1. 3 勾股定理的应用 教案 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 1. 3 勾股定理的应用 教案 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 57.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-18 22:41:30 | ||
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文档简介
3 勾股定理的应用
【教学目标】
1.通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的空间观念.
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
【重点难点】
重点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理解决实际问题.
难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理解决实际问题.
【教学过程】
一、创设情境
有一矩形纸片ABCD,将其折叠,使C与A重合,折痕为EF.请在图中画出折叠后的图形.
二、探究归纳
内容1:勾股定理在折叠中的应用
如图所示,将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠,点D落在BC边的F处.已知AB=CD=8 cm,BC=AD=10 cm,求EC的长.
分析:小组合作,解决下列问题:
1.标已知,标问题(边长的问题一般有什么方法解决 ),明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数x;
2.利用折叠,找全等.
(1)你能从中找到全等三角形吗
(2)折叠后出现的相等的线段有哪些
(3)折叠后出现的相等的角有哪些
3.将已知边和未知边(用含x的代数式表示)转化到同一直角三角形中表示出来.
4.利用勾股定理,列方程,解方程,得解.
学生很容易得到,EC在Rt△EFC中,能把重点放到Rt△EFC的三条边上,根据折叠可以知道△AFE≌△ADE,其中AF=AD=10 cm,EF=ED,∠AFE=90°,并且EF+EC=DC=8 cm.在Rt△ABF中,根据勾股定理可以得出BF=6,则FC=4,在Rt△FEC中,可以设EC=x,则EF=8-x,根据勾股定理可以得EC2+FC2=EF2,即x2+42=(8-x)2.
解:由折叠可得,△AFE≌△ADE,
∴AF=AD=10 cm,EF=ED,AB=8 cm,EF+EC=DC=8 cm,
在Rt△ABF中,根据勾股定理得,
BF===6,
∴FC=BC-BF=4 cm,
设EC=x cm,则EF=DC-EC=(8-x)cm,
在Rt△EFC中,根据勾股定理得,
EC2+FC2=EF2,
即x2+42=(8-x)2,
x=3,
∴EC的长为3 cm.
解题步骤归纳:
1.标已知,标问题(边长的问题一般有什么方法解决 ),明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数x;
2.利用折叠,找全等.
3.将已知边和未知边(用含x的代数式表示)转化到同一直角三角形中表示出来.
4.利用勾股定理,列出方程,解方程,得解.
拓展训练:
长方形还可以怎样折叠,要求折叠一次,给出两个已知条件,提出问题,并解答问题.(提前让学生在课下研究,参考资料,体验折叠的多样性,并灵活运用折叠前后的特点以及勾股定理解决问题)
常见折叠方法:
让设计成功的学生上台展示他们的成果,并给同学思考时间,再让展示的学生讲解.老师补充.
设计意图:举一反三,让学生运用学会的方法和思路来解决问题,形成触类旁通的数学能力.要充分相信学生,多数题目学生可以当“老师”,完全可以讲明白,在不断学习中使数学能力得到提高.
内容2:勾股定理的实际应用
独立完成:
今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)
题目大意为:有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 (1丈=10尺)
方法提炼:
利用勾股定理解决实际问题的一般思路:
(1)重视对实际问题题意的正确理解;
(2)建立对应的数学模型,运用相应的数学知识.
三、交流反思
师生相互交流总结:
1.折叠问题中,解题的关键是什么
2.解决实际问题的关键点是什么
意图:鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及逆定理的广泛应用及它们悠久的历史.
四、检测反馈
1.(2025·抚州期末)如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=4,将此长方形沿EF折叠,使点D与点B重合,则AE的长度为__________.
2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗 请你与同伴交流设计方案
五、布置作业
P14、15习题1.3 1,2,3题.
六、板书设计
勾股定理的应用 情境引入—— 小试牛刀: 举一反三—— 合作探究—— 1.________ 1.________ 2.______ 2.______ 3.______ 课后作业:
七、教学反思
折纸问题是学生比较熟悉的问题,通过动手操作,让学生在做中发现联系,找到规律.
本节课从生动有趣的问题情景出发,通过学生自主探究,运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,既巩固了基本知识点,又在将实际问题抽象成几何图形过程中,学会观察,提高分析能力,渗透数学建摸思想.在设计中,注重以下几点:
1.要充分利用好教材提供的素材
2.合理使用教材提供的练习
本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组,使练习有梯度,既巩固了基本知识点,又训练了学生的应用能力.第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆定理.
3.突破重点、突破难点的策略
在教学过程中教师应通过情景创设,激发兴趣,鼓励引导学生经历探索过程,得出结论,从而发展学生的数学应用能力,提高学生解决实际问题的能力.
4.分层教学
根据本班学生实际情况可在教学过程中选择:基础训练——“小试牛刀”;提高训练——“举一反三”;拓展训练——作业第2题.
5.评价方式
根据新课标的评价理念,在教学过程中应关注学生的参与程度,关注活动中所反映出的思维水平,关注对实际问题的理解水平,关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力.在教学过程中尊重学生的个体差异,对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励,并帮助学生树立学习数学的自信,充分发挥教育的价值.
【教学目标】
1.通过观察图形,探索图形间的关系,发展学生的空间观念.
2.在将实际问题抽象成数学问题的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.
【重点难点】
重点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理解决实际问题.
难点:利用数学中的建模思想构造直角三角形,利用勾股定理及逆定理解决实际问题.
【教学过程】
一、创设情境
有一矩形纸片ABCD,将其折叠,使C与A重合,折痕为EF.请在图中画出折叠后的图形.
二、探究归纳
内容1:勾股定理在折叠中的应用
如图所示,将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠,点D落在BC边的F处.已知AB=CD=8 cm,BC=AD=10 cm,求EC的长.
分析:小组合作,解决下列问题:
1.标已知,标问题(边长的问题一般有什么方法解决 ),明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数x;
2.利用折叠,找全等.
(1)你能从中找到全等三角形吗
(2)折叠后出现的相等的线段有哪些
(3)折叠后出现的相等的角有哪些
3.将已知边和未知边(用含x的代数式表示)转化到同一直角三角形中表示出来.
4.利用勾股定理,列方程,解方程,得解.
学生很容易得到,EC在Rt△EFC中,能把重点放到Rt△EFC的三条边上,根据折叠可以知道△AFE≌△ADE,其中AF=AD=10 cm,EF=ED,∠AFE=90°,并且EF+EC=DC=8 cm.在Rt△ABF中,根据勾股定理可以得出BF=6,则FC=4,在Rt△FEC中,可以设EC=x,则EF=8-x,根据勾股定理可以得EC2+FC2=EF2,即x2+42=(8-x)2.
解:由折叠可得,△AFE≌△ADE,
∴AF=AD=10 cm,EF=ED,AB=8 cm,EF+EC=DC=8 cm,
在Rt△ABF中,根据勾股定理得,
BF===6,
∴FC=BC-BF=4 cm,
设EC=x cm,则EF=DC-EC=(8-x)cm,
在Rt△EFC中,根据勾股定理得,
EC2+FC2=EF2,
即x2+42=(8-x)2,
x=3,
∴EC的长为3 cm.
解题步骤归纳:
1.标已知,标问题(边长的问题一般有什么方法解决 ),明确目标在哪个直角三角形中,设适当的未知数x;
2.利用折叠,找全等.
3.将已知边和未知边(用含x的代数式表示)转化到同一直角三角形中表示出来.
4.利用勾股定理,列出方程,解方程,得解.
拓展训练:
长方形还可以怎样折叠,要求折叠一次,给出两个已知条件,提出问题,并解答问题.(提前让学生在课下研究,参考资料,体验折叠的多样性,并灵活运用折叠前后的特点以及勾股定理解决问题)
常见折叠方法:
让设计成功的学生上台展示他们的成果,并给同学思考时间,再让展示的学生讲解.老师补充.
设计意图:举一反三,让学生运用学会的方法和思路来解决问题,形成触类旁通的数学能力.要充分相信学生,多数题目学生可以当“老师”,完全可以讲明白,在不断学习中使数学能力得到提高.
内容2:勾股定理的实际应用
独立完成:
今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)
题目大意为:有一个水池,水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少 (1丈=10尺)
方法提炼:
利用勾股定理解决实际问题的一般思路:
(1)重视对实际问题题意的正确理解;
(2)建立对应的数学模型,运用相应的数学知识.
三、交流反思
师生相互交流总结:
1.折叠问题中,解题的关键是什么
2.解决实际问题的关键点是什么
意图:鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想,体会到勾股定理及逆定理的广泛应用及它们悠久的历史.
四、检测反馈
1.(2025·抚州期末)如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=4,将此长方形沿EF折叠,使点D与点B重合,则AE的长度为__________.
2.如图是学校的旗杆,旗杆上的绳子垂到了地面,并多出了一段,现在老师想知道旗杆的高度,你能帮老师想个办法吗 请你与同伴交流设计方案
五、布置作业
P14、15习题1.3 1,2,3题.
六、板书设计
勾股定理的应用 情境引入—— 小试牛刀: 举一反三—— 合作探究—— 1.________ 1.________ 2.______ 2.______ 3.______ 课后作业:
七、教学反思
折纸问题是学生比较熟悉的问题,通过动手操作,让学生在做中发现联系,找到规律.
本节课从生动有趣的问题情景出发,通过学生自主探究,运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,既巩固了基本知识点,又在将实际问题抽象成几何图形过程中,学会观察,提高分析能力,渗透数学建摸思想.在设计中,注重以下几点:
1.要充分利用好教材提供的素材
2.合理使用教材提供的练习
本节课通过“小试牛刀”和“举一反三”把教材中的练习重组,使练习有梯度,既巩固了基本知识点,又训练了学生的应用能力.第一个作业让学生深入理解和应用勾股定理及逆定理.
3.突破重点、突破难点的策略
在教学过程中教师应通过情景创设,激发兴趣,鼓励引导学生经历探索过程,得出结论,从而发展学生的数学应用能力,提高学生解决实际问题的能力.
4.分层教学
根据本班学生实际情况可在教学过程中选择:基础训练——“小试牛刀”;提高训练——“举一反三”;拓展训练——作业第2题.
5.评价方式
根据新课标的评价理念,在教学过程中应关注学生的参与程度,关注活动中所反映出的思维水平,关注对实际问题的理解水平,关注学生对基本知识的掌握情况和应用勾股定理及逆定理解决实际问题的意识和能力.在教学过程中尊重学生的个体差异,对于学生的回答教师应给予恰当的评价与鼓励,并帮助学生树立学习数学的自信,充分发挥教育的价值.
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