学习目标 1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握函数性质的综合应用问题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 函数图象的对称性
(1)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)＝f(4－x)，则函数y＝f(x)的图象( )
A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝2对称
C.关于直线x＝3对称 D.关于直线x＝4对称
(2)定义在R上的偶函数y＝f(x)，其图象关于点对称，当x∈[0，1]时，f(x)＝－x＋，则f等于( )
A.－1 B.0
C.1 D.
答案：(1)C (2)B
解析：(1)因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称的充要条件是f(a＋x)＝f(b－x)(a，b为常数)，又因为f(x＋2)＝f(4－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝＝3对称.故选C.
(2)因为y＝f(x)的图象关于点对称，所以f＋f＝0，即f(1＋x)＋f(－x)＝0.又因为y＝f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(1＋x)＋f(x)＝0，即f(1＋x)＝－f(x)，所以f＝－f＝0.故选B.
1.函数图象的对称轴
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴
f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a
f(x)＝f(a－x) 直线x＝
f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝
2.函数图象的对称中心
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心
f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0)
f(x)＝－f(a－x)
f(a＋x)＝－f(b－x)
f(a＋x)＋f(b－x)＝c
对点练1.(1)已知函数f(x)的定义域为R，若f(1－x)为奇函数，f(x－1)为偶函数.设f(－2)＝1，则f(2)＝( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
(2)已知定义域为R的函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，且f(x＋2)是奇函数，则f(1)，f，f(3)的大小关系是( )
A.f＜f(1)＜f(3) B.f(1)＜f(3)＜f
C.f(3)＜f(1)＜f D.f(3)＜f＜f(1)
答案：(1)A (2)D
解析：(1)因为f(x－1)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(x)图象关于直线x＝－1对称，所以f(0)＝f(－2)＝1；因为f(1－x)为奇函数，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)图象关于点(1，0)对称，所以f(2)＝－f(0)＝－1.故选A.
(2)因为f(x＋2)是奇函数，所以f(x)的图象关于点(2，0)对称.又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，2)上单调递减.又因为f(x)的定义域为R，所以f(2)＝0，所以f(x)在R上单调递减.由于1＜＜3，所以f(3)＜f＜f(1).故选D.
题型二 抽象函数的单调性与奇偶性
已知函数f(x)对于一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)求f(0)并证明f(x)在R上是奇函数；
(2)若f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，解不等式f(2a2＋a＋1)＋f(－2a2＋4a－3)＞0.
解：(1)函数f(x)的定义域为R，
因为对于一切x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)在R上是奇函数.
(2)因为f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，且f(x)在R上是奇函数，则f(x)在R上是减函数，
则不等式f(2a2＋a＋1)＋f(－2a2＋4a－3)＞0，
即f(2a2＋a＋1)＞f(2a2－4a＋3)，
所以2a2＋a＋1＜2a2－4a＋3，解得a＜，
所以不等式f(2a2＋a＋1)＋f(－2a2＋4a－3)＞0的解集为.
判断抽象函数的奇偶性、单调性，主要是利用定义判定
1.找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f(－x)与f(x)的关系.
2.赋值代换，至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值－1或0或1来达到解题目的.
对点练2.已知f(x)是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x，y恒有f＝f(x)＋f(y).
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)证明：f(x)为偶函数；
(3)当0＜x＜1，f(x)＜0，证明：f(x)在(0，＋∞)上单调递增，并求不等式f≤f(2)＋f(3)的解集.
解：(1)令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，
故f(1)＝0，
令x＝y＝－1得f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝0，
故f(－1)＝0.
(2)证明：令y＝－1得f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x).
因为f(x)是定义在非零实数集上的函数，
所以f(x)为偶函数.
(3)证明：设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，x1＞x2，f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f＝－f，
因为0＜＜1，所以f＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，
因为f(2)＋f(3)＝f(6)，
所以f≤f(2)＋f(3)＝f(6)，
所以－6≤3－x≤6且3－x≠0，解得－3≤x≤9且x≠3，
所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜3，或3＜x≤9}.
题型三 函数性质的综合应用
(开放题)已知函数g(x)＝，x∈(－1，1)，从①函数f(x)＝x3－a＋2在[b－1，b＋1]上为奇函数，②函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在[1，2]上的值域为[2，4]，这两个条件中任选一个，解答下列问题.
(1)求a，b的值；
(2)证明：g(x)在(－1，1)上单调递增；
(3)解关于t的不等式g(t－1)＋g(2t)＜0.
解：(1)选条件①：
因为f(x)在[b－1，b＋1]上是奇函数，
所以f(0)＝－a＋2＝0，b－1＋b＋1＝0，
即a＝2，b＝0，
经检验此时函数f(x)为奇函数，所以a＝2，b＝0.
选条件②：
由a＞0，得函数f(x)在[1，2]上单调递增，
所以函数f(x)在[1，2]上的值域为[a＋b，2a＋b]，
又函数f(x)在[1，2]上的值域为[2，4]，
所以
(2)证明：由(1)得g(x)＝，x∈(－1，1).
任取x1，x2∈(－1，1)，且－1＜x1＜x2＜1，则
g(x1)－g(x2)＝－
＝.
因为－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0，所以g(x1)－g(x2)＜0，即g(x1)＜g(x2)，
所以g(x)在(－1，1)上单调递增.
(3)因为函数g(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，且g(－x)＝＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数.
由g(t－1)＋g(2t)＜0，得g(2t)＜g(1－t)，
又g(x)在(－1，1)上单调递增，
所以解得0＜t＜，
所以原不等式的解集为.
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合型题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
对点练3.已知函数f(x)＝3x＋.
(1)证明：函数f(x)是奇函数；
(2)用定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)若关于x的不等式f＋f≥0对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)证明：由函数f(x)＝3x＋，可得其定义域为R，关于原点对称，
又由f(－x)＝－3x－＝－(3x＋)＝－f(x)，
所以函数f(x)为定义域R上的奇函数.
(2)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝3x＋＝3x＋1－，
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
可得f(x1)－f(x2)＝3x1＋1－－(3x2＋1－)＝3(x1－x2)＋(－)
＝3(x1－x2)＋
＝(x1－x2)·［3＋］.
因为x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，可得x1－x2＜0，＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数.
(3)因为函数f(x)为定义域R上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，
所以函数f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
又因为f(0)＝0，x∈(0，＋∞)时，f(x)＞0，x∈(－∞，0)时，f(x)＜0，所以函数f(x)在R上是增函数，
又由f＋f≥0，
可得f≥－f＝f(ax－1)，
因为不等式f＋f≥0对于任意实数x恒成立，
即不等式f≥f(ax－1)对于任意实数x恒成立，
可得不等式ax2＋3ax≥ax－1对于任意实数x恒成立，
即不等式ax2＋2ax＋1≥0对于任意实数x恒成立，
当a＝0时，不等式即为1≥0恒成立，符合题意；
当a≠0时，则满足
解得0＜a≤1.
综上可得，0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0，1].
1.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是( )
A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，1]
答案：C
解析：因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1).又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1，所以不等式的解集为[－1，＋∞).故选C.
2.(多选题)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＞2，则( )
A.f(－1)＝1
B.f(x)为偶函数
C.f(2 025)＞f(2 024)
D.若f(x＋2)＜2，则－3＜x＜－1
答案：BC
解析：定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＞2，对于A，在f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝1得f(1)＋2＝f(1)＋f(1)，因此f(1)＝2，再令x＝y＝－1得f(1)＋2＝f(－1)＋f(－1)，则f(－1)＝2，故A错误；对于B，令y＝－1得f(－x)＋2＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，f(x)是偶函数，故B正确；对于C，设0＜x1＜x2，则t＝＞1，f(t)＞2，所以f(x2)＝f(tx1)＝f(t)＋f(x1)－2＞f(x1)，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而f(2 025)＞f(2 024)，故C正确；对于D，f(x)是偶函数，则f(x＋2)＜2等价于f(｜x＋2｜)＜f(1).又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以解得－3＜x＜－1且x≠－2，故D错误.故选BC.
3.若f(x＋1)是R上的奇函数，则f(－3)＋f(5)＝ .
答案：0
解析：因为f(x＋1)是R上的奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(5)＝－f(－3)，即f(－3)＋f(5)＝0.
4.若函数y＝f(x)在(0，2)上单调递增，函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(1)，f，f的大小关系为 .(用“＜”号连接)
答案：f＜f(1)＜f
解析：因为y＝f(x＋2)是偶函数，所以f(2－x)＝f(2＋x)，故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f＝f，f＝f.又f(x)在(0，2)上单调递增，0＜＜1＜＜2，所以f＜f(1)＜f，即f＜f(1)＜f.
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重点突破4 函数性质的综合问题
第二章 函数
学习目标
1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件，培养数学抽象的核心素养.
2.掌握函数性质的综合应用问题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 函数图象的对称性
(1)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)＝f(4－x)，则函数y＝f(x)的图象
A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝2对称
C.关于直线x＝3对称 D.关于直线x＝4对称
√
典例
1
√
1.函数图象的对称轴
规律方法
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴
f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a
f(x)＝f(a－x)
f(a＋x)＝f(b－x)
2.函数图象的对称中心
规律方法
y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心
f(a－x)＝－f(a＋x) (a，0)
f(x)＝－f(a－x)
f(a＋x)＝－f(b－x)
f(a＋x)＋f(b－x)＝c
对点练1.(1)已知函数f(x)的定义域为R，若f(1－x)为奇函数，f(x－1)为偶函数.设f(－2)＝1，则f(2)＝
A.－1 B.0
C.1 D.2
√
因为f(x－1)为偶函数，所以f(－x－1)＝f(x－1)，所以f(x)图象关于直线x＝－1对称，所以f(0)＝f(－2)＝1；因为f(1－x)为奇函数，所以f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)图象关于点(1，0)对称，所以f(2)＝－f(0)＝－1.故 选A.
√
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题型二 抽象函数的单调性与奇偶性
已知函数f(x)对于一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
(1)求f(0)并证明f(x)在R上是奇函数；
解：函数f(x)的定义域为R，
因为对于一切x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，
令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)在R上是奇函数.
典例
2
判断抽象函数的奇偶性、单调性，主要是利用定义判定
1.找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f(－x)与f(x)的关系.
2.赋值代换，至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值－1或0或1来达到解题目的.
规律方法
(2)证明：f(x)为偶函数；
解：证明：令y＝－1得f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x).
因为f(x)是定义在非零实数集上的函数，
所以f(x)为偶函数.
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题型三 函数性质的综合应用
典例
3
奇偶性、单调性的综合应用
利用函数的奇偶性将函数式转化，利用单调性解决常见不等式问题，在综合型题目中，要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形，适当应用解题技巧化简求值，解题时，一定要特别注意函数的定义域.
规律方法
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随堂评价
1.已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是
A.(－∞，1) B.(－1，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.(－∞，1]
√
因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1).又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数，所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1，所以不等式的解集为[－1，＋∞).故选C.
2.(多选题)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，满足f(xy)＋2＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＞2，则
A.f(－1)＝1
B.f(x)为偶函数
C.f(2 025)＞f(2 024)
D.若f(x＋2)＜2，则－3＜x＜－1
√
√
3.若f(x＋1)是R上的奇函数，则f(－3)＋f(5)＝______.
0
因为f(x＋1)是R上的奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(5)＝－f(－3)，即f(－3)＋f(5)＝0.
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