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重点突破2 不等式恒成立、能成立问题
第一章 预备知识
学习目标
1.能用判别式法、数形结合法、分离参数法解不等式恒成立、能成立问题.
2.通过不等式的恒成立、能成立问题的应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 在R上的恒成立问题
典例
1
规律方法
对点练1.(1)若不等式kx2－6kx＋k＋8≥0的解集为R，则实数k的取值范 围是
A.0≤k≤1 B.0＜k≤1
C.k＜0或k＞1 D.k≤0或k≥1
√
(2)若 x∈R，不等式2kx2＋kx－1＜0都成立，则实数k的取值范围为__________.
返回
题型二 在给定区间上的恒成立问题
√
典例
2
(2)若当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0恒成立，则实数m的取值范围为_____________.
在给定范围内的恒成立问题
对含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法：
一是将参数分离，转化为恒成立问题；二是利用二次不等式根的分布及数形结合思想求解.
规律方法
√
(2) x∈{x｜1＜x＜2}时，不等式x2－x－m＜0恒成立，则实数m的取值范围是
A.{m｜m≤2} B.{m｜m≥2}
C.{m｜1＜m＜2} D.{m｜m＞2}
√
返回
题型三 变换主元解决恒成立问题
典例
3
主参换位法解决恒成立问题的思路
已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变量和参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围 求解.
规律方法
对点练3.对任意1≤m≤2，函数y＝mx2－mx＋m－6的值恒小于0，则实数x的取值范围为_________________.
{x｜－1＜x＜2}
y＝mx2－mx＋m－6＝(x2－x＋1)·m－6，依题意知，当1≤m≤2时，y＜0恒成立.因为x2－x＋1＞0，所以y是关于m的一次函数，且在1≤m≤2上随m的增大而增大，所以y＜0对1≤m≤2恒成立等价于y的最大值小于0，即2(x2－x＋1)－6＜0，则x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2.因此x的取值范围是{x｜－1＜x＜2}.
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题型四 简单的能成立问题
设函数y＝－mx2＋mx－1.
(1)若命题： x∈R，y＞0是假命题，求实数m的取值范围；
解：若命题： x∈R，y＞0是真命题，则 x∈R，不等式－mx2＋mx－1＞0成立，
当m＝0时，－1＞0，显然不成立；
当m≠0时，函数y＝－mx2＋mx－1为二次函数，
若－m＞0即m＜0，则 x∈R，y＞0，满足题意；
若－m＜0即m＞0，则Δ＝m2－4m＞0，所以m＞4.
综上，m＜0或m＞4.
所以命题： x∈R，y＞0是假命题时，实数m的取值范围为[0，4].
典例
4
解决简单的能成立问题主要有两种方法
1.分离参数法：可转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，然后求ymin或ymax.
2.数形结合法：利用一元二次函数的图象将问题转化为端点值的问题.
规律方法
√
√
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随堂评价
1.若不等式－x2＋ax－1＞0有解，则实数a的取值范围为
A.a＜－2，或a＞2 B.－2＜a＜2
C.a≠±2 D.1＜a＜3
√
不等式－x2＋ax－1＞0有解，即不等式x2－ax＋1＜0有解，因此Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2，或a＞2，所以实数a的取值范围为a＜－2，或a＞2.故选A.
√
√
4.若存在－1≤x≤1，使4x2－2(m－2)x＋3m＋1＞0，则实数m的取值集合是
A.{m｜m＞－9} B.{m｜m≤1}
C.{m｜－9＜m＜1} D.{m｜m≤－9}
√
返回学习目标 1.能用判别式法、数形结合法、分离参数法解不等式恒成立、能成立问题. 2.通过不等式的恒成立、能成立问题的应用，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.
题型一 在R上的恒成立问题
已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围.
解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y＜0恒成立，
所以其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点，
所以解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}.
一元二次不等式在R上恒成立
1.ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足
2.ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足
3.ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足
4.ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足
[注意] 若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参数，则一定要讨论二次项系数是否为0.
对点练1.(1)若不等式kx2－6kx＋k＋8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是( )
A.0≤k≤1 B.0＜k≤1
C.k＜0或k＞1 D.k≤0或k≥1
(2)若 x∈R，不等式2kx2＋kx－1＜0都成立，则实数k的取值范围为 .
答案：(1)A (2)
解析：(1)若k＝0，则不等式为8≥0，满足条件；若k≠0，要使不等式恒成立，则满足所以0＜k≤1.综上，实数k的取值范围为0≤k≤1.故选A.
(2)因为 x∈R，不等式2kx2＋kx－1＜0都成立，若k＝0，则－1＜0，符合题意；若k≠0，则解得－8＜k＜0；综上所述：k的取值范围为.
题型二 在给定区间上的恒成立问题
(1)对任意的≤x≤1，关于x的不等式(a＋2)x2－4x＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.a≥－2 B.a≥
C.a≥2 D.a≥1
(2)若当1＜x＜2时，关于x的不等式x2＋mx＋4＞0恒成立，则实数m的取值范围为 .
答案：(1)C (2)
解析：(1)由题意得(a＋2)x2≥4x－1，由≤x≤1，得x2＞0，则a＋2≥＝－＋恒成立.令t＝，得t＝∈，则二次函数y＝－t2＋4t＝－＋4≤4，当t＝2时，取得最大值，所以a＋2≥4，所以a≥2.故选C.
(2)记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4＞0(1＜x＜2)恒成立，所以Δ＝m2－4×4＜0或解得－4＜m＜4或m≥4或m＝－4，即m≥－4.故实数m的取值范围为.
在给定范围内的恒成立问题
对含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题，求解时主要有两种方法：
一是将参数分离，转化为恒成立问题；二是利用二次不等式根的分布及数形结合思想求解.
对点练2.(1)对任意的x∈，x2－2mx＋1＞0恒成立，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.∪
(2) x∈{x｜1＜x＜2}时，不等式x2－x－m＜0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.{m｜m≤2} B.{m｜m≥2}
C.{m｜1＜m＜2} D.{m｜m＞2}
答案：(1)B (2)B
解析：(1)对任意的x∈，x2－2mx＋1＞0恒成立，即对任意的x∈，m＜恒成立，因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故m＜1，故实数m的取值范围为.故选B.
(2) x∈{x｜1＜x＜2}时，不等式x2－x－m＜0恒成立，即解得m≥2，所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}.故选B.
题型三 变换主元解决恒成立问题
不等式mx2－mx－6＋m＜0对满足1≤m≤3的所有m均成立，求实数x的取值范围.
解：mx2－mx－6＋m＜0 (x2－x＋1)m－6＜0，
设y＝(x2－x＋1)m－6，该函数为以m为自变量的一元一次函数，
因为1≤m≤3，所以该函数的图象为一条线段，
要使y＝(x2－x＋1)m－6＜0对满足1≤m≤3的所有m均成立，
只需
解得＜x＜，
所以x的取值范围为.
主参换位法解决恒成立问题的思路
已知参数的取值范围，求变量的取值范围时，常常把变量和参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围求解.
对点练3.对任意1≤m≤2，函数y＝mx2－mx＋m－6的值恒小于0，则实数x的取值范围为 .
答案：{x｜－1＜x＜2}
解析：y＝mx2－mx＋m－6＝(x2－x＋1)·m－6，依题意知，当1≤m≤2时，y＜0恒成立.因为x2－x＋1＞0，所以y是关于m的一次函数，且在1≤m≤2上随m的增大而增大，所以y＜0对1≤m≤2恒成立等价于y的最大值小于0，即2(x2－x＋1)－6＜0，则x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2.因此x的取值范围是{x｜－1＜x＜2}.
题型四 简单的能成立问题
设函数y＝－mx2＋mx－1.
(1)若命题： x∈R，y＞0是假命题，求实数m的取值范围；
(2)若存在0＜x＜4，使得y≥x2＋3成立，求实数m的取值范围.
解：(1)若命题： x∈R，y＞0是真命题，则 x∈R，不等式－mx2＋mx－1＞0成立，
当m＝0时，－1＞0，显然不成立；
当m≠0时，函数y＝－mx2＋mx－1为二次函数，
若－m＞0即m＜0，则 x∈R，y＞0，满足题意；
若－m＜0即m＞0，则Δ＝m2－4m＞0，所以m＞4.
综上，m＜0或m＞4.
所以命题： x∈R，y＞0是假命题时，实数m的取值范围为[0，4].
(2)存在0＜x＜4，使得－mx2＋mx－1≥(－m＋1)x2＋3成立，
即对于x∈，使x2－mx＋4≤0有解，
即m≥＝x＋在x∈上能成立，
所以m≥，
因为x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，
所以实数m的取值范围为[4，＋∞).
解决简单的能成立问题主要有两种方法
1.分离参数法：可转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，然后求ymin或ymax.
2.数形结合法：利用一元二次函数的图象将问题转化为端点值的问题.
对点练4.(1)命题：“ x∈使得不等式x2－2x－3＋a≥0成立”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)若关于x的不等式x2＋mx－4＞0在区间上有解，则实数m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案：(1)C (2)A
解析：(1)由 x∈使得不等式x2－2x－3＋a≥0成立是真命题，即不等式a≥－x2＋2x＋3在x∈有解，因为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x＝4时，ymin＝－5，所以a≥－5，即实数a的取值范围为.故选C.
(2)易知Δ＝m2＋16＞0恒成立，即x2＋mx－4＝0有两个不等实数根x1，x2，又x1x2＝－4＜0，即x2＋mx－4＝0有两个异号实根，所以要满足不等式x2＋mx－4＞0在区间上有解，只需42＋4m－4＞0，解得m＞－3，所以实数m的取值范围是.故选A.
1.若不等式－x2＋ax－1＞0有解，则实数a的取值范围为( )
A.a＜－2，或a＞2 B.－2＜a＜2
C.a≠±2 D.1＜a＜3
答案：A
解析：不等式－x2＋ax－1＞0有解，即不等式x2－ax＋1＜0有解，因此Δ＝a2－4＞0，解得a＜－2，或a＞2，所以实数a的取值范围为a＜－2，或a＞2.故选A.
2.若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈恒成立，则 x∈，a≤x＋成立，而x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，因此a≤4，所以实数a的取值范围是.故选B.
3.(新定义)定义运算：x*y＝x.若关于x的不等式(x－a)*＜1恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.{a｜0＜a＜2}
答案：B
解析：由题意(x－a)*＜1可变形为(x－a)－1＜0，即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，所以Δ＝1－4×1×＜0恒成立，化简可得＜0，解得－＜a＜，所以实数a的取值范围为.故选B.
4.若存在－1≤x≤1，使4x2－2(m－2)x＋3m＋1＞0，则实数m的取值集合是( )
A.{m｜m＞－9} B.{m｜m≤1}
C.{m｜－9＜m＜1} D.{m｜m≤－9}
答案：A
解析：由题意知：若 －1≤x≤1，使4x2－2(m－2)x＋3m＋1≤0为真，则所以m≤－9，故若存在－1≤x≤1，使4x2－2(m－2)x＋3m＋1＞0，则m＞－9，所以m的取值集合是{m｜m＞－9}.故选A.
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