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重点突破7 几种特殊事件概率的计算方法
第七章 概率
学习目标
1.熟练掌握互斥事件、对立事件、相互独立事件概率的计算方法.
2.能够将复杂事件的概率转化为简单事件的概率的计算，提升数学抽象和数学运算的核心素养.
题型一 互斥事件概率的计算
甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.4.求：
(1)甲获得比赛胜利的概率；
解：甲、乙两人进行围棋比赛，所有可能的基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局，分别记作事件I1，I2，I3，且I1，I2，I3两两互斥，则“甲获得比赛胜利或者平局”为事件I1，I3的和事件，“乙获得比赛的胜利或者平局”为I2，I3的和事件.
由互斥事件的和事件概率公式得P(A)＝P(I1∪I3)＝P(I1)＋P(I3)＝0.7，
P(B)＝P(I2∪I3)＝P(I2)＋P(I3)＝0.4，
又P(I1)＋P(I2)＋P(I3)＝1，
所以P(I1)＝0.6，P(I2)＝0.3，P(I3)＝0.1.
故甲获得比赛胜利的概率为P(I1)＝0.6.
典例
1
(2)甲、乙两人获得平局的概率.
解：甲、乙两人进行围棋比赛，所有可能的基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局，分别记作事件I1，I2，I3，且I1，I2，I3两两互斥，则“甲获得比赛胜利或者平局”为事件I1，I3的和事件，“乙获得比赛的胜利或者平局”为I2，I3的和事件.
甲、乙两人获得平局的概率为P(I3)＝0.1.
对于复杂的互斥事件的概率的计算，首先应考虑是由哪些事件组成，然后计算每个事件的概率，从而得到所求事件的概率.
规律方法
对点练1.某种花卉的市场需求量很大，某地区的土质、气温等条件都很适合这种花卉的栽培，但要大面积种植这种花卉，年降水量要在150～ 300 mm才会获得较好的经济效益.经调查，该地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
问：该地区是否适合大面积种植这种花卉？
年降水量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.12 0.35 0.21 0.16
解：记这个地区的年降水量(单位：mm)在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300]范围内分别为事件A，B，C，D，
这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，知年降水量在[150，300]范围内的概率是P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.35＋0.21＋0.16＝0.72，所以适合大面积种植.
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题型二 对立事件概率的计算
典例
2
利用对立事件解决问题的两种策略
1.正难则反：对于比较复杂事件的概率直接求解比较困难，计算量比较大，可以考虑其对立事件的概率.
2.至少、至多：通常利用其对立事件的概率.
规律方法
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题型三 相互独立事件概率的计算
典例
3
对于复杂的相互独立事件的解题策略
1.正难则反：灵活应用对立事件的概率关系简化运算，是求解概率问题常用的方法之一.
2.化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻求所求事件与已知事件的关系；注意“所求事件”是分几类还是分几步.
规律方法
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随堂评价
√
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题型一 互斥事件概率的计算
甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P(A)＝0.7，P(B)＝0.4.求：
(1)甲获得比赛胜利的概率；
(2)甲、乙两人获得平局的概率.
解：甲、乙两人进行围棋比赛，所有可能的基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局，分别记作事件I1，I2，I3，且I1，I2，I3两两互斥，则“甲获得比赛胜利或者平局”为事件I1，I3的和事件，“乙获得比赛的胜利或者平局”为I2，I3的和事件.
(1)由互斥事件的和事件概率公式得P(A)＝P(I1∪I3)＝P(I1)＋P(I3)＝0.7，
P(B)＝P(I2∪I3)＝P(I2)＋P(I3)＝0.4，
又P(I1)＋P(I2)＋P(I3)＝1，
所以P(I1)＝0.6，P(I2)＝0.3，P(I3)＝0.1.
故甲获得比赛胜利的概率为P(I1)＝0.6.
(2)甲、乙两人获得平局的概率为P(I3)＝0.1.
对于复杂的互斥事件的概率的计算，首先应考虑是由哪些事件组成，然后计算每个事件的概率，从而得到所求事件的概率.
对点练1.某种花卉的市场需求量很大，某地区的土质、气温等条件都很适合这种花卉的栽培，但要大面积种植这种花卉，年降水量要在150～300 mm才会获得较好的经济效益.经调查，该地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：
年降水 量/mm [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.12 0.35 0.21 0.16
问：该地区是否适合大面积种植这种花卉？
解：记这个地区的年降水量(单位：mm)在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300]范围内分别为事件A，B，C，D，
这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，知年降水量在[150，300]范围内的概率是P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.35＋0.21＋0.16＝0.72，所以适合大面积种植.
题型二 对立事件概率的计算
某校社团活动深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加摄影社，在这6名同学中，2名同学初中毕业于同一所学校，其余4名同学初中毕业于其他4所不同的学校.现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同).
(1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加摄影社的概率；
(2)求从这6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率；
(3)求从这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率.
解： (1)由题意知，该班60名同学中共有6名同学参加摄影社，
所以在该班随机选取1名同学，该同学参加摄影社的概率为＝.
(2)设A，B，C，D表示参加摄影社的男同学，a，b表示参加摄影社的女同学，
则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果，AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，
其中恰有1名女同学的结果有8种：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，
所以从6名同学中选出的2名同学代表恰有1名女同学的概率为P＝.
(3)由上可得从这6名同学中选出的2名同学代表来自于同一初中学校的概率为，
所以这6名同学中选出的2名同学代表来自于不同的初中学校的概率为1－＝.
利用对立事件解决问题的两种策略
1.正难则反：对于比较复杂事件的概率直接求解比较困难，计算量比较大，可以考虑其对立事件的概率.
2.至少、至多：通常利用其对立事件的概率.
对点练2.若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数.
(1)求事件“a2＜b2”的概率；
(2)求事件“方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根”的概率.
解：(1)设事件A表示“a2＜b2”.因为a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数.所以样本点一共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，事件A包含其中3个样本点，
故事件A发生的概率为P(A)＝＝，
即事件“a2＜b2”的概率为.
(2)若方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根，则需Δ＝4a2－4b2≥0，即a2≥b2，
记事件“方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根”为事件B，由(1)知，B＝，
故P(B)＝P()＝1－P(A)＝，
即事件“方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根”的概率为.
题型三 相互独立事件概率的计算
甲、乙、丙3名同学各自独立的求解某道数学题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为.
(1)求乙、丙各自解出该题的概率；
(2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率.
解：(1)设事件A为“甲独立解出该题”，事件B为“乙独立解出该题”，事件C为“丙独立解出该题”，
则P(A)＝，P(B)·[1－P(C)]＝，P(A)·P(C)＝，
解得P(B)＝，P(C)＝，
即乙独立解出该题的概率为，丙独立解出该题的概率为.
(2)甲、乙、丙3人都未解出该题的概率为
[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－)(1－)(1－)＝，
所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率为1－＝.
对于复杂的相互独立事件的解题策略
1.正难则反：灵活应用对立事件的概率关系简化运算，是求解概率问题常用的方法之一.
2.化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻求所求事件与已知事件的关系；注意“所求事件”是分几类还是分几步.
对点练3.在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛(五局三胜制)，其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
(1)求比赛只需打三局的概率；
(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.
解：(1)设事件A＝“甲前三局都获胜”，事件B＝“乙前三局都获胜”，
则P(A)＝××＝，P(B)＝××＝，
比赛只需打三局的概率为P＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
(2)甲需要打三局获胜的概率为P1＝，
甲需要打四局获胜的概率为P2＝×＝，
甲需要打五局获胜的概率为P3＝××＝，
则甲最终获胜的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
1.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为，和棋的概率为，则乙不输的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：因为乙不输与甲获胜互为对立事件，所以乙不输的概率是1－＝.故选A.
2.已知随机事件A和B互斥，且P(A∪B)＝0.5，P(B)＝0.3.则P()＝( )
A.0.5 B.0.6
C.0.7 D.0.8
答案：D
解析：因为A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，可得P(A)＝P(A∪B)－P(B)＝0.5－0.3＝0.2，所以P()＝1－P(A)＝1－0.2＝0.8.故选D.
3.为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意知，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，则甲、乙、丙三位同学在比赛中都不能成功包制一个粽子的概率为(1－)×(1－)×(1－)＝，则在比赛中至少一人成功的概率为1－＝.故选C.
4.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2025年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m≥n.该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率为 .
答案：
解析：由题意列出方程组，得解得m＝，n＝.令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为X，获得校本选修课学分分数不低于4分为事件A，则P(X＝4)＝××＝，P(X＝5)＝××＝，P(X＝6)＝××＝，P(A)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝.
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