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
(x1≠x2，y1
≠y2)
＝1
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.( )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.( )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( )
(4)截距一定是正数. ( )
×
√
×
×
2.直线x－y＋2 025＝0的倾斜角是
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
根据题意，设直线x－y＋2 025＝0的倾斜角为α，
因为其斜率k＝tan α＝，
又由0°≤α<180°，所以α＝60°.
3.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_________________
.
当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，
则＝1，
解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
3x－2y＝0或x＋y
－5＝0
4.直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为 .
直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
令解得故所过的定点坐标为(1，－1).
(1，－1)
1.掌握倾斜角与斜率的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的
斜率越大.
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.
2.直线的方向向量
当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k).
3.谨记以下两个关键点
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
(2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1B.k3C.k1D.k3√
直线的倾斜角与斜率
题型一
当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1(2)直线(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是
A. B.
C.∪ D.∪
√
设(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角为α∈[0，π)，
由题意可知，直线的斜率k＝a2－1≥－1，
即tan α≥－1，且α∈[0，π)，所以α∈∪.
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.
思维升华
跟踪训练1 (1)(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有
A.直线l的斜率为－
B.直线l的倾斜角为
C.直线l不经过第四象限
D.直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
√
√
由l：x＋y－2＝0，可得y＝－x＋2，故其斜率为k＝－，倾斜角为，故A项正确，B项错误；
由直线y＝－x＋2知其斜率k<0，纵截距b＝2>0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误；
取直线l上两点A(0，2)，B(，－1)，可得＝(－，3)，即直线l的一个方向向量为v＝(－，3)，故D项正确.
(2)(2025·信阳模拟)动点P在函数y＝－(x＋1)(x≥0)的图象上，以P为切点的切线的倾斜角的取值范围是
A. B.∪
C. D.
√
设以P点为切点的切线的倾斜角为θ，
因为函数y＝－(x≥0)，
所以y'＝－
＝－≤－×2＝－，
当且仅当3，即x＝时取等号，
又因为θ∈[0，π)，所以tan θ≤－，
所以θ的取值范围为.
例2 (1)(多选)下列四个选项中，正确的是
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程
(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示
C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线
D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
求直线的方程
题型二
√
√
经过定点P0(x0，y0)的直线，当斜率存在时，可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，当斜率不存在时，用方程x＝x0表示，A错误；
经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示，B正确；
两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线，C正确；
经过定点A(0，b)且垂直于x轴的直线不能用方程y＝kx＋b表示，D错误.
(2)(多选)下列说法中，正确的是
A.直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3
B.过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0
C.A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线
D.经过点(－1，1)且倾斜角是直线y＝2x＋3的倾斜角的两倍的直线方程为
4x＋3y＋1＝0
√
√
√
直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3，故A正确；
当在x轴、y轴上的截距都为0时，直线方程为4x－3y＝0；当在x轴、y轴上的截距都不为0时，设直线方程为x－y＝m，则m＝3－4＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0，故过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0，故B错误；
因为kAB＝＝2，kAC＝＝2，所以kAB＝kAC，所以A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线，故C正确；
设直线y＝2x＋3的倾斜角为α，则tan α＝2，显然α是锐角，因此所求直线的斜率k＝tan 2α＝＝－，所以所求的直线方程为y－1＝－(x＋1)，即4x＋3y＋1＝0，故D正确.
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.
思维升华
跟踪训练2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的区域的面积为6；
设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b，
令y＝0，得x＝－b，
∴|b|·＝6，解得b＝±3，
∴直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍.
当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2，1)，∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，
可设直线方程为＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＝1，即x＋2y－4＝0，
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
例3 已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
直线方程的综合应用
题型三
方法一 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝
≥
＝×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－且k<0，
即k＝－时，等号成立.
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二 设直线l的方程为＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，
则1＝≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为ab＝×8＝4，
当且仅当，即a＝4，b＝2时，等号成立，
故直线l的方程为＝1，即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
由本例方法二知，＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b
＝(a＋b)·＝3＋≥3＋2，
当且仅当，即a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0.
2.在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
由本例方法一知A，B(0，1－2k)(k<0).
所以|MA|·|MB|＝·
＝2×＝2≥4.
当且仅当－k＝－且k<0，即k＝－1时，等号成立.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
思维升华
跟踪训练3 (1)(2024·菏泽模拟)“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、
四象限”是“－A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
要使y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限，
则解得－因此，“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－的充要条件.
(2)已知O是坐标原点，直线l的方程为(m＋1)x＋y－2m－3＝0(m∈R).若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，则△AOB的面积最小值为 .
4
由题意知m≠－1，又(m＋1)x＋y－2m－3＝0，令x＝0，得y＝2m＋3，令y＝0，
得x＝，由得到m>－1，
所以S△AOB＝×(2m＋3)××，
令m＋1＝t>0，得到S△AOB＝××
≥×8＝4，
当且仅当4t＝，即t＝时取等号，此时m＝－.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D A C D B C
题号 9 10 11 12 13 答案 BCD AC AC 题号 14 15 16 答案 3x－y－5＝0 一、单项选择题
1.若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为
A. B. C. D.
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知识过关
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答案
设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，
若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，
则直线l的斜率为k＝tan α＝，
因为0≤α<π，所以α＝.
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答案
2.已知直线(a－)x＋y＋2＝0的倾斜角为30°，则a等于
A.2 B. C. D.0
√
直线(a－)x＋y＋2＝0的斜率为－a，
所以tan 30°＝－a＝，解得a＝.
3.已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<<β，则下列关系正确的是
A.0C.k1<0√
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答案
依题意得k1＝tan α，k2＝tan β，α∈，β∈，
而y＝tan x在和上单调递增，
且在上，y＝tan x>0，
在上，y＝tan x<0，
所以tan β<04.已知直线l倾斜角的余弦值为－，且经过点(2，1)，则直线l的方程为
A.2x＋y－5＝0 B.2x－y－3＝0
C.x－2y＝0 D.x＋2y－4＝0
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设直线l的倾斜角为θ∈[0，π)，则cos θ＝－，
可得sin θ＝，
则直线l的斜率k＝tan θ＝＝－2，
且直线l经过点(2，1)，
所以直线l的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
答案
5.(2024·重庆期末)函数y＝ex＋1的图象在点(0，1＋)处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
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根据题意，函数y＝ex＋1，y'＝ex，
当x＝0时，y'＝，
设该切线的倾斜角为α(0≤α<π)，则tan α＝，
所以α＝，
即函数y＝ex＋1的图象在点(0，1＋)处的切线的倾斜角为.
答案
6.若直线y＝－在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，则
A.m＝－4，n＝－3 B.m＝4，n＝3
C.m＝4，n＝－3 D.m＝－4，n＝3
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y＝－＝－x－，
令x＝0得y＝－＝－1，得n＝3，即y＝－x－1，
设直线y＝x＋的倾斜角为α，则tan α＝，
显然α是锐角，则tan 2α＝，得－，得m＝－4.
答案
7.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m.最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为
A.± B.±
C.± D.±
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由题意知{|OPi|}，{|OAi|}(i＝1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，
所以|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OA10|＝|OB10|＝|OA1|＋9×18＝78＋9×18＝240，
则P10(0，120)，A10(240，0)，B10(－240，0)，
所以，
＝－，
即最长拉索所在直线的斜率为±.
8.已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为
A.－ B.－
C.－ D.－
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由题意可设直线l：y－8＝k(x－6)(k<0)，即y＝kx＋8－6k(k<0).
不妨假设A在x轴上，则A，B(0，8－6k)，易知A在C右侧，
记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－，8－6k，
所以△ABC的面积S＝(8－6k)
＝≥(64＋2)＝32＋16，
当且仅当－＝－12k(k<0)，即k＝－时，等号成立.
答案
二、多项选择题
9.下列命题中错误的是
A.若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数
B.任何直线都存在斜率和倾斜角
C.直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0
D.任何一条直线至少要经过两个象限
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若直线的倾斜角α∈，则其斜率k＝tan α<0，A正确；
倾斜角为的直线不存在斜率，B错误；
直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0，C错误；
当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.
10.下列结论正确的有
A.直线l：2x＋y－2＝0在x轴上的截距为1
B.如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限
C.直线kx－y－2k＋1＝0恒过定点(2，1)
D.方程y－4＝k(x－3)可以表示平面内所有过点(3，4)的直线
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对于A，当y＝0时，x＝1，即直线l：2x＋y－2＝0在x轴上的截距为1，A正确；
对于B，由AB<0，BC<0，得直线Ax＋By＋C＝0的斜率－>0，在y轴上的截距－>0，
因此直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，B错误；
对于C，直线kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－(y－1)＝0恒过定点(2，1)，C正确；
对于D，方程y－4＝k(x－3)不能表示直线x＝3，D错误.
答案
11.下列说法正确的是
A.直线y＝ax－2a＋3(a∈R)必过定点(2，3)
B.直线y＋1＝2x在y轴上的截距为1
C.直线x＋y＋3＝0的倾斜角为150°
D.点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，
则实数m的取值范围是
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答案
直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A选项正确；
直线y＋1＝2x即y＝2x－1，纵截距为－1，B选项错误；
直线x＋y＋3＝0的斜率为－，倾斜角为150°，
C选项正确；
直线l：mx＋y－m－1＝0即m(x－1)＋y－1＝0过定点C(1，1)，画出图象
如图所示，其中kAC＝＝－4，kBC＝，直线l的斜率为－m，所以－m≥或－m≤－4，解得m≥4或m≤－，D选项错误.
三、填空题
12.若直线l的倾斜角为且在x轴上的截距为－1，则直线l的一般式方程是 .
x－y＋＝0
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答案
由直线l的倾斜角为，可得直线l的斜率为tan ，
又由直线l在x轴上的截距为－1，所以直线方程为y＝(x＋1)，即直线l的一般式方程是x－y＋＝0.
13.若θ∈，则经过两点P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)的直线的倾斜角
为 .
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答案
－θ
当θ＝0时，Q(0，1)，此时直线的倾斜角为；
当θ≠0时，因为P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)，
所以kPQ＝，
又因为tan，
且－θ∈∪，
所以直线的倾斜角为－θ.
综上，直线的倾斜角为－θ.
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答案
14.已知点A(－1，3)，B(3，2)，过点P的直线l与线段AB相交，则
直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为
.
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答案
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
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答案
如图所示，由点A(－1，3)，B(3，2)，P，
可得直线PA的斜率为＝－1，
直线PB的斜率为＝1，
由直线l与线段AB相交，可得直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)；由斜率与倾斜角的关系得倾斜角的取值范围为.
15.若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，
回到原来的位置，则直线l的斜率为 .
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答案
能力拓展
由题意，设直线方程为y＝kx＋b，直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y＝k(x－2)＋b＋1，化简得y＝kx－2k＋b＋1，因为平移后与原直线重合，则kx＋b＝kx－2k＋b＋1，
解得k＝，即直线l的斜率为.
16.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为 .
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答案
3x－y－5＝0
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返回
答案
设直线l的方程为y＝3x＋d，当直线l与L相交时，随着d的减小，L在这条直线上半部分的面积一定增加，下半部分的面积一定减小，任意一条过A(2，1)的直线将圆1与圆2组成的区域划分为面积相等的两个区域，任意一条过B(3，4)的直线将圆3与圆4组成的区域划分为面积相等的两个区域，
对于其余的四个圆，直线AB将其平分，
因此直线AB将L划分为面积相等的两个区域且kAB＝＝3，
∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，即直线l：3x－y－5＝0.(共53张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇 圆锥曲线中的综合问题
椭圆、双曲线中的常见结论及应用
进阶1
椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
重点解读
例1 (1)设F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 .
焦半径公式(第二定义)
题型一
(3，)
方法一 △MF1F2为等腰三角形，点M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|＝8，所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则解得
所以M(3，).
方法二 △MF1F2为等腰三角形，
点M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|＝8，
所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
由椭圆焦半径公式知|MF1|＝6＋x0＝8，
解得x0＝3，代入椭圆方程得y0＝，故M(3，).
(2)双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|＝5，则△PF1F2的面积为 .
6或4
方法一 由题意得a＝1，b＝，c＝2，e＝2，
设P(x0，y0)，则|PF1|＝|2x0＋1|＝5，
解得x0＝2或x0＝－3，
当x0＝2时，代入双曲线方程可求得y0＝±3，
所以·|F1F2|·|y0|＝6；
当x0＝－3时，代入双曲线方程可求得y0＝±2，
所以·|F1F2|·|y0|＝4.
综上所述，△PF1F2的面积为6或4.
方法二 由题意得a＝1，b＝，c＝2，
所以|F1F2|＝4，
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝3，
显然，
所以PF2⊥F1F2，
从而·|PF2|·|F1F2|＝×3×4＝6；
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝7，
从而cos∠PF1F2＝＝－，
所以sin∠PF1F2＝，
从而·|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2
＝×5×4×＝4.
综上所述，△PF1F2的面积为6或4.
(1)如图1，椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点
P(x0，y0)为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|＝a＋ex0；②|PF2|＝a－ex0(记忆：左加右减).
思维升华
(2)如图2，双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|＝|ex0＋a|；②|PF2|＝|ex0－a|(记忆：左加右减).
思维升华
跟踪训练1 (1)双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|＝3|PF2|，则点P的坐标为 .
(2，±)
由题意得a＝b＝，c＝2，e＝，
设P(x0，y0)，则|PF1|＝|x0＋|，
|PF2|＝|x0－|，
因为|PF1|＝3|PF2|，
所以|x0＋|＝3|x0－|，
解得x0＝2或x0＝，
又|x0|≥，所以x0＝2，
代入双曲线方程可求得y0＝±，即P(2，±).
(2)椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|
的取值范围为 .
[2，6]
由题意得a＝，c＝2，e＝，
设P(x0，y0)，其中－≤x0≤，
则|PF1|＝x0，|PF2|＝x0，
所以|PF1|·|PF2|＝6－，取值范围为[2，6].
例2 已知椭圆＝1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM＝－.
垂径定理(第三定义)
题型二
方法一 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则kAB＝，kOM＝，
x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
因为
两式作差得＝0，即·＝－，
于是·＝－，所以kAB·kOM＝－.
方法二 设直线AB的方程为y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由消去y得
(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2m2－a2b2＝0，
所以x1＋x2＝－，
于是y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
所以M，
于是kOM＝＝－.
因此kAB·kOM＝k·＝－.
方法三 令＝x'，＝y'，则x'2＋y'2＝1.
原题设中的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分别对应单位圆中的点A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是线段A'B'的中点，
由圆的垂径定理得kA'B'·kOM'＝－1，
又因为kAB＝·kA'B'，kOM＝·kOM'，
所以kAB·kOM＝·kA'B'··kOM'＝·kA'B'·kOM'＝－.
(1)椭圆中的垂径定理
思维升华
(2)双曲线中的垂径定理
思维升华
(3)垂径定理也可以描述为：设点M是有心圆锥曲线＝1(m>0，
n>0，或mn<0)中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦AB的中点，则
kAB·kOM＝－.
(4)若点M是有心圆锥曲线的弦AB的中点，其中AB与坐标轴不垂直且不过中心O，且将圆看作是离心率e＝0的特殊的椭圆，则有kAB·kOM＝e2－1.
思维升华
跟踪训练2 (1)已知双曲线C：x2－y2＝2 025的左、右顶点分别为A，B，
P为双曲线右支上一点，且∠APB＝4∠PAB，则∠PAB＝ .
令∠PAB＝α，则α∈，
∠PBx＝β，则β∈，
则β＝5α，所以α∈，
由双曲线的垂径定理可知
tan α·tan β＝tan α·tan 5α＝e2－1＝1，
则tan α＝＝tan，－5α∈，
则α＝－5α，故α＝.
(2)已知A，B是椭圆＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|＋
|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为 .
如图所示，连接MB，由椭圆的第三定义可知
kAM·kBM＝e2－1＝－，
而kBM＝－kBN k1k2＝，
则|k1|＋|k2|≥2＝1 e＝.
例3 (多选)如图，F1，F2是圆锥曲线的焦点，A，B为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P为双曲线上任意一点，下列说法正确的是
A.椭圆中△ABF1的周长为4a
B.椭圆中当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大
C.椭圆中
D.双曲线中
√
焦点三角形
题型三
√
√
对于A，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a显然成立，A正确；
对于B，cos∠F1AF2＝
＝
＝
＝－1，
∵|AF1||AF2|≤＝a2，
当且仅当|AF1|＝|AF2|，即点A是短轴端点时取等号，
∴cos∠F1AF2＝－1≥－1，
又∵y＝cos θ在(0，π)上单调递减，
∴当A为短轴端点时，∠F1AF2最大，B正确；
对于C，由选项B的推导过程得cos∠F1AF2＝－1，
∴|AF1||AF2|＝，
∴|AF1||AF2|sin∠F1AF2
＝··sin∠F1AF2
＝b2·
＝b2tan ，C错误；
对于D，证明方法同椭圆，，D正确.
对于与焦点三角形有关的结论，在处理椭圆与直线的交点问题时尤为重要，因为它提供了一个固定的几何量，帮助我们验证和推导其他几何性质.
思维升华
跟踪训练3 已知椭圆C：＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为
A.2 B.4 C.6 D.12
√
由e＝，得，即a＝2c. ①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝(舍负).
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知
＝b2tanr(2a＋2c)，
即b2＝(a＋c)， ②
又a2＝b2＋c2， ③
联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D B ABC AD
题号 9 10 答案 一、单项选择题
1.已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为
A.25 B.16 C.9 D.7
√
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答案
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答案
由题意，a＝4，b＝3，c＝，离心率e＝，
设M(x0，y0)，－4≤x0≤4，
则|MF1|＝4＋x0，|MF2|＝4－x0，所以|MF1|·|MF2|＝16－，
故当x0＝0时，|MF1|·|MF2|取得最大值16.
1
2
3
4
5
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答案
2.椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，直线
PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
由垂径定理得·＝－＝－，
又∈[－2，－1]，所以∈.
3.(2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C：＝1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为
A. B.
C. D.
√
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答案
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答案
根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，
又
所以kAP·kBP＝4kAP·kBQ＝4＝－1，
则e＝.
4.已知双曲线的中心为原点O，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
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答案
1
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8
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10
由条件知，线段MN的中点P在直线y＝x－1上，所以P，
由垂径定理有kMN·kOP＝＝e2－1，
即1×＝e2－1，解得e＝，
又c＝，所以a＝，b＝，
故所求双曲线方程为＝1.
答案
5.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别
是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是
A. B.
C. D.
√
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答案
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答案
设双曲线C2的方程为＝1(a2>0，b2>0)，
则有＝4－1＝3.
设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1，
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为tan 45°＝，
即＝1，所以＝3－1＝2，
故双曲线C2的离心率e＝.
6.已知双曲线C：＝1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|＝3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，则(c为双曲线C的半焦距)的取值范围是
A.[4，＋∞) B.
C. D.[2，4]
√
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答案
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由双曲线的第二定义可知|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，
∵右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|＝3|PF2|，
∴ex0＋a＝3(ex0－a) ex0＝2a，
由e＝，解得x0＝，
∵P在右支上，可得x0＝≥a，
又c>a，可得1<≤2，即1则＋4e2＋－4，
答案
1
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10
令e2＝t，1而f(t)＝在(1，4]上单调递减，
∴∈，∴2≤<.
答案
二、多项选择题
7.(2024·泸州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是
A.弦AB的长度的最小值为
B.若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C.若AB的中点为M，坐标原点为O，且直线AB的斜率为k，则kOM·k＝
D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
1
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3
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√
答案
√
√
弦AB的长度的最小值为通径，故A正确；
由双曲线的定义得|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|AF1|＝|AF2|＋2a，|BF1|＝|BF2|＋2a，
|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋2a＋|BF2|＋2a＝|AB|＋4a，
则△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝2|AB|＋4a＝2m＋4a，故B正确；
根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝kOM·k＝，故C正确；
若直线AB的斜率为，所以<，
所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以e＝∈(1，2)，故D错误.
1
2
3
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答案
8.已知椭圆＋y2＝1，A，B分别为长轴左、右端点，F1，F2分别为左、
右焦点，点P为椭圆上除去A，B之外的任意一点，则
A.△PAB面积的最大值为2
B.|PF1|2＋|PF2|2的最大值为8
C.kPA·kPB＝
D.若∠F1PF2＝60°，则
√
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答案
√
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10
依题意知，a＝2，b＝1，c＝，
当P为短轴端点时，(S△PAB)max＝×2a×b＝2，A正确；
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
由基本不等式≤
知，≥2，即|PF1|2＋|PF2|2≥8，故B错误；
由垂径定理得，kPA·kPB＝－＝－，C错误；
＝b2tan＝1×tan 30°＝，D正确.
答案
三、填空题
9.(2024·南京模拟)已知双曲线＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的
角∠F1MF2＝120°，则△F1MF2的面积为 .
1
2
3
4
5
6
7
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答案
根据双曲线焦点三角形的面积公式的二级结论得
.
10.双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足
∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围为 .
1
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答案
∪
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3
4
5
6
7
8
9
10
答案
∠F1PF2为钝角 cos∠F1PF2<0，
而cos∠F1PF2＝，
所以<0，
由题意得a＝1，b＝，c＝2，|F1F2|＝4，
设P点的横坐标为x0，由焦半径公式得|PF1|＝|2x0＋1|，|PF2|＝|2x0－1|，
所以－16<0，解得－又x0≤－1或x0≥1，且当x0＝±1时，∠F1PF2＝180°，
所以x0∈∪.(共88张PPT)
第八章
§8.3 圆的方程
数学
大
一
轮
复
习
1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于 的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C______
半径为___
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C____________
半径r＝_________________
定长
(a，b)
r
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|圆外
圆上
圆内
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆.( )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
×
√
√
√
2.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，则实数t等于
A.－3 B.1 C.－1 D.3
√
由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
则圆心坐标为(－1，2)，
又因为圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，
故由圆的对称性可知，圆心(－1，2)在直线x－y＋t＝0上，
则t＝y－x＝2－(－1)＝3.
3.(多选)已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A(0，－5)，则
A.圆C的半径为2 B.点A在圆C外
C.点A在圆C内 D.点A与圆C上任一点距离的最小值为
√
因为x2＋y2－4x＋6y＋11＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝2，所以圆心为C(2，－3)，半径r＝，故A错误；
又|AC|＝＝2>r，所以点A在圆C外，故B正确，C错误；
因为|AC|＝2，所以点A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|－r＝，故D正确.
√
4.以点A(0，－1)，B(2，1)为直径端点的圆的方程为 .
由题意可知，圆心为线段AB的中点(1，0)，
且|AB|＝＝2，
所以圆的半径r＝，
因此，所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
(x－1)2＋y2＝2
1.掌握圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
2.牢记两个相关结论
(1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
(2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为
其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标.
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为 .
圆的方程
题型一
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一 设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则解得
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二 设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则M，
∴解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三 设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，
则kAB＝＝－，线段AB的中点坐标为，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0.
联立解得∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
思维升华
跟踪训练1 (2024·南昌模拟)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y＝2x－1相切，则圆C的标准方程为 .
(x－3)2＋y2＝5
方法一 设圆C的圆心为(m，0)，
则由于该点到直线y＝2x－1的距离d＝，
结合圆C与直线相切，知圆C的半径为.
所以圆C的标准方程是(x－m)2＋y2＝.
而圆C过点(1，1)，所以(1－m)2＋12＝，解得m＝3.
所以圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5.
方法二 因为点(1，1)在直线y＝2x－1上，
所以圆C与直线y＝2x－1的切点为(1，1)，
则过圆心C和切点(1，1)的直线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋，
又因为圆心C在x轴上，则0＝－x＋，得x＝3，
即C(3，0)，圆C的半径为，
故圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5.
命题点1 直接法
例2 已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的
倍，则△MAB面积的最大值为
A.8 B.8
C.4 D.
与圆有关的轨迹问题
题型二
√
以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设M(x，y)，且A(－2，0)，B(2，0)，
由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2，
化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32(y≠0)，
半径r＝4，
如图，有S△MAB≤·|AB|·r＝8.
所以△MAB面积的最大值为8.
命题点2 定义法
例3 已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是
A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0
C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x
√
因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，
又AM与圆相切，且|AM|＝2，
则|AC|＝，
设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－2x－2y－3＝0，
所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命题点3 相关点代入法
例4 (2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为
A.＝1(y>0) B.＝1(y>0)
C.＝1(y>0) D.＝1(y>0)
√
设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P'(x，0)，
因为M为PP'的中点，
所以y0＝2y，即P(x，2y)，
又P在曲线x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，
即＝1(y>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0).
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
思维升华
跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，
即(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
方法二 设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.
阿波罗尼斯圆
微拓展
典例 (1)设A，B是平面上两点，则满足＝k(其中k为常数，k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(，0)，B，且k＝，则
点P所在圆M的方程为 .
x2＋y2＝3
设P(x，y)，由题意可得，，即|PA|＝|PB|，
则＋y2＝2，
整理得x2＋y2＝3.
(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝2sin B，
acos B＋bcos A＝2，则△ABC面积的最大值为 .
依题意，由sin A＝2sin B，
得|BC|＝2|AC|，acos B＋bcos A
＝＝c＝2，
即|AB|＝2，以AB边所在的直线为x轴，
线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设A(1，0)，B(－1，0)，C(x，y)，x≠0，
由|BC|＝2|AC|，则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，
其方程为＋y2＝，x≠0，
边AB上的高的最大值为，
所以()max＝.
命题点1 利用几何性质求最值
例5 (多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则
A.当x≠0时，的最小值是－
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x的最小值是2－
D.|x＋y＋3|的最小值为2
√
与圆有关的最值问题
题型三
√
由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆.
设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)
和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率，
由y＝kx(x≠0)，则≤1，
解得k≥或k≤－，故A错误；
因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，
所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确；
设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，
则≤1，
解得2－≤b≤2＋，
即y－x的最小值是2－，故C正确；
|x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，
圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝，
则|x＋y＋3|的最小值为×＝5－，故D错误.
命题点2 利用对称性求最值
例6 已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是 .
2
因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5，
所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r＝的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'(m，n)，
所以
解得故A'(－4，－2).
连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x＋y＋2＝0于P，此时，|PA'|＋|PQ|取得最小值，
由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|PA'|＋|PQ|＝|A'Q|＝|A'C|－r＝2.
命题点3 利用函数求最值
例7 设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则·的最大值为 .
12
方法一 由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
方法二 (极化恒等式)
由题意知线段AB的中点为O(0，0)，＝(4，0)，
·[()2－()2]
＝＝||2－4，
易知||2的最大值为[＋1]2＝16，
所以·的最大值为12.
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形
式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
思维升华
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
思维升华
跟踪训练3 (1)(2024·商洛模拟)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1
＝0上任意一点，则的最大值为
A.－2 B.－
C. D.
√
设k＝，
变形可得k(x0－3)－y0－1＝0，
则的几何意义为直线k(x－3)－y－1＝0的斜率，
圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆C的圆心为C(1，1)，半径为1.
因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，
所以圆C与直线k(x－3)－y－1＝0有公共点，
即圆C的圆心C(1，1)到直线k(x－3)－y－1＝0的距离不大于圆C的半径，
所以≤1，
解得≤k≤，
即的最大值为.
(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为 .
74
设P(x0，y0)，则d＝|PB|2＋|PA|2＝＋(y0＋1)2＋＋(y0－1)2＝2()＋2，表示圆上任一点到原点距离的平方，∴()max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C C B D AD ABD
题号 9 10 13 14 答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2 ACD D 答案
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(1)由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB＝0，所以线段AB的垂直平分线方程为x＝2，
它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
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所以
又点P在圆C上，故(x0－2)2＋＝10，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝.
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(1)由题意知线段AB的中点坐标为，
kAB＝＝1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，即y＝5－x，
联立解得
即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r＝|AC1|＝1，
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
12.
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(2)注意到点C1(2，3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线且M，N在
C1，C2之间时等号成立，
则|PM|＋|PN|的最小值为－4，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
12.
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过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立解得
∴点P的坐标为.
12.
一、单项选择题
1.(2024·北京)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为
A. B.2 C.3 D.3
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知识过关
答案
将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离
为＝3.
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2.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为
A.x2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.x2＋(y－4)2＝4
√
依题意设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝4，又22＋(4－b)2＝4，解得b＝4，所以圆的方程为x2＋(y－4)2＝4.
3.(2024·西安模拟)若过点P(0，1)可作圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0的两条切线，则a的取值范围是
A.(3，＋∞) B.(－1，3) C.(3，5) D.(5，＋∞)
√
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圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0，即圆(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，则5－a>0，
解得a<5，又过点P(0，1)有两条切线，
则点P在圆外，>，
即2>5－a，解得a>3，故3答案
4.已知A(－1，0)，B(1，0)，若点P满足PA⊥PB，则点P到直线l：m(x－)＋n(y－1)＝0的距离的最大值为
A.1 B.2 C.3 D.4
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由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直径的圆(去除点A和点B)，圆心坐标为(0，0)，半径为1，又直线l：m(x－)＋n(y－1)＝0，其过定点(，1)，故距离的最大值为＋1＝3.
答案
5.(2024·南宁模拟)已知坐标原点O在直线mx－2y＝2m＋8上的射影为点P(x0，y0)，则x0，y0必然满足的关系是
A.＝5
B.＝5
C.＝20
D.＝20
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直线l：mx－2y＝2m＋8，
即m(x－2)－2(y＋4)＝0恒过定点A(2，－4)，
由原点O在直线l上的射影为点P，得OP⊥l，
则点P在以OA为直径的圆上(去除点(2，0))，
该圆圆心为(1，－2)，半径为r＝，
所以x0，y0必然满足的关系是＝5.
答案
6.已知m∈R，直线l1：mx－y－m＋3＝0与直线l2：x＋my－m－5＝0相交于点P，则P到直线2x＋y＋7＝0的距离的取值范围是
A.[，3] B.(，3]
C.[2，4] D.(2，4]
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因为m·1＋(－1)·m＝0，所以直线l1与l2始终垂直，
又由条件可得直线l1恒过定点M(1，3)，直线l2恒过定点N(5，1)，
所以两直线的交点P在以线段MN为直径的圆上，
该圆的圆心坐标为(3，2)，半径为|MN|＝，
所以该圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5，
圆上点(1，1)是过定点M(1，3)且斜率不存在的直线与过定点N(5，1)且斜率为0的直线的交点，故点P的轨迹不经过点(1，1).
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圆心(3，2)到直线2x＋y＋7＝0的距离d＝＝3，
所以圆上的点到直线2x＋y＋7＝0的距离的最大值和最小值分别为4和2，
又点(1，1)到直线2x＋y＋7＝0的距离为2，应舍去，
所以P到直线2x＋y＋7＝0的距离的取值范围是(2，4].
答案
二、多项选择题
7.设圆C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是
A.任意k∈R，圆的面积都是4π
B.存在k∈R，使得圆C过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆C有且只有一个
D.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
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由于对任意k∈R，圆的半径都是2，故面积都是4π，A正确；
由于(3－k)2＋(0－k)2＝2k2－6k＋9＝2≥>4，
故圆C必定不过点(3，0)，B错误；
对k＝2－和k＝2＋，均有(2－k)2＝2，故(2－k)2＋(2－k)2＝4，即圆C经过点(2，2)，C错误；
圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，D正确.
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8.(2024·丹东模拟)已知曲线E：x2＋y2－2|x|－2|y|＝0(x，y不同时为0)，则
A.曲线E围成图形的面积为8＋4π
B.曲线E的长度为4π
C.曲线E上的点到原点的最小距离为
D.曲线E上任意两点间最大距离为4
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答案
当x≥0，y≥0，且x，y不同时为0时，曲线E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；
当x≥0，y<0时，曲线E：(x－1)2＋(y＋1)2＝2；
当x<0，y≥0时，曲线E：(x＋1)2＋(y－1)2＝2；
当x<0，y<0时，曲线E：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.
画出曲线E的图形，如图所示.
对于A，曲线E围成的图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为的半圆，
故面积为2×2＋2π×＝8＋4π，故A正确；
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答案
对于B，曲线E由四个半径为的半圆组成，
故周长为2×2π×＝4π，故B正确；
对于C，曲线E上的点到原点的最小距离为2，故C错误；
对于D，当曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，
距离最大，最大为4，故D正确.
三、填空题
9.已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上一点，则的最小值是 .
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答案
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答案
表示圆上的点P(m，n)到点(1，0)的距离，
由x2＋y2－8x－6y＋23＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝2，
则圆心为(4，3)，半径为，
点(1，0)到圆心的距离为＝3，
所以点P(m，n)到点(1，0)的距离的最小值为3＝2，
即的最小值是2.
10.已知圆C以C(1，1)为圆心，且与直线mx－y－2m＝0(m∈R)相切，则满足以上条件的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为 .
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答案
(x－1)2＋(y－1)2＝2
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直线mx－y－2m＝0可化为m(x－2)－y＝0，
所以解得
所以直线过定点A(2，0)，
当CA与直线mx－y－2m＝0垂直时，圆C的半径最大，
半径为，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案
四、解答题
11.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点.
(1)求圆C的方程；
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答案
由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB＝0，所以线段AB的垂直平分线方程为x＝2，
它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
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答案
设P(x0，y0)，Q(x，y)，
由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又点P在圆C上，故(x0－2)2＋＝10，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝.
(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程.
12.已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x－y－1＝0上.
(1)求圆C1的方程；
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答案
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答案
由题意知线段AB的中点坐标为，
kAB＝＝1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，
即y＝5－x，
联立解得
即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r＝|AC1|＝1，
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.
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答案
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答案
注意到点C1(2，3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线
且M，N在C1，C2之间时等号成立，
则|PM|＋|PN|的最小值为－4，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
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答案
联立解得
∴点P的坐标为.
13.(多选)已知圆C：x2＋(y－2)2＝2，点P是圆C上的一个动点，点A(2，0)，则
A.≤|AP|≤3 B.∠PAC的最大值为
C.△PAC面积的最大值为2 D.·的最大值为12
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答案
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能力拓展
√
√
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答案
圆C的圆心为C(0，2)，半径r＝，
圆心C(0，2)到A(2，0)的距离d＝2，
∴2－r≤|AP|≤2＋r，
即≤|AP|≤3，故A正确；
根据题意，如图，当CP⊥AP时，∠PAC取得最大值，
此时△APC为直角三角形，由于|AC|＝2|CP|＝2，
∴∠PAC＝，
故∠PAC的最大值为，故B错误；
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答案
由于|AC|＝2|CP|＝2，
∴当AC⊥CP时，△PAC的面积最大，
即△PAC面积的最大值为×2×＝2，故C正确；
如图，当与同向共线时，·取最大值，
||＝2，||＝3，
∴·＝12，故D正确.
14.(2024·佳木斯模拟)已知圆x2＋y2＝8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，若∠AOB＝120°，则|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|的最大值是
A.8 B.6
C.8 D.12
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答案
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答案
由圆x2＋y2＝8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得|OA|＝|OB|＝2，
设弦AB的中点为E，则OE⊥AB，
由∠AOB＝120°，得∠ABO＝∠BAO＝30°，
所以|OE|＝|OA|＝，
所以点E的轨迹是以为半径，O为圆心的圆，
|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|＝，
1
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14
答案
返回
表示A，B两点到直线x＋y－4＝0的距离之和的倍，
因为E为弦AB的中点，
故A，B两点到直线x＋y－4＝0的距离之和等于点E
到直线x＋y－4＝0的距离的2倍，
圆心O到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，
所以点E到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为2＝3，
所以|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|的最大值是×3×2＝12.(共41张PPT)
第八章
必刷大题17 解析几何
数学
大
一
轮
复
习
答案
1
2
3
4
(1)焦点F(2，0)，斜率k＝1，
故直线l的方程为y＝x－2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去x，整理得ky2－8y＋8m＝0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根与系数的关系可知y1y2＝，
1.
答案
1
2
3
4
x1x2＝·，
由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m＝－8k，直线l：y＝kx－8k，
故直线l过定点(8，0).
1.
答案
1
2
3
4
(1)连接PF1，设线段PF2中点为C，连接OC.
∴OC为△F1PF2的中位线，
∴|OC|＝|PF1|.
由以线段PF2为直径的圆与圆O内切可知，
2－|PF2|＝|OC|＝|PF1|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，
2.
答案
1
2
3
4
则a＝2，c＝，b＝＝1，
∴轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝，直线OQ：y＝0，此时R，
∴⊥l；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：x＝my＋，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
2.
答案
1
2
3
4
联立
可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝－，则yQ＝－，
∴xQ＝myQ＋，
则直线OQ：y＝－x.
2.
答案
1
2
3
4
当x＝时，y＝－m，
即R，∴＝－m，
又kl＝，kl·＝－1，∴⊥l.
综上，⊥l.
2.
答案
1
2
3
4
(1)根据对称性，F(，0)到C的一条渐近线bx－ay＝0的距离
d＝，
则b＝c.
由F(，0)为其右焦点，知c＝，
得b＝，则a2＝c2－b2＝4，
故双曲线C的方程为＝1.
(2)点P在定直线x＝上.
3.
答案
1
2
3
4
依题可设直线l的方程为x＝ty＋3，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
整理得(3t2－2)y2＋18ty＋15＝0，必有Δ>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
则ty1y2＝－(y1＋y2).
3.
答案
1
2
3
4
又A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以直线A1M的方程为y＝(x＋2)，
直线A2N的方程为y＝(x－2)，
整理得
＝＝－5，
解得x＝.故点P在定直线x＝上.
3.
答案
1
2
3
4
(1)M为线段PA的垂直平分线上一点，
则|MP|＝|MA|，
则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||
＝2<|AC|＝4，
∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，
且2a＝2，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
故曲线H的方程为x2－＝1.
4.
答案
1
2
3
4
(2)①设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
如图所示，则y1＝x1，y2＝－x2，
可得y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
则，
得，
由题可知|MS|＝|MT|，
4.
答案
1
2
3
4
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
得，即kST＝，
∴直线ST的方程为y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3，
又∵点M在曲线H上，则3＝3，
得3x0x－y0y＝3，
4.
答案
1
2
3
4
联立
得(－3)x2＋6x0x－3－＝0，
化简得－3x2＋6x0x－3＝0，
由Δ＝－4×(－3)×(－3)＝0，
可知方程有且仅有一个解，
即直线l与曲线H有且仅有一个交点.
4.
答案
1
2
3
4
②由①联立可得x1＝，
同理可得x2＝，
则|OS|·|OT|＝·
＝4|x1x2|＝4×＝4，
故≥2，
4.
答案
1
2
3
4
当且仅当，即|OS|＝2时取等号.
故的取值范围为[，＋∞).
4.
1.已知直线l：y＝kx＋m与抛物线Γ：y2＝8x交于点A，B.
(1)若直线l的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线l的方程；
1
2
3
4
答案
焦点F(2，0)，斜率k＝1，
故直线l的方程为y＝x－2.
(2)若·＝0，且km≠0，证明：直线l过定点.
1
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答案
1
2
3
4
答案
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去x，整理得ky2－8y＋8m＝0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根与系数的关系可知y1y2＝，
x1x2＝·，
由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
1
2
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4
答案
得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m＝－8k，直线l：y＝kx－8k，
故直线l过定点(8，0).
1
2
3
4
答案
2.已知两点F1(－，0)，F2(，0)，设圆O：x2＋y2＝4与x轴交于A，B两点，且动点P满足：以线段PF2为直径的圆与圆O内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点F2且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M，N两点.
(1)求轨迹Γ的方程；
1
2
3
4
答案
连接PF1，设线段PF2中点为C，连接OC.
∴OC为△F1PF2的中位线，
∴|OC|＝|PF1|.
由以线段PF2为直径的圆与圆O内切可知，
2－|PF2|＝|OC|＝|PF1|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4>2＝|F1F2|，
1
2
3
4
答案
∴点P的轨迹是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点，
长轴长为4的椭圆，
则a＝2，c＝，b＝＝1，
∴轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
1
2
3
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答案
(2)设线段MN的中点为Q，直线OQ与直线x＝相交于点R，求证：⊥l.
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答案
由题意知，当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝，直线OQ：y＝0，此时R，
∴⊥l；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：x＝my＋，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
联立
1
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4
答案
可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝－，则yQ＝－，
∴xQ＝myQ＋，
则直线OQ：y＝－x.
当x＝时，y＝－m，
即R，∴＝－m，
1
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4
答案
又kl＝，kl·＝－1，∴⊥l.
综上，⊥l.
3.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F(，0)到双曲线C的一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
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答案
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答案
根据对称性，F(，0)到C的一条渐近线bx－ay＝0的距离
d＝，
则b＝c.
由F(，0)为其右焦点，知c＝，
得b＝，则a2＝c2－b2＝4，
故双曲线C的方程为＝1.
(2)设双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(3，0)且斜率不为0的直线l与双曲线C相交于M，N两点，直线A1M与直线A2N相交于点P.试问点P是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由.
1
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4
答案
1
2
3
4
答案
点P在定直线x＝上.
依题可设直线l的方程为x＝ty＋3，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
整理得(3t2－2)y2＋18ty＋15＝0，必有Δ>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，则ty1y2＝－(y1＋y2).
1
2
3
4
答案
又A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以直线A1M的方程为y＝(x＋2)，
直线A2N的方程为y＝(x－2)，
整理得
＝＝－5，
解得x＝.故点P在定直线x＝上.
4.(2024·赤峰模拟)已知点P为圆C：(x－2)2＋y2＝4上任意一点，A(－2，0)，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
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答案
1
2
3
4
答案
M为线段PA的垂直平分线上一点，
则|MP|＝|MA|，
则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||
＝2<|AC|＝4，
∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，
且2a＝2，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
故曲线H的方程为x2－＝1.
(2)若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点.
①证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
1
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答案
1
2
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4
答案
设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
如图所示，则y1＝x1，y2＝－x2，
可得y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
则，
得，
1
2
3
4
答案
由题可知|MS|＝|MT|，
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
得，即kST＝，
∴直线ST的方程为y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3，
又∵点M在曲线H上，则3＝3，
得3x0x－y0y＝3，
1
2
3
4
答案
联立
得(－3)x2＋6x0x－3－＝0，
化简得－3x2＋6x0x－3＝0，
由Δ＝－4×(－3)×(－3)＝0，
可知方程有且仅有一个解，
即直线l与曲线H有且仅有一个交点.
②求的取值范围.
1
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4
答案
1
2
3
4
答案
由①联立可得x1＝，
同理可得x2＝，
则|OS|·|OT|＝·
＝4|x1x2|＝4×＝4，
故≥2，
1
2
3
4
答案
当且仅当，即|OS|＝2时取等号.
故的取值范围为[，＋∞).(共102张PPT)
第八章
§8.9 直线与圆锥曲线的位置关系
数学
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1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ 0；直线与圆锥曲线相切 Δ 0；直线与圆锥曲线相离 Δ 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
>
＝
<
2.弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝ ，
或|AB|＝|y1－y2|
＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交.( )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.( )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.( )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.( )
×
√
√
√
2.若直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是
A. B.－ C.± D.±
√
由
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
3.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是
A.2 B.4 C.8 D.16
√
联立
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝×＝8.
4.已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为
A. B. C. D.
√
方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴＝1，＝1，
两式相减得，
∵M(3，2)是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴，
∴kAB＝.
方法二 由kAB·kOM＝，得kAB＝·×.
返回
探究核心题型
第二部分
例1 (1)已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为
A.相离 B.相交
C.相切 D.不能确定
直线与圆锥曲线的位置关系
题型一
√
直线l：mx＋y＋2m＝1，
即m(x＋2)＋y－1＝0，
令解得
则直线l过定点(－2，1)，
因为<1，
则该定点在椭圆内，
则直线l与椭圆C的位置关系为相交.
(2)已知双曲线C：＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
√
由题意知双曲线的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，
渐近线方程为y＝±x，
由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图1)，
有两条双曲线右支的切线(图2)，共4条.
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
思维升华
跟踪训练1 (1)(2024·宿迁模拟)已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由于过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为x＝m；
当直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－m)，
则
消去y整理得x2－kx＋km－1＝0，
所以Δ＝0，即关于k的方程k2－4km＋4＝0有两个不同的解，
所以Δ1>0即16m2－16>0，
解得m<－1或m>1，
所以“m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.
(2)直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为
A.(1，4] B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，＋∞) D.(4，＋∞)
√
由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，
要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，
则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即解得m≥1且m≠4，
故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞).
例2 (1)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长度为
A. B. C.2 D.
弦长问题
题型二
√
在椭圆＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
故左焦点为F1(－1，0)，
而tan 60°＝，故直线l的方程为y＝(x＋1)，
联立＋y2＝1，得7x2＋12x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，由弦长公式得|AB|＝×.
(2)已知F是双曲线C：x2－＝1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|等于
A.6 B.8 C. D.
√
由C：x2－＝1可得F(－2，0)，
根据对称性，不妨设过点F的直线为x＝my－2(m>0)，
联立
可得(3m2－1)y2－12my＋9＝0，
由题意可知3m2－1≠0，且Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由|BF|＝2|AF|，得＝2，
又＝(－2－x2，－y2)，＝(x1＋2，y1)，
所以－y2＝2y1. ③
由①③可得y1＝－，y2＝，
代入②得－×，
解得m＝或m＝－(舍)，
y1＝，
所以|AB|＝·|y1－y2|
＝×3|y1|＝×.
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为
|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝··.
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
微拓展
(2)若消去x，则弦长公式为
|AB|＝·|y1－y2|＝·
＝··.
典例 已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于
A. B. C.4 D.4
√
联立双曲线与直线的方程，
得x2－2x－3＝0，Δ＝16，又k＝1，a＝1，
由弦长的万能公式知，|MN|＝·＝4.
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
思维升华
跟踪训练2 (1)已知双曲线C：－x2＝1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，则m等于
A.3 B.－3 C. D.－
√
由C：－x2＝1可知F1(0，－2)，F2(0，2)，
联立
消元得2x2－2mx＋3－m2＝0，
则Δ＝4m2－8(3－m2)>0，即m2>2，
由△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，可知F2到直线AB的距离是F1到直线AB距离的4倍，即＝4×，
化简可得15m2＋68m＋60＝0，即(3m＋10)(5m＋6)＝0，
解得m＝－或m＝－(舍去).
(2)(2024·长沙模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点.若|AB|＝12，则C的焦距为 .
7
由椭圆C的离心率为e＝，可得a＝2c，
则b＝c，
所以椭圆C的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，
由直线AB过椭圆C的左焦点F(－c，0)且斜率为1，
可得AB的方程为y＝x＋c，
联立方程组
整理得7x2＋8cx－8c2＝0，
则Δ＝64c2＋4×7×8c2＝288c2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝·
＝＝12，
解得c＝，
所以椭圆C的焦距为2c＝7.
例3 (1)已知直线l交抛物线C：x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则直线l的斜率为
A.－3 B.－ C. D.－
中点弦问题
题型三
√
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
两式相减得＝－18(y1－y2)，
整理得＝－，
因为MN的中点为(3，－2)，则x1＋x2＝2×3＝6，
所以k＝＝－＝－，
即直线l的斜率为－.
(2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±x D.y＝±4x
√
方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得＝1，＝1，
两式相减可得，
由点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，
即有b2＝4a2，即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
方法二 由题意知kAB＝1，kOP＝4(O为坐标原点)，
则＝kAB·kOP＝4，
所以b2＝4a2，b＝2a，
故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
思维升华
跟踪训练3 (1)(2024·六安模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
两式相减可得，
整理可得＝－，
根据题意可知直线AB的斜率为，
由AB的中点坐标为(1，－1)可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
因此＝－＝－，可得a2＝2b2，
方法二 设AB的中点为P，O为坐标原点，
kAB＝，kOP＝＝－1，
则kAB·kOP＝－＝－，所以a2＝2b2，
由右焦点为F(3，0)可得a2－b2＝c2＝9，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＝1.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为
A.(1，－1) B.(2，0)
C. D.(1，1)
√
∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则
两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称，
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
∴PQ中点的纵坐标为＝－1，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴PQ中点的横坐标为－1＋2＝1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1).
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C D D BCD BCD
题号 9 10 13 14 答案 50 A C 答案
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(1)由条件知，2a＝2，＝tan 30°＝，
故a＝，b＝1.
即双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到直线l的距离为h，
联立得2x2＋6mx＋3m2＋3＝0，
由Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，解得m2>2，
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又m>0，故m>，
则x1＋x2＝－3m，x1x2＝，
故弦长|AB|＝＝，h＝，
又S△AOB＝|AB|h＝×··，
即m4－2m2－8＝0，解得m2＝4，
又m>，故m＝2.
11.
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(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
由题意知解得
故C的方程为+=1.
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(2)设F1M0的中点为P,∴P(0,2),=2,
∴线段F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2,
联立
得3x2+4=12,
即x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,
∴线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.
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(3)设M(x0,y0),
当y0=0时,线段F1M的垂直平分线为直线x=,此时=±2,
解得x0=5或x0=-3,此时M为(5,0)或(-3,0).
当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线为
y=-+=-x+,
联立
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得3x2+4=12,
∴x2-x+-12=0,
∵线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,
∴Δ=-4=0
-12-=0
+(2-14)+-18-32x0-15=0
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+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0
(++2x0+1)(+-2x0-15)=0,
∵++2x0+1=(x0+1)2+>0,
∴+-2x0-15=0.
又点M(5,0),(-3,0)也满足上式,
∴M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16,它为一个圆.
12.
一、单项选择题
1.直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
√
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知识过关
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直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0)，
又<1，即点(1，0)在椭圆的内部，
∴直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为相交.
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2.已知直线2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，则|AB|等于
A. B.5 C.3 D.4
√
将2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x联立得x2－3x＋1＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，
显然抛物线焦点坐标为(1，0)，
令x＝1，即2＋y－2＝0，
得y＝0，则直线过焦点，
则|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
3.若直线l：y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的两点，则k的取值范围是
A. B.
C. D.
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联立方程组
整理得(k2－1)x2＋4kx＋10＝0，
设直线y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，
则满足
解得－4.(2024·内江模拟)已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l与双曲线左、右两支交于点M，N.若＝2，则直线l的方程为
A.y＝x－1 B.y＝x－1或y＝－x－1
C.y＝x－1或y＝－x－1 D.y＝x－1
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答案
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1，
联立 (5－k2)x2＋2kx－2＝0，
则5－k2≠0，且Δ＝4(10－k2)>0，
x1＋x2＝， ①
x1x2＝， ②
因为＝2，则－x1＝2x2， ③
①③联立解得x1＝，x2＝，
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代入②得k2＝1 k＝±1，
则直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
5.(2025·张掖模拟)已知倾斜角为的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为
A.－1 B.－
C.－ D.－
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方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则kAB＝＝1，x0＝，y0＝，
所以kOP＝，
所以kABkOP＝，
将A，B两点坐标代入椭圆方程可得
两式作差可得＝0，
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答案
所以kABkOP＝＝－，
则kOP＝－.
方法二 由题意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1，
由kAB·kOP＝－，
即1×kOP＝－，所以kOP＝－.
6.(2024·洛阳模拟)经过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|等于
A.4 B.4
C. D.
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答案
由题意得F(2，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，
因为过抛物线C：y2＝8x焦点F的直线与抛物线C交于两点，且与抛物线的准线相交，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为y＝k(x－2)，
与C：y2＝8x联立得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1，x2>0，则x1x2＝4，
因为|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，
所以2|AP|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，
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所以3(x1＋2)＝x2＋2，解得x2＝3x1＋4，
因为x1x2＝4，所以3＋4x1－4＝0，
解得x1＝或x1＝－2(舍去)，所以x2＝6，
则|AB|＝x1＋x2＋4＝＋6＋4＝.
二、多项选择题
7.平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆C上，则
A.椭圆C的离心率为
B.直线l：kx＋y－k＝0与椭圆C相交
C.椭圆C的短轴长为2
D.若椭圆C上弦AB的中点坐标为，则直线AB的斜率为－
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设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，且m≠n)，
则解得
所以椭圆方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，e＝，故A错误；
直线l的方程可整理为k(x－1)＋y＝0，
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令解得
所以直线l恒过定点(1，0)，
因为＋0<1，所以点(1，0)在椭圆＋y2＝1内，所以直线l与椭圆相交，故B正确；
2b＝2，所以短轴长为2，故C正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
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答案
两式相减得
＝－(y1＋y2)(y1－y2)，
因为弦AB的中点为，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
所以＝－(y1－y2)，
整理得kAB＝＝－，故D正确.
8.已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率为k3，则
A.C的准线方程为y＝－1
B.k1，k3，k2成等差数列
C.若P在C的准线上，则k1k2＝－1
D.若P在C的准线上，则|AF|＋4|BF|的最小值为
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抛物线C：x2＝y，抛物线C的准线方程为y＝－，A选项错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵y'＝8x，∴k1＝8x1，k2＝8x2，
k3＝＝4(x2＋x1)，
∴k1＋k2＝2k3，B选项正确；
由上可知直线PA：y＝8x1x－4，
直线PB：y＝8x2x－4，解得P，
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答案
又P在C的准线上，所以4x1x2＝－，x1x2＝－，k1k2＝64x1x2＝－1，
C选项正确；
|AF|＋4|BF|＝y1＋4y2＋＝4＋16≥16|x1x2|＋，
当且仅当x1＝－2x2时取等号，D选项正确.
三、填空题
9.已知双曲线－y2＝1，则过(3，0)且和双曲线只有一个交点的直线的
斜率为 .
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答案
±
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答案
方法一 由题意得直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为k，则过点(3，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x－3)，
联立
化简并整理得(1－4k2)x2＋24k2x－36k2－4＝0，
由题意得1－4k2＝0或Δ＝＋4(36k2＋4)(1－4k2)＝0，解得k＝±，
经检验，符合题意.
所以所求直线的斜率为±.
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答案
方法二 由题意得点(3，0)在双曲线－y2＝1右支的内部，若该直线过(3，0)且和双曲线只有一个交点，则该直线与双曲线的渐近线平行，故所求直线的斜率为±＝±.
10.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线FA的斜率为，且·＝0，延长AF，BF分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的面积为 .
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答案
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答案
由题可知，抛物线的焦点为F(1，0)，
因为直线FA的斜率为，
所以直线AP的方程为y＝(x－1)，
与抛物线C的方程联立，得x2－18x＋1＝0，
所以Δ＝(－18)2－4>0，
设A(x1，y1)，P(x2，y2)，
则x1＋x2＝18，x1x2＝1，
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答案
故|AP|＝·
＝×8＝20.
因为·＝0，所以FA⊥FB，
所以直线FB的斜率为－2，直线BQ的方程为y＝－2(x－1)，
与抛物线C的方程联立，得x2－3x＋1＝0.
所以Δ＝(－3)2－4>0，
设B(x3，y3)，Q(x4，y4)，
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答案
则x3＋x4＝3，x3x4＝1，
故|BQ|＝·×＝5.
所以四边形ABPQ的面积为|AP|·|BQ|＝50.
四、解答题
11.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，焦点为F1，F2，其中一条渐近
线的倾斜角为30°，点M在双曲线上，且||MF1|－|MF2||＝2.
(1)求双曲线C的标准方程；
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答案
由条件知，2a＝2，＝tan 30°＝，故a＝，b＝1.
即双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)直线l：y＝x＋m交C于A，B两点，若△AOB的面积为(O为坐标原点)，求正实数m的值.
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答案
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答案
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到直线l的距离为h，
联立得2x2＋6mx＋3m2＋3＝0，
由Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，解得m2>2，
又m>0，故m>，
则x1＋x2＝－3m，x1x2＝，
故弦长|AB|＝
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答案
＝，h＝，
又S△AOB＝|AB|h＝×··，
即m4－2m2－8＝0，解得m2＝4，
又m>，故m＝2.
12.(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),
F2(1,0).
(1)求C的方程;
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答案
设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
由题意知解得
故C的方程为+=1.
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答案
设F1M0的中点为P,∴P(0,2),=2,
∴线段F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2,
联立
得3x2+4=12,即x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,
∴线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.
(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;
(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.
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答案
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答案
设M(x0,y0),
当y0=0时,线段F1M的垂直平分线为直线x=,此时=±2,
解得x0=5或x0=-3,此时M为(5,0)或(-3,0).
当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线为
y=-+=-x+,
联立
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答案
得3x2+4=12,
∴x2-x+-12=0,
∵线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,
∴Δ=-4=0
-12-=0
+(2-14)+-18-32x0-15=0
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答案
+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0
(++2x0+1)(+-2x0-15)=0,
∵++2x0+1=(x0+1)2+>0,
∴+-2x0-15=0.
又点M(5,0),(-3,0)也满足上式,
∴M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16,它为一个圆.
13.(2024·郑州模拟)已知双曲线＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t，0)的弦的端点A，B与点G(m，0)的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB，则m的值为
A. B. C.t2 D.
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答案
√
能力拓展
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答案
设直线AB的方程为x＝ny＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示，
联立直线和双曲线方程
整理可得(b2n2－a2)y2＋2b2nty＋b2(t2－a2)＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
且满足Δ＝－4b2(t2－a2)(b2n2－a2)>0，即a2由∠NGA＝∠NGB，可得直线AG，BG的斜率之和为0，
即kAG＋kBG＝0，所以＝0，
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答案
即2ny1y2＋(t－m)(y1＋y2)＝0，
即2n·＋(t－m)＝0，
整理可得2nb2(t2－a2)－2b2nt(t－m)＝0，
可得tm－a2＝0，即m＝.
14.阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线C与直线l交于A，B两点，要求弓形部分面积，先构造直线l'∥l，l'与抛物线相切于点P，得到一级△PAB；用同样的方法在切点P两旁得到两个二级△DPA，△EPB；再用同样的方法在切点D，E两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是
上一级三角形面积的，那么求出△PAB的面积就可以得
出弓形面积.若已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x－y－1＝
0，则抛物线C与直线l围成的弓形面积为
A.4 B.8
C. D.16
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答案
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答案
由l：x－y－1＝0，设l'为：x－y＋c＝0，
联立 x2＋(2c－4)x＋c2＝0，
由于l'与抛物线相切，所以Δ＝(2c－4)2－4c2＝0，
解得c＝1，
故x2－2x＋1＝0 x＝1，故切点P(1，2)，
所以点P(1，2)到直线l的距离为d＝，
由 x2－6x＋1＝0，
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答案
设抛物线C与直线l相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝·
＝×＝8，
所以S△ABP＝|AB|×d＝×8×＝4，
根据规律，每一级三角形的个数是上一级三角形个数的2倍，
每个新构建的三角形的面积是上一级三角形面积的，
则第n级的所有三角形的面积和
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答案
返回
Sn＝4×2n－1×＝4×，
故经过n次分割后得到的所有三角形面积之和为
S＝4×
＝4×.
当n→＋∞时，S→，故抛物线C与直线l围成的弓形面积为.