2. 1　认识实数 教案 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

第二章　实数
1　认识实数
第1课时
【教学目标】
1.通过拼图活动,感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数,会判断一个数是不是无理数.
3.通过探究归纳,从中体会无限逼近的思想.
【重点难点】
重点:通过拼图活动,感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.会判断一个数是不是无理数.
难点:借助计算器探索无理数是无限不循环小数,并从中体会无限逼近的思想.
【教学过程】
一、创设情境
质疑
内容:【想一想】
(1)一个整数的平方一定是整数吗
(2)一个分数的平方一定是分数吗
【算一算】
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:x是整数(或分数)吗
【剪剪拼拼】
把边长为1的两个小正方形通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗
【议一议】已知a2=2,请问:①a可能是整数吗
②a可能是分数吗
满足a2=2的a为什么不是整数
满足a2=2的a为什么不是分数
让学生回顾“有理数”概念,既然a不是整数也不是分数,那么a一定不是有理数,这表明:有理数不够用了,为“新数”(无理数)的学习奠定了基础.
二、探究归纳
1.探索无理数的小数表示
内容:借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.
请看图,判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系 边长a的取值范围大致是多少 如何估算的 是否存在一个小数的平方等于2 说说你的理由.
边长a 面积S
11.41.411.4141.414 2　　结论1:a是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它们是无限不循环小数.
请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.
2.探索有理数的小数表示,明确无理数的概念
内容:请同学们以学习小组的形式活动:一同学举出任意一个分数,另一同学将此分数表示成小数,并总结此小数的形式.
议一议:分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况
结论2:分数只能化成有限小数或无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
强调:像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.
我们把无限不循环小数叫作无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数).
内容:到目前为止我们所学过的数可以分为几类 (按小数的形式来分).
数
强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样分类
三、交流反思
本节课你有哪些收获
1.无理数的定义.
2.你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的
3.已学过的数可以怎样分类
四、检测反馈
1.课本P24 随堂练习.
2.在数-,5,-1.,π,3.1416,,0,42,(-1)2n,-1.424 224 222…中,
(1)写出所有有理数.
(2)写出所有无理数.
(3)把这些数按由小到大的顺序排列起来,并用符号“<”连接.
五、布置作业
P29习题2.1　1,2,3题
六、板书设计
2.1　认识实数
第1课时
一、导入
二、新课
1.有理数的定义:有限小数或无限循环小数.
2.无理数的定义:无限不循环小数.
3.数的分类:
数
三、例题讲述
四、小结
七、教学反思
(一)生活是数学的源泉,兴趣是学习的动力
大量事实都证明一点,与生活贴得越近的东西越容易引起学习者的浓厚兴趣,越能激发学习者的学习积极性,学习才可能是主动的.本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑,生活中的数并不都是有理数,那它们究竟是什么数呢 从而引发了学生的好奇心,为获取新知,创设了积极的氛围.在教学中,不要盲目抢时间,让学生能够充分地思考与操作.
(二)化抽象为具体
常言道:“数学是锻炼思维的体操”,数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维,因此对新数的学习不能仅仅停留于感性认识,还应要求学生充分理解,并能用恰当数学语言进行解释.正是基于这个原因,在教学过程中,刻意安排了一些环节,加深对新数的理解,充分感受新数的客观存在,让学生觉得新数并不抽象.
(三)强化知识间联系,注意纠错
既然称之为“新数”,那它当然不是有理数,亦即不是整数,也不是分数,所以“新数”不可以用分数来表示,这为进一步学习“新数”,即第二课时教学埋下了伏笔,在教学中,要着重强调这一点:“新数”不能表示成分数,为无理数的教学奠好基础.
1　认识实数
第2课时
【教学目标】
1.了解实数的意义,能对实数按要求进行分类;了解实数和数轴上的点一一对应,能根据实数在数轴上的位置比较大小.
2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
3.在利用数轴上的点来表示实数的过程中,让学生进一步体会数形结合的思想.
【重点难点】
重点:1.了解实数意义,能对实数进行分类.
2.在实数范围求相反数、倒数和绝对值、明确实数的运算规律.
3.明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数.
难点:利用数轴上的点表示无理数.
【教学过程】
一、创设情境
问题:(1)什么是有理数 有理数怎样分类
(2)什么是无理数 带根号的数都是无理数吗
回顾以前学习过的内容,为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备.
二、探究归纳
1.把下列各数分别填入相应的集合内:
-3.141 6,,4.,π,-,7.166,-,1.010 010 001,-2.747 474……5,,0,
0.373 773 777 3……(相邻两个3之间7的个数逐次增加1)
知识整理:有理数和无理数统称为实数.通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合,建立实数概念.
2.你能把上面各数分别填入下面相应的集合内吗
　　0属于正数吗 0属于负数 无理数和有理数一样,也有正负之分.
3.在有理数中,数a的相反数是什么 绝对值是什么 当a不为0时,它的倒数是什么
π有相反数吗 倒数呢 -π的绝对值是多少
从复习入手,类比有理数中的相关概念,建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念,它们的意义和有理数范围内的意义是一致的.
4.在有理数范围内,能进行哪些运算 (加、减、乘、除、乘方),用哪些运算律
从复习入手,类比有理数中的相关运算及运算律,得到有理数的运算及运算律对实数仍然适用.
5.认真观察,探讨下列问题:
议一议:
(1)如图,OA=OB,数轴上A点表示的是什么数(有理数或无理数) 它介于哪两个整数之间
(2)如果将所有有理数都标到数轴上,那么数轴被填满了吗
探讨用数轴上的点来表示实数,将数和图形联系在一起,让学生进一步领会数形结合的思想,利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小.
三、交流反思
在教学中通过设置疑问,创设出思维情境,然后引导学生动脑、动手,使学生在开放、民主、和谐的教学氛围中获取知识,提高能力,促进思维的发展.借助多媒体辅助教学,增大容量和直观性,增强学习兴趣,从而达到提高教学效果和质量的目的.引导学生仔细看、多动脑、多交流、勤练习,培养他们会观察、会类比、会分析、会归纳的能力.
四、检测反馈
1.判断下列说法是否正确:
(1)无限小数都是无理数.
(2)无理数都是无限小数.
(3)实数包含正实数和负实数.
2.计算:(π-2)0-|-5|+(-1)2 024+-2.
3.在数轴上作出平方为5的对应的点.
通过以上练习,检测学生对实数相关知识的掌握情况.
第1,2题学生能较好地完成,在解决第3题时遇到了一定的困难,通过回顾平方为2的数的作法,学生相互讨论、交流,确定了作长、宽分别为2和1的长方形,其对角线长的平方即为5,从而能在数轴上作出相应的点.
五、布置作业
P28随堂练习1,2,3
六、板书设计
2.1　认识实数
第2课时
一、实数定义
二、实数分类:实数或实数
三、实数的相关概念与运算:
相反数　倒数　绝对值　运算
四、实数和数轴上的点一一对应　　　　　　　　　　　　　
七、教学反思
实数作为有理数的扩张,其具体研究内容和有理数完全类似,因此学习中,本课时设计中,十分关注前后知识之间的内在联系,关注运用类比的思想学习新的知识,这是本课设计中一个十分显著的特点.实际上,类似的问题在其他知识学习中同样存在,注意体会.
此外,根据学生的认知状况,借助类比学习实数有关知识,还可以有一些不同的尝试,如果学生整体认知水平较高,可以要求学生首先回忆有关有理数学习内容和顺序,并根据这个知识框架思考是否可以构建实数的有关顺序,思考在各个具体内容如何研究等问题,然后再打开书本比照学习.当然也可以首先提出一些思考的问题,让学生自学,整理有关框架,并和旧的框架建立联系等.教无定法,关键在于适应你的学生状况.