5.5　三元一次方程组 教案 2025-2026学年数学北师大版（2024）八年级上册

*5　三元一次方程组
【教学目标】
1.通过对二元一次方程组的类比学习,了解三元一次方程组的概念,会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.
2.再次经历找等量关系、建立方程模型的活动过程. 在解方程组的过程中体会其基本思想就是“消元”.无论是解二元一次方程组、还是三元一次方程组,推广到四元、五元、多元一次方程组,基本策略都是化多为少、逐一解决,具体措施都是“代入”或“加减”,以实现“消元”,转化为一元一次方程,从而得解.
【重点难点】
重点:应用“消元法”求解三元一次方程组.
难点:应用消元法将三元一次方程转化为二元一次方程.
【教学过程】
一、创设情境
内容:
问题　已知甲、乙、丙三数的和是23,甲数比乙数大1,甲数的两倍与乙数的和比丙数大20,求这三个数.
(这里有三个要求的量,直接设出三个未知数列方程组,顺理成章,直截了当,容易理解)
教师提问:如果设这三数分别为x,y,z,用它们可以表示哪些等量关系
预测学生回答:x+y+z=23;x-y=1;2x+y-z=20.
教师提问:这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系
预测学生回答:①未知数个数和方程都比二元一次方程组多一个;②未知数次数都是一次.
活动:翻开书本P129,朗读三元一次方程组的概念:
在这个方程组中,x+y+z=23和2x+y-z=20都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫作三元一次方程(linear equation with three unknowns).
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫作三元一次方程组(system of linear equations with three unknowns)
关注概念中的三个要点:①未知数的个数;②未知数的次数;③未知数同时满足三个等量关系,三元一次方程组中各个方程的公共解,叫作这个三元一次方程组的解.
二、探究归纳
内容:引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元,以及消元的基本方法(代入消元、加减消元),尝试对进行消元,从而解决问题1.
步骤(1)选取一种方法解此三元一次方程组,由学生独立思考解决,教师注意指导学生规范表达.
步骤(2)在学生独立选择方法解决的基础上,引导学生进行比较:在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同 解上面的方程组时,你能先消去未知数y(或z),从而得到方程组的解吗
(先让学生独立思考,然后在学生充分思考的前提下,进行小组讨论,在此基础上由学生代表回答,老师适时地引导与补充,力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点)
1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行;
2.用代入消元法:由于方程组③式的特点,可将③式分别代入①②式,消去x,从而转化为关于y,z的二元一次方程组的求解;
3.用加减消元法:由于③式中没有含z,可以将①,②式联立相加,消掉z,再与③式组合,从而得到关于x, y的二元一次方程组,进行求解;
4.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元,实现三元→二元→一元的转化.在消元过程中,消“谁”都行,用哪种消法(代入法、加减法)也可,但如果选择合适,可提高计算的效率.
三、交流反思
内容:
(1)三元一次方程组的概念;
(2)三元一次方程组的解法;
注意选好要消的“元”,选好要消的“法”:代入消元、加减消元;
(3)谈谈求解多元一次方程组的思路,提炼化归的思想.
四、检测反馈
内容:
1.解方程(1)
(2)
2.某校初中三个年级共有651人,八年级的学生比九年级的学生人数多10%,七年级的学生比八年级多5%,求三个年级各有多少学生.
教学要求与效果:
(1)引导学生观察方程组(2)的特点,此方程组与前面不一样,三个方程都不缺“谁”,消“谁”好,用什么方法消
(2)通过对(1)(2)的对比,引导学生总结出消元的具体做法是:①如果已有某个未知数的表达式,直接用代入消元,否则常用加减消元.②用加减消元时,如果方程组中有一个方程只有两个未知数,缺哪个未知数就消哪个.
五、布置作业
1.P137、138习题5.5
2.有同学说列三元一次方程组能解决的问题,一元一次方程也能解决,说一下你的看法.
六、板书设计
5.5　三元一次方程组
　
七、教学反思
1.本节课的内容属于选修学习的内容,主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用,在数学方法和思想方面需重点引导,通过引导,使学生明白解多元方程组的一般方法和思想,理解巩固环节需多注意多种解题方法的引导,并且比较各种解题方法之间的优劣,总结出解多元方程的基本方法.
2.作为选修课,在内容上要让学生理解三元一次方程组概念的同时,要让学生理解为什么要用三元一次方程组甚至多元方程组去求解实际问题的必要性,从而掌握本堂课的基础知识.在教学的过程中,要让学生充分理解对复杂的实际问题方程中元越多,等量关系的建立就越直接;充分理解代入消元法和加减法解方程的优点和缺点,有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、合作,其理解才会深刻.