(共67张PPT)
章末综合提升
第四章 对数运算与对数函数
体 系 构 建
返回
分 层 探 究
典例
1
对数的运算应遵循的原则
1.统一底数：借助换底公式，化异底为同底.
2.运用性质：运用对数的运算性质以及对数恒等式、换底公式进行化简、求值.
规律方法
典例
2
√
√
规律方法
数的大小比较常用方法
1.常用方法：单调性法、图象法、中间量法、作差法、作商法.
2.(1)对数式的比较：可将其看成某个对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
(2)幂、指、对函数值的大小比较：先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.
√
(2)已知a＝log25，b＝log49，c＝log612，则有
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.b＞a＞c
√
典例
3
√
(2)若a·log3a＝2，b·3b＝2，c·ln c＝2，则a，b，c的大小关系是
A.b＜c＜a B.a＜b＜c
C.b＜a＜c D.c＜a＜b
√
对数函数图象识别及应用
规律方法
识别 注意函数图象上的特殊点及函数自身的性质(定义域、单调性、对称性、最值等)，同时运用图象平移、对称、翻折等知识加以筛选
应用 借助对数函数的图象可以求图象的交点个数、函数的最值、解不等式等
对点练3.(1)(多选题)如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是
A.m＜0
B.m＞0
C.n＞1
D.0＜n＜1
√
√
由函数图象可得y＝m＋lognx在(0，＋∞)上单调递减，所以0＜n＜1，又x＝1时，y＜0，即m＋logn1＝m＜0，故A、D正确.故选AD.
√
典例
4
求解与对数函数有关的复合函数的问题时，需要弄清楚三个方面的问题
1.定义域，所有问题都必须在定义域内讨论.
2.底数与1的大小关系.
3.复合函数的构成，如y＝logaf(x)是由y＝logau与u＝f(x)构成的.
规律方法
返回
考 教 衔 接
真题
1
√
真题
2
√
溯源：(教材P128C组T2)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性.
点评：本高考题与教材习题均考查指数型与对数型复合函数的单调性、都是根据解析式直接判断函数的单调性，但高考题的难度低于教材习题 难度.
真题
3
√
真题
4
√
真题
5
√
溯源：(教材P84实例分析)
先分析一个具体的指数函数y＝2x.
列表(如下表)，描点、连线，画出函数y＝2x的图象(如图).
(教材P111)下面用两种不同的方法画出函数y＝log2x的图象.
点评：本高考题来源于教材，是对教材知识的融合，体现了“来源于教材、高于教材”，要重视对教材知识的拓展.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝2x … 1 2 4 8 …
真题
6
64
溯源：(教材P127B组T2)求下列各式中x的值：
(1)(lg x)2－lg x2＝3；(2)log3(1－2·3x)＝2x＋1.
点评：本高考题与教材习题均考查对数方程的求解，而高考题考查的知识较为全面，难度高于教材习题难度.
返回
单 元 检 测 卷
1.若m2 025＝n(m＞0，且m≠1)，则
A.logmn＝2 025 B.lognm＝2 025
C.log2 025m＝n D.log2 025n＝m
因为m2 025＝n(m＞0，且m≠1)，所以logmn＝2 025.故选A.
√
2.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
√
令x－1＞0，解得x＞1.故函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(1，＋∞).故 选B.
3.若log2m＋log4n＝2，则m2n＝
A.3 B.4
C.9 D.16
√
√
5.若loga2＜0(a＞0，且a≠1)，则函数y＝loga(x－1)的图象大致是
因为loga2＜0(a＞0，且a≠1)，故0＜a＜1，故y＝logax为减函数，且过(1，0)，又y＝loga(x－1)的图象为y＝logax的图象向右平移1个单位，则A满足.故选A.
√
√
7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系式为P＝P0e－λt(t≥0)，其中P0为初始污染物含量，P0，λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4 h过滤掉了
80％的污染物.如果废气中污染物的含量不超过0.04P0时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为
A.4 h B.6 h C.8 h D.12 h
√
√
√
√
10.已知函数f(x)＝ln｜x｜，则
A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为R
C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)是增函数
√
要使函数f(x)＝ln｜x｜有意义，则｜x｜＞0，解得x≠0，所
以函数f(x)＝ln｜x｜的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于
原点对称，又f(－x)＝ln｜－x｜＝ln｜x｜＝f(x)，所以函数
f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，故A错误，C正确；作出函数f(x)＝ln｜x｜的图象，如图：由图象可知，函数f(x)＝ln｜x｜的值域为R，也可根据偶函数性质易得函数f(x)的值域为R，故B正确；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故D错误.故选BC.
√
√
√
√
72
14.已知函数f(x)满足①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③f(x2)＝2f(x).写出一个满足上述条件的函数f(x)＝_________________.
因为f(x)＝ln x满足①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；且f(x2)＝ln x2＝2ln x＝2f(x)，所以f(x)＝ln x符合题意(答案不唯一).
ln x(答案不唯一)
18.(17分)已知函数f(x)＝log2(x＋a).
(1)当a＝2时，解不等式f(x)＜2log2x；
解：由f(x)＜2log2x，a＝2，
得log2(x＋2)＜2log2x，
则x＋2＞0，x＞0，且x＋2＜x2，所以x＞2，
所以不等式的解集为(2，＋∞).
返回章末综合提升
探究点一 对数运算
求下列各式的值：
(1)(log37＋log73)2－－(log73)2；
(2)lo9＋lg 25＋lg 2－log49×log38＋＋ln.
解：(1)原式＝(log37)2＋(log73)2＋2log37×log73－－(log73)2
＝(log37)2＋2－(log37)2＝2.
(2)原式＝lo32＋lg 52＋lg 2－lo32×log323＋＋ln
＝4log33＋lg 5＋lg 2－log23×3log32＋＋
＝4＋lg(5×2)－3＋2＝4＋1－1＝4.
对数的运算应遵循的原则
1.统一底数：借助换底公式，化异底为同底.
2.运用性质：运用对数的运算性质以及对数恒等式、换底公式进行化简、求值.
对点练1. (1)log216＋log535－log514－log5；
(2)已知10a＝3，10b＝2，用a，b表示log924.
解：(1)log216＋log535－log514－log5
＝log224＋log535－log514＋log550
＝4＋log5＝4＋log553＝4＋3＝7.
(2)由10a＝3，10b＝2，可得a＝lg 3，b＝lg 2，
则log924＝＝＝＝.
探究点二 比较大小
(1)已知a＝log82，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是( )
A.c＜b＜a B.b＜a＜c
C.a＜c＜b D.a＜b＜c
(2)已知a＝log3，b＝30.2，c＝log2，则( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.b＞c＞a
答案：(1)C (2)D
解析：(1)因为2＜＜3，所以log82＜log8＜log83，又log8＝，所以log82＜＜log83，即a＜c＜b.故选C.
(2)因为a＝log3＜log31＝0，b＝30.2＞1，0＝log21＜c＝log2＜1，所以b＞c＞a.故选D.
数的大小比较常用方法
1.常用方法：单调性法、图象法、中间量法、作差法、作商法.
2.(1)对数式的比较：可将其看成某个对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
(2)幂、指、对函数值的大小比较：先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.
对点练2.(1)设a＝log2π，b＝loπ，c＝π－2，则( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
(2)已知a＝log25，b＝log49，c＝log612，则有( )
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.b＞a＞c
答案：(1)C (2)A
解析：(1)因为a＝log2π＞log22＝1，b＝loπ＜lo1＝0，c＝π－2＝，即0＜c＜1，所以a＞c＞b.故选C.
(2)因为a＝log25＝log425，所以a＞log49＝b，排除B、D；c＝log612＜log66＝＝log48＜b，
所以a＞b＞c，故选A.
探究点三 对数函数的图象及其应用
(1)若函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点，则函数y＝loga｜x｜的大致图象是( )
(2)若a·log3a＝2，b·3b＝2，c·ln c＝2，则a，b，c的大小关系是( )
A.b＜c＜a B.a＜b＜c
C.b＜a＜c D.c＜a＜b
答案：(1)B (2)A
解析：(1)由于函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过点，故＝，所以a＝，
则y＝loga｜x｜＝lo｜x｜＝该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，只有B图象符合该函数图象特点.故选B.
(2)由log3a＝，3b＝，ln c＝，又y＝log3x，y＝3x，y＝ln x与y＝在第一象限都有一个交点，故交点横坐标依次为a，b，c，由图知：b＜c＜a.故选A.
对数函数图象识别及应用
识别 注意函数图象上的特殊点及函数自身的性质(定义域、单调性、对称性、最值等)，同时运用图象平移、对称、翻折等知识加以筛选
应用 借助对数函数的图象可以求图象的交点个数、函数的最值、解不等式等
对点练3.(1)(多选题)如图为函数y＝m＋lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是( )
A.m＜0 B.m＞0
C.n＞1 D.0＜n＜1
(2)函数f(x)＝的大致图象是( )
答案：(1)AD (2)A
解析：(1)由函数图象可得y＝m＋lognx在(0，＋∞)上单调递减，所以0＜n＜1，又x＝1时，y＜0，即m＋logn1＝m＜0，故A、D正确.故选AD.
(2)对于f(x)＝，必有f(x)≥0，故C、D错误；又f(2)＝＝＝0，故B错误；将函数y＝ln x在x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝的图象，再将其在y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝＝的图象，进而将得到的函数图象向右平移1个单位，可得函数y＝＝的图象，故A正确.故选A.
探究点四 对数函数的性质及其应用
已知函数f(x)＝loga(5＋x)＋loga(5－x)，且f(3)＝4.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)若f(m)＜2log23，求实数m的取值范围.
解：(1)要使函数f(x)有意义，当且仅当解得－5＜x＜5.
所以f(x)的定义域为(－5，5)，
又因为f(－x)＝loga(5－x)＋loga(5＋x)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数.
(2)因为f(3)＝4，所以loga8＋loga2＝4，
所以loga16＝4，所以a＝2.
所以f(x)＝log2(5＋x)＋log2(5－x)＝log2(25－x2)，
所以f(m)＝log2(25－m2)，若f(m)＜2log23，
即log2(25－m2)＜log29，
所以0＜25－m2＜9，即
即－5＜m＜－4，或4＜m＜5.
所以实数m的取值范围是(－5，－4)∪(4，5).
求解与对数函数有关的复合函数的问题时，需要弄清楚三个方面的问题
1.定义域，所有问题都必须在定义域内讨论.
2.底数与1的大小关系.
3.复合函数的构成，如y＝logaf(x)是由y＝logau与u＝f(x)构成的.
对点练4.已知f(x)＝logax＋loga(4－x)(a＞0，且a≠1)，且f(2)＝－2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在[1，3]上的最小值.
解：(1)f(2)＝loga2＋loga2＝－2，即loga2＝－1，则a＝，
由题意得
所以0＜x＜4，f(x)的定义域为.
(2)f(x)＝lox＋lo＝lo，
令t(x)＝－x2＋4x，则y＝lot，x∈[1，3]，t(x)的对称轴为x＝－＝2，
所以t(x)在上单调递增，t(x)在上单调递减；
因为＜1，所以y＝lot在(0，＋∞)上单调递减，则x∈时，f(x)单调递减，
x∈时，f(x)单调递增，
所以f(x)≥f(2)＝－2.
(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则＝( )
A.25 B.5
C. D.
答案：C
解析：由题意知8b＝3，所以4a－3b＝4a·4－3b＝4a·2－6b＝22a·8－2b＝25×＝.故选C.
溯源：(教材P99例2)将下列对数式改写为指数式：
(1)log264＝6；(2)log3＝－4；(3)lg 0.001＝－3；(4)lo4＝－2.
点评：本高考题与教材例题均考查对数式化为指数式，而高考题又考查了指数的运算，难度高于教材例题.
(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.f(x)＝－ln x B.f(x)＝
C.f(x)＝－ D.f(x)＝3｜x－1｜
答案：C
解析：对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝＝＝，f(1)＝＝30＝1，f(2)＝＝3，显然f(x)＝在(0，＋∞)上不单调，故D错误.故选C.
溯源：(教材P128C组T2)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的单调性.
点评：本高考题与教材习题均考查指数型与对数型复合函数的单调性、都是根据解析式直接判断函数的单调性，但高考题的难度低于教材习题难度.
(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝( )
A.－1 B.0
C. D.1
答案：B
解析：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，所以(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln，由(2x－1)(2x＋1)＞0，解得x＞或x＜－，则其定义域为，关于原点对称.f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝xln＝f(x)，故此时 f(x)为偶函数.故选B.
溯源：(教材P127A组T9)判断下列函数的奇偶性：
(1)y＝lg；(2)y＝ln(x＋1)＋ln(x－1)；
(3)y＝lg；(4)y＝log5(｜x｜＋1)；
(5)y＝log5(x＋).
点评：本高考题与教材习题均考查对数型复合函数的奇偶性、都是利用函数奇偶性的定义判断，但高考题的难度高于教材习题难度.
(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( )
A.3N2＝2N1 B.2N2＝3N1
C.＝ D.＝
答案：D
解析：由题意，得＝2.1，＝3.15.若S不变，则2.1ln N1＝3.15 ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以＝.
溯源：(教材P127A组T12)
在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：km/s)和所携带燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系是v＝2 000ln.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到12 km/s？
点评：本高考题与教材习题均考查对数型复合函数的实际应用、都是利用对数的运算求解，但高考题的难度低于教材习题难度.
(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则( )
A.log2＜ B.log2＞
C.log2＜x1＋x2 D.log2＞x1＋x2
答案：B
解析：因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞2＝2，所以＞＞0，所以log2＞log2＝.故选B.
溯源：(教材P84实例分析)
先分析一个具体的指数函数y＝2x.
列表(如下表)，描点、连线，画出函数y＝2x的图象(如图).
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝2x … 1 2 4 8 …
(教材P111)下面用两种不同的方法画出函数y＝log2x的图象.
点评：本高考题来源于教材，是对教材知识的融合，体现了“来源于教材、高于教材”，要重视对教材知识的拓展.
(2024·全国甲卷)已知a＞1且－＝－，则a＝ .
答案：64
解析：根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a＞1)，则t＞0，故3t－＝－，解得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以＝2，所以a＝64.
溯源：(教材P127B组T2)求下列各式中x的值：
(1)(lg x)2－lg x2＝3；(2)log3(1－2·3x)＝2x＋1.
点评：本高考题与教材习题均考查对数方程的求解，而高考题考查的知识较为全面，难度高于教材习题难度.
单元检测卷(四) 对数运算与对数函数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.若m2 025＝n(m＞0，且m≠1)，则( )
A.logmn＝2 025 B.lognm＝2 025
C.log2 025m＝n D.log2 025n＝m
答案：A
解析：因为m2 025＝n(m＞0，且m≠1)，所以logmn＝2 025.故选A.
2.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( )
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案：B
解析：令x－1＞0，解得x＞1.故函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(1，＋∞).故选B.
3.若log2m＋log4n＝2，则m2n＝( )
A.3 B.4 C.9 D.16
答案：D
解析：因为log2m＋log4n＝2，所以log2m＋log2n＝2，故得log2m＋log2＝log24，化简得log2＝log24，所以m＝4，故m2n＝16，故D正确.故选D.
4.已知函数f(x)＝logax＋2(a＞0，且a≠1)在[1，3]上的值域为[2，4]，则实数a的值是( )
A. B.
C.2 D.
答案：A
解析：若0＜a＜1，则f(x)＝logax＋2在[1，3]上单调递减，则loga3＋2≤f(x)≤2，不符合题意；若a＞1，则f(x)＝logax＋2在[1，3]上单调递增，则2≤f(x)≤loga3＋2，又因为f(x)的值域为[2，4]，所以loga3＋2＝4，解得a＝.故选A.
5.若loga2＜0(a＞0，且a≠1)，则函数y＝loga(x－1)的图象大致是( )
答案：A
解析：因为loga2＜0(a＞0，且a≠1)，故0＜a＜1，故y＝logax为减函数，且过(1，0)，又y＝loga(x－1)的图象为y＝logax的图象向右平移1个单位，则A满足.故选A.
6.下列四个数中最大的是( )
A.lg 20 B.lg(lg 20)
C.(lg 20)2 D.
答案：C
解析：由y＝lg x的单调性可知lg 10＜lg 20＜lg 100，即1＜lg 20＜2，所以lg(lg 20)＜lg 2＜1，＜1，
因为(lg 20)2－lg 20＝(lg 20－1)lg 20＞0，所以(lg 20)2＞lg 20，故最大的是(lg 20)2.故选C.
7.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系式为P＝P0e－λt(t≥0)，其中P0为初始污染物含量，P0，λ均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4 h过滤掉了80％的污染物.如果废气中污染物的含量不超过0.04P0时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为( )
A.4 h B.6 h
C.8 h D.12 h
答案：C
解析：由题意得，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝(1－80％)P0＝0.2P0，则P0e－4λ＝0.2P0，可得e－4λ＝0.2，即λ＝ln 5，所以P＝P0，当P＝P0≤0.04P0时，解得t≥8，故至少需要过滤8 h才能达到排放标准.故选C.
8.(新定义)定义“正对数”： ln ＋x＝现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln ＋(ab)＝bln ＋a；
②若a＞0，b＞0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a＋ln ＋b；
③若a＞0，b＞0，则ln ＋()＝ln ＋a－ln ＋b；
④若a＞0，b＞0，则ln ＋(a＋b)≥ln ＋a＋ln ＋b＋ln 2；
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：A
解析：对于命题①，当0＜a＜1，b＞0时，0＜ab＜1，ln ＋(ab)＝0，bln ＋a＝b×0＝0，则ln ＋(ab)＝bln ＋a；当a≥1，b＞0时，ab≥1，ln ＋(ab)＝ln ab＝bln a，bln ＋a＝bln a，则ln ＋(ab)＝bln ＋a，因此若a＞0，b＞0，则ln ＋(ab)＝bln ＋a，命题①正确；对于命题②，取a＝，b＝2，ln ＋(ab)＝ln ＋＝0，ln ＋a＋ln ＋b＝ln ＋＋ln ＋2＝0＋ln 2＝ln 2，此时ln ＋(ab)≠ln ＋a＋ln ＋b，命题②错误；对于命题③，取a＝e，b＝e2，ln ＋()＝ln ＋＝0，ln ＋a－ln ＋b＝ln e－ln e2＝－1，此时ln ＋()≠ln ＋a－ln ＋b，命题③错误；对于命题④，取a＝b＝e，ln ＋(a＋b)＝ln ＋(2e)＝ln 2e＝1＋ln 2，而ln ＋a＋ln ＋b＋ln 2＝ln e＋ln e＋ln 2＝2＋ln 2，此时ln ＋(a＋b)＜ln ＋a＋ln ＋b＋ln 2，命题④错误，所以真命题的个数为1.故选A.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列运算正确的有( )
A.lg 2×lg 3＝lg 6
B.log3100＝10log310
C.＝5
D.log34·log43＝1
答案：CD
解析：对于A，因为lg 2＋lg 3＝lg 6，故A错误；对于B，log3100＝2log310，故B错误；对于C，＝5正确；对于D，log34·log43＝1正确.故选CD.
10.已知函数f(x)＝ln｜x｜，则( )
A.函数f(x)的定义域为R
B.函数f(x)的值域为R
C.函数f(x)是偶函数
D.函数f(x)是增函数
答案：BC
解析：要使函数f(x)＝ln｜x｜有意义，则｜x｜＞0，解得x≠0，所以函数f(x)＝ln｜x｜的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝ln｜－x｜＝ln｜x｜＝f(x)，所以函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函数，故A错误，C正确；作出函数f(x)＝ln｜x｜的图象，如图：由图象可知，函数f(x)＝ln｜x｜的值域为R，也可根据偶函数性质易得函数f(x)的值域为R，故B正确；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故D错误.故选BC.
11.某同学研究函数f(x)＝lg，得到如下结论，其中正确的是( )
A.函数f(x)的定义域为(－1，1)，且f(x)是奇函数
B.对于任意的x∈(－1，1)，都有f＝2f(x)
C.对于任意的a，b∈(－1，1)，都有f(a)＋f(b)＝f
D.对于函数f(x)定义域内的任意两个不同的实数x1，x2，总满足＞0
答案：ABC
解析：由＞0，解得－1＜x＜1，故函数的定义域为(－1，1)，关于原点对称，又f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确；任意的x∈(－1，1)，f＝lg＝lg＝lg ＝2lg＝2f(x)，故B正确；因为f(a)＋f＝lg＋lg＝lg，f＝lg＝lg＝lg，所以f(a)＋f(b)＝f，故C正确；取x1＝，x2＝0，则f(0)＝lg＝0，f＝lg＝lg＜0，所以＜0，故D错误.故选ABC.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在横线上.)
12.已知2x＝3y＝M，且＝1，则M的值为 .
答案：72
解析：因为2x＝3y＝M，所以x＝log2M，y＝log3M，则＝logM2，＝logM3，所以＝＋＝2logM3＋3logM2＝logM72＝1，所以M＝72.
13.已知loga＜logaa2(a＞0，且a≠1)，则实数a的取值范围为 .
答案：∪(1，＋∞)
解析：①当0＜a＜1时，a2＜，得0＜a＜；②当a＞1时，a2＞，得a＞1.综上所述，a的取值范围为∪(1，＋∞).
14.已知函数f(x)满足①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③f(x2)＝2f(x).写出一个满足上述条件的函数f(x)＝ .
答案：ln x(答案不唯一)
解析：因为f(x)＝ln x满足①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；且f(x2)＝ln x2＝2ln x＝2f(x)，所以f(x)＝ln x符合题意(答案不唯一).
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.(13分)(1)化简求值：lg 5·lg 8 000＋＋lg＋lg 0.06；
(2)已知m＞0，n＞0，log4m＝log8n＝log16(2m＋n)，求log2－log4n的值.
解：(1)原式＝lg 5＋＋lg
＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2＋lg 0.01
＝3lg 2＋3lg 5－2
＝3lg 2＋3lg 5－2＝3－2＝3－2＝1.
(2)由log4m＝log8n＝log16(2m＋n)，
得lom＝lon＝lo(2m＋n)，
则log2＝log2＝log2，于是＝＝，令＝＝＝k＞0，
整理得m＝k2，n＝k3，2m＋n＝k4，即2k2＋k3＝k4，解得k＝2，即m＝4，n＝8，
所以log2－log4n＝log22－log48＝1－lo23＝1－＝－.
16.(15分)已知a＞0，a≠1且loga3＜loga2，若函数y＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
(1)求a的值；
(2)若1≤x≤3，求函数y＝＋loga－2的最小值.
解：(1)因为loga3＜loga2，所以0＜a＜1，
所以y＝logax在[a，3a]上为严格减函数，
因为函数y＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以logaa－loga3a＝1，即loga＝1，解得a＝.
(2)因为1≤x≤3，所以－1≤lox≤0，
所以y＝＋loga－2＝＋lox－2，
令lox＝t，则t∈，y＝t2＋t－2＝－，
所以当t＝－，即x＝时，y取最小值为－.
17.(15分)已知函数f(x)＝log4－log4(2－x)，函数g(x)＝log4.
(1)试判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若不等式g≤f(x)对x∈恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)f(x)＝log4－log4(2－x)＝log4，
f(x)在其定义域上单调递增.
证明如下：设任意x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2，则有－＝，
因为x1，x2∈(－2，2)，且x1＜x2，
所以2－x1＞0，2－x2＞0，x1－x2＜0，
所以＜0，所以0＜＜，
因为y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以log4＜log4，即f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)在上单调递增.
(2)由(1)知：当x∈时，
f(x)min＝f＝log42，
由不等式g≤f(x)对x∈恒成立，得g≤log42，
因为g(x)＝log4为单调递增函数，
所以log4≤log42，
所以0＜－2≤2，
所以＜2a＋1≤2，
解得＜a≤.
所以实数a的取值范围为.
18.(17分)已知函数f(x)＝log2(x＋a).
(1)当a＝2时，解不等式f(x)＜2log2x；
(2)当a＞0时，记g(x)＝f(4x)，若对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)的图象的下方，求正数a的取值范围.
解：(1)由f(x)＜2log2x，a＝2，
得log2(x＋2)＜2log2x，
则x＋2＞0，x＞0，且x＋2＜x2，所以x＞2，
所以不等式的解集为(2，＋∞).
(2)因为g(x)＝f(4x)＝log2(4x＋a)(a＞0)，
对任意的x∈(0，2)，函数y＝f(x)的图象总在函数y＝g(x)图象的下方，
则f(x)＜g(x)在(0，2)上恒成立，
即log2(x＋a)＜log2(4x＋a)(a＞0)在(0，2)上恒成立，
2log2(x＋a)＜log2(4x＋a)，
即log2(x＋a)2＜log2(4x＋a)，(x＋a)2＜4x＋a在(0，2)上恒成立，
整理得，x2＋2(a－2)x＋a2－a＜0在(0，2)上恒成立，
设m(x)＝x2＋2(a－2)x＋a2－a＜0，x∈(0，2)，
则只需要即可，
可得0≤a≤1，
又因为a＞0，所以0＜a≤1，
所以正数a的取值范围为(0，1].
19.(17分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(1－x)(a＞0，a≠1)，g(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域和g(x)的值域；
(2)证明f(x)为偶函数并判断g(x)的单调性和奇偶性；
(3)求关于x的不等式f(x)≥loga(x2＋x)的解集.
解：(1)在函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(1－x)中，解得－1＜x＜1，
所以函数f(x)的定义域为(－1，1)；函数g(x)＝1＋，而x∈R，x≠2，≠0，
因此g(x)≠1，所以函数g(x)的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞).
(2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(－1，1)，f(－x)＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数.
函数g(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，函数y＝在(－∞，2)，(2，＋∞)上单调递减，
所以函数g(x)的单调递减区间是(－∞，2)，(2，＋∞)，即g(x)的定义域关于0不对称，
所以函数g(x)是非奇非偶函数.
(3)当x∈(－1，1)时，f(x)＝loga(1＋x)(1－x)＝loga(1－x2)，
不等式f(x)≥loga(x2＋x) loga(1－x2)
≥loga(x2＋x)，
当0＜a＜1时，1－x2≤x2＋x，即2x2＋x－1≥0，而－1＜x＜1，解得≤x＜1；
当a＞1时，1－x2≥x2＋x＞0，而－1＜x＜1，解得0＜x≤.
所以当0＜a＜1时，原不等式的解集为［，1)；
当a＞1时，原不等式的解集为(0，］.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
