§2.11 函数的图象
课标要求 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、落实主干知识
1.利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
【追问】向___平移_____个单位，会得到
【答案】右；1/2
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x).
②y＝f(x)y＝f(－x).
③y＝f(x)y＝－f(－x).
④y＝ax (a>0,且a≠1)y＝logax(a>0,且a≠1).
【追问】涉及到几个函数？“奇偶性”也是吗？
【答案】2个。奇偶性涉及到1个函数。（微点提醒（3））
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数.( × )【追问】y=f(|x|)呢？【答案】是偶函数
(2)函数y＝f(1－x)的图象,可由y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到.( √ )
(3)当x∈(0,＋∞)时,函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.( × )
谨记三个图象变换的注意点
(1)“左加右减”只针对x本身,与x的系数没有关系,如从y＝f(－2x)的图象到y＝f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度,即将x变成x－.
(2)“上加下减”只针对函数值f(x).
(3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而与奇偶性有关的对称,是指一个函数图象自身的特征.
二、探究核心考点
题型一 作函数的图象
作出下列各函数的图象：y＝－1.
解 y＝－1,其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到,而y＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象,然
后将该部分关于y轴对称得到,则y＝－1的图象如图所示.
思维升华 函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法：含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
跟踪训练1 作出下列各函数的图象：y＝x2－2|x|－3.
解 y＝x2－2|x|－3＝其图象如图所示.
题型二 函数图象的识别
例2 (1)函数f(x)＝cos x图象的大致形状是( )
答案 B
解析 依题意,函数f(x)＝·cos x的定义域为R,f(－x)＝·cos(－x)＝·cos x＝－f(x),
即函数f(x)是R上的奇函数,其图象关于原点对称,选项A,C不满足；
当x∈时<0,cos x>0,即f(x)<0,选项D不满足,B符合题意.
(2)已知某函数图象如图所示,则该函数解析式可能为( )
A.f(x)＝ln|x|－ B.f(x)＝ln|x|＋ C.f(x)＝＋ln|x| D.f(x)＝－ln|x|
答案 D
解析 对于A,f(1)＝ln 1－＝－1,显然不满足图象,故A错误；
对于B,f(－1)＝ln|－1|＋＝1,显然不满足图象,故B错误；
对于C,当x→＋∞时,f(x)→＋∞,故C错误；
对于D,经检验,f(x)＝－ln|x|满足对应图象,故D正确.
思维升华 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
题型三 函数图象的应用
命题点1 利用图象研究函数的性质
例3 (多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是( )
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)＝0有三个解
C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增
D.函数F(x)有4个单调区间
答案 ABD
解析 根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2,画出函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象,如图.
由图象可知,函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的图象关于y轴对称,所以A项正确；
函数F(x)的图象与x轴有三个交点,所以方程F(x)＝0有三个解,所以B项正确；函数F(x)在(－∞,－1]上单调递增,在[－1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增,在[1,＋∞)上单调递减,所以C项错误,D项正确.
命题点2 利用图象解不等式
例4 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,＋∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
A.(－0)∪(2)
B.(－∞,－2)∪(2,＋∞)
C.(－∞,－2)∪(－0)∪(2)
D.(－2,－)∪(0)∪(2,＋∞)
答案 C
解析 根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(－∞,0)上的图象,如图所示,
由x2f(x)>2f(x),得(x2－2)f(x)>0,
则或解得x<－2或
故不等式的解集为(－∞,－2)∪(－0)∪(2).
命题点3 利用图象求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝若实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是 .
答案 (2,2 025)
解析 函数f(x)＝的图象如图所示,
不妨令a思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,＋∞)上单调递增,则a的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度,得到函数g(x)＝ln|x＋2－a|的图象,
则函数g(x)在(a－2,＋∞)上单调递增,
又因为所得函数在(0,＋∞)上单调递增,
所以a－2≤0,即a≤2.所以a的最大值为2.§2.11 函数的图象
课标要求 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、落实主干知识
1.利用描点法作函数图象的步骤：______、______、______.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
【追问】向___平移_____个单位，会得到
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝______.
②y＝f(x)y＝______.
③y＝f(x)y＝______.
④y＝ax (a>0,且a≠1)y＝______.
【追问】涉及到几个函数？“奇偶性”也是吗？
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝______.
②y＝f(x)y＝______.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数.( )【追问】y=f(|x|)呢？
(2)函数y＝f(1－x)的图象,可由y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到.( )
(3)当x∈(0,＋∞)时,函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同.( )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.( )
谨记三个图象变换的注意点
(1)“左加右减”只针对x本身,与x的系数没有关系,如从y＝f(－2x)的图象到y＝f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位长度,即将x变成x－.
(2)“上加下减”只针对函数值f(x).
(3)对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而与奇偶性有关的对称,是指一个函数图象自身的特征.
二、探究核心考点
题型一 作函数的图象
作出下列各函数的图象：y＝－1.
思维升华 函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法：含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
跟踪训练1 作出下列各函数的图象：y＝x2－2|x|－3.
题型二 函数图象的识别
例2 (1)函数f(x)＝cos x图象的大致形状是( )
(2)已知某函数图象如图所示,则该函数解析式可能为( )
A.f(x)＝ln|x|－ B.f(x)＝ln|x|＋ C.f(x)＝＋ln|x| D.f(x)＝－ln|x|
思维升华 识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
题型三 函数图象的应用
命题点1 利用图象研究函数的性质
例3 (多选)对任意两个实数a,b,定义min{a,b}＝若f(x)＝2－x2,g(x)＝x2,下列关于函数F(x)＝min{f(x),g(x)}的说法正确的是( )
A.函数F(x)是偶函数
B.方程F(x)＝0有三个解
C.函数F(x)在区间[－1,1]上单调递增
D.函数F(x)有4个单调区间
命题点2 利用图象解不等式
例4 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,＋∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为( )
A.(－0)∪(2)
B.(－∞,－2)∪(2,＋∞)
C.(－∞,－2)∪(－0)∪(2)
D.(－2,－)∪(0)∪(2,＋∞)
命题点3 利用图象求参数的取值范围
例5 已知函数f(x)＝若实数a,b,c互不相等,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a＋b＋c的取值范围是 .
思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
跟踪训练3 (1)把函数f(x)＝ln|x－a|的图象向左平移2个单位长度,所得函数在(0,＋∞)上单调递增,则a的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4