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章末综合提升
第五章 函数应用
体 系 构 建
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分 层 探 究
典例
1
√
画出函数y＝f(x)和y＝k的图象，如图所示.由图可
知，当方程f(x)＝k有两个不等实数根时，实数k的
取值范围是(0，1].故选D.
√
函数的零点与方程的根的关系及应用
1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
规律方法
对点练1.(1)(多选题)已知函数f(x)＝｜2x－4｜－a恰有两个零点，则实数a可以是
A.1 B.2
C.3 D.4
√
√
√
函数f(x)＝｜2x－4｜－a有两个零点，则y＝｜2x－4｜，
y＝a的图象有两个交点，画出函数g(x)＝｜2x－4｜和
y＝a的图象，如图所示，结合图象可知0＜a＜4.故选
ABC.
√
典例
2
规律方法
求方程的近似解的步骤
第一步：构造函数，利用函数图象或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z内；
第二步：利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；
第三步：写出方程的近似解.
√
√
典例
3
建立数学模型的三个原则
1.简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
2.可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
3.反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
规律方法
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考 教 衔 接
(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是
A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
真题
1
√
对于A，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026
＞lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固
态；对于B，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128
∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2，3)时，根据图象可
知，二氧化碳处于液态；对于C，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987＜lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P＝lg 729∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故选D.
溯源：(教材P115例8)人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律：C(t)＝C0e－rt，其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量.
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5 730年.人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比.
1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min).请估算出汉谟拉比王朝所在年代.
点评：本高考题与教材例题考查知识点相似，均考查了对数的运算以及用函数模型解决实际问题，难度和综合性均高于教材，体现高考试题源于教材，高于教材的设计理念.
(2023·天津卷)设a∈R，函数f(x)＝ax2－2x－｜x2－ax＋1｜.若f(x)恰有两个零点，则a的取值范围为___________________________.
真题
2
(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)
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单 元 检 测 卷
1.已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是
由二分法的定义可知选A.
√
2.已知x＝1是函数f(x)＝2x＋mx－5的零点，则m为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
由题意得f(1)＝0，即2＋m－5＝0，所以m＝3.故选C.
3.已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1有两个零点，则实数k的取值范围是
A.k＜4 B.k≤4
C.k＜4且k≠3 D.k≤4且k≠3
√
4.用二分法求函数f(x)＝3x－2－1的零点时，初始区间可选为
A.[2，3] B.[1，2]
C.[0，1] D.[－1，0]
√
√
√
7.已知函数f(x)＝2x＋3x＋1，g(x)＝log2x＋3x＋1，h(x)＝x3＋3x＋1的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为
A.a＞c＞b B.b＞c＞a
C.b＞a＞c D.a＞b＞c
令f(x)＝0，g(x)＝0，h(x)＝0，得2x＝－3x－1，log2x＝
－3x－1，x3＝－3x－1，在同一直角坐标系中，分别作
出y＝2x，y＝log2x，y＝x3和y＝－3x－1的图象，如图所
示，由图可知，b＞c＞a.故选B.
√
√
√
√
√
f(x)的图象如图所示，方程m－f(x)＝0的根的个数可转化
为直线y＝m与y＝f(x)交点的个数，由图可知，当0＜m≤
1时，直线y＝m与y＝f(x)交点的个数为2，因此选项A、
C、D满足题意.故选ACD.
√
√
11.已知函数f(x)＝x，x∈[－1，1]，函数g(x)＝2x2－1，x∈[－1，1]，下列选项正确的是
A.方程f(g(x))＝0无实数解
B.方程f(x)＋g(x)＝0有且仅有两个解
C.方程f(x)·g(x)＝0有且仅有三个解
D.方程g(f(x))＝0有且仅有四个解
√
√
12.函数f(x)＝ex－2的零点为_______.
由f(x)＝0 ex－2＝0 ex＝2 x＝ln 2.
ln 2
13.若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝_______(精确到0.1).
由表格中的数据，可得函数f(x)＝x3－x－1的零点在区间(1.312 5，1.343 75)之间，结合题设要求，可得方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝1.3.
f(1)＜0 f(1.5)＞0
f(1.25)＜0 f(1.375)＞0
f(1.312 5)＜0 f(1.343 75)＞0
1.3
[1，＋∞)
15.(13分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0).
(1)若a＝－1，求函数的零点；
解：当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，
所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.
解：y＝－2x＋1与y轴的交点是(0，1)，且过点(1，－1)，点(1，－1)关于y轴的对称点是(－1，－1)，首先作出以点(0，1)为端点，且过点(－1，－1)的射线，再作出以点(0，1)为端点，且过点(1，－1)的射线，如图画出函数的图象.
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探究点一 函数的零点与方程的根
(1)已知函数f(x)＝ 若关于x的方程f(x)＝k有两个不等实数根，则实数k的取值范围是( )
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(1，＋∞) D.(0，1]
(2)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝x恰有2个公共点，则实数m的取值范围是( )
A.[－2，－1)∪[2，＋∞) B.[－1，2)
C.[－2，－1] D.[2，＋∞)
答案：(1)D (2)A
解析：(1)画出函数y＝f(x)和y＝k的图象，如图所示.由图可知，当方程f(x)＝k有两个不等实数根时，实数k的取值范围是(0，1].故选D.
(2)令g(x)＝f(x)－x，则g(x)＝由题意g(x)有两个零点，
2－x＝0 x＝2，x2＋3x＋2＝0 x＝－2或x＝－1，当m＜－2时，g(x)＝0 x＝2；当m＝－2时，g(x)＝0 x＝±2；当－2＜m＜－1时，g(x)＝0 x＝±2；当m＝－1时，g(x)＝0 x＝±2，或x＝－1；当－1＜m＜2时，g(x)＝0 x＝±2，或x＝－1；当m＝2时，g(x)＝0 x＝－2，或x＝－1；当m＞2时，g(x)＝0 x＝－2，或x＝－1.综上所述，满足题意的m的取值范围为 [－2，－1)∪[2，＋∞).故选A.
函数的零点与方程的根的关系及应用
1.函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点.
2.确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.
对点练1.(1)(多选题)已知函数f(x)＝｜2x－4｜－a恰有两个零点，则实数a可以是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)设x1，x2，x3均为实数，且＝log2(x1＋1)，＝log3x2，＝log2x3，则( )
A.x1＜x3＜x2 B.x3＜x2＜x1
C.x1＜x2＜x3 D.x3＜x1＜x2
答案：(1)ABC (2)A
解析：(1)函数f(x)＝｜2x－4｜－a有两个零点，则y＝｜2x－4｜，y＝a的图象有两个交点，画出函数g(x)＝｜2x－4｜和y＝a的图象，如图所示，结合图象可知0＜a＜4.故选ABC.
(2)由题意得x1，x2，x3分别是函数y＝与y＝log2(x＋1)，y＝log3x，y＝log2x图象的交点横坐标.在同一坐标系内作出函数y＝，y＝log2(x＋1)，y＝log3x，y＝log2x的图象，如图所示，由图可得x1＜x3＜x2.故选A.
探究点二 用二分法求函数的零点或方程的近似解
已知函数f(x)＝log2(1－x)－log2(1＋x).
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)方程f(x)＝x＋1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为的区间(a，b)，使x0∈(a，b)；如果没有，请说明理由.(注：区间(a，b)的长度＝b－a).
解：(1)要使函数有意义，则
解得－1＜x＜1，
故函数f(x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，
又f(－x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)＝－[log2(1－x)－log2(1＋x)]＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
(2)由题意知方程f(x)＝x＋1等价于log2(1－x)－log2(1＋x)＝x＋1，
可化为(1＋x)2x＋1＋x－1＝0，x∈(－1，1).
设g(x)＝(1＋x)2x＋1＋x－1，x∈(－1，1).
则g(－)＝(1－－－1＝＜0，
g(0)＝2－1＝1＞0，
所以g(－)·g(0)＜0，函数g(x)图象连续不断，故方程f(x)＝x＋1在(－，0)上必有实根.
又g(－)＝×－＝＞0，
所以g(－)·g(－)＜0，
故方程f(x)＝x＋1在(－，－)上必有实根.
又区间长度－－(－)＝，
所以满足题意的一个区间为(－，－).
求方程的近似解的步骤
第一步：构造函数，利用函数图象或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z内；
第二步：利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；
第三步：写出方程的近似解.
对点练2.(1)下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
A.f(x)＝2x B.f(x)＝x2＋2x＋2
C.f(x)＝x＋－3 D.f(x)＝ln x＋3
(2)用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案：(1)B (2)B
解析：(1)对于A，f(x)＝2x有唯一零点x＝0，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，f(x)＝x2＋2x＋2＝有唯一零点x＝－，但y＝≥0恒成立，故不可用二分法求零点；对于C，f(x)＝x＋－3有两个不同零点x＝，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D，f(x)＝ln x＋3有唯一零点x＝e－3，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选B.
(2)令f (x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是单调递增的，所以函数f (x)＝log4x－在(0，＋∞)上是单调递增的，f (1)＝－＜0，f (2)＝log42－＝－＝＞0，所以函数f (x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2).故选B.
探究点三 函数模型的应用
某地为确保蓝莓产业增产增收，种植基地科研小组研究发现：一亩蓝莓的产量p(单位：千克)与肥料费用x(单位：百元)满足关系p＝1 000，且投入的肥料费用不超过14百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)4x百元.已知蓝莓的市场售价为40元/千克，且市场需求始终供不应求.记一亩蓝莓获得的利润为L(x)(单位：百元).
(1)求利润L(x)的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，一亩蓝莓获得的利润最大？最大利润是多少？
解：(1)已知蓝莓的市场售价为40元/千克，即0.4百元/千克，
L(x)＝0.4×1 000－5x＝400－－5x.
(2)L(x)＝400－－5x
＝440－
≤440－2＝240，
当且仅当＝5，即x＝12时等号成立，
所以当投入的肥料费用为12百元时，一亩蓝莓获得的利润最大，最大利润是240百元，
即投入的肥料费用为1 200元时，最大利润是24 000元.
建立数学模型的三个原则
1.简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.
2.可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.
3.反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.
对点练3.近几年3D打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2025年利用新技术生产手办，通过调查分析.生产手办全年需投入固定成本12万元，生产x(千件)手办，需另投入成本C(x)(万元).且C(x)＝由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.
(1)求出2025年的利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的表达式；
(2)2025年年产量为多少(千件)时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)当0＜x＜6时，L(x)＝9x－－12＝－x2＋8x－12；
当x≥6时，L(x)＝9x－－12＝－＋28，
所以L(x)＝
(2)若0＜x＜6，L(x)＝－x2＋8x－12，
即L(x)＝－(x－4)2＋4，
当x＝4时，L(x)max＝4万元；
若x≥6，L(x)＝－＋28≤－2＋28＝8，
当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)max＝8万元，因为8＞4，
所以2025年年产量为10(千件)时，该工厂所获利润最大，最大利润是8万元.
(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C.当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
答案：D
解析：对于A，当T＝220，P＝1 026，即lg P＝lg 1 026＞lg 103＝3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B，当T＝270，P＝128，即lg P＝lg 128∈(lg 102，lg 103)，即lg P∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C，当T＝300，P＝9 987，即lg P＝lg 9 987＜lg 104＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D，当T＝360，P＝729，即lg P＝lg 729∈(lg 102，lg 103)，即lg P＝lg 729∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化碳处于超临界状态.故选D.
溯源：(教材P115例8)人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律：C(t)＝C0e－rt，其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量.
为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期.14C的半衰期大约是5 730年.人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比.
1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min).请估算出汉谟拉比王朝所在年代.
点评：本高考题与教材例题考查知识点相似，均考查了对数的运算以及用函数模型解决实际问题，难度和综合性均高于教材，体现高考试题源于教材，高于教材的设计理念.
(2023·天津卷)设a∈R，函数f(x)＝ax2－2x－｜x2－ax＋1｜.若f(x)恰有两个零点，则a的取值范围为 .
答案：(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)
解析：①当x2－ax＋1≥0时，f(x)＝0 (a－1)x2＋(a－2)x－1＝0，即(x＋1)＝0，若a＝1时，x＝－1，此时x2－ax＋1≥0成立；若a≠1时，x＝，或x＝－1，若方程有一根为x＝－1，则1＋a＋1≥0，即a≥－2且a≠1；若方程有一根为x＝，则－a×＋1≥0，解得a≤2，且a≠1；若x＝＝－1时，a＝0，此时1＋a＋1≥0成立.②当x2－ax＋1＜0时，f(x)＝0 (a＋1)x2－(a＋2)x＋1＝0，即[(a＋1)x－1](x－1)＝0，若a＝－1时，x＝1，显然x2－ax＋1＜0不成立；若a≠－1时，x＝1，或x＝，若方程有一根为x＝1，则1－a＋1＜0，即a＞2；若方程有一根为x＝，则－a×＋1＜0，解得a＜－2；若x＝＝1时，a＝0，显然x2－ax＋1＜0不成立.综上，当a＜－2时，零点为，；当－2≤a＜0时，零点为，－1；当a＝0时，只有一个零点－1；当0＜a＜1时，零点为，－1；当a＝1时，只有一个零点－1；当1＜a≤2时，零点为，－1；当a＞2时，零点为1，－1.所以当函数有两个零点时，a≠0，且a≠1.所以实数a的取值范围为(－∞，0)∪(0，1)∪(1，＋∞).
溯源：(教材P134习题A组T2)判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间：
(1)x2＋x－1＝0；
(2)｜lg x｜－＝0.
点评：本高考题与教材习题均考查函数的零点问题，而高考题在教材习题的基础上进行拓展，难度增大.
单元检测卷(五) 函数应用
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是( )
答案：A
解析：由二分法的定义可知选A.
2.已知x＝1是函数f(x)＝2x＋mx－5的零点，则m为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：由题意得f(1)＝0，即2＋m－5＝0，所以m＝3.故选C.
3.已知二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1有两个零点，则实数k的取值范围是( )
A.k＜4 B.k≤4
C.k＜4且k≠3 D.k≤4且k≠3
答案：C
解析：因为二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1有两个零点，所以方程(k－3)x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根，所以解得k＜4且k≠3.故选C.
4.用二分法求函数f(x)＝3x－2－1的零点时，初始区间可选为( )
A.[2，3] B.[1，2]
C.[0，1] D.[－1，0]
答案：D
解析：f(－1)＝－＜0，f(0)＝＞0，f(1)＝＞0，f(2)＝＞0，f(3)＝＞0，则f(－1)·f(0)＜0，即初始区间可选[－1，0].故选D.
5.已知函数f(x)＝则当k＞0时，函数y＝f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：C
解析：当x＞0时，由f(x)＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，合乎题意；当x≤0时，由于k＞0，由f(x)＝0，可得kx＋1＝0，解得x＝－＜0，合乎题意.因此，函数y＝f(x)的零点个数为2.故选C.
6.我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位时间内心跳的次数)与其自身体重W满足f＝的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2 kg、脉搏率为205次·min－1，若经测量一匹马的脉搏率为41次·min－1，则这匹马的体重为( )
A.250 kg B.350 kg
C.450 kg D.500 kg
答案：A
解析：根据题意f＝，当W＝2时，f＝205，则k＝205×，当f＝41时，则＝＝5×，故W＝250.故选A.
7.已知函数f(x)＝2x＋3x＋1，g(x)＝log2x＋3x＋1，h(x)＝x3＋3x＋1的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A.a＞c＞b B.b＞c＞a
C.b＞a＞c D.a＞b＞c
答案：B
解析：令f(x)＝0，g(x)＝0，h(x)＝0，得2x＝－3x－1，log2x＝－3x－1，x3＝－3x－1，在同一直角坐标系中，分别作出y＝2x，y＝log2x，y＝x3和y＝－3x－1的图象，如图所示，由图可知，b＞c＞a.故选B.
8.(新定义)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L·E·J·Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是( )
A.f(x)＝－ B.g(x)＝x2－x＋6
C.h(x)＝＋x＋6 D.φ(x)＝－x
答案：D
解析：对于A，f(x0)＝－＝x0 ＝－1，方程无解，则f(x)＝－不是“不动点”函数，故A错误；对于B，g(x0)＝－x0＋6＝x0 －2x0＋6＝0，方程判别式Δ＝4－24＜0，方程无解，则g(x)＝x2－x＋6不是“不动点”函数，故B错误；对于C，h(x0)＝＋x0＋6＝x0 ＝－6，方程无解，则h(x)＝＋x＋6不是“不动点”函数，故C错误；对于D，φ(x0)＝－x0＝x0 ＝，方程有两解，则φ(x)＝－x是“不动点”函数，故D正确.故选D.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列函数不存在零点的是( )
A.y＝x－ B.y＝
C.y＝ D.y＝
答案：BD
解析：对于A，令y＝0，解得x＝±1，故－1和1是函数y＝x－的零点；对于B，令y＝0，则2x2－x＋1＝0，因为Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，所以该方程无解，所以函数y＝无零点；对于C，令y＝0，解得x＝±1，故－1和1是函数y＝的零点；对于D，令y＝0，方程无解，故函数y＝无零点.故选BD.
10.已知函数f(x)＝若关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同的实数根，则实数m的值可能是( )
A.1 B.2
C. D.
答案：ACD
解析：f(x)的图象如图所示，方程m－f(x)＝0的根的个数可转化为直线y＝m与y＝f(x)交点的个数，由图可知，当0＜m≤1时，直线y＝m与y＝f(x)交点的个数为2，因此选项A、C、D满足题意.故选ACD.
11.已知函数f(x)＝x，x∈[－1，1]，函数g(x)＝2x2－1，x∈[－1，1]，下列选项正确的是( )
A.方程f(g(x))＝0无实数解
B.方程f(x)＋g(x)＝0有且仅有两个解
C.方程f(x)·g(x)＝0有且仅有三个解
D.方程g(f(x))＝0有且仅有四个解
答案：BC
解析：对于A，由题可知f(0)＝0，故f(g(x))＝0等价于g(x)＝0，g(x)＝0即2x2－1＝0 x＝±∈[－1，1]，故方程f(g(x))＝0有实数解，故A错误；对于B，方程f(x)＋g(x)＝0即2x2＋x－1＝0，x∈[－1，1]，故(2x－1)(x＋1)＝0，x∈[－1，1]，解得x1＝，x2＝－1，故B正确；对于C，方程f(x)·g(x)＝0即(2x2－1)x＝0，x∈[－1，1]，故解方程(2x2－1)x＝0，x∈[－1，1]，得x＝0或x＝±∈[－1，1]，故C正确；对于D，因为g＝0，方程g(f(x))＝0等价于f(x)＝±∈[－1，1]，故由函数f(x)＝x，x∈[－1，1]得方程f(x)＝±的解为x＝±，故D错误.故选BC.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在横线上.)
12.函数f(x)＝ex－2的零点为 .
答案：ln 2
解析：由f(x)＝0 ex－2＝0 ex＝2 x＝ln 2.
13.若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
f(1)＜0 f(1.5)＞0
f(1.25)＜0 f(1.375)＞0
f(1.312 5)＜0 f(1.343 75)＞0
那么方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝ (精确到0.1).
答案：1.3
解析：由表格中的数据，可得函数f(x)＝x3－x－1的零点在区间(1.312 5，1.343 75)之间，结合题设要求，可得方程x3－x－1＝0的一个近似解为x＝1.3.
14.已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，若g(x)有2个零点，则实数a的取值范围是 .
答案：[1，＋∞)
解析：由函数f(x)＝g(x)＝f(x)－x－a，令g(x)＝0，可得f(x)＝x＋a，在同一坐标系下，作出函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的图象，如图所示：当a≥1时，函数y＝f(x)与函数y＝x＋a的图象有2个交点，此时，函数y＝g(x)有2个零点，所以实数a的取值范围是[1，＋∞).
四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.(13分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0).
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求实数a的取值范围.
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，
所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.
(2)①当a＝0时，2x－2＝0得x＝1，符合题意.
②当a＜0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)·，则x1＝1，x2＝－，
由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，则－ ≥1，或－ ≤0，
解得－1≤a＜0，或a≤－2，
综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0].
16.(15分)已知函数f(x)＝－x.
(1)若a＝2，求函数f(x)的定义域；
(2)若a≠0，若f(x)＝a有2个不同的实数根，求实数a的取值范围.
解：(1)当a＝2时，f(x)＝－x，
由｜x＋2｜－2≥0，得｜x＋2｜≥2，
即x＋2≤－2或x＋2≥2，解得x≤－4或x≥0.
所以函数的定义域为(－∞，－4]∪[0，＋∞).
(2)f(x)＝a ＝x＋a，
设x＋a＝t≥0，转化为＝t有两个不同的实数根，整理得a＝t－t2，t≥0，
所以a＝－＋，t≥0，
由二次函数的图象与性质，当且仅当0≤a＜时，方程有2个不同实数根，
又a≠0，所以实数a的取值范围是.
17.(15分)已知函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0且a≠1)，g(x)＝.
(1)若函数y＝f(x)的图象恒过定点A，求点A的坐标；
(2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象过点，试证明函数F(x)在x∈(1，2)上有唯一零点.
解：(1)因为函数y＝logax的图象恒过点(1，0)，
所以函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1).
(2)证明：F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋2)－1－，
因为函数F(x)的图象过点，
所以F(2)＝，即loga4－1－＝，
所以a＝2.所以F(x)＝log2(x＋2)－－1.所以函数F(x)在(1，2)上单调递增.
又因为F(1)＝log23－2＜0，F(2)＝＞0，F(1)·F(2)＜0，所以函数F(x)在(1，2)上有零点，
故函数F(x)在(1，2)上有唯一零点.
18.(17分)某科技公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解：(1)当0＜x≤50时，可得W(x)＝200x－－400＝－2x2＋120x－400；
当50＜x≤100时，可得W(x)＝200x－－400＝－＋1 700；
所以W(x)＝
(2)若0＜x≤50，则W(x)＝－2x2＋120x－400＝－2(x－30)2＋1 400，
所以当x＝30时，W(x)max＝1 400万元；
若50＜x≤100，则W(x)＝－＋1 700≤－2＋1 700＝1 580，
当且仅当x＝，即x＝60台时，等号成立，W(x)max＝1 580万元；因为1 400＜1 580，
所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1 580万元.
19.(17分)定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数和y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数”.例如：图①是函数y＝x＋1的图象，则它的“新生函数”的图象如图②所示，且它的“新生函数”的解析式为y＝也可以写成y＝｜x｜＋1.
(1)在图③中画出函数y＝－2x＋1的“新生函数”的图象；
(2)函数y＝x2－2x＋2的“新生函数”与直线y＝－x＋m有三个公共点，求m的值；
(3)已知A(－1，0)，B(3，0)，C(3，－2)，D(－1，－2)，函数y＝x2－2nx＋2(n＞0)的“新生函数”图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求实数n的取值范围.
解：(1)y＝－2x＋1与y轴的交点是(0，1)，且过点(1，－1)，点(1，－1)关于y轴的对称点是(－1，－1)，首先作出以点(0，1)为端点，且过点(－1，－1)的射线，再作出以点(0，1)为端点，且过点(1，－1)的射线，如图画出函数的图象.
(2)首先利用对称性，作出函数y＝x2－2x＋2的“新生函数”图象，
如图，①当y＝－x＋m与函数y＝x2－2x＋2相切时，此时有3个交点，
联立y＝－x＋m和y＝x2－2x＋2，
得x2－x＋2－m＝0，
令Δ＝1－4(2－m)＝0，得m＝；
②当y＝－x＋m过点(0，2)时，有3个交点，此时m＝2.
综上可知，m＝或m＝2.
(3)函数y＝x2－2nx＋2(n＞0)的“新生函数”的解析式为y＝x2－2n｜x｜＋2(n＞0).
情形一：如图所示，
当x＝－1时，－2＜y＜0，所以－2＜3－2n＜0，解得＜n＜，当x＝n时，－2＜y＜0，所以－2＜n2－2n2＋2＜0，又n＞0，解得＜n＜2，故＜n＜2.
情形二：如图所示，
当x＝3时，y＜－2，
所以9－6n＋2＜－2，解得n＞.
综上可知，实数n的取值范围是
{n｜＜n＜2，或n＞}.
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