(共27张PPT)
重点突破6 函数零点问题的再探究
第五章 函数应用
学习目标
1.探究一元二次方程根的分布问题，提升逻辑推理的核心素养.
2.利用函数的零点求参数的范围问题，提升数学运算的核心素养.
题型一 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题
典例
1
规律方法
对点练1.(1)已知关于x的方程x2－2x＋m－1＝0两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数m的取值范围是
A.(－∞，2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(1，2)
√
(2)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)在区间(1，2)内有两个零点，则2m－n的取值范围是____________.
(－12，－5)
返回
题型二 y＝f(g(x))型函数的零点问题
已知函数f(x)＝2x－4x－m，x∈[－1，1].
(1)当m＝－2时，求函数f(x)的零点；
解：当m＝－2时，f(x)＝2x－4x＋2，由f(x)＝0，得2x－4x＋2＝0，
所以2x＝2或2x＝－1(舍去)，解得x＝1.
所以函数的零点为x＝1.
典例
2
y＝f(g(x))型函数的零点即关于x的方程f(g(x))＝0的根，解决此类问题时，通常采用换元法，即令g(x)＝t，则f(t)＝0，先解f(t)＝0，再解g(x)＝t中的x即可.
规律方法
对点练2.(1)(多选题)定义域和值域均为[－a，a]的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，其中a＞b＞c＞0，则
A.方程f(g(x))＝0有且仅有3个解
B.方程g(f(x))＝0有且仅有3个解
C.方程f(f(x))＝0有且仅有5个解
D.方程g(g(x))＝0有且仅有1个解
√
√
√
对于A，由数形结合可知：令f(x)＝0，x＝－c或x＝
0或x＝c；分别令g(x)＝c，g(x)＝0，g(x)＝－c，因
为a＞c＞0，所以c∈[－a，a]，－c∈[－a，a]，由
数形结合可知：g(x)＝c，g(x)＝0，g(x)＝－c都有
一个根，故方程f(g(x))＝0有且仅有3个解，故A正
确；对于B，由数形结合可知：令g(x)＝0，x＝c；令f(x)＝c，因为a＞b＞c＞0，由数形结合可知：f(x)＝c有3个根，故方程g(f(x))＝0有且仅有3个解，故B正确；对于C，由数形结合可知：令f(x)＝0，x＝－c或x＝0或x＝c；分别令f(x)＝c，f(x)＝0，f(x)＝－c，由题可知：a＞b＞c＞0，－a＜－b＜－c＜0，由数形结合可知，f(x)＝c，f(x)＝0，f(x)＝－c各有3个解，故方程f(f(x))＝0有且仅有9个解，故C错误；对于D，由数形结合可知：令g(x)＝0，x＝c；令g(x)＝c，因为a＞b＞c＞0，所以g(x)＝c只有1个解，故方程g(g(x))＝0有且仅有1个解，故D正确.故选ABD.
(2)已知函数f(x)＝x2－4x＋5，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋4＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是____________.
(－5，－4)
返回
题型三 与函数零点有关的综合问题
典例
4
已知方程的根的个数或函数零点的个数，求参数或方程的 根的个数问题，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.
规律方法
返回
随堂评价
√
√
√
若方程f(x)－a＝0恰有三个不同的实数根，则函
数y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点.作出
y＝f(x)与y＝a的图象如图，由图可得，若函数
y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点，则0＜a＜1，故选A.
4.已知函数f(x)＝ln x＋x－3，g(x)＝ex＋x－3(其中e为自然对数的底数).设m，n分别为f(x)，g(x)的零点，则en＋ln m＝_____.
3
m，n分别为f(x)，g(x)的零点，故f(m)＝ln m＋m－3＝0，g(n)＝en＋n－3＝0，因为en＋n－3＝0，所以f(en)＝ln en＋en－3＝en＋n－3＝0，即en＋n＝3，因为函数f(x)＝ln x＋x－3为增函数，且f(m)＝f(en)＝0，故m＝en，所以en＋ln m＝en＋ln en＝en＋n＝3.
返回学习目标 1.探究一元二次方程根的分布问题，提升逻辑推理的核心素养. 2.利用函数的零点求参数的范围问题，提升数学运算的核心素养.
题型一 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题
关于x的方程x2－2(m－1)x＋m＋11＝0，当实数m分别在什么范围取值时，方程的两个根：
(1)都大于1；
(2)一个大于1，一个小于1.
解： (1)令f(x)＝x2－2(m－1)x＋m＋11，
因为f(x)＝0的两个实数根均大于1，
所以
解得5≤m＜14，
所以实数m的取值范围为[5，14).
(2)因为f(x)＝0的两个实数根，一个大于1，一个小于1，
所以
解得m＞14，
所以实数m的取值范围为(14，＋∞).
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布问题，通常借助于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象来解决，利用函数与方程思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想；一般情况下需要从以下4个方面考虑：
1.开口方向；2.判别式；3.对称轴x＝－与区间端点的关系；4.区间端点函数值的正负.
对点练1.(1)已知关于x的方程x2－2x＋m－1＝0两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.(1，2)
(2)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n(m，n∈R)在区间(1，2)内有两个零点，则2m－n的取值范围是 .
答案：(1)B (2)(－12，－5)
解析：(1)由题可得解得m＜1.故选B.
(2)记题设的两个零点为x1，x2，则由x1，x2∈(1，2)知，所以9＜(x1＋2)(x2＋2)＜16，所以2m－n＝－2(x1＋x2)－x1x2＝4－(x1＋2)(x2＋2)∈(－12，－5).
题型二 y＝f(g(x))型函数的零点问题
已知函数f(x)＝2x－4x－m，x∈[－1，1].
(1)当m＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)在[－1，1]上有零点，求实数m的取值范围.
解：(1)当m＝－2时，f(x)＝2x－4x＋2，由f(x)＝0，得2x－4x＋2＝0，
所以2x＝2或2x＝－1(舍去)，解得x＝1.
所以函数的零点为x＝1.
(2)f(x)＝2x－4x－m＝0 2x－4x＝m，
令g(x)＝2x－4x，
函数f(x)有零点等价于方程2x－4x＝m有解，等价于m在g(x)的值域内，设t＝2x，
因为x∈[－1，1]，所以t∈，则t－t2＝－＋，当t＝时，g(x)max＝，
当t＝2时，g(x)min＝－2.
所以g(x)的值域为.
所以实数m的取值范围为.
y＝f(g(x))型函数的零点即关于x的方程f(g(x))＝0的根，解决此类问题时，通常采用换元法，即令g(x)＝t，则f(t)＝0，先解f(t)＝0，再解g(x)＝t中的x即可.
对点练2.(1)(多选题)定义域和值域均为[－a，a]的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，其中a＞b＞c＞0，则( )
A.方程f(g(x))＝0有且仅有3个解
B.方程g(f(x))＝0有且仅有3个解
C.方程f(f(x))＝0有且仅有5个解
D.方程g(g(x))＝0有且仅有1个解
(2)已知函数f(x)＝x2－4x＋5，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋4＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
答案：(1)ABD (2)(－5，－4)
解析：(1)对于A，由数形结合可知：令f(x)＝0，x＝－c或x＝0或x＝c；分别令g(x)＝c，g(x)＝0，g(x)＝－c，因为a＞c＞0，所以c∈[－a，a]，－c∈[－a，a]，由数形结合可知：g(x)＝c，g(x)＝0，g(x)＝－c都有一个根，故方程f(g(x))＝0有且仅有3个解，故A正确；对于B，由数形结合可知：令g(x)＝0，x＝c；令f(x)＝c，因为a＞b＞c＞0，由数形结合可知：f(x)＝c有3个根，故方程g(f(x))＝0有且仅有3个解，故B正确；对于C，由数形结合可知：令f(x)＝0，x＝－c或x＝0或x＝c；分别令f(x)＝c，f(x)＝0，f(x)＝－c，由题可知：a＞b＞c＞0，－a＜－b＜－c＜0，由数形结合可知，f(x)＝c，f(x)＝0，f(x)＝－c各有3个解，故方程f(f(x))＝0有且仅有9个解，故C错误；对于D，由数形结合可知：令g(x)＝0，x＝c；令g(x)＝c，因为a＞b＞c＞0，所以g(x)＝c只有1个解，故方程g(g(x))＝0有且仅有1个解，故D正确.故选ABD.
(2)易知f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1≥1，令f(x)＝t，则满足条件需关于t的方程t2＋mt＋4＝0在(1，＋∞)上有两个不相等的实数根，由解得－5＜m＜－4.所以实数m的取值范围是(－5，－4).
题型三 与函数零点有关的综合问题
已知函数f(x)＝
(1)若f(a)＝1，求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(x)－m＝0恰有三个解，求实数m的取值范围.
解： (1)当a＞0，f(a)＝1，即a2－3a＋2＝1，解得a＝，均满足条件.
当a≤0时，因为ea＞0，ea＋1＞1，所以f(a)＝1无解.故a＝.
(2)在同一坐标系内分别作出y1＝f(x)和y2＝m的图象如图所示.
当x≤0时，f(x)单调递增，1＜f(x)≤2；
当x＞0时，f(x)＝－，则其在上单调递减，在上单调递增，
f＝－.
故当1＜m＜2时，方程f(x)－m＝0恰有三个解，即实数m的取值范围是(1，2).
已知方程的根的个数或函数零点的个数，求参数或方程的根的个数问题，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.
对点练3.(2025·江苏盐城高一期末)已知函数 f(x)＝4x－a·2x＋3(a∈R).
(1)若a＝2，当x∈[－1，2]时，求函数f(x)的值域；
(2)若关于x的方程f(x)＝0在区间(0，2)上有两个不相等的实根，求实数a的取值范围.
解：(1)当a＝2时，f(x)＝4x－2×2x＋3.设2x＝t，因为x∈[－1，2]，
所以t∈.
则y＝t2－2t＋3，t∈.
因为该函数在上单调递减，在[1，4]上单调递增，
且t＝ y＝－1＋3＝，t＝1 y＝1－2＋3＝2，t＝4 y＝16－8＋3＝11，
所以所求函数的值域为[2，11].
(2)设2x＝t，
因为x∈(0，2)，所以t∈(1，4).
即方程t2－at＋3＝0在(1，4)上有两个不相等的实根.
所以 2＜a＜4.
所以实数a的取值范围是.
1.二次函数y＝x2＋(m－3)x＋2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜2＜x2，如图所示，则实数m的取值范围是( )
A.m＞0 B.m＞
C.0＜m＜，或m＞5 D.0＜m＜
答案：D
解析：由题意可得解得0＜m＜.故选D.
2.关于x的一元二次方程(x－1)(x－4)＝a有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是( )
A.当a＝0时，x1＝1，x2＝4
B.当a＞0时，1＜x1x2＜4
C.当a＞0时，x1＜1＜4＜x2
D.当－＜a＜0时，4＜x1x2＜
答案：B
解析：对于A，当a＝0时，方程(x－1)(x－4)＝0的两实根为x1＝1，x2＝4，故A正确；对于B，方程(x－1)(x－4)＝a，即x2－5x＋4－a＝0，Δ＝25－4(4－a)＞0，解得a＞－，当a＞0时，x1x2＝4－a＜4，故B错误；对于C，令f(x)＝(x－1)(x－4)，依题意，x1，x2是函数y＝f(x)的图象与直线y＝a交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝a，如图，观察图象知，当a＞0时，x1＜1＜4＜x2，故C正确；对于D，当－＜a＜0时，x1x2＝4－a∈(4，)，故D正确.故选B.
3.已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为( )
A.(0，1) B.(0，2)
C.(0，3) D.(1，3)
答案：A
解析：若方程f(x)－a＝0恰有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点.作出y＝f(x)与y＝a的图象如图，由图可得，若函数y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点，则0＜a＜1，故选A.
4.已知函数f(x)＝ln x＋x－3，g(x)＝ex＋x－3(其中e为自然对数的底数).设m，n分别为f(x)，g(x)的零点，则en＋ln m＝ .
答案：3
解析：m，n分别为f(x)，g(x)的零点，故f(m)＝ln m＋m－3＝0，g(n)＝en＋n－3＝0，因为en＋n－3＝0，所以f(en)＝ln en＋en－3＝en＋n－3＝0，即en＋n＝3，因为函数f(x)＝ln x＋x－3为增函数，且f(m)＝f(en)＝0，故m＝en，所以en＋ln m＝en＋ln en＝en＋n＝3.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
