章末综合提升
探究点一 指数幂的运算
(1)求＋－0.06的值.
(2)已知－＝1，求的值.
解：(1)原式＝＋－＝π－3＋3－－＝π－－.
(2)因为－＝1，
所以(－)2＝a＋a－1－2＝1，
即a＋a－1＝3，
因为(－)(a＋a－1)＝＋－－＝3，
所以－＝3＋－＝4，
所以原式＝＝.
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂再运算，其次若出现分式则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.
对点练1.化简、求值：
(1)(－2)(3)(－4)；
(2)－＋0.00×.
解：(1)原式＝·＝24y.
(2)原式＝－＋0.×
＝－＋0.2－2×＝－＋25×＝.
探究点二 指数函数的图象及其应用
(1)(多选题)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数y＝(a＞0，且a≠1)的图象的大致形状可能是( )
(2)若函数f(x)＝＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是 .
答案：(1)BD (2)[－1，0)
解析：(1)当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上单调递减，当x＜0时，y＝－ax在(－∞，0)上递增，y＜－1，当x＞0时，y＝ax在(0，＋∞)上递减，0＜y＜1，故A不满足，D符合题意；当a＞1时，函数y＝ax在R上单调递增，当x＜0时，y＝－ax在(－∞，0)上递减，－1＜y＜0，当x＞0时，y＝ax在(0，＋∞)上递增，y＞1，故C不满足，B符合题意.故选BD.
(2)令f(x)＝＋m＝0，则－m＝，令g(x)＝，作出函数g(x)＝的图象，如图.依题意0＜－m≤1，即－1≤m＜0，故实数m的取值范围是[－1，0).
指数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.
对点练2.(1)在下图中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与指数函数y＝的图象只可能是( )
(2)(多选题)若＝3b，则下列结论可能正确的是( )
A.a＜0＜b B.a＝b
C.b＜0＜a D.a＞b＞0
答案：(1)A (2)ABC
解析：(1)因为y＝为指数函数，所以＞0，且≠1，所以－＜0，因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－，所以排除B、D，由指数函数的图象可知0＜＜1，所以－＜－＜0，所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误.故选A.
(2)在同一平面直角坐标系内作出y＝3x和y＝的图象，若＝3b＞1，则a＜0＜b，故A正确；若＝3b＝1，则a＝b＝0，故B正确；若＝3b＜1，则b＜0＜a，故C正确.故选ABC.
探究点三 指数函数单调性的应用
已知函数y＝(a－1)x是指数函数，该指数函数的图象经过点(2，4).
(1)求函数的表达式；
(2)解关于x的不等式＞.
解：(1)因为指数函数的图象经过点(2，4)，所以解得a＝3，所以y＝2x.
(2)因为y＝是单调递减函数，由＞得3＞，解得＜x＜，
所以不等式的解集为.
在解与指数函数有关的不等式时，主要是利用指数函数的性质，或利用换元法转化为一元二次不等式.
对点练3.(1)(多选题)以下关于数的大小的结论正确的是( )
A.1.72.5＜1.73 B.0.8－0.1＜0.8－0.2
C.1.50.3＜0.93.1 D.(＜(
(2)若命题“ a，b∈R，a－2b＜b－2a”为真命题，则a，b的大小关系为( )
A.a＜b B.a＞b
C.a≤b D.a≥b
答案：(1)ABD (2)A
解析：(1)对于A，因为指数函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，所以1.72.5＜1.73，故A正确；对于B，因为指数函数y＝0.8x在R上单调递减，且－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2，故B正确；对于C，因为1.50.3＞1.50＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，所以1.50.3＞0.93.1，故C不正确；对于D，＝，且＝，所以＜，故D正确.故选ABD.
(2)由a－2b＜b－2a，得a＋2a＜b＋2b.令f(x)＝x＋2x，易知f(x)在上是增函数，因为“ a，b∈R，a－2b＜b－2a”为真命题，即f(a)＜f(b)，所以a＜b.故选A.
探究点四 指数函数性质的综合应用
已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＞0；
(2)当a＝，x∈[0，2]时，求f(x)的值域.
解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1，
所以f(x)＞0，即2·(2x)2－2x－1＞0，
解得2x＞1，或2x＜－(舍去)，
所以x＞0，
即不等式f(x)＞0的解集为(0，＋∞).
(2)当a＝时，f(x)＝4x－2x－1，
设t＝2x，由x∈[0，2]得t∈[1，4]，
此时，y＝t2－t－1，t∈[1，4]，
因为y＝t2－t－1的图象是开口朝上，且以t＝为对称轴的抛物线，
所以y＝t2－t－1在区间[1，4]上为增函数，
所以当t＝1时，函数取最小值－1，当t＝4时，函数取最大值11，
故f(x)的值域为[－1，11].
指数函数的图象和性质、方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题注意进行分类讨论.同时要注意变量本身的取值范围，以免出现增根.
对点练4.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象过(0，2)和(2，10)两点，求f(x)在[0，1]上的值域；
(2)若0＜a＜1，且函数f(x)在区间[2，3]上的最大值比最小值大，求a的值.
解：(1)由题意，f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，f(2)＝a2＋b＝10，
又a＞0，解得a＝3，b＝1，所以f(x)＝3x＋1.
因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以3x＋1∈[2，4]，
所以f(x)在[0，1]上的值域为[2，4].
(2)当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，3]上单调递减，
所以f(x)max＝f(2)＝a2＋b，
f(x)min＝f(3)＝a3＋b，
因此－＝，
解得a＝或a＝0(舍去)，
所以a＝.
(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件.故选C.
溯源：(教材P92B组T3)设y1＝a3x＋1，y2＝a－2x，其中a＞0，且a≠1.当x为何值时，有：
(1)y1＝y2；(2)y1＞y2.
点评：该高考题主要考查已知幂函数与指数函数的单调性，与教材习题角度相似，难度相当.
(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )
A.f(x)＝－x B.f(x)＝
C.f(x)＝x2 D.f(x)＝
答案：D
解析：法一(排除法)：取x1＝－1，x2＝0，对于A有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A不符合题意；对于B有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B不符合题意；对于C有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C不符合题意.故选D.
法二(图象法)：
如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，即可快速直观判断D项符合题意.故选D.
溯源：(教材P68思考交流T1和P88表3－6)你画过y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象吗？请将这5个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2－3.
表2－3
函数性质 y＝x y＝ y＝x2 y＝ y＝x3
定义域
值域
单调性
奇偶性
表3－6
图象和性质 a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 (1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1
(4)当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 (4)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(5)在R上是增函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 (5)在R上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大
点评：该高考试题直接考查幂函数与指数函数的单调性，难度不大，直接利用教材中的性质.
(2022·北京卷)已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有( )
A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)－f(x)＝0
C.f(－x)＋f(x)＝1 D.f(－x)－f(x)＝
答案：C
解析：f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1，故A错误，C正确；f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝1－，不是常数，故B，D错误.故选C.
溯源：(教材P92B组T4)设f(x)＝3x，求证：
(1)f(x)·f(y)＝f(x＋y)；
(2)＝f(x－y).
点评：本高考题来源于教材，但高于教材，通过改变函数关系式实现对教材的引申与拓展；难度高于教材.
(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞b＞c D.b＞a＞c
答案：D
解析：由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.故选D.
溯源：(教材P91A组T4)比较下列各组数的大小：
(1)31.2，32.2，；
(2)，，.
点评：本高考题来源于教材，与教材习题相似，难度相当.
(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案：D
解析：因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0，又因为x不恒为 0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D.
溯源：(教材P95B组T2)已知函数f(x)＝是奇函数，求g(2)的值.
点评：本高考题与教材习题相似，均考查利用函数的奇偶性求值，只是解析式复杂，难度略高于教材习题.
(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A.(－∞，－2] B.[－2，0)
C.(0，2] D.[2，＋∞)
答案：D
解析：函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞).故选D.
溯源：(教材P94A组T7)求下列函数的值域：
(1)y＝6－41－x；
(2)y＝(－1≤x≤2).
点评：本高考题与教材习题相似，均考查指数型函数的单调性的应用，只是解析式复杂，难度略高于教材习题.
单元检测卷(三) 指数运算与指数函数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.用分数指数幂的形式表示a3·(a＞0)的结果是( )
A. B. C.a4 D.
答案：B
解析：因为a＞0，所以a3·＝a3·＝＝.故选B.
2.已知当x＞0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )
A. B.(－∞，1)
C.(1，＋∞) D.
答案：C
解析：根据指数函数性质知3a－2＞1，解得a＞1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).故选C.
3.函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)的图象过定点P，则定点P的坐标是( )
A.(1，2) B.(1，1) C.(0，1) D.
答案：A
解析：由函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)，令x－1＝0，即x＝1，可得f(1)＝a0＋1＝2，所以函数f(x)的图象恒过定点P(1，2).故选A.
4.已知－＝，则a2－a－2＝( )
A.3 B.±3
C.21 D.±21
答案：C
解析：由－＝得(－)2＝a－2＋a－1＝5，即a＋a－1＝7，故＋＝＝＝＝3，故a－a－1＝(＋)(－)＝3，故a2－a－2＝(a＋a－1)(a－a－1)＝21.故选C.
5.函数f(x)＝－1的图象大致为( )
答案：C
解析：由f(x)＝－1可知，当x≥0时，f(x)＝－1单调递减，且f(x)≤f(0)＝0.故选C.
6.福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是：M＝M0·a－0.008t(其中M0为3H的初始质量).已知经过125年3H的质量衰减为最初的，则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为( )
A.325年 B.375年
C.600年 D.1 000年
答案：B
解析：由题意得M0＝M0·a－0.008×125，解得a＝2，令M＝M0，则M0＝M0·2－0.008t，解得t＝375.故选B.
7.若＜＜＜1，则( )
A.aa＜ab＜ba B.aa＜ba＜ab
C.ab＜aa＜ba D.ab＜ba＜aa
答案：C
解析：若＜＜＜1，且∈(0，1)，函数f(x)＝在R上为减函数，f(1)＜f(b)＜f(a)＜f(0)，则0＜a＜b＜1，函数y＝ax在R上为减函数，有ab＜aa，函数y＝xa在(0，＋∞)上为增函数，有aa＜ba，可得ab＜aa＜ba.故选C.
8.(新定义)若直角坐标系内A，B两点满足：(1)点A，B都在f(x)图象上，(2)点A，B关于原点对称，则称点对是函数f(x)的一个“孪生点对”；已知函数f(x)＝则f(x)的“孪生点对”有( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
答案：C
解析：作出f(x)的图象，再作出函数y＝，x≥0关于原点对称的图象如图所示.函数y＝，x≥0关于原点对称的图象与y＝－，x＜0的图象有三个交点，故f(x)图象上“孪生点对”有3对.故选C.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.－＝(－x
B.＝
C.＝
D.＝
答案：BCD
解析：对于A，－＝－(x≥0)，而(－x＝(x≤0)，故A错误；对于B，＝(y＞0)，故B正确；对于C，＝＝(x＞0)，故C正确；对于D，＝＝(x＞0)，故D正确.故选BCD.
10.已知函数f(x)＝则下列结论中错误的是( )
A.f(x)的值域为(0，＋∞)
B.f(x)是单调函数
C.f(x)的图象与直线y＝2有两个交点
D.f(x)是偶函数
答案：ABD
解析：当x≤0时，f(x)＝－1单调递减，且f(x)∈[0，＋∞)，当x＞0时，f(x)＝单调递增，且f(x)∈(0，＋∞)，所以f(x)的值域为[0，＋∞)，故A错误；f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；又函数f(x)的图象与直线y＝2在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别有一个交点，共有两个交点，故C正确；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x≠－1，即f(－x)≠f(x)，所以函数f(x)不是偶函数，故D错误.故选ABD.
11.已知函数g(x)＝(无理数e＝2.718 281…)，则下面几个结论正确的有( )
A.函数y＝g(x)为偶函数
B.函数y＝g(x)为奇函数
C.函数y＝g(x)在其定义域内单调递减
D.函数y＝g(x)的值域为(－1，1)
答案：BCD
解析：函数g(x)＝，定义域为R，g(－x)＝＝＝－g(x)，所以函数g(x)＝为奇函数，故A错误，B正确；g(x)＝＝－1，显然y＝在R上单调递减，则f(x)＝＝－1在R上单调递减，故C正确；函数g(x)＝＝－1，因为1＋ex＞1，所以0＜＜1，则0＜＜2，所以－1＜－1＜1，即g(x)的值域为(－1，1)，故D正确.故选BCD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在横线上.)
12.已知10a＝3，10b＝4，则10a＋b的值是 .
答案：12
解析：由题意得10a＋b＝10a·10b＝3×4＝12.
13.若函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数y＝(1－4m)x在R内是增函数，则a＝ .
答案：
解析：若函数g(x)＝x在R内是增函数，则1－4m＞0，m＜，若a＞1，因为函数y＝f(x)＝ax上单调递增，最大值是4，最小值为m，所以a2＝4，m＝a－1＝，解得a＝2，m＝，不满足m＜；若0＜a＜1，因为函数y＝f(x)＝ax上单调递减，最大值是4，最小值为m，所以a－1＝＝4，m＝a2，解得a＝，m＝，满足m＜，所以a＝.
14.若函数f(x)＝在R上满足＞0，则实数a的取值范围为 .
答案：
解析：因为函数f(x)＝是R上的增函数，所以解得4≤a＜8，所以实数a的取值范围是[4，8).
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.(13分)求下列各式的值：
(1)＋×÷－；
(2)＋××.
解：(1)原式＝［()3＋××－1
＝(＋××－1
＝()－2＋()－2×－1＝＋1＝.
(2)原式＝＋×××1＝＋××××
＝＋×××××＝＋××＝＋1＝.
16.(15分)已知函数y＝f(x)是指数函数，且它的图象过点(2，4).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出指数函数y＝f(x)的图象，并根据图象解不等式f(2x)＞f(－x＋3).
解：(1)设函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，
把点(2，4)代入f(x)＝ax可得a2＝4，求得a＝2，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x.
(2)画出指数函数y＝f(x)的图象如图所示：
所以函数f(x)＝2x在R上单调递增；由不等式f(2x)＞f(－x＋3)，可得2x＞－x＋3，解得x＞1，
故不等式的解集为(1，＋∞).
17.(15分)已知函数f(x)＝是定义在R上的奇函数(a＞0，b＞0).
(1)求f(x)的解析式；
(2)求当x∈[0，1]时，函数g(x)＝f(x)·(3x＋1)＋9x－1的值域.
解：(1)由函数f(x)＝是R上的奇函数，则有f(0)＝＝0，解得a＝3，
即f(x)＝，
x∈R，f(－x)＝＝＝－＝－f(x)，
即 x∈R，b·3x＋1＝3x＋b，解得b＝1，经验证得a＝3，b＝1时，f(x)是奇函数，
所以f(x)＝.
(2)由(1)知，g(x)＝f(x)·(3x＋1)＋9x－1＝3－3x＋1＋9x－1＝(3x)2－3×3x＋2＝(3x－)2－，
当x∈[0，1]时，1≤3x≤3，因此当3x＝时，g(x)min＝－，当x＝1时，g(x)max＝2，
所以所求值域为［－，2］.
18.(17分)定义在D上的函数f(x)，若对任意x∈D，存在常数M＞0，都有≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)是奇函数，判断函数f(x)(x∈R)是否为有界函数，并说明理由；
(2)若f(x)在上是以为上界的函数，求实数m的取值范围.
解：(1)法一：若f(x)是奇函数，则f(x)＋f(－x)＝0，
则＋＝＋＝0，
所以＝0恒成立，
所以f(x)是奇函数时，m＝1，
此时f(x)＝＝＝－1，
由2x＞0，知1＋2x＞1，于是0＜＜2，则－1＜－1＜1，
故x∈R时，－1＜f(x)＜1，即｜f(x)｜＜1，
所以函数f(x)(x∈R)为有界函数.
法二：因为f(x)(x∈R)为奇函数，可得f(0)＝0，则有1－m＝0，解得m＝1.
经检验，m＝1时，f(x)为奇函数.
此时f(x)＝＝＝－1，
由2x＞0，知1＋2x＞1，于是0＜＜2，则－1＜－1＜1，
故x∈R时，－1＜f(x)＜1，即｜f(x)｜＜1，
所以函数f(x)(x∈R)为有界函数.
(2)若函数f(x)在为上界的函数，则有≤上恒成立，
故－≤f(x)≤恒成立，
即－≤≤恒成立，
所以
即
由题可知，不等式组上恒成立.
因为y＝－上单调递减，其最大值为；
又y＝＋上单调递减，其最小值为.
所以≤m≤，
故实数m的取值范围是.
19.(17分)已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R).请在下面三个函数：
①g1(x)＝5x；②g2(x)＝5x2；③g3(x)＝125x中，选择一个函数作为g(x)，使得f(x)具有奇偶性.
(1)请写出g(x)的表达式，并求a的值；
(2)当f(x)为奇函数时，若对任意的x∈，都有f(2x)≥mf(x)成立，求实数m的取值范围.
解：(1)若选①：g(x)＝5x，则f(x)＝，定义域为R，
若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝≠0，故函数不能是奇函数，
若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝＝＝，
由f(－x)＝f(x)，可得＝，
化简可得a＝(x≠0)，
则a不为常数，即函数f(x)＝不可能为偶函数，不符合题意.
若选②，g(x)＝5x2，则f(x)＝.
若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝≠0，不符合题意；
若函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝＝＝，
由f(－x)＝f(x)，可得＝，
整理可得a＝－＝－＝－(x≠0)，
则a不为常数，不符合题意.
若选③，g(x)＝125x，
则f(x)＝＝5x＋·5－x，
f(－x)＝5－x＋·5x，
当f(x)为奇函数，则f(x)＝－f(－x)，
即f(x)＋f(－x)＝(5x＋5－x)＝0，
可得a＝－1；
当f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，
则f(x)－f(－x)＝(5x－5－x)＝0，可得a＝1.
故g(x)＝125x，a＝±1.
(2)由(1)知，当f(x)为奇函数时，a＝－1，f(x)＝5x－5－x，
因为x∈，所以5x∈，
由于函数y1＝5x在上为增函数，函数y2＝5－x在上为减函数，
所以函数f(x)＝5x－5－x在上为增函数，则f(x)∈，
若对于任意的x∈，都有f(2x)≥mf(x)成立，
所以m≤＝＝，设t＝5x∈，φ(t)＝t＋，
任取t1，t2∈，且t1＜t2，
即≤t1＜t2≤25，
则φ(t1)－φ(t2)＝－
＝(t1－t2)＋
＝(t1－t2)＋＝，
因为≤t1＜t2≤25，则t1－t2＜0，t1t2＞5，
可得φ(t1)－φ(t2)＜0，即φ(t1)＜φ(t2)，
所以函数φ(t)在上为增函数，
所以φ(t)min＝φ()＝＋，
即m≤＋＝.
所以实数m的取值范围是.
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章末综合提升
第三章 指数运算与指数函数
体 系 构 建
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分 层 探 究
典例
1
指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂再运算，其次若出现分式则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的.
规律方法
典例
2
√
√
当0＜a＜1时，函数y＝ax在R上单调递减，当x＜0时，y＝－ax在(－∞，0)上递增，y＜－1，当x＞0时，y＝ax在(0，＋∞)上递减，0＜y＜1，故A不满足，D符合题意；当a＞1时，函数y＝ax在R上单调递增，当x＜0时，y＝－ax在(－∞，0)上递减，－1＜y＜0，当x＞0时，y＝ax在(0，＋∞)上递增，y＞1，故C不满足，B符合题意.故选BD.
[－1，0)
规律方法
指数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.
√
√
√
√
典例
3
在解与指数函数有关的不等式时，主要是利用指数函数的性质，或利用换元法转化为一元二次不等式.
规律方法
√
√
√
(2)若命题“ a，b∈R，a－2b＜b－2a”为真命题，则a，b的大小关系为
A.a＜b B.a＞b
C.a≤b D.a≥b
√
典例
4
指数函数的图象和性质、方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题注意进行分类讨论.同时要注意变量本身的取值范围，以免出现增根.
规律方法
对点练4.已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象过(0，2)和(2，10)两点，求f(x)在[0，1]上的值域；
解：由题意，f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，f(2)＝a2＋b＝10，
又a＞0，解得a＝3，b＝1，所以f(x)＝3x＋1.
因为f(x)在[0，1]上单调递增，所以3x＋1∈[2，4]，
所以f(x)在[0，1]上的值域为[2，4].
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考 教 衔 接
(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
真题
1
√
根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件.故选C.
溯源：(教材P92B组T3)设y1＝a3x＋1，y2＝a－2x，其中a＞0，且a≠1.当x为何值时，有：
(1)y1＝y2；(2)y1＞y2.
点评：该高考题主要考查已知幂函数与指数函数的单调性，与教材习题角度相似，难度相当.
真题
2
√
函数性质 y＝x y＝x2 y＝x3
定义域
值域
单调性
奇偶性
表3－6
图象和性质 a＞1 0＜a＜1
图
象
性
质 (1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1
图象和性质 a＞1 0＜a＜1
性
质 (4)当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1 (4)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(5)在R上是增函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于0 (5)在R上是减函数
当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于0；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于正无穷大
点评：该高考试题直接考查幂函数与指数函数的单调性，难度不大，直接利用教材中的性质.
真题
3
√
(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞b＞c D.b＞a＞c
真题
4
√
由y＝1.01x在R上单调递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上单调递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5.所以b＞a＞c.故选D.
真题
5
√
(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是
A.(－∞，－2] B.[－2，0)
C.(0，2] D.[2，＋∞)
真题
6
√
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单 元 检 测 卷
√
√
根据指数函数性质知3a－2＞1，解得a＞1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).故选C.
√
由函数f(x)＝ax－1＋1(a＞0且a≠1)，令x－1＝0，即x＝1，可得f(1)＝a0＋1＝2，所以函数f(x)的图象恒过定点P(1，2).故选A.
√
√
√
√
√
√
√
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√
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√
√
√
√
12.已知10a＝3，10b＝4，则10a＋b的值是______.
由题意得10a＋b＝10a·10b＝3×4＝12.
12
16.(15分)已知函数y＝f(x)是指数函数，且它的图象过点(2，4).
(1)求函数f(x)的解析式；
解：设函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，
把点(2，4)代入f(x)＝ax可得a2＝4，求得a＝2，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x.
(2)画出指数函数y＝f(x)的图象，并根据图象解不等式f(2x)＞f(－x＋3).
解：画出指数函数y＝f(x)的图象如图所示：
所以函数f(x)＝2x在R上单调递增；由不等式f(2x)＞f(－x＋3)，可得2x＞－x＋3，解得x＞1，
故不等式的解集为(1，＋∞).
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