2. 3　二次根式 教案（3课时） 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

3　二次根式
第1课时
【教学目标】
1.认识二次根式.
2.探索二次根式的乘法法则和除法法则.
【重点难点】
重点:1.二次根式的概念.
2.二次根式的乘除法则.
难点:利用二次根式的乘除法则进行计算.
【教学过程】
一、创设情境
,,,,(其中b=24,c=25),上述式子有什么共同特征
答:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数.
介绍二次根式的概念.一般地,式子(a≥0)叫作二次根式.a叫作被开方数.强调条件:a≥0.
二、探究归纳
二次根式怎样进行运算呢
×=__________,=__________;
×=________,=________;
=________,=________;
=__________,=__________.
×=________,=________;
=________,=________.
观察上面的结果你可得出什么结论
最终归纳出二次根数的乘法法则和除法法则.
·=(a≥0,b≥0)　=(a≥0,b>0)
例1:计算:
(1)× .(2).(3).
解:(1)×===2.
(2)====3.
(3)===.
说明:常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数,使得分母成为一个平方数.
例2:计算: (1)3×2.(2)×-5.
(3)(+1)2.(4)(+3)(-3).
(5)(-)×.(6).
解:(1)3×2=3×2×=6.
(2)×-5=-5=-5=6-5=1.
(3)(+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2.
(4)(+3)(-3)=()2-32=4.
(5)-×=×-×=-=6-1=5.
(6)=+=+=2+3=5.
三、交流反思
(1)掌握并会运用公式:·=(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0).
(2)理解本节课中用过的数学方法:类比,找规律,归纳总结.
四、检测反馈
　　1.计算×的结果为 (　　)
A. B. C.2 D.
2.计算×2的值为 (　　)
A.2 B. C. D.3
3.若代数式=成立,则x的取值范围是 (　　)
A.x≥-1 B.x≤2
C.-1≤x≤2 D.-14.计算:÷=__________.
5.÷=____________.
五、布置作业
P46　习题2.3　1.(1)(2)
六、板书设计
3.二次根式(1)
二次根式的乘法法则和除法法则 例:二次根式的计算 练习
七、教学反思
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程,运用类比的方法,得出实数运算律和运算法则,使学生清楚新旧知识的区别和联系.
根据新课标精神,对学生的评价不能过分要求技巧,应关注学生对运算法则的理解,能否根据问题的特点,选择合理、简便的算法,能否依据算理正确地进行计算,能否确认结果的合理性等等,对于较复杂的实数运算,应关注学生是否会使用计算器进行运算.因此,注意对运算技能要求作恰当的定位,特别是在开始运算的第一课时,不要提高要求.
本节课在教学设计中考虑了学生的层次不同,对知识深度和广度的要求也有所不同,因此,增加了知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.
3　二次根式
第2课时
【教学目标】
1.通过对公式的反向运用,达到化简的目的.学会一种特殊的思考方法.
2.认识最简二次根式.
【重点难点】
重点:二次根式的化简.
难点:利用二次根式的性质将二次根式化简为最简二次根式.
【教学过程】
一、创设情境
复习算术平方根的概念,并提出问题:下面正方形的边长分别是多少
这两个数之间有什么关系,你能借助什么运算法则或运算率解释它吗 点明本节课研究课题,借助复习,在巩固旧知的同时,导入新课.
二、探究归纳
在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式的性质:
=·(a≥0,b≥0),=(a≥0,b>0).
例1:化简:(1).(2).(3).
总结最简二次根式的定义.
化简时,要求最终结果是最简二次根式.
例2:化简:(1).(2).(3).(4).(5).
(1)你怎么发现45含有开得尽方的因数的 你怎么判断是最简二次根式的
(2)将二次根式化成最简二次根式时,你有哪些经验与体会,与同学交流.
例3:计算:
(1)+.(2)-.
(3)×.
解:(1)+=+=×+=4+=5.
(2)-=-=-=-=.
(3)×=+=+=2+3=5.
三、交流反思
基于第1课时二次根式的乘除法则得到二次根式性质和加减法法则,进而利用它们进行二次根式的运算,经历本节课的学习,学生将对实数的运算,有较全面的了解,同时进一步熟练实数的运算,为今后的学习打下坚实的基础.
四、检测反馈
1.下列平方根中, 已经简化的是 (　　)
A.　　B.　　C.2 　　D.
2.判断下列各式是否成立.你认为成立的请在(　　)内打对号 ,不成立的打错号.
①=2(　　);
②=3(　　)
③=4(　　);
④=5(　　)
你判断完以后,发现了什么规律 请用含有n的式子将规律表示出来,并说明n的取值范围
五、布置作业
课本P44　随堂练习1,2
六、板书设计
3.二次根式(2)
例1 课堂练习 学生板演练习
例2
例3
七、教学反思
本节课提出了最简二次根式,给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法.同学们需通过练习认真体会各类方法,做到能灵活运用.为今后的学习打下基础.
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同,对知识的要求也不同,因此增加了知识拓展的内容,供层次高一些的学生及班级选用.
3　二次根式
第3课时
【教学目标】
1.进一步理解二次根式的概念,进一步熟练二次根式的化简.
2.了解根号内含有字母的二次根式的化简.
3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题. 通过独立思考,能选择合理的方法解决问题.
【重点难点】
重点:进一步完善二次根式的运算.
难点:根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点.
【教学过程】
一、创设情境
如图所示,图中小正方形的边长为1,试求图中梯形的面积,你有哪些方法,与同伴交流.
　　1.交流
让学生充分发表意见.
2.答案
(1)直接求法.
过点D作AB边上的高DE,可发现边AB,DC及DE都是某一个小直角三角形的斜边.根据勾股定理可求得AB=5, CD=,DE=3,梯形ABCD的面积是(5+)×3=18.
(2)间接求法.
将梯形ABCD补成一个5×7的长方形,用长方形的面积减去3个小三角形的面积,得梯形ABCD的面积是5×7-×5×5-×4×2-×1×1=18.
二、探究归纳
例:计算:
(1)-.(2)-+.
(3)-÷.
解:(1)-=-
=-==.
(2)-+=-+
=3-2+=.
(3)÷=÷-÷
=-
=-=-
=2-=.
三、交流反思
化简-·.其中a=3,b=2.你是怎么做的.
四、检测反馈
化简:(1)(2-2)(3+).
(2)3(2-4+3).
五、布置作业
P47　习题2.3　3
六、板书设计
3.二次根式(3)
例 课堂练习 学生板演练习
重要公式
七、教学反思
本节课继续熟练二次根式的化简,要求化成最简二次根式.同学们需通过练习认真体会各类方法,做到熟练并能灵活运用.
本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简,仍然要求化成最简二次根式.这部分内容对学生的基础要求较高,基础不好的班级可降低难度.