章末综合提升
探究点一 求函数的定义域、值域
(1)已知集合M＝，N＝{x｜y＝}，则M∩N＝( )
A.[－4，1) B.[－1，1)
C.(1，3) D.[1，4]
(2)(多选题)下列函数中值域是[0，＋∞)的是( )
A.y＝ B.y＝x2＋x＋
C.y＝ D.y＝2x＋1
答案：(1)A (2)AB
解析：(1)由函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，可得M＝，又由函数y＝有意义，可得1－x＞0，解得x＜1，所以N＝{x｜x＜1}，所以M∩N＝.故选A.
(2)要使y＝有意义，则x2＋3x＋2＝－≥0，故y＝＝≥0，故A符合题意；y＝x2＋x＋＝≥0，故B符合题意；y＝＞0，故C不符合题意；y＝2x＋1，则y∈R，故D不符合题意.故选AB.
求函数的定义域，始终记住是求使函数有意义的自变量x的取值范围；求函数的值域，别忘了定义域优先的原则.另外，定义域、值域一定要写成集合或区间的形式.
对点练1.(1)已知函数f(x)的定义域和值域都是[0，1]，则函数f的定义域和值域分别为( )
A.和[－1，0] B.和[0，1]
C.[－1，0]和[－1，0] D.[－1，0]和[0，1]
(2)(多选题)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数是“[0，1]交汇函数”的是( )
A.y＝ B.y＝
C.y＝1－x2 D.y＝
答案：(1)D (2)BD
解析：(1)因为函数f(x)的定义域为[0，1]，则0≤≤1，即－1≤x≤0，所以函数f的定义域为[－1，0].又函数f(x)的值域为[0，1]，所以f的值域为[0，1].故选D.
(2)由[a，b]交汇函数定义可知：[0，1]交汇函数表示函数定义域与值域的交集为[0，1].对于A，y＝的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，故A错误；对于B，y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，1]，故B正确；对于C，y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，故C错误；对于D，y＝的定义域A＝[－1，1]，值域B＝[0，1]，则A∩B＝[0，1]，故D正确.故选BD.
探究点二 分段函数
已知函数f(x)＝是奇函数.
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，所以当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)，
知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3].
解决分段函数问题的方法
1.对于分段函数求值问题，首先判断自变量所在区间，然后代入对应解析式求值，对于“嵌套”求值问题，要从内往外逐层计算.
2.解方程或不等式时：一是分段求解，按自变量在不同区间讨论求解，最后求并集；二是画出分段函数图象，利用数形结合法求解，也可以利用分段函数的单调性转化求解.
对点练2.(1)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m≥3
C.1≤m≤3 D.m≤1或m≥3
(2)已知f(x)＝若f(a)＝12，则a的值为 ；若其图象与y＝b有三个交点，则实数b的取值范围为 .
答案：(1)B (2)12 (0，4)
解析：(1)因为y＝x2－2x＝(x－1)2－1在上单调递增，y＝x在R上单调递增，又f(x)＝在R上单调递增，所以解得m≥3，即实数m的取值范围是m≥3.故选B.
(2)①当a＞0时，f(a)＝a＝12，当a≤0时，f(a)＝－a(a＋4)＝12，解得a∈ ，综上a＝12.
②作出f(x)＝的图象，如图，由图象可知，当0＜b＜4时，函数图象与y＝b有三个不同的交点，所以实数b的取值范围为(0，4).
探究点三 函数的性质及应用
已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；
(3)求函数f(x)在[1，2]上的值域.
解：因为f(x)＝x＋，且f(1)＝2，所以1＋m＝2，解得m＝1.
(1)函数f(x)为奇函数，
证明：f(x)＝x＋，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数.
(2)函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
证明：设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋－＝(x2－x1)，
因为1≤x1＜x2，所以x2－x1＞0，1－＞0，
故f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
(3)由(2)得函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[1，2]上单调递增，
又f(1)＝2，f(2)＝2＋＝，
所以函数f(x)在[1，2]上的值域为.
1.解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值.
2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
对点练3.已知函数f(x)＝x＋.
(1)当x∈[2，6]，求函数f(x)的值域；
(2)若任意x∈，使得x2－ax＋1≥0恒成立，求实数a的取值范围.
解：(1)任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0，x2x1＞1，
则f(x2)－f(x1)＝－＝x2－x1＋－＝＞0，
所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)是[1，＋∞)上的增函数，因此函数在[2，6]上单调递增，
f(2)＝，f(6)＝，故值域为.
(2)由任意x∈，使得x2－ax＋1≥0恒成立可得对任意x∈，a≤＝x＋恒成立，由(1)可推导函数f(x)＝x＋上单调递减，
故最小值为f＝，故实数a的取值范围为(－∞，］.
探究点四 函数的图象及应用
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象解决问题.
(1)补充完整图象并写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；
(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋1(x∈[1，2])，求函数g(x)的最小值.
解：(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，
由对称性即可补充完整图象，如图所示：
由图可知，函数f(x)的递增区间为(－1，0)和(1，＋∞).
(2)根据题意，当x＞0时，－x＜0，
所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2－2x(x＞0)，
所以f(x)＝
(3)当x∈[1，2]时，g(x)＝x2－2x－2ax＋1＝(x－1－a)2－a2－2a，对称轴为x＝1＋a，
当1＋a≤1，即a≤0时，g(x)在[1，2]上单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－2a；
当1＋a≥2，即a≥1时，g(x)在[1，2]上单调递减，所以g(x)min＝g(2)＝1－4a；
当1＜1＋a＜2，即0＜a＜1时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以g(x)min＝g(1＋a)＝－a2－2a.
综上，函数g(x)的最小值
g(x)min＝
利用函数的图象可以直观地看出函数的性质：如：函数的单调区间、函数的最值、函数的奇偶性等；重点利用好一次函数、反比例函数、二次函数、以及幂函数、对勾函数的图象并能解决一些与图象有关的问题.
对点练4.(1)(新情境)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数f(x)＝的图象大致形状是( )
(2)(新定义)定义max为a，b，c中的最大值，设h(x)＝max，则h(x)的最小值为( )
A. B.4
C.0 D.
答案：(1)A (2)D
解析：(1)由于f(x)＝，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除C、D，且当x＞1，f(x)＞0，0＜x＜1，f(x)＜0，此时可排除B，故选A.
(2)分别画出y＝x2，y＝x，y＝6－x的图象，则函数h(x)的图象为图中实线部分.
由图知：函数h(x)的最低点为A，由 解得即A.所以h(x)的最小值为.故选D.
(2022·天津卷)函数y＝的图象大致为( )
答案：A
解析：记f(x)＝，则对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数，所以y＝f(x)的图象关于原点对称，故排除C，D；因为｜x2－1｜≥0，所以当x＞0时，f(x)≥0，当x＜0时，f(x)≤0，故排除B.故选A.
溯源：(教材P68练习T1)画出下列函数的图象，并判断其奇偶性：
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝＋1；
(3)f(x)＝2(x＋1)2＋1.
点评：该高考题主要考查已知解析式作函数的图象，与教材习题角度完全相同(主要考查单调性)，难度高于教材.
(2021·北京卷)已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：若函数f(x)在[0，1]上单调递增，则f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，若f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)，比如f(x)＝，但f(x)＝上为减函数，在上为增函数，故f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)推不出f(x)在[0，1]上单调递增，故“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的充分而不必要条件.故选A.
溯源：(教材P64例5)试用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝x＋在区间(0，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增.
点评：该高考题主要考查利用函数的单调性求最值，与教材例题角度相同，但难度高于教材，在教材的基础上更深一步.
(2022·北京卷)函数f(x)＝＋的定义域是 .
答案：(－∞，0)∪
解析：因为f(x)＝＋，所以解得x≤1且x≠0，故函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1].
溯源：(教材P55例2)求下列函数的定义域：
(1)y＝2x＋3＋；
(2)y＝＋；
(3)y＝＋.
点评：该高考题主要考查求函数的定义域，与教材例题角度相同，难度相当.
(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝ .
答案：0
解析：因为f(x)是奇函数，故f(x)＋f(－x)＝0，即x3＋a＋(－x)3＋a＝0，故a＝0.
溯源：(教材P73B组T7)已知函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，求实数a的值.
点评：该高考题主要考查利用函数的奇偶性求参数，与教材复习题角度完全相同，难度相当，只是改变了函数的奇偶性.
(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝则f＝ ；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是 .
答案： 3＋
解析：由已知f()＝－＋2＝，f()＝＋－1＝，所以f＝，当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1，当x＞1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋－1≤3，所以1＜x≤2＋；1≤f(x)≤3等价于－1≤x≤2＋，所以[a，b] [－1，2＋]，所以b－a的最大值为3＋.
溯源：(教材P72A组T2(2))已知f(x)＝求f(－5)，f(f(－1)).
点评：该高考题主要考查结合分段函数的解析式求函数值、根据分段函数的值域(最值)求参数取值范围，与教材复习题角度完全相同，在教材的基础上加深一步，难度高于教材.
(2022·北京卷)设函数f(x)＝若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 .
答案：0(答案不唯一) 1
解析：若a＝0，f(x)＝所以f(x)min＝0；若a＜0，当x＜a时，f(x)＝－ax＋1单调递增，当x→－∞时，f(x)→－∞，故f(x)没有最小值，不符合题目要求；若a＞0，当x＜a时，f(x)＝－ax＋1单调递减，f(x)＞－a2＋1，当x≥a时，f(x)min＝解得0＜a≤1，综上可得，0≤a≤1，a的最大值为1.
溯源：(教材P73B组T3)已知函数f(x)＝｜x＋1｜＋｜2x＋a｜的最小值为3，求实数a的值.
点评：该高考题主要考查结合分段函数的解析式求参数、与教材复习题角度相同，难度略高于教材.
单元检测卷(二) 函 数
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.函数f(x)＝的定义域为( )
A.(－∞，1) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
答案：B
解析：要使得f(x)＝有意义，则x－1＞0，所以x＞1.故函数f(x)＝的定义域为(1，＋∞).故选B.
2.下列各组函数是同一个函数的是( )
A.f(x)＝与g(x)＝x
B.f(x)＝·与g(x)＝
C.f(x)＝与g(x)＝()2
D.f(x)＝与g(x)＝x＋10
答案：A
解析：对于A，易知两函数定义域均为R，且f(x)＝＝＝x＝g(x)，故A正确；对于B，f(x)＝·，而g(x)＝∪，两函数定义域不同，故B错误；对于C，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为，两函数定义域不同，故C错误；对于D，易知两函数定义域均为R，但f(x)＝＝≠g(x)，故D错误.故选A.
3.若幂函数f(x)＝x1－m在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的值为( )
A.－3 B.－2 C.2 D.3
答案：D
解析：根据幂函数定义和单调性，知则m＝3.故选D.
4.已知函数f(x)＝x2－mx＋5在上单调递减，则m的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由二次函数性质可知，要使函数f(x)在上单调递减，只需≥2，解得m≥4，即m的取值范围为.故选A.
5.函数f(x)＝在区间[－1，3]上的图象大致是( )
答案：B
解析：因为f(x)＝＝，x∈[－1，3]，所以f(2＋x)＋f(－x)＝＋＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，故排除C，D，又f(3)＝＝＞0，故排除A.故选B.
6.已知f(x)为定义在R上的函数，f(2)＝2，且g(x)＝f(2x)＋x2为奇函数，则f(－2)＝( )
A.－4 B.－2
C.0 D.2
答案：A
解析：因为g(x)＝f(2x)＋x2是奇函数，所以g(－1)＋g(1)＝f(－2)＋1＋f(2)＋1＝0，所以f(－2)＝－4.故选A.
7.已知f(x)＝在(－∞，＋∞)上满足＜0，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为f(x)＝＜0，所以f(x)在上单调递减，需满足≤a＜3，即实数a的取值范围为.故选B.
8.记实数x1，x2，…，xn的最小数为min{x1，x2，…，xn}，若f(x)＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}，则函数f(x)的最大值为( )
A.4 B.
C.1 D.5
答案：B
解析：如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数y1＝x＋1，y2＝x2－2x＋1，y3＝－x＋8的图象，而f(x)＝min{x＋1，x2－2x＋1，－x＋8}的图象如图中实线部分；由联立，
解得故所求函数f(x)的最大值为.故选B.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.已知函数f(x)＝，则( )
A.f(x)的定义域是∪(1，＋∞)
B.f(x)在∪(1，＋∞)上单调递减
C.f(x＋1)是奇函数
D.f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)
答案：ACD
解析：对于A，由f(x)＝，得x－1≠0，所以f(x)的定义域为∪(1，＋∞)，故A正确；对于B，因为f(x)＝可以看成是函数y＝向右平移1个单位得到，所以f(x)在和(1，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为f(x＋1)＝，所以f(x＋1)是奇函数，故C正确；对于D，因为f(x)＝≠0，所以f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确.故选ACD.
10.若函数f(x)与g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f(x)和g(x)是“同象函数”，已知函数f(x)＝x2，x∈[0，1]，则下列函数中与f(x)是“同象函数”的有( )
A.g(x)＝x2，x∈[－1，0]
B.g(x)＝，x∈
C.g(x)＝｜x｜，x∈
D.g(x)＝－4x2＋4｜x｜，x∈[－1，1]
答案：ACD
解析：因为函数f(x)＝x2，x∈[0，1]，所以其定义域为[0，1]，值域为[0，1]；对于A，g(x)＝x2，x∈[－1，0]，其定义域为[－1，0]，值域为[0，1]，是“同象函数”；对于B，g(x)＝，x∈，其定义域为，值域为，不是“同象函数”；对于C，g(x)＝｜x｜，x∈，其定义域为，值域为[0，1]，是“同象函数”；对于D，g(x)＝－4x2＋4｜x｜，x∈[－1，1]，其定义域为[－1，1]，值域为[0，1]，是“同象函数”.故选ACD.
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0，f(2)＝4，则( )
A.f(4)＝8
B.f(x)为奇函数
C.f(x)为减函数
D.当x＜－2时，f(x)－2＞f(2x＋1)
答案：ABD
解析：对于A，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝2得f(4)＝f(2)＋f(2)＝8，故A正确；对于B，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，故f(x)为奇函数，故B正确；对于C，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝x1，y＝x2－x1，且x2＞x1.故f(x1＋x2－x1)－f(x1)＝f(x2－x1)，即f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)，当x＞0时，f(x)＞0，故f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故f(x)为增函数，故C错误；对于D，f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝4 f(1)＝2，则f(x)－2＝f(x)－f(1)＝f(x－1)，又x＜－2，故x－1＞2x＋1，又f(x)是增函数，所以f(x)－2＞f(2x＋1)，故D正确.故选ABD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在横线上.)
12.若函数f(x)＝且f(f(－1))＝，则a＝ .
答案：0
解析：因为f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝＝，解得a＝0.
13.已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 .
答案：∪(0，1)∪
解析：f(x)g(x)＜0
或解得－2＜x＜－1或0＜x＜1，或2＜x＜3，所以不等式的解集为∪(0，1)∪.
14.设函数f(x)＝若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)成立，则实数a的取值范围是 .
答案：(1，＋∞)
解析：若f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)，则a＞1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞).
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.(13分)已知f(x)＝，x∈.
(1)求证：函数f(x)在区间上是增函数；
(2)求函数f(x)在区间上的值域.
解：(1)证明：令－2＜x1＜x2＜2，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
＝，
又x1x2－4＜0，x1－x2＜0，＞0，即f(x2)＞f(x1)，
所以函数f(x)在区间上是增函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间上是增函数，又f(－2)＝－，f(2)＝，
所以函数f(x)在区间.
16.(15分)已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f(x)＝x2＋2x.
(1)当－2≤x＜0时，求函数f(x)的解析式；
(2)若f(2a－1)＋f(4a－3)＞0，求实数a的取值范围.
解：(1)设－2≤x＜0，则0＜－x≤2，
所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
又因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，故f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，
故当－2≤x＜0时，函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋2x.
(2)由(1)知函数
f(x)＝
可得奇函数f(x)在[－2，2]上单调递增，
所以f(2a－1)＋f(4a－3)＞0，
即为f(2a－1)＞－f(4a－3)＝f(3－4a)，
所以2a－1＞3－4a，解得a＞.
又因为2a－1≤2，且－2≤3－4a，解得a≤，
故实数a的取值范围为.
17.(15分)已知函数f(x)＝
(1)求f(f(10))的值；
(2)求f(x)的最大值.
解：(1)因为f(10)＝－102＋20×10－64＝36，
则f(f(10))＝f(36)＝－36－＋76＝31.
(2)当x∈[3，12)时，f(x)＝－x2＋20x－64＝－(x－10)2＋36，
当x＝10时，f(x)有最大值，最大值为f(10)＝36；
当x∈[12，40]时，f(x)＝－x－＋76＝－(x＋)＋76≤－2＋76＝－2×18＋76＝40，
当且仅当x＝时，即x＝18时，等号成立，则最大值为f(18)＝40；
综上所述，当x＝18时，f(x)有最大值为40.
18.(17分)已知函数f(x)＝，其中a∈R.
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围；
(3)若a＝2，求函数f(x)在区间(－∞，－2)上的值域.
解：(1)因为 “函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称”的充要条件为
“函数y＝f(x＋a)－b是奇函数”，所以当f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，
y＝f(x－1)－3＝－3＝(a－3)＋是奇函数，
所以a－3＝0，解得a＝3.
(2)因为函数f(x)＝＝＝a＋，
当f(x)在(－1，＋∞)上单调递减时，2－2a＞0，解得a＜1，
所以实数a的取值范围为(－∞，1).
(3)当a＝2时，f(x)＝＝2－，
函数f(x)在区间(－∞，－2)上是单调增函数，所以2＜f(x)＜2－，即2＜f(x)＜4，
所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上的值域是(2，4).
19.(17分)若函数G在m≤x≤n(m＜n)上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax－ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”.
(1)函数①y＝x＋1；②y＝｜2x｜；③y＝x2，其中函数 是在1≤x≤2上的“美好函数”；(填序号)
(2)已知函数G：y＝ax2－2ax－3a(a≠0).
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t＋1上的“美好函数”，求t的值.
解：(1)①当x＝1时，ymin＝2，当x＝2时，ymax＝3，所以ymax－ymin＝1，符合题意；
②当x＝1时，ymin＝2，当x＝2时，ymax＝4，所以ymax－ymin＝2，不符合题意；
③当x＝1时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝4，所以ymax－ymin＝3，不符合题意.
故答案为①.
(2)①二次函数G：y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝－4a，当x＝2时，y＝－3a.
当a＞0时，函数图象开口向上，在[1，2]上单调递增，
ymax－ymin＝－3a－(－4a)＝1，a＝1，
当a＜0时，函数图象开口向下，在[1，2]上单调递减，
ymax－ymin＝－4a－(－3a)＝1，a＝－1，
综上得，a＝1或－1.
②当a＝1时，y＝x2－2x－3，对称轴为直线x＝1.
当x＝t时，y1＝t2－2t－3，当x＝t＋1时，y2＝(t＋1)2－2(t＋1)－3＝t2－4，
当x＝1时，y3＝－4.区间[t，t＋1]的中间值为t＋.
当t＞1时，ymax－ymin＝y2－y1＝t2－4－(t2－2t－3)＝1，解得t＝1，不符合题意；
当≤t≤1时，则ymax－ymin＝y2－y3＝t2－4－＝1，解得t＝1或－1(舍去)；
当即0≤t＜时，则ymax－ymin＝y1－y3＝－＝1，解得t＝0或t＝2(舍去)；
当t＋1＜1，即t＜0时，则ymax－ymin＝y1－y2＝t2－2t－3－＝1，解得t＝0(舍去).
综上，t＝0或1.
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章末综合提升
第二章 函数
体 系 构 建
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分 层 探 究
典例
1
√
√
√
求函数的定义域，始终记住是求使函数有意义的自变量x的取值范围；求函数的值域，别忘了定义域优先的原则.另外，定义域、值域一定要写成集合或区间的形式.
规律方法
√
√
√
典例
2
解：设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，所以当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
规律方法
解决分段函数问题的方法
1.对于分段函数求值问题，首先判断自变量所在区间，然后代入对应解析式求值，对于“嵌套”求值问题，要从内往外逐层计算.
2.解方程或不等式时：一是分段求解，按自变量在不同区间讨论求解，最后求并集；二是画出分段函数图象，利用数形结合法求解，也可以利用分段函数的单调性转化求解.
√
12
(0，4)
典例
3
1.解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求 最值.
2.研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值.
规律方法
探究点四 函数的图象及应用
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0
时，f(x)＝x2＋2x，现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，
如图所示，请根据图象解决问题.
(1)补充完整图象并写出函数f(x)(x∈R)的增区间；
解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)
的图象关于y轴对称，
由对称性即可补充完整图象，如图所示：
由图可知，函数f(x)的递增区间为(－1，0)
和(1，＋∞).
典例
4
利用函数的图象可以直观地看出函数的性质：如：函数的单调区间、函数的最值、函数的奇偶性等；重点利用好一次函数、反比例函数、二次函数、以及幂函数、对勾函数的图象并能解决一些与图象有关的问题.
规律方法
√
√
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考 教 衔 接
真题
1
√
(2021·北京卷)已知f(x)是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
真题
2
√
真题
3
(2024·上海卷)已知f(x)＝x3＋a，且f(x)是奇函数，则a＝______.
真题
4
因为f(x)是奇函数，故f(x)＋f(－x)＝0，即x3＋a＋(－x)3＋a＝0，故a＝0.
0
溯源：(教材P73B组T7)已知函数f(x)＝(x＋1)(x－a)是偶函数，求实数a 的值.
点评：该高考题主要考查利用函数的奇偶性求参数，与教材复习题角度完全相同，难度相当，只是改变了函数的奇偶性.
真题
5
真题
6
0(答案不唯一)
1
溯源：(教材P73B组T3)已知函数f(x)＝｜x＋1｜＋｜2x＋a｜的最小值为3，求实数a的值.
点评：该高考题主要考查结合分段函数的解析式求参数、与教材复习题角度相同，难度略高于教材.
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单 元 检 测 卷
√
√
√
√
√
6.已知f(x)为定义在R上的函数，f(2)＝2，且g(x)＝f(2x)＋x2为奇函数，则f(－2)＝
A.－4 B.－2
C.0 D.2
√
因为g(x)＝f(2x)＋x2是奇函数，所以g(－1)＋g(1)＝f(－2)＋1＋f(2)＋1＝0，所以f(－2)＝－4.故选A.
√
√
√
√
√
√
√
√
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0，f(2)＝4，则
A.f(4)＝8
B.f(x)为奇函数
C.f(x)为减函数
D.当x＜－2时，f(x)－2＞f(2x＋1)
√
√
√
对于A，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝2得f(4)＝f(2)＋f(2)＝8，故A正确；对于B，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，故f(x)为奇函数，故B正确；对于C，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝x1，y＝x2－x1，且x2＞x1.故f(x1＋x2－x1)－f(x1)＝f(x2－x1)，即f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)，当x＞0时，f(x)＞0，故f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，故f(x)为增函数，故C错误；对于D，f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝4 f(1)＝2，则f(x)－2＝f(x)－f(1)＝f(x－1)，又x＜－2，故x－1＞2x＋1，又f(x)是增函数，所以f(x)－2＞f(2x＋1)，故D正确.故选ABD.
0
13.已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是__________________________.
若f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.
在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋2x的图象，
如图所示.若存在x∈R，使得f(1＋x)＝f(1－x)，则a＞1，
所以实数a的取值范围是(1，＋∞).
(1，＋∞)
16.(15分)已知函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时，f(x)＝x2＋2x.
(1)当－2≤x＜0时，求函数f(x)的解析式；
解：设－2≤x＜0，则0＜－x≤2，
所以f(－x)＝(－x)2－2x＝x2－2x，
又因为函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，故f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x，
故当－2≤x＜0时，函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋2x.
19.(17分)若函数G在m≤x≤n(m＜n)上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax－ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”.
(1)函数①y＝x＋1；②y＝｜2x｜；③y＝x2，其中函数______是在1≤x≤2上的“美好函数”；(填序号)
解：①当x＝1时，ymin＝2，当x＝2时，ymax＝3，所以ymax－ymin＝1，符合题意；
②当x＝1时，ymin＝2，当x＝2时，ymax＝4，所以ymax－ymin＝2，不符合
题意；
③当x＝1时，ymin＝1，当x＝2时，ymax＝4，所以ymax－ymin＝3，不符合
题意.
故答案为①.
(2)已知函数G：y＝ax2－2ax－3a(a≠0).
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
解：二次函数G：y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y＝－4a，当x＝2时，y＝－3a.
当a＞0时，函数图象开口向上，在[1，2]上单调递增，
ymax－ymin＝－3a－(－4a)＝1，a＝1，
当a＜0时，函数图象开口向下，在[1，2]上单调递减，
ymax－ymin＝－4a－(－3a)＝1，a＝－1，
综上得，a＝1或－1.
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