学习目标 1.掌握利用基本不等式求最值的方法. 2.能通过构造基本不等式的形式解决求代数式的最值问题. 3.通过对基本不等式的灵活应用，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型一 配凑法求最值
(1)已知x＜1，则函数y＝x＋( )
A.有最小值5 B.有最小值－4
C.有最大值5 D.有最大值－3
(2)若x＞－1，则的最小值为 .
答案：(1)D (2)4
解析：(1)因为x＜1，所以x－1＜0，所以y＝x＋＝－＋1≤－2＋1＝－3，当且仅当1－x＝，即x＝－1时，等号成立，所以函数y＝x＋有最大值－3.故选D.
(2)当x＞－1时，x＋1＞0，则＝＝2(x＋1)＋≥2＝4，当且仅当2(x＋1)＝，即x＝0时取等号，所以的最小值为4.
配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
对点练1.(1)已知x＞－1，则4x＋的最小值为( )
A.－4 B.0 C.4 D.8
(2)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为 .
答案：(1)B (2)
解析：(1)因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以4x＋＝4(x＋1)＋－4≥2－4＝0，当且仅当4(x＋1)＝，即x＝－时，等号成立，故4x＋的最小值为0.故选B.
(2)因为0＜x＜1，所以4－3x＞0，3x＞0，x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，等号成立.
题型二 “1”的代换求最值
(1)已知正数a，b满足＋＝4，则a＋4b的最小值为( )
A. B. C.8 D.9
(2)若存在m∈，使不等式＋≤k成立，则k的最小值是( )
A.8 B.10 C.16 D.24
答案：(1)B (2)A
解析：(1)因为a，b均为正数，所以a＋4b＝(a＋4b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号.故选B.
(2)因为m∈，故0＜2m＜1，2m＋(1－2m)＝1，则＋＝(＋)[2m＋(1－2m)]＝＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当＝，即m＝时取等号，因为存在m∈，使不等式＋≤k成立，所以k≥8，即k的最小值为8，故选A.
常数代换通常是指“1”的代换，“1”的代换就是指凑出“1”，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
对点练2.(1)若m＞0，n＞0，且3m＋2n－1＝0，则＋的最小值为( )
A.20 B.12
C.16 D.25
(2)已知正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为 .
答案：(1)D (2)25
解析：(1)因为3m＋2n－1＝0，所以3m＋2n＝1，所以＋＝(＋)×1＝(＋)(3m＋2n)＝9＋＋＋4≥13＋2＝13＋12＝25，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以＋的最小值为25.故选D.
(2)因为正数a，b满足a＋b＝1，所以＝＝＝＋＝(a＋b)＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，联立a＋b＝1，即a＝，b＝时等号成立.
题型三 消元法求最值
(1)已知正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则3x2＋4y2的最小值为( )
A.1 B.2
C. D.4
(2)若正实数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为 .
答案：(1)B (2)9
解析：(1)由x2＋2xy－1＝0，因为x是正数，所以y＝.将y的表达式代入3x2＋4y2并化简得到3x2＋4y2＝3x2＋4＝3x2＋＝3x2＋＝3x2＋－2＋x2＝4x2＋－2，根据基本不等式得，4x2＋≥2＝4.所以4x2＋－2≥4－2＝2，当且仅当4x2＝，即x＝时取到最值.故选B.
(2)因为ab＝a＋b＋3，所以(a－1)·b＝a＋3.因为a＞0，b＞0，所以a－1＞0，即a＞1，所以b＝，所以ab＝a·＝＝＝a－1＋＋5.因为a＞1，所以a－1＋≥2＝4，当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号，此时b＝3，所以ab≥9，所以ab的最小值为9.
消元法的应用技巧
对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
对点练3.(1)已知正实数a，b满足ab＋2a－2＝0，则4a＋b的最小值是( )
A.2 B.4－2
C.4－2 D.6
(2)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A.9 B.1
C. D.4
答案：(1)B (2)D
解析：(1)由ab＋2a－2＝0，得a＝，所以4a＋b＝＋b＝＋(b＋2)－2≥2－2＝4－2，当且仅当a＝，且＝b＋2，即a＝，b＝2－2时，等号成立，所以4a＋b的最小值为4－2.故选B.
(2)由题意可知，z＝x2－3xy＋4y2，所以＝＝，因为x＞0，y＞0，所以＋－3≥2－3＝1，当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，此时取最大值为1，z＝xy＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋＝－＋4，当y＝时，上式取得最大值4，所以＋－的最大值为4.故选D.
题型四 换元法求最值
(1)已知正数x，y满足＋＝1，则x＋y的最小值为( )
A. B.
C. D.
(2)已知x，y为正实数，则＋的最小值为 .
答案：(1)A (2)8－4
解析：(1)令x＋3y＝m，3x＋y＝n，则＋＝1，m＋n＝(x＋3y)＋(3x＋y)＝4(x＋y)，所以x＋y＝＝＝＋＋＋≥2＋＝2×＋＝，当且仅当＝，即m＝2＋，n＝＋1时，等号成立，所以x＋y的最小值为.故选A.
(2)＋＝＋，令＝t＞0，
所以＋＝2t＋＝2＋－4
≥2－4＝8－4，当且仅当t＝2－2时取等号.所以＋的最小值为8－4.
若题目中条件是含两个分式的求最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分别令两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.
对点练4.(1)已知a≥0，b≥0且2a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
(2)若x＞0，y＞0，且x＋y＝xy，则＋的最小值为( )
A.2＋2 B.4
C.3＋2 D.5
答案：(1)C (2)C
解析：(1)因为a≥0，b≥0且2a＋b＝1，所以a＋b＞0，令a＋1＝x，a＋b＝y，则2a＋b＝x＋y－1＝1，即x＋y＝2(x＞0，y＞0)，＋＝(x＋y)×＝×(10＋＋)≥×(10＋6)＝8，当且仅当x＝3y，即a＝，b＝0时取等号.故选C.
(2)令x－1＝m，y－1＝n，则x＝1＋m，y＝1＋n，因为x＋y＝xy，所以mn＝1，即n＝且n＞0，所以＋＝＋＝3＋＋＝3＋n＋≥3＋2，当且仅当n＝，即x＝1＋，y＝＋1时等号成立，所以＋的最小值为3＋2.故选C.
1.若x＞，则的最小值为( )
A.10 B.12
C.14 D.16
答案：C
解析：由题意得＝＝x2＋2＋＝x2－2＋＋4.由x＞，得x2－2＞0，则＝x2－2＋＋4≥2＋4＝14，当且仅当x2－2＝，即x＝时，等号成立.故的最小值为14.故选C.
2.已知正实数a，b满足＋＝1，则a＋4b－的最小值为( )
A.4 B.2
C.2 D.8
答案：A
解析：由＋＝1可得＋＝a，那么a＋4b－＝4b＋＋－＝4b＋.由基本不等式得，4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝，即b＝时等号成立.故a＋4b－的最小值为4.故选A.
3.已知p，q为正实数且p＋q＝3，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由p＋q＝3，则有p＋2＋q＋1＝6，＋＝＝＋＋)≥＋×2＝，当且仅当＝，即p＝1，q＝2时等号成立，所以＋.故选A.
4.已知非负实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为( )
A. B.
C.4 D.
答案：B
解析：因为x＋y＝1，所以2x＋2y＋2＝4，则(2x＋2y＋2)＝1，所以＋＝(2x＋2y＋2)·＝，根据不等式性质可知＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝2，y＝3－2时等号成立，所以＋＝≥，故选B.
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重点突破1 基本不等式的综合应用
第一章 预备知识
学习目标
1.掌握利用基本不等式求最值的方法.
2.能通过构造基本不等式的形式解决求代数式的最值问题.
3.通过对基本不等式的灵活应用，提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型一 配凑法求最值
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典例
1
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配凑法的应用技巧
为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
规律方法
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(2)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为____.
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题型二 “1”的代换求最值
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典例
2
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常数代换通常是指“1”的代换，“1”的代换就是指凑出“1”，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
规律方法
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25
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题型三 消元法求最值
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典例
3
(2)若正实数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为______.
9
消元法的应用技巧
对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
规律方法
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题型四 换元法求最值
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典例
4
若题目中条件是含两个分式的求最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分别令两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.
规律方法
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随堂评价
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