5. 3　二元一次方程组的应用 教案（3课时）2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

3　二元一次方程组的应用
第1课时
【教学目标】
1.在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能.
2.使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤,让学生亲自经历和体验运用方程(组)解决实际问题的过程,进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力.
3.进一步丰富学生数学学习的成功体验,激发学生对数学学习的好奇心,进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.
【重点难点】
重点:根据等量关系列二元一次方程组解应用题.
难点:
1.读懂古算题;
2.根据题意找出等量关系,列出方程.
【教学过程】
一、创设情境
例:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何
活动目的:体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程,通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点,从而感受方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中,领会列二元一次方程组,思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.
活动实际效果:这样,一方面在列方程组的建模过程中,强化了方程的模型思想,并通过比较,感受了列二元一次方程组的优越性,培养了学生列方程(组)解决实际问题的意识和应用能力;另一方面,将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,在实际问题的解决过程中,进一步提高学生解方程组的技能.
活动实际效果:学生能用方程的思想简化思维过程,解决同类古算题.
二、探究归纳
活动内容1:
例:今有甲、乙怀钱,各不知其数.甲得乙十钱,多乙余钱五倍.乙得甲十钱,适等.问甲、乙怀钱各几何
活动内容2:小结列二元一次方程组解应用题的步骤
根据上面几例,总结列二元一次方程组解应用题的步骤:
(1)审清题意,设未知数;
(2)弄清各个量之间的关系,找出等量关系;
(3)列出方程,联立方程,得二元一次方程组;
(4)解二元一次方程组;
(5)作答.
三、交流反思
活动内容:
1.通过前面几个题,你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握得怎样
2.这里面应该注意的是什么 关键是什么
3.通过今天的学习,你能不能解决求两个量的问题 (可以用二元一次方程组解决的.)
4. 列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么
四、检测反馈
古有一捕快,一天晚上他在野外的一个茅屋里,听到外边来了一群人,在分赃,在吵闹,他隐隐约约地听到几个声音,下面有这一古诗为证:
隔壁听到人分银,
不知人数不知银.
只知每人五两多六两,
每人六两少五两,
问你多少人数多少银
活动意图:熟练有关“甲、乙怀钱”类似应用题的求解.
活动实际效果:熟练了学生列方程组解应用题的步骤.
五、布置作业
P126 习题5.3　5,6题
六、板书设计
解:设有鸡x只,兔y只,则
①×2,得2x+2y=70,　③
②-③,得　2y=24,
y=12,
把y=12代入①,得x=23.
所以有鸡23只,兔12只.
七、教学反思
在建立方程思想的过程中采用了循序渐进的思路,由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组,遵照了学生的思维梯度逐步建立起学生的用二元一次方程组解应用题的思想,充分感受它的优点和思维的简化;教学中,还根据学生的生活实际和任职实际,选择更贴近学生实际的素材进行教学,更多地关注学生的建模过程,关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组;在具体的古文理解过程中充分借助多媒体展示和实物演示形象化题目的概念.
3　二元一次方程组的应用
第2课时
【教学目标】
1.能运用列表分析法分析数量关系,熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能.
2.经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程是刻画现实世界的有效的数学模型,培养学习数学应用能力.
【重点难点】
重点:能运用列表分析法分析数量关系,熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能.
难点:能运用列表分析法分析数量关系,熟练地列二元一次方程组解决简单的实际问题,掌握运用列二元一次方程组解决实际问题的技能.
【教学过程】
一、创设情境
知识回顾:填一填
内容:通过回答知识回顾问题,教师启发学生做经验提升;通过回答问题对学生能力进行及时评价,如果回答错误及时纠正.
目的:“知识回顾”,减少学生学习新课的困难.
教学要求与效果:经验提升使学生在表示数量关系时更加准确.
内容:学生作相等关系、数量关系的分析,教师教学生画表格分析数量关系,并共同解答.
议一议:还可以设间接未知数吗 (根据学生情况和教学安排选用)
学法小结:
1.图表分析有利于理清题中的未知量、已知量以及等量关系,条理清楚.
2.借助方程组解决实际问题
通过学习,加强学生对图表分析数量关系的概念和应用意识.
二、探究归纳
目的:巩固、提高学生所学的知识和方法,强化图表分析数量关系的应用.通过学生的编题活动,形成互动,促进合作学习,培养学生逆向思维能力,通过合作学习培养学生合作、创新的学习方式.通过学生互相评价、修正,使学生思维跳出固定单一的生活圈,更关注与现实世界的交融,开阔视野.
教学要求与效果:本例是符合本校学生实际,激发学习兴趣,图表分析收到了良好的效果;编题时,学生相互交流,互相启发,使整个课堂到此时创新频出,高潮迭起.
目的:让学生充分讨论找出最优购买方案,可抽学生板演,教师点拨;同时从最优化决策出发联系生活实际作经济意识的引导.根据教学情况选择解决,如果课堂时间不够,可留作课外作业.
三、交流反思
1.在很多实际问题中,都存在着一些等量关系,因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.
2.要注意的是,处理实际问题的方法是多种多样的,图表分析是一种直观简洁的方法,应根据具体问题灵活选用.
四、检测反馈
王小明想开一家时尚G点专卖店,开店前他到其他专卖店调查价格.他看中了一套新款春装,成本共500元,专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50%的利润定价,裤子按40%的利润定价.由于新年将至,节日优惠,在实际出售时,为吸引顾客,两件服装均按9折出售,这样专卖店共获利157元,王小明觉得上衣款式好,销路会好些,想问问上衣的成本价,但店员有事走开了,你能帮助他吗
五、布置作业
P126　习题5.3　8,9题
六、板书设计
这种处理问题的过程可以进一步概括为:
问题方程(组)解答
七、教学反思
1.突破难点策略——列表分析法
列方程解应用题的分析方法多种多样,本课着力于介绍分析问题的一种比较有效的方法——图表分析法.列表分析有助于学生明确各数量间的关系,将较复杂的数量关系转化得更加清晰简洁,帮助学生理清题中的未知量、已知量以及等量关系,条理清楚很容易根据相等关系列方程,较易突破难点;在实际教学中,学生掌握了图表分析的方法后,降低了思维难度,有效提高了准确率.学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同时,学到了一种分析数据的方法,为以后的学习生活做了方法的准备.
2.学生能力的培养
学生各种综合能力的培养融合在每节课的教学设计中.本课为达成教学目标,特别通过设置与经济生活密切相关的一些问题,以及编应用题活动,希望学生通过问题的解决进一步认识数学与现实世界的密切联系,乐于接触生活环境中的数学信息,愿意参与数学话题的研讨,从中懂得数学的价值,逐步形成用数学的意识;并且通过对问题的解决,培养学生的合理优化的经济意识,增强他们的节约成本,有效合理利用资源的意识.
3.评价方式
本课从学生回答问题、练习情况等方面反馈学生对知识的理解、运用,教师根据反馈信息适时点拨;同时从新课标评价理念出发,教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探索方式、表达方式和解题方法的多样化,形成发展性评价,学生对基本知识技能的掌握情况的意识的提高状况.提高学生学数学,用数学的信心.
4.注意改进的方面
由于受教学时间限制,强调利用方程组对经济类实际问题的解决,对其他类型的问题有所忽略,教学中可以根据学情加以补充;同时对于方程组的解法教学中也可根据学情适当加强.
此外特别需要说明的是,由于本班学生状况较好,因此,整体而言,课堂容量偏大,因此,对于一般班级,建议在引入情境中仅仅选择或者改变部分问题,供课堂教学使用.
3　二元一次方程组的应用
第3课时
【教学目标】
1.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型.
3.在解决问题过程中,学会借助图表分析问题,感受化归思想.
【重点难点】
重点:学生会用线段图分析行程问题.
难点:将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型;设间接未知数转化解决实际问题.
【教学过程】
一、创设情境
1.设每块小长方形地砖的长为x cm,宽为y cm,所拼成的大长方形的宽如何表示 能得到哪个方程
2.小长方形的长和宽有什么关系 你能得到哪个方程
3.把上面得到的方程组成方程组,求出每块小长方形地砖的长和宽.
学法小结:
(1)对较复杂的问题可以通过列表格的方法厘清题中的未知量、已知量以及等量关系,这样,条理比较清楚.
(2)借助方程组解决实际问题.
设计意图:生动的情景引入,意在激发学生的学习兴趣;利用图表帮助分析使条理清楚,降低思维难度,并使列方程解决问题的过程更加清晰;学法小结,着重强调分析方法,养成归纳小结的良好习惯.
实际效果:动画引入,使数字问题变得更有趣,确实有效地激发了学生的兴趣,学生参与热情很高;借助图表分析,有效地克服了难点,学生基本都能借助图表分析,在老师的引导下列出方程组.
二、探究归纳
火车以40 m/s的速度经过一个隧道,从车头进入隧道到车尾驶出隧道,共用时30 s,其中火车全身都在隧道里的时间是20 s,求隧道和火车的长度.
分析:
1.本题涉及哪些量
2.你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗 这种情况下,火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系
3.你能画图说明“火车全身都在隧道里”的过程吗 这种情况下,火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系
三、交流反思
1.在很多实际问题中,都存在着一些等量关系,因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.
2.要注意的是,处理实际问题的方法是多种多样的,利用线段图梳理题目的关键信息,也是一种常用的方法,应根据具体问题灵活选用.
四、检测反馈
现实生活和数学学习中,有许多问题可以借助二元一次方程组解决.试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题.
学生分组进行编题和互评,然后每组请一个同学将本组评选出的编得最好的应用题向全班同学汇报.(评选方法:切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误)
设计意图:着重于逆向思维训练,体会自己编题,从编题人的高度审视列方程组解决实际应用题,同时培养学生的合作意识,通过合作,让学生互相评价、修正,使学生思维跳出固定单一的生活圈,更关注与现实世界的交融,开阔视野.
五、布置作业
P127　习题5.3　11,12题
六、板书设计
现实生活和数学学习中,有许多问题可以借助二元一次方程组解决.试编制一个可以用二元一次方程组解决的问题.
七、教学反思
1.突破难点的策略
列方程解应用题的分析方法多种多样,本课继上一节增收节支继续介绍分析行程等问题的一种比较有效的方法——线段图法.本节课除了要解决数字问题外,在设元的技巧上加以引导;同时设置选择直接未知数和间接未知数列方程,比较设未知数的思维难度和计算难度,然后进行优化选择,这样可以培养学生多种思维方式,突破难点.
2.关注数学思想方法的揭示
数学思想方法是数学学习的灵魂.教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法(如化归方法)的揭示,如果教学时间允许,可以专门介绍化归思想及其运用,这样既可提高学生的学习兴趣,开阔视野,同时也提高学生对数学思想的认识,提升解题经验.