(共34张PPT)
重点突破3 二次函数的最值问题
第二章 函数
学习目标
能够利用二次函数的单调性解决求最值和参数范围等问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型一 “轴定区间定”的最值问题
√
典例
1
(2)设0＜x＜1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为_____.
定区间定轴问题只需要求出对称轴，然后根据开口方向确定单调性.
规律方法
√
(2)已知函数y＝－x2＋4x－1，x∈[1，4)，则函数的值域为____________.
(－1，3]
由题意得，y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，为开口向下，对称轴为x＝2的抛物线，因为x∈[1，4)，所以当x＝2时，y有最大值3，当x＝4时，y＝－1，所以函数的值域为(－1，3].
返回
题型二 “轴定区间动”的最值问题
典例
2
解题的关键是图象的对称轴与区间的位置关系，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
规律方法
返回
题型三 “轴动区间定”最值问题
已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－5，5].
(1)若y＝f(x)在[－5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围；
解：函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－5，5]的对称轴为x＝a，
若y＝f(x)在[－5，5]上是单调函数，则a≤－5，或a≥5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞).
典例
3
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
规律方法
返回
题型四 “轴动区间动”的最值问题
典例
4
此类问题还是讨论对称轴与区间的关系，难度相对较大，在讨论时注意不重不漏.
规律方法
返回
随堂评价
√
√
3.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是
A.[1，＋∞) B.[0，2]
C.(－∞，2] D.[1，2]
√
因为y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，函数取得最小值2，因为f(0)＝f(2)＝3，而函数在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，所以1≤m≤2，所以实数m的取值范围是[1，2].故选D.
返回学习目标 能够利用二次函数的单调性解决求最值和参数范围等问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型一 “轴定区间定”的最值问题
(1)函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间上的最大值、最小值分别是( )
A.12，－
B.2，12
C.42，－
D.最小值是－，无最大值
(2)设0＜x＜1，则函数y＝2x(1－x)的最大值为 .
答案：(1)C (2)
解析：(1)y＝x2＋3x＋2＝－，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－，所以在区间上，当x＝－时，y有最小值－；x＝5时，y有最大值42，函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间上的最大值、最小值分别是42，－.故选C.
(2)二次函数y＝f(x)＝2x(1－x)图象开口向下，对称轴为x＝，所以当0＜x＜1 时，f(x)max＝f＝2××＝.
定区间定轴问题只需要求出对称轴，然后根据开口方向确定单调性.
对点练1.(1)若0＜x＜4，则有( )
A.最小值0 B.最大值2
C.最大值2 D.最小值2
(2)已知函数y＝－x2＋4x－1，x∈[1，4)，则函数的值域为 .
答案：(1)C (2)(－1，3]
解析：(1)＝＝，故当x＝2时，取最大值＝2.故选C.
(2)由题意得，y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，为开口向下，对称轴为x＝2的抛物线，因为x∈[1，4)，所以当x＝2时，y有最大值3，当x＝4时，y＝－1，所以函数的值域为(－1，3].
题型二 “轴定区间动”的最值问题
已知函数f(x)＝2x2－10x.
(1)若x∈[－1，3]，求f(x)的单调区间和值域；
(2)设函数f(x)在[t，t＋1]的最小值为g(t)，求g(t)的表达式.
解：(1)可知函数f(x)＝2x2－10x的对称轴为x＝，开口向上，
所以当x∈［－1，］时，f(x)单调递减；当x∈(，3］时，f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f()＝－，f(x)max＝f(－1)＝12，
综上，f(x)的单调递减区间为［－1，］，单调递增区间为，值域为［－，12］.
(2)因为f(x)对称轴为x＝，开口向上，
所以当≤t，即t≥时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以f(x)min＝f(t)＝2t2－10t；
当t＜＜t＋1，即＜t＜时，f(x)min＝f()＝－；
当t＋1≤，即t≤时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(t＋1)＝2t2－6t－8.
综上所述，
g(t)＝
解题的关键是图象的对称轴与区间的位置关系，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
对点练2.已知f(x)＝2x2＋ax＋b过点，且满足f(－1)＝f(2).
(1)若存在实数x0，使得不等式f－t＜0成立，求实数t的取值范围；
(2)求f(x)在上的最小值h(m).
解：(1)由题设可知f(0)＝－1，得b＝－1，
因为f(－1)＝f(2)，所以2－a－1＝8＋2a－1，解得a＝－2，f(x)＝2x2－2x－1，
若存在实数x0，使得不等式f－t＜0成立，即f＜t，所以t＞f(x)min，
由二次函数性质可知，f(x)min＝f＝－，因此t＞－.
所以实数t的取值范围是.
(2)f(x)的对称轴为x＝.
当m≥时，f(x)在上的最小值为f(m)＝2m2－2m－1；
当m＜＜m＋2，即－＜m＜时，f(x)在上的最小值为f＝－；
当m＋2≤，即m≤－时，f(x)在上的最小值为f＝2m2＋6m＋3.
综上所述，h(m)＝
题型三 “轴动区间定”最值问题
已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－5，5].
(1)若y＝f(x)在[－5，5]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)求y＝f(x)在区间[－5，5]上的最小值.
解：(1)函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－5，5]的对称轴为x＝a，
若y＝f(x)在[－5，5]上是单调函数，则a≤－5，或a≥5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞).
(2)①当a≤－5时，y＝f(x)在[－5，5]上单调递增，f(x)的最小值是f(－5)＝26＋10a；
②当a≥5时，y＝f(x)在[－5，5]上单调递减，f(x)的最小值是f(5)＝26－10a；
③当－5＜a＜5时，f(x)在[－5，a]上单调递减，在(a，5]上单调递增，
则f(x)的最小值是f(a)＝－a2＋1.
所以f(x)在区间[－5，5]上的最小值为f(x)min＝
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
对点练3.已知f (x)＝ax2－2x＋1.
(1)若f (x)在[0，1]上单调，求实数a的取值范围；
(2)若x∈[0，1]，求f (x)的最小值g(a).
解：(1)当a＝0时，f (x)＝－2x＋1单调递减；
当a＞0时，f (x)图象的对称轴为x＝，且＞0，
所以≥1，即0＜a≤1；
当a＜0时，f (x)图象的对称轴为x＝＜0，
f(x)在[0，1]上单调递减，
所以a＜0符合题意.
综上，实数a的取值范围是(－∞，1].
(2)①当a＝0时，f (x)＝－2x＋1在[0，1]上单调递减，
所以f (x)min＝f (1)＝－1.
②当a＞0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x＝.
(ⅰ)当＜1，即a＞1时，f (x)＝ax2－2x＋1图象的对称轴在[0，1]内，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增.
所以f (x)min＝f ＝－＋1＝－＋1.
(ⅱ)当≥1，即0＜a≤1时，f (x)在[0，1]上单调递减.
所以f (x)min＝f (1)＝a－1.
③当a＜0时，f (x)＝ax2－2x＋1的图象开口方向向下，且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧，
所以f (x)＝ax2－2x＋1在[0，1]上单调递减.
所以f (x)min＝f (1)＝a－1.
综上所述，g(a)＝
题型四 “轴动区间动”的最值问题
已知函数f(x)＝x2＋4ax.
(1)若f(x)在区间[1，3]上具有单调性，求实数a的取值范围；
(2)求f(x)在区间[a，a＋1]上的最小值g(a).
解：(1)易知f(x)＝x2＋4ax开口向上，对称轴为x＝－2a，
所以若f(x)在区间[1，3]上具有单调性，
则需－2a≤1，或－2a≥3，
解得a≥－，或a≤－，
所以实数a的取值范围为(－∞，－］∪［－，＋∞).
(2)当a＜－2a＜a＋1，
即－＜a＜0时，g(a)＝f(－2a)＝－4a2，
当－2a≤a，即a≥0时，g(a)＝f(a)＝5a2，
当－2a≥a＋1，即a≤－时，g(a)＝f(a＋1)＝5a2＋6a＋1.
综上，g(a)＝
此类问题还是讨论对称轴与区间的关系，难度相对较大，在讨论时注意不重不漏.
对点练4.已知二次函数f(x)＝x2＋bx－＋1，设对任意的x∈，都有f(x)＞2恒成立，求实数b的取值范围.
解：若对任意的x∈，f(x)＞2恒成立，
即当x∈时，f(x)min＞2，
因为二次函数f(x)＝x2＋bx＋1－＝＋1－－，
所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－，且开口向上，
分以下三种情况讨论：
①当－≤b，即b≥0时，函数f(x)在区间上单调递增，
所以f(x)min＝f(b)＝2b2＋1－，
所以2b2＋1－＞2，即4b2－b－2＞0，
解得b＜或b＞，
因为b≥0，所以b＞；
②当b＜－＜b＋2，即－＜b＜0时，
函数f(x)在区间上单调递减，在上单调递增，
所以f(x)min＝f＝1－－，
所以1－－＞2，
即＋＋1＜0，
因为Δ＝－4×＜0，所以不等式无解；
③当－≥b＋2，即b≤－时，函数f(x)在区间上单调递减，
所以f(x)min＝f＝2b2＋b＋5，
所以2b2＋b＋5＞2，
即4b2＋11b＋6＞0，
解得b＜－2或b＞－，
因为b≤－，所以b＜－2.
综上可知，实数b的取值范围为(－∞，－2)∪.
1.若函数f(x)＝x2－4x，x∈，则f(x)有( )
A.最小值为－3 B.最大值0
C.最小值为－4 D.最大值－3
答案：A
解析：作出函数f(x)＝x2－4x，x∈的图象，如图所示.可知f(x)在x∈内有最小值为－3，无最大值.故选A.
2.已知二次函数y＝mx2－2mx(m为常数)，当－1≤x≤2时，函数值y的最小值为－2，则m的值是( )
A.－2 B.1
C.2或－ D.－1
答案：C
解析：因为y＝mx2－2mx，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，①当m＞0时，抛物线的开口向上，因为当－1≤x≤2时，函数在x＝1处取得最小值，又函数值y的最小值为－2，所以当x＝1时，y＝－2，所以m－2m＝－2，解得m＝2.②当m＜0时，抛物线的开口向下，因为当－1≤x≤2时，函数在x＝－1处取得最小值，又函数值y的最小值为－2，所以当x＝－1时，y＝－2，所以m＋2m＝－2，解得m＝－，所以实数m的值为2或－.故选C.
3.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.[0，2]
C.(－∞，2] D.[1，2]
答案：D
解析：因为y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以当x＝1时，函数取得最小值2，因为f(0)＝f(2)＝3，而函数在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，所以1≤m≤2，所以实数m的取值范围是[1，2].故选D.
4.已知函数f(x)＝2x2－ax＋a2－4，g(x)＝x2－x＋a2－(a∈R)，若 x1∈[0，1]， x2∈[0，1]，使得不等式f(x1)＞g(x2)成立，则实数a的取值范围是 .
答案：
解析：若 x1∈[0，1]， x2∈[0，1]，使得不等式f(x1)＞g(x2)成立，即只需满足f(x)min＞g(x)min，x∈[0，1]，g(x)＝x2－x＋a2－，对称轴x＝，g(x)在递减，在递增，g(x)min＝g＝a2－8，f(x)＝2x2－ax＋a2－4，x∈[0，1]，对称轴x＝，①当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，1]递增，f(x)min＝f(0)＝a2－4＞g(x)min＝a2－8恒成立；②当0＜＜1，即0＜a＜4时，f(x)在递减，在递增，f(x)min＝f＝a2－4，g(x)min＝a2－8，所以a2－4＞a2－8，解得－4＜a＜4，故0＜a＜4；③当≥1，即a≥4时，f(x)在[0，1]递减，f(x)min＝f(1)＝a2－a－2，g(x)min＝a2－8，所以a2－a－2＞a2－8，解得a＜6，故4≤a＜6.综上a∈.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
