4. 2　认识一次函数 教案 （2课时）2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

2　认识一次函数
第1课时
【教学目标】
1.理解一次函数和正比例函数的概念.
2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
3.经历一般规律的探索过程,发展学生的抽象思维能力.
4.经历从实际问题中得到函数关系式这一过程,发展学生的数学应用能力.
【重点难点】
重点:理解一次函数和正比例函数的概念.
难点:能根据所给条件写出简单的一次函数表达式,发展学生的抽象思维能力.
【教学过程】
一、创设情境
例1:某弹簧的自然长度为3 cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg、2 kg、3 kg、4 kg、5 kg时的弹簧长度,并填入下表:
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
(2)弹簧长度随物体质量均匀变化吗 是怎么变化的
(3)你能写出x与y之间的关系式吗
【规范解答】(1) 3、　3.5、　4、　4.5、　5、　5.5 ;
(2)均匀变化　质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.
(3) y=3+0.5x.
例2:写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数 是否为正比例函数
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;
(3)某水池有水15 m3,现打开进水管进水,进水速度为5 m3/h,x h后这个水池内有水y m3.
【规范解答】(1)由路程=速度×时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数;
(2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数;
(3)这个水池每时增加5 m3水,x h增加5x m3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
二、探究归纳
提问:这两个解析式有什么共同特点
通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念:
如果两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
三、交流反思
从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的剩余油量)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.
四、检测反馈
1.在函数(1)y=;(2)y=x-5;(3)y=-4x;(4)y=2x2-3x;(5)y=;(6)y=中是一次函数的是________,是正比例函数的是______.
2.若函数y=(6+3m)x+4n-4是一次函数,则m,n应满足的条件是________;若是正比例函数,则m,n应满足的条件是________.
3.当k=____时,函数y=(k+3)-5是关于x的一次函数.
五、布置作业
P86习题4.2　 1、2、3题
六、板书设计
4.2　认识一次函数(1)
一次函数定义 正比例函数定义 例1 例2 学生板演练习
七、教学反思
函数是初中阶段数学学习的一个重要内容,学生又是第一次接触函数,充分考虑学生的接受能力,本节从生动有趣的问题情景出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.又通过具有丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,为下一步学习《一次函数的图象》奠定基础,并形成用函数观点认识现实世界的能力与意识.
2　认识一次函数
第2课时
　　【教学目标】
1.了解分段函数的概念和出现的意义;
2.能根据实际问题写出分段函数的表达式,并能解决相关问题.
3.经历用一次函数来解决实际问题的函数模型的过程,使学生感受到数学与生活的联系.让学生参与到教学活动中,提高学习及运用数学知识的积极性.
【重点难点】
重点:用一次函数知识来解决实际问题.
难点:建立实际问题的数学模型.
【教学过程】
一、创设情境
某单位需租一辆45座大客车,咨询了甲、乙两家出租车公司.甲公司的计费标准:直接按里程计费,每千米15元.乙公司的计费标准:除了每千米10元的里程费外,另有服务费200元(不足1 km按1 km计算).
(1)假设该单位用车里程为30 km,你建议租用哪家公司的客车
(2)假设该单位用车里程为52 km,你建议租用哪家公司的客车
(3)用车里程为多少千米时,两家出租车公司的收费相同
【规范解答】
根据题意,分别计算出甲、乙两家出租车公司的费用,然后进行比较即可.
(1)30×15=450(元)
30×10+200=300+200=500(元)
450<500
答:建议租用甲公司的客车.
(2)52×15=780(元)
52×10+200=520+200=720(元)
780>720
答:建议租用乙公司的客车.
(3)设用车里程为x千米.
15x=10x+200
5x=200
x=40
答:用车里程为40千米时,两家出租车公司的收费相同.
二、探究归纳
例1:为增强居民节水意识,某市从2008年5月1日起,自来水公司对居民生活用水采用以户为单位分段计费办法收费.下表为收费标准的一部分:
用水类别 价格 备注
居民生活 用水 2.8元/立方米 8立方米以下 (含8立方米)/月·户
4.4元/立方米 8立方米以上/月·户
设用户用水量为x立方米,自来水公司应收水费y元.
(1)试求出y(元)与x(立方米)之间的函数关系式;
(2)如果用户李凯家今年8月的用水量为14立方米,那么李凯这个月应缴水费多少元
【规范解答】(1)由题意得:y=2.8x(x≤8);
y=2.8×8+4.4(x-8)=4.4x-12.8(x>8).
∴y(元)与x(立方米)之间的函数关系式为y=;
(2)因为x=14>8,所以y=4.4×14-12.8=48.8(元).
所以,李凯家这个月应缴水费48.8元.
提问:像这样的计费有什么意义 设计计费规则时要注意什么 生活中还有哪些情况用到类似的计费方法
答:出租车计费问题,阶梯水费、电费,个人所得税,邮资等等.
三、交流反思
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式,这样的函数称为分段函数.
解决分段函数问题的关键是按自变量的取值范围得出不同的表达式,进行分类讨论,选择合适的区间解决相关问题.
四、检测反馈
沙尘暴发生后,经过开阔荒漠时加速,过乡镇、遇到防护林带区则减速,最终停止.某气象研究所观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程,记录了风速y(km/h)随时间t(h)变化的图象(如图)
(1)求沙尘暴的最大风速;
(2)用恰当的方式表示沙尘暴风速y与时间t之间的关系.
五、布置作业
P87、88习题4.2　10、11、12
六、板书设计
4.2　认识一次函数(2)
一个模型:分段函数
一个方法:数学模型方法
一种数学思想:分类讨论
一种意识:数学“源于生活、寓于生活、用于生活”
七、教学反思
分段函数在实际生活中经常用到,因为不是一个函数表达式在所有的自变量范围内可以通用,所以经常需要对自变量的范围进行分段讨论,通过这节课的学习,让学生进一步理解自变量取值范围的意义.