5. 4　二元一次方程与一次函数 教案 （2课时）2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

4　二元一次方程与一次函数
第1课时
【教学目标】
1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系.
2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系.
3.发展学生数形结合的意识和能力,使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法.
【重点难点】
重点:二元一次方程和一次函数的关系;
难点:数形结合和数学转化的思想意识.
【教学过程】
一、创设情境
内容:
1.方程x+y=5的解有多少个 ;;是这个方程的解吗
2.点(0,5),(5,0),(2,3)在一次函数y=-x+5的图象上吗
3.在一次函数y=-x+5的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗
4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗
由此得到本节课的第一个知识点:二元一次方程和一次函数图象的关系.
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上;
一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.
二、探究归纳
探究方程与函数的相互转化
内容:
1.解方程组
2.上述方程移项变形转化为两个一次函数y=-x+5和y=2x-1,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象(教材123页图5-1).
3.方程组的解和这两个函数的图象的交点坐标有什么关系
由此得到本节课的第二个知识点:二元一次方程组的解和相应的两条直线的关系1.
(1)求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标.
(2)求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.
(3)解二元一次方程组的方法有:代入消元法、加减消元法和图象法三种.
三、交流反思
内容:在同一直角坐标系内, 一次函数y=x+1和y=x-2的图象(教材124页图5-2)有怎样的位置关系
方程组解的情况如何 你发现了什么
二元一次方程组的解和相应的两条直线的关系.
(1)观察发现直线平行无交点;
(2)小组研究计算发现方程组无解;
(3)从侧面验证了两直线有交点,对应的方程组有解,反之也成立;
(4)归纳小结:两平行直线的k相等;方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解.
内容:以“问题串”的形式,要求学生自主总结有关知识、方法:
1.二元一次方程和一次函数的图象的关系;以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上;一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
2.方程组和对应的两条直线的关系:
方程组的解是对应的两条直线的交点坐标;
两条直线的交点坐标是对应的方程组的解.
3.解二元一次方程组的方法有3种:
(1)代入消元法;
(2)加减消元法;
(3)图象法. 要强调的是由于作图的不准确性,由图象法求得的解是近似解.
四、检测反馈
1.已知一次函数y=3x-1与y=2x图象的交点是(1,2),求方程组的解.
2.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗 一次函数y=2-x与y=5-x的图象之间有什么关系
3.求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和x轴所围成的三角形面积.
4.如图,两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解
五、布置作业
P132　习题5.4　T1T2T3
六、板书设计
5.4　二元一次方程与一次函数(1)
数形结合和数学转化的思想
七、教学反思
本节课在学生学习了二元一次方程组和一次函数及其图象的基础上,通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法,进一步揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系,很自然地得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系.进一步培养了学生数形结合的意识和能力,充分展示了方程与函数的相互转化.教学过程中教师一定要注意将图象与函数解析式之间的对应问题阐述清楚,让同学们从根本上认识、理解和运用“数”与“形”之间的密切关系.因此为了准确地解决有关图象问题常常把它转化为代数问题来处理,增加了反馈练习中的4个问题,并且在练习和拓展题目训练中进一步利用交点求三角形面积.
4　二元一次方程与一次函数
第2课时
【教学目标】
1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
2.了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
【重点难点】
重点:利用二元一次方程组确定一次函数表达式
难点:在探究中培养学生的观察能力、识图能力和语言表达能力
【教学过程】
一、创设情境
内容:(1)二元一次方程组与一次函数有何联系
(2) 二元一次方程组有哪些解法
内容:教材议一议
A,B两地相距100千米,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(时)的一次函数.1小时后乙距离A地80千米;2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇
二、探究归纳
内容:
例1:某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y(元)是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李,交了行李费5元,张华带了90千克的行李,交了行李费10元.
(1)写出y与x之间的函数表达式.
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李
解:(1)设y=kx+b,根据题意,可得方程组
解该方程组,得
所以y=x-5.
(2)当x=30时,y=0.
所以旅客最多可免费携带30千克的行李.
例2:某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量分段收费办法,若某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图所示.
(1)分别写出当0≤x≤15和x>15时,y与x的函数关系式.
(2)若某用户十月份用水量为10吨,则应交水费多少元 若该用户十一月份交了51元的水费,则他该月用水多少吨
解:(1)当0≤x≤15时,设y=k1x,根据题意得27=15k1,解得k1=.
所以当0≤x≤15时,y=x;
当x>15时,设y=k2x+b根据题意,可得方程组解这个方程组,得
所以当x>15时,y=x-9.
(2)当x=10时,代入y=x中,得y=18.
当y=51时,代入y=x-9中,得x=25.
三、交流反思
内容:
1.函数与方程之间的关系.
2.在解决实际问题时从不同角度思考问题,就会得到不一样的方法,从而拓展自己的思维.
3.掌握利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤:
(1)用含字母的系数设出一次函数的表达式:y=kx+b(k≠0);
(2)将已知条件代入上述表达式中得k,b的二元一次方程组;
(3)解这个二元一次方程组得k,b,进而得到一次函数的表达式.
四、检测反馈
内容:
1. 图中的两条直线l1,l2的交点坐标可以看作方程组________________的解.
　　2.在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米)是所挂物体质量x(千克)的一次函数.当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米;当所挂物体的质量为3千克时,弹簧长16厘米.写出y与x之间的函数关系式,并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
五、布置作业
P132、133习题5.4　5,6,7题
六、板书设计
5.4　二元一次方程与一次函数(2)
例1……
例2……
七、教学反思
1.合理使用教材
事物之间是存在普遍联系的,研究二元一次方程组与一次函数之间的关系验证了辩证唯物主义的这一观点.同时利用二元一次方程组解决一次函数问题也是初中阶段数学学习的一个重要内容.教材通过引例对图象方法与代数方法的比较,使学生了解解决应用问题的策略和方法是多样性的,同时也使学生理解图象方法与代数方法在解决具体问题中各自的优劣,从而对方法作出正确的选择.对于教材的这一方面的使用,教师应根据自己学生的特点,选择合理的方式去让学生理解不同方法去解决同一问题.
2.如何突出重点、突破难点
本节课主要要求学生能够利用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题,根据一次函数解析式进一步解决相关的一些问题.要让学生理解为什么要用二元一次方程组去求解一次函数的解析式的必要性,从而掌握本堂课的基础知识.在教学的过程中,要让学生充分理解图象方法和代数方法解决问题的特点,在这个基础上,学生掌握用二元一次方程组解决一次函数的解析式问题才会有着坚实的理论基础,有关这一方面的题目要让学生充分讨论,其理解才会深刻;同时要以这一部分的知识为载体,结合教材例题,在补充分段图形题,甚至表格题,让学生充分理解用方程的思想去解决函数问题.
3.需要改进的方面
根据新课标的评价理念,教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要,鼓励探索方式、表述方式和解题方法的多样化.在教学活动中教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平,关注的是学生对问题的理解水平和解决过程中的表述水平,关注的是学生对基本知识技能的掌握情况和应用二元一次方程组解决一次函数的解析式的相关问题的提高.教学中可通过学生对“做一做”的探究情况和学生对反馈练习的完成情况分析学生的认识状况和解决问题的意识和能力水平.对于学生的回答教师应给予恰当的评价和鼓励,帮助学生认识自我,建立自信,发挥评价的教育功能.