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重点突破5 指数、对数函数的综合问题
第四章 对数运算与对数函数
学习目标
1.掌握指数(对数)型函数的图象变换，培养逻辑推理及直观想象的核心素养.
2.掌握指数(对数)型函数的性质，能利用函数性质求解一些综合性问题，培养数学运算的核心素养.
题型一 指数、对数型复合函数的单调性问题
典例
1
判断或证明复合函数单调性的方法与注意点
1.方法：一是利用函数单调性定义；二是复合函数单调性的“同增异减”规律.
2.注意：对数函数、指数函数的底数a＞0，且a≠1.
规律方法
√
返回
题型二 指数、对数型复合函数的最值(值域)问题
典例
2
与指数函数、对数函数有关的复合函数最值问题多采用换元法，转化为一元二次函数在给定区间上的最值再解决问题，注意新的定义域.
规律方法
√
返回
题型三 指数、对数型复合函数的奇偶性问题
√
典例
3
复合函数的奇偶性的判断方法
1.定义法：利用函数奇偶性的定义.
2.性质法：利用奇偶性的性质判断.
规律方法
√
√
返回
题型四 指数、对数型复合函数性质的综合应用
典例
4
1.利用函数奇偶性的定义求出a的值，对函数化简后，再判断函数的单调性.
2.根据其单调性和奇偶性解不等式.
规律方法
返回
随堂评价
√
√
√
－3
返回学习目标 1.掌握指数(对数)型函数的图象变换，培养逻辑推理及直观想象的核心素养. 2.掌握指数(对数)型函数的性质，能利用函数性质求解一些综合性问题，培养数学运算的核心素养.
题型一 指数、对数型复合函数的单调性问题
已知函数f(x)＝为奇函数.
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.
解：(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，
所以f(0)＝＝0，
所以a＝－1(经检验，a＝－1时f(x)为奇函数，满足题意).
(2)由(1)知f(x)＝＝1－，
函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下：任取x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1＜x2，所以＜，所以－＜0，
又＋1＞0，＋1＞0，所以f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在定义域R上单调递增.
判断或证明复合函数单调性的方法与注意点
1.方法：一是利用函数单调性定义；二是复合函数单调性的“同增异减”规律.
2.注意：对数函数、指数函数的底数a＞0，且a≠1.
对点练1.(1)设函数f(x)＝在区间上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)函数f(x)＝lo的单调增区间为 .
答案：(1)D (2)也对)
解析：(1)y＝在R上单调递减，由复合函数单调性可知，t＝x(x－a)＝x2－ax＝－上单调递减，≥1，解得a≥2.故选D.
(2)由－2x2＋3x＋5＞0得2x2－3x－5＝(x＋1)＜0，解得－1＜x＜，所以f(x)的定义域是.函数y＝－2x2＋3x＋5的图象开口向下，对称轴为x＝，函数y＝lox在(0，＋∞)上单调递减，则 f(x)的单调递增区间是.(也对)
题型二 指数、对数型复合函数的最值(值域)问题
已知2x≤256且log2x≥.
(1)求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝log2·log2的最大值和最小值.
解：(1)由2x≤256，得2x≤28，解得x≤8.
由log2x≥，得log2x≥log2，解得x≥，
所以≤x≤8，即x的取值范围为[，8].
(2)由(1)得≤x≤8，所以≤log2x≤3，
又f(x)＝log2·log2＝(log2x－1)(log2x－2)＝－，
所以当log2x＝，
即x＝＝2时，f(x)min＝－；
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)max＝2.
故函数f(x)的最大值为2，最小值为－.
与指数函数、对数函数有关的复合函数最值问题多采用换元法，转化为一元二次函数在给定区间上的最值再解决问题，注意新的定义域.
对点练2.(1)若函数f(x)＝1＋lg x(x∈［，100］)，则函数F(x)＝的值域为( )
A.［，16］ B.
C. D.
(2)已知函数f(x)＝ln，g(x)＝－m，若 x1∈[－1，3]， x2∈[－1，2]，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数m的取值范围为 .
答案：(1)D (2)
解析：(1)函数f(x)＝1＋lg x在［，100］上单调递增，又f＝1＋lg＝1－1＝0，f＝1＋lg 100＝1＋2＝3，故f(x)∈[0，3]，令t＝[f(x)－1]2∈[0，4]，而函数y＝2t在[0，4]上单调递增，则1≤2t≤16，所以函数F(x)＝.故选D.
(2)因为x∈[－1，3]，f(x)min＝f(0)＝0，x∈[－1，2]，g(x)min＝g(2)＝－m，根据题意，f(x)min≤g(x)min，即0≤－m，得m≤.所以所求实数m的取值范围为.
题型三 指数、对数型复合函数的奇偶性问题
若函数f(x)＝x2ln(－x)为奇函数，则a＝( )
A. B.
C.1 D.2
答案：C
解析：因为函数f(x)＝x2ln(－x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，而f(－x)＝x2ln(＋x)，则f(x)＋f(－x)＝x2ln(－x)＋x2ln(＋x)＝x2[ln(－x)＋ln(＋x)]＝x2ln [(－x)(＋x)]＝x2ln(x2＋a－x2)＝x2ln a＝0，所以ln a＝0，则a＝1.故选C.
复合函数的奇偶性的判断方法
1.定义法：利用函数奇偶性的定义.
2.性质法：利用奇偶性的性质判断.
对点练3.(多选题)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A.y＝－ln｜x｜ B.y＝x3
C.y＝2｜x｜ D.f(x)＝
答案：AD
解析：对于A，设g(x)＝－ln｜x｜，且定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且g(－x)＝－ln｜－x｜＝－ln｜x｜＝g(x)，则其为偶函数，当x＞0时，y＝－ln｜x｜＝－ln x，显然其在区间(0，＋∞)上单调递减，故A正确；对于B，根据幂函数y＝x3的性质知其为奇函数，故B错误；对于C，设g(x)＝2｜x｜，且定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，y＝2｜x｜变形为y＝2x，在区间(0，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，画出f(x)的图象，函数f(x)是偶函数，且函数f(x)在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故D正确.故选AD.
题型四 指数、对数型复合函数性质的综合应用
已知函数f(x)＝log3(1＋x)－log3(1－x).
(1)证明：函数f(x)是奇函数；
(2)若对任意x∈，t∈，不等式f(x)≥t2＋at－16恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)证明：由得－1＜x＜1，即f(x)的定义域为(－1，1)，
所以f(x)的定义域关于原点对称.
又f(－x)＝log3(1－x)－log3(1＋x)＝－[log3(1＋x)－log3(1－x)]＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数.
(2)因为y＝log3(1＋x)和y＝log3(1－x)在上分别是增函数和减函数，
所以f(x)在上为增函数，所以f(x)在上的最小值为f＝－1.
由题知t2＋at－16≤－1对t∈恒成立，即t2＋at－15≤0对t∈恒成立，
所以解得－2≤a≤2，
所以实数a的取值范围是.
1.利用函数奇偶性的定义求出a的值，对函数化简后，再判断函数的单调性.
2.根据其单调性和奇偶性解不等式.
对点练4.已知函数f(x)＝a－为奇函数，a∈R.
(1)求a的值；
(2)若f＋f＜0恒成立，求实数k的取值范围.
解：(1)函数定义域为R，
因为函数f(x)＝a－为奇函数，
所以有f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0.
又f(－x)＝a－＝a－，
则f(－x)＋f(x)＝a－＋a－＝2a－1＝0，所以a＝.
(2)因为函数f(x)＝－为奇函数，
所以f＋f＜0等价于f＜－f＝f，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－－＝－＝，
因为x1＜x2，所以0＜＜，则－＜0，＋1＞0，＋1＞0，
则f(x1)－f(x2)＜0，
所以f(x)是R上的单调增函数，
所以－x2＋4x＜x2＋k，即2x2－4x＋k＞0恒成立，
所以Δ＝(－4)2－4×2k＜0，解得k＞2，所以k的取值范围为(2，＋∞).
1.函数y＝的单调递增区间为( )
A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞)
C.(1，＋∞) D.(0，1)
答案：A
解析：函数y＝的定义域为R，设u＝1－x，则y＝，因为u＝1－x为减函数，y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y＝在(－∞，＋∞)上是增函数.故选A.
2.已知函数f(x)＝2x＋2－3×4x，若x2＋x≤0，则f(x)的最大值和最小值分别是( )
A.，0 B.，1
C.， D.3，1
答案：B
解析：由x2＋x≤0，得到－1≤x≤0，令2x＝t∈，则y＝4t－3t2，对称轴t＝，当t＝时，y＝4t－3t2取得最大值，最大值为y＝4×－3×＝，当t＝1时，y＝4t－3t2取得最小值，最小值为y＝4－3＝1，所以f(x)的最大值和最小值分别是，1.故选B.
3.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足f(log2a)－f(loa)≤2f(3)，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：函数f(x)为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，所以f(x)在R上是减函数，f(log2a)－f(loa)≤2f(3)，即f(log2a)＋f(log2a)≤2f(3)，所以f(log2a)≤f(3)，所以log2a≥3＝log223，所以a≥8，即实数a的取值范围为.故选D.
4.已知函数f(x)＝ln＋2，且f＝7，则f＝ .
答案：－3
解析：令g(x)＝f(x)－2＝ln，则g(－x)＋g(x)＝ln
＋ln＝ln＝0，故f(－x)－2＋f(x)－2＝0，所以f＋f＝4，因为f＝7，所以f＝4－7＝－3.
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