(共93张PPT)
章末综合提升
第一章 预备知识
体 系 构 建
返回
分 层 探 究
典例
1
规律方法
借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反.
典例
2
在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.
规律方法
对点练2.(1)已知命题p： x∈[1，3]，x2－ax＋3≥0，则p的一个充分不必要条件是
A.a＜3 B.a＞3
C.a＜4 D.a＞4
√
√
√
√
典例
3
全称量词命题、存在量词命题的真假判定
1.全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可.
2.存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假.
规律方法
对点练3.(1)命题“ x∈Z，7x2－x＜7”的否定为
A. x∈Z，7x2－x≥7 B. x∈Z，7x2－x≥7
C. x∈Z，7x2－x＞7 D. x∈Z，7x2－x＞7
√
“ x∈Z，7x2－x＜7”的否定为“ x∈Z，7x2－x≥7”.故选B.
(2)若命题p： x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是
A.{m｜m≥1} B.{m｜m＞1}
C.{m｜m＜1} D.{m｜m≤1}
√
命题p： x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)，因为－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，所以m＞1.故选B.
典例
4
基本不等式求最值问题的解题策略
注意寻求已知条件与目标函数之间的联系，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号能否取到.很多题目中特别注意“1”的代换.
规律方法
√
典例
5
探究点五 解一元二次不等式
设函数y＝ax2＋(b－2)x＋3(a∈R).
(1)若不等式y＜0的解集为(1，3)，求函数y＝ax2＋(b－2)x＋3(a∈R)的解析式；
解：由不等式y＜0的解集为(1，3)，可得方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两根为1，3且a＞0，
由根与系数的关系可得a＝1，b＝－2，所以y＝x2－4x＋3.
对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数含参数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.
规律方法
√
√
√
典例
6
认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一.
规律方法
典例
7
√
√
√
0≤x＜1
充分不必要
以集合或不等式为依托，常在创新集合定义、运算、性质或不等式的解法等方面命题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求来解决新定义的集合创新问题考查学生理解问题、解决创新问题的能力.
规律方法
对点练7.(1)德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合A，B互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合.若全集U＝{x｜｜2x－9｜≤7，x∈N}，A＝{x｜x2－7x＋10＜0，x∈N}，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为
A.8 B.16
C.32 D.64
√
√
返回
考 教 衔 接
(2024·北京卷)已知集合M ＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜－1≤x＜4}，则M∪N＝
A.{x｜－1≤x＜1} B.{x｜x＞－3}
C.{x｜－3＜x＜4} D.{x｜x＜4}
真题
1
√
由集合的并运算，得M∪N＝{x｜－3＜x＜4}.
溯源：(教材P9例6)已知集合A＝{x｜－1≤x＜2}，B＝{x｜0≤x≤3}，求A∩B，A∪B.
点评：该高考题主要考查集合的并集运算，与教材例题角度完全相同.
(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x｜－5＜x2＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝
A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
真题
2
√
溯源：(教材P9练习T1)已知集合A＝{x｜x2－16＝0}，B＝{x｜x3＋64＝0}，求A∩B，A∪B.
点评：该高考题主要考查集合的交集运算，与教材习题角度完全相同，难度略低于教材练习题.
真题
3
√
B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则 A(A∩B)＝{2，3，5}.故选D.
溯源：(教材P10例8)设全集U＝R，A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞3}，求：
(1) R(A∩B)；(2) R(A∪B)；
(3)( RA)∩( RB)；(4)( RA)∪( RB).
点评：该高考题主要考查集合的交集与补集的运算，与教材例题角度完全相同，难度高于教材例题.
(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝
A. U(M∪N) B.N∪ UM
C. U(M∩N) D.M∪ UN
真题
4
√
由题意可得M∪N＝{x｜x＜2}，则 U(M ∪N)＝{x｜x≥2}，选项A正确； UM＝{x｜x≥1}，则N∪ UM＝{x｜x＞－1}，选项B错误；M∩N ＝{x｜－1＜x＜1}，则 U(M∩N)＝{x｜x≤－1，或x≥1}，选项C错误； UN＝{x｜x≤－1，或x≥2}，则M∪ UN＝{x｜x＜1，或x≥2}，选项D错误.故选A.
溯源：(教材P45复习题一A组T1(2))已知全集U＝{x∈N＋｜－2＜x＜9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是
A.M∪ UP B. U(M∩P)
C.( UM)∪( UP) D.( UM)∩( UP)
点评：该高考题主要考查集合的补集与交集、并集的混合运算，与教材复习题角度完全相同，难度相当.
真题
5
√
溯源：(教材P45复习题一A组T3)用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空：
(1)“a是有理数”是“a是实数”的__________；
(2)“x2－4＝0”是“x＝－2”的__________；
(3)“x2－4＝0”是“｜x｜＝2”的__________；
(4)“A∪B＝B”是“A＝ ”的__________.
点评：该高考题主要考查充要条件的判断，与教材复习题角度完全相同，难度与教材复习题相当.
(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
真题
6
√
√
返回
单 元 检 测 卷
1.设全集U＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{1，2}，则 U(A∪B)＝
A.{1，－1，2} B.{－1，2}
C.{1} D.{－2}
因为U＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{1，2}，所以A∪B＝{－1，1，2}，所以 U(A∪B)＝{－2}.故选D.
√
√
3. “x＞7”是“x＞17”的
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
√
依题意，x＞7不能推出x＞17，而x＞17能推出x＞7，所以“x＞7”是“x＞17”的必要不充分条件.故选C.
√
√
√
√
√
√
√
√
10.下列说法正确的是
A. x∈R，x2－2x＋1＝0
B. x∈R，都有x3＞x2
C.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
D.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
√
对于A，易知当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故A正确；对于B，当x＝－1时，x3＝－1，x2＝1，此时x3＜x2，故B错误；对于C，ab≠0等价于a≠0且b≠0，所以a≠0不能推出ab≠0，反之ab≠0能推出a≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故C正确；对于D，当x≥2且y≥2时可得x2≥4，y2≥4，所以x2＋y2≥8，即“x≥2且y≥2”能推出“x2＋y2≥4”，反之，当x2＋y2≥4时，例如x＝0，y＝3符合要求，不能推出x≥2且y≥2，故“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故D错误.故选AC.
√
√
√
√
因为A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞1}，所以A∪B＝{x｜x≥0}，A∩B＝{x｜1＜x≤2}，因为A×B＝{x｜x∈A∪B，且x A∩B}，所以A×B＝{x｜0≤x≤1，或x＞2}.
{x｜0≤x≤1，或x＞2}
13.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1 250元，则每株这种多肉植物的最低售价为______元.
设每株多肉植物的售价为x元，则每天可以卖[25＋5(30－x)]株，由题意可得x[25＋5(30－x)]≥1 250，即x2－35x＋250≤0，解得10≤x≤25，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元.
10
[4，＋∞)
(2)在下列条件中任选一个，补充在下面问题中作答.
①A∩C＝C；②B∪C＝B；③C (A∩B).若________，求实数a的取值范围.
解：选①，由A∩C＝C，得C A，若2－a≥2＋a，即a≤0时，C＝ A，符合题意；
当C≠ 时，－2≤2－a＜2＋a≤3，解得0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是(－∞，1].
选②，由B∪C＝B，得C B，若2－a≥2＋a，即a≤0时，C＝ B，符合题意；
当C≠ 时，－1≤2－a＜2＋a≤4，解得0＜a≤2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2].
选③，由(1)知A∩B＝(－1，3]，则C (－1，3]，
若2－a≥2＋a，即a≤0时，C＝ (－1，3]，符合题意；
当C≠ 时，－1≤2－a＜2＋a≤3，解得0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是(－∞，1].
x年时纯利润总和为P＝90x－3x2－243＝－3(x－15)2＋432，当x＝15时，Pmax＝432，
此时以30万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为432＋30＝462(万元).
两种方案获得的最大总利润相同，而方案①时间短，因此选择方案① 更好.
返回章末综合提升
探究点一 集合的运算
设全集为R，集合A＝{x｜3≤x＜6}，B＝{x｜2＜x＜9}.
(1)分别求A∩B，( RA)∪B；
(2)已知C＝{x｜a＜x＜a＋1}，若C∪B＝B，求实数a的取值范围.
解：(1)因为A＝{x｜3≤x＜6}，B＝{x｜2＜x＜9}，则A∩B＝{x｜3≤x＜6}，
可得 RA＝x＜3，或，所以( RA)∪B＝R.
(2)因为C∪B＝B，可知C B，且C≠ ，可得解得2≤a≤8，
所以实数a的取值范围为.
借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、虚实不能标反.
对点练1.(开放题)设全集为R，A＝{a－1＜x＜2a}，B＝.
(1)若a＝4，求A∩B，( RA)∩B；
(2)请在①A∩B＝ ，②A∪B＝B，③A∩B＝B三个条件中，任选其中一个作为条件，并求在该条件下实数a的取值范围.(若多个选择，只对第一个选择给分)
解：(1)因为A＝，a＝4，
所以A＝{x｜3＜x＜8}，
而B＝＝，
所以A∩B＝{x｜3＜x≤5}，( RA)∩B＝{2＜x≤3}.
(2)若选①，因为A＝{x｜a－1＜x＜2a}，B＝{x｜2＜x≤5}.
当A＝ 时，a－1≥2a，即a≤－1，此时满足A∩B＝ ；
当A≠ 时，由A∩B＝ 可得
解得－1＜a≤1，或a≥6，
综上所述，实数a的取值范围为(－∞，1]∪[6，＋∞).
若选②，因为A∪B＝B，所以A B，
又A＝{x｜a－1＜x＜2a}，B＝{x｜2＜x≤5}，
当A＝ 时，a－1≥2a，即a≤－1，此时满足A∪B＝B；
当A≠ 时，由A B可得化简可得不等式组无解，
综上所述，实数a的取值范围为.
若选③，因为A∩B＝B，所以B A，
又A＝{x｜a－1＜x＜2a}，B＝{x｜2＜x≤5}，所以＜a≤3.
所以实数a的取值范围为.
探究点二 充分条件与必要条件
已知命题p：2－a＜x＜a＋2(a＞0)，命题q：1＜x＜4.
(1)若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围；
(2)若p是q的必要非充分条件，求实数a的取值范围.
解：设A＝{x｜2－a＜x＜a＋2}，B＝{x｜1＜x＜4}.
(1)由题意可知A是B的真子集，
因为a＞0，所以a＋2＞2－a，即A≠ ，
则解得a≤1，又a＞0，
故实数a的取值范围是{a｜0＜a≤1}.
(2)由题意可知B是A的真子集，则解得a≥2，
故实数a的取值范围是{a｜a≥2}.
在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.
对点练2.(1)已知命题p： x∈[1，3]，x2－ax＋3≥0，则p的一个充分不必要条件是( )
A.a＜3 B.a＞3
C.a＜4 D.a＞4
(2)(多选题)下列命题正确的是( )
A.“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件
B.两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件
C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
答案：(1)A (2)ABD
解析：(1)命题p： x∈[1，3]，x2－ax＋3≥0，等价于a≤x＋，x∈[1，3]恒成立；又f(x)＝x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，故a≤x＋，x∈[1，3]恒成立，即a≤2，也即命题p的充要条件为a≤2；结合选项，p的一个充分不必要条件是a＜3.故选A.
(2)对于A，a＞1能推出＜1，而＜1不能推出a＞1，因为a＜0也满足＜1，所以“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件，故A正确；对于B，两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，两个三角形全等则面积一定相等，所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，故B正确；对于C，根据不等式的性质可知：由x≥2且y≥2能推出x2＋y2≥4，充分性成立，故C错误；对于D，因为b可以等于零，所以由a≠0不能推出ab≠0，故充分性不成立，由ab≠0可得a≠0且b≠0，即必要性成立，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件，故D正确.故选ABD.
探究点三 全称量词命题与存在量词命题
已知命题p： x∈R，x2＋(m－2)x＋1＝0；命题q： a＞1，m＋2≤a＋＋2.
(1)若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p为真命题，命题q为假命题，求实数m的取值范围.
解：(1)因为命题q为真命题，a＞1，
所以a＋＋2＝a－1＋＋3
≥2＋3＝5，
当且仅当a－1＝，即a＝2时，等号成立，所以m＋2≤5，即m≤5－2.
所以实数m的取值范围为 (－∞，5－2].
(2)由命题p为真命题，得Δ＝(m－2)2－4≥0，解得m≤0，或m≥4，
所以当命题p为真命题时m≤0，或m≥4，又命题q为假命题时m＞5－2，
故m满足{m｜m≤0，或m≥4}∩{m｜m＞5－2}＝{m｜m≥4}.
所以实数m的取值范围为{m｜m≥4}.
全称量词命题、存在量词命题的真假判定
1.全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可.
2.存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假.
对点练3.(1)命题“ x∈Z，7x2－x＜7”的否定为( )
A. x∈Z，7x2－x≥7 B. x∈Z，7x2－x≥7
C. x∈Z，7x2－x＞7 D. x∈Z，7x2－x＞7
(2)若命题p： x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是( )
A.{m｜m≥1} B.{m｜m＞1}
C.{m｜m＜1} D.{m｜m≤1}
答案：(1)B (2)B
解析：(1)“ x∈Z，7x2－x＜7”的否定为“ x∈Z，7x2－x≥7”.故选B.
(2)命题p： x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)，因为－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，所以m＞1.故选B.
探究点四 基本不等式及应用
(1)已知x＞0，y＞0，求＋＋2的最小值；
(2)已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝2，求＋的最大值.
解：(1)因为x＞0，y＞0，
所以＋＋2≥2＋2
≥2＝4，
当且仅当x＝y＝1时等号成立，则＋＋2的最小值为4.
(2)因为正数a，b，c满足a＋b＋c＝2，
所以2a＋2b＋2c＝4，
即(2a＋b)＋(b＋2c)＝4，
因为2a＋b≥2，b＋2c≥2，
所以4≥2＋2，
所以＋≤，
当且仅当2a＝b＝2c且a＋b＋c＝2，
即a＝c＝，b＝1时等号成立，
故＋.
基本不等式求最值问题的解题策略
注意寻求已知条件与目标函数之间的联系，常用的方法有配凑法、换元法等，其原则是构造定值，解题过程中还要注意等号能否取到.很多题目中特别注意“1”的代换.
对点练4.(1)已知实数a，b满足a＞0，b＞1，且a＋b＝5，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D.
(2)若正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为 .
答案：(1)A (2)
解析：(1)因为a＞0，b＞1，且a＋b＝5，则a＋b－1＝4，＋＝(＋)[a＋(b－1)]×＝［3＋＋］≥＝(3＋2)，当且仅当＝，即a＝8－4，b＝4－3时，等号成立.故选A.
(2)已知正数a，b满足a＋b＝1，则(3a＋2)＋(3b＋2)＝7，所以＋＝·＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立.因此，＋.
探究点五 解一元二次不等式
设函数y＝ax2＋(b－2)x＋3(a∈R).
(1)若不等式y＜0的解集为(1，3)，求函数y＝ax2＋(b－2)x＋3(a∈R)的解析式；
(2)若b＝－a－3，求不等式y＞－4x＋2的解集.
解：(1)由不等式y＜0的解集为(1，3)，可得方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两根为1，3且a＞0，
由根与系数的关系可得a＝1，b＝－2，所以y＝x2－4x＋3.
(2)由y＞－4x＋2得ax2＋(b－2)x＋3＞－4x＋2，
又因为b＝－a－3，所以不等式y＞－4x＋2化为ax2－(a＋1)x＋1＞0，
即(x－1)(ax－1)＞0，
当a＝0时，原不等式变形为－x＋1＞0，解得x＜1.
当a＜0时，＜1，原不等式即(x－1)＜0，所以＜x＜1.
若a＞0，原不等式即(x－1)＞0，
此时原不等式的解的情况应由与1的大小关系决定，故
当a＝1时，不等式(x－1)＞0的解为x≠1；
当a＞1时，＜1，不等式(x－1)＞0 x＜，或x＞1；
当0＜a＜1时，＞1，不等式(x－1)＞0 x＜1，或x＞.
综上所述，不等式的解集为
当a＜0时，；
当a＝0时，{x｜x＜1}；
当0＜a＜1时，；
当a＝1时，{x｜x≠1}；
当a＞1时，.
对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数含参数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏.
对点练5.(1)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为( )
A. B.(－∞，－1)∪(，＋∞)
C. D.(－∞，－)∪(1，＋∞)
(2)(多选题)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为x≤－3，或，则下列说法正确的是( )
A.b＞0且c＜0
B.4a＋2b＋c＝0
C.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜6}
D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜－＜x＜}
答案：(1)B (2)AB
解析：(1)由不等式－2x2＋x＋3＜0，可得2x2－x－3＝(x＋1)(2x－3)＞0，解得x＜－1或x＞，即不等式的解集为(－∞，－1)∪(，＋∞).故选B.
(2)对于A，由题意得－3，2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＞0，故－3＋2＝－，－3×2＝，即b＝a＞0，c＝－6a＜0，故A正确；对于B，2为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，故4a＋2b＋c＝0，故B正确；对于C，由A选项可知，bx＋c＞0 ax－6a＞0，解得x＞6，故C错误；对于D，cx2－bx＋a＜0 －6ax2－ax＋a＜0，又a＞0，故6x2＋x－1＞0，解得x＞或x＜－，故D错误.故选AB.
探究点六 不等式的实际应用
2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7 000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2 000万元，每生产x(x∈N*)百件，需另投入成本W(x)万元，且0＜x＜45时，W(x)＝3x2＋260x；当x≥45时，W(x)＝501x＋－4 950，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)分别写出0＜x＜45与x≥45时，年利润y(万元)与年产量x(百件)的关系式(利润＝销售收入－成本)；
(2)当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
解：(1)由题意可得当0＜x＜45时，y＝500x－3x2－260x－2 000＝－3x2＋240x－2 000，
当x≥45时，y＝500x－(501x＋－4 950)－2 000＝2 950－(x＋).
(2)由(1)得0＜x＜45时，y＝－3x2＋240x－2 000＝－3＋2 800，
当x＝40(百件)时，ymax＝2 800(万元)，
当x≥45时，y＝2 950－(x＋)＝2 970－(x＋20＋)≤2 970－2＝2 970－2×70＝2 830，
当且仅当x＋20＝，即x＝50时等号成立，ymax＝2 830(万元)，
而2 800＜2 830，故x＝50(百件)时，利润最大，
综上所述，该产品年产量为50百件时，公司所获年利润最大，最大年利润是2 830万元.
认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学建模核心素养的培养目标之一.
对点练6.某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园.如图所示，要求每个矩形用地的面积为36 m2且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为1 m，横向部分路宽为2 m.
(1)当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？
(2)为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？
解：(1)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m，
则所需篱笆的长度为4×2×，
又x＋≥2＝12，
当且仅当x＝6时，等号成立，所以当矩形用地的长和宽均为6 m时，所用篱笆最短，
此时该菜园的总面积为×＝182 m2.
(2)设矩形用地平行于横向过道的一边长度为x m，菜园的总面积为y m2，
则y＝＝146＋4x＋≥146＋2＝146＋24，
当且仅当4x＝，即x＝3时，等号成立，
此时另一边长度为＝6，
即矩形的长和宽分别为6 m，3 m时，菜园的总面积最小.
探究点七 新定义的应用
(1)(多选题)给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是( )
A.集合M＝为闭集合
B.正整数集是闭集合
C.集合M＝为闭集合
D.若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
(2)设a，b，m∈R，若＜，则称a比b更接近m.若2比＋1更接近0，则x的取值范围是 ；请判断“＜－1”是“x比y更接近m”的： 条件(从“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中选择一个填在横线上).
答案：(1)ABD (2)0≤x＜1 充分不必要
解析：(1)对于A，当集合M＝时，2，4∈M，而2＋4 M，所以集合M不为闭集合，故A不正确；对于B，设a，b是任意的两个正整数，当a＜b时，a－b＜0不是正整数，所以正整数集不为闭集合，故B不正确；对于C，当M＝{n｜n＝3k，k∈Z}时，设a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，则a＋b＝3(k1＋k2)∈M，a－b＝3(k1－k2)∈M，所以集合M是闭集合，故C正确；对于D，设A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2为闭集合，2，3∈A1∪A2，而2＋3 A1∪A2，此时A1∪A2不为闭集合，故D不正确.故选ABD.
(2)由题意得＜，由于2＋1均为非负数，故2＜＋1，解得0≤x＜1；＜－1 ＋1＜0 ＜0，假设x＜y，则有m＜x＜y，＜，显然x比y更接近m，假设x＞y，则有m＞x＞y，＜，显然x比y更接近m，充分性成立，若已知x比y更接近m，即＜，不妨设x＝m－1，y＝m＋2，则＝＝－＞－1，故必要性不成立，故“＜－1”是“x比y更接近m”的充分不必要条件.
以集合或不等式为依托，常在创新集合定义、运算、性质或不等式的解法等方面命题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求来解决新定义的集合创新问题考查学生理解问题、解决创新问题的能力.
对点练7.(1)德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合A，B互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合.若全集U＝{x｜｜2x－9｜≤7，x∈N}，A＝{x｜x2－7x＋10＜0，x∈N}，则集合A关于集合U的正交集合B的个数为( )
A.8 B.16
C.32 D.64
(2)设x∈R，对于使－x2＋2x≤M恒成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫作－x2＋2x的上确界.若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A.－2 B.－
C.－ D.－
答案：(1)D (2)B
解析：(1)≤7 －7≤2x－9≤7，得1≤x≤8，所以U＝，
x2－7x＋10＜0 (x－2)(x－5)＜0，得2＜x＜5，所以A＝，所以集合B的元素没有3和4，则集合B的个数为集合的子集，为26＝64.故选D.
(2)a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，＋＝＋＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即b＝，a＝时等号成立，则有－－≤－，即－－的上确界为－.故选B.
(2024·北京卷)已知集合M ＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜－1≤x＜4}，则M∪N＝( )
A.{x｜－1≤x＜1} B.{x｜x＞－3}
C.{x｜－3＜x＜4} D.{x｜x＜4}
答案：C
解析：由集合的并运算，得M∪N＝{x｜－3＜x＜4}.
溯源：(教材P9例6)已知集合A＝{x｜－1≤x＜2}，B＝{x｜0≤x≤3}，求A∩B，A∪B.
点评：该高考题主要考查集合的并集运算，与教材例题角度完全相同.
(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x｜－5＜x2＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝( )
A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
答案：A
解析：因为A＝{x｜－5＜x3＜5}＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}.故选A.
溯源：(教材P9练习T1)已知集合A＝{x｜x2－16＝0}，B＝{x｜x3＋64＝0}，求A∩B，A∪B.
点评：该高考题主要考查集合的交集运算，与教材习题角度完全相同，难度略低于教材练习题.
(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则 A(A∩B)＝( )
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
答案：D
解析：B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则 A(A∩B)＝{2，3，5}.故选D.
溯源：(教材P10例8)设全集U＝R，A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞3}，求：
(1) R(A∩B)；(2) R(A∪B)；
(3)( RA)∩( RB)；(4)( RA)∪( RB).
点评：该高考题主要考查集合的交集与补集的运算，与教材例题角度完全相同，难度高于教材例题.
(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝( )
A. U(M∪N) B.N∪ UM
C. U(M∩N) D.M∪ UN
答案：A
解析：由题意可得M∪N＝{x｜x＜2}，则 U(M ∪N)＝{x｜x≥2}，选项A正确； UM＝{x｜x≥1}，则N∪ UM＝{x｜x＞－1}，选项B错误；M∩N ＝{x｜－1＜x＜1}，则 U(M∩N)＝{x｜x≤－1，或x≥1}，选项C错误； UN＝{x｜x≤－1，或x≥2}，则M∪ UN＝{x｜x＜1，或x≥2}，选项D错误.故选A.
溯源：(教材P45复习题一A组T1(2))已知全集U＝{x∈N＋｜－2＜x＜9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是( )
A.M∪ UP B. U(M∩P)
C.( UM)∪( UP) D.( UM)∩( UP)
点评：该高考题主要考查集合的补集与交集、并集的混合运算，与教材复习题角度完全相同，难度相当.
(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.故选C.
溯源：(教材P45复习题一A组T3)用“充分条件但不是必要条件”“必要条件但不是充分条件”或“充要条件”填空：
(1)“a是有理数”是“a是实数”的 ；
(2)“x2－4＝0”是“x＝－2”的 ；
(3)“x2－4＝0”是“｜x｜＝2”的 ；
(4)“A∪B＝B”是“A＝ ”的 .
点评：该高考题主要考查充要条件的判断，与教材复习题角度完全相同，难度与教材复习题相当.
(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
答案：BC
解析：因为ab≤≤(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，故A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；取x＝，y＝－，则x2＋y2－xy＝1，且x2＋y2＝＜1，故D错误.故选BC.
溯源：(教材P30习题1－3A组T5(2)(4))x2＋y2≥；≥(x＞0，y＞0).
点评：从命题情境角度上，该高考真题与教材习题“形似”，都考查了二元二次不等式相关的知识.从解题方法上看“法同”，通过构造变形考查基本不等式以及变形公式的应用.难度高于教材.
单元检测卷(一) 预备知识
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设全集U＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{1，2}，则 U(A∪B)＝( )
A.{1，－1，2} B.{－1，2}
C.{1} D.{－2}
答案：D
解析：因为U＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{1，2}，所以A∪B＝{－1，1，2}，所以 U(A∪B)＝{－2}.故选D.
2.命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A. x∈(－∞，0)，x3＋x＜0 B. x0∈(－∞，0)，＋x0＜0
C. x0∈[0，＋∞)，＋x0＜0 D. x0∈[0，＋∞)，＋x0≥0
答案：C
解析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“ x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是 x0∈[0，＋∞)，＋x0＜0.故选C.
3. “x＞7”是“x＞17”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案：C
解析：依题意，x＞7不能推出x＞17，而x＞17能推出x＞7，所以“x＞7”是“x＞17”的必要不充分条件.故选C.
4.下列命题为真命题的是( )
A.若＞，则a＜b
B.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
C.若c＞a＞b＞0，则＞
D.若a＞b＞c＞0，则＜
答案：C
解析：对于A，例如a＝1，b＝－1时，＞，但a＞b，故A错误；对于B，若a＜b＜0，则a2＞b2，故B错误；对于C，－＝＝，因为c＞a＞b＞0，所以c－a＞0，c－b＞0，a－b＞0，所以＞0，所以＞，故C正确；对于D，－＝＝，因为a＞b＞c＞0，所以a－b＞0，b＋c＞0，所以＞0，所以＞，故D错误.故选C.
5.若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值为( )
A. B.1
C.2 D.4
答案：D
解析：若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为4.故选D.
6.若有意义，则实数x的取值范围是( )
A. B.{3}
C.{x｜x≠3} D.{x｜2≤x≤4}
答案：B
解析：由有意义，得－2x2＋12x－18≥0，即(x－3)2≤0，解得x＝3，所以实数x的取值范围是{3}.故选B.
7.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s(单位：百万元)与新设备运行的时间t(单位：年，t∈N＋)满足s＝当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t＝( )
A.6 B.7
C.8 D.9
答案：B
解析：由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y＝＝当t＜8时，2t＋≥28，当且仅当t＝7时，等号成立，则－2t－＋50≤22；所以当t＝7时，取得最大值，且最大值为22，当t≥8时，－t2＋10t－2＝－(t－5)2＋23， 所以当t＝8时，取得最大值，且最大值为14，故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t＝7.故选B.
8.对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－2，4)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，给出一种解法：由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－2，4)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－4，2)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－4，2)，类比上述解法，若关于x的不等式ax3＋bx2＋cx＋d＞0的解集为(1，4)∪(8，＋∞)，则关于x的不等式－＋－＋d＞0的解集为( )
A.(－∞，－16)∪(－8，－2)
B.(－∞，－4)∪(－2，－1)
C.∪
D.∪
答案：D
解析：若关于x的不等式ax3＋bx2＋cx＋d＞0的解集为(1，4)∪(8，＋∞)，即解不等式ax3＋bx2＋cx＋d＞0可得1＜x＜4或x＞8，由－＋－＋d＞0得a·＋b·＋c·＋d＞0，可得1＜－＜4或－＞8，则x＜0，所以－1＜2x＜－或－＜2x＜0，解得－＜x＜－或－＜x＜0，所以关于x的不等式－＋－＋d＞0的解集为∪.故选D.
二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列关系中，正确的是( )
A. Z B.{} N
C.π∈Q D. {0}
答案：ABD
解析：根据元素与集合的关系可知， Z，π Q，故A正确，C错误；根据集合与集合的关系可知，{}＝{2} N，故B正确；由空集是任何集合的子集知D正确.故选ABD.
10.下列说法正确的是( )
A. x∈R，x2－2x＋1＝0
B. x∈R，都有x3＞x2
C.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
D.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件
答案：AC
解析：对于A，易知当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故A正确；对于B，当x＝－1时，x3＝－1，x2＝1，此时x3＜x2，故B错误；对于C，ab≠0等价于a≠0且b≠0，所以a≠0不能推出ab≠0，反之ab≠0能推出a≠0，故“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故C正确；对于D，当x≥2且y≥2时可得x2≥4，y2≥4，所以x2＋y2≥8，即“x≥2且y≥2”能推出“x2＋y2≥4”，反之，当x2＋y2≥4时，例如x＝0，y＝3符合要求，不能推出x≥2且y≥2，故“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故D错误.故选AC.
11.定义x*y＝(1＋x)(1－y)，则下列说法正确的是( )
A.1*3＝3*2
B.对任意的x＞－2且x≠－1，*＝1
C.若对任意实数x，(x－a－1)*(－2－3x)≥－3a－3恒成立，则实数a的取值范围是{a｜－1＜a＜3}
D.若存在x≥2，使不等式(x－a－1)*(－2－3x)≤－3a－3成立，则实数a的取值范围是
答案：ABD
解析：对于A，1*3＝(1＋1)×(1－3)＝－4，3*2＝(1＋3)×(1－2)＝－4，即1*3＝3*2，故A正确；对于B，*＝＝·＝1，故B正确；对于C，(x－a－1)*(－2－3x)＝(1＋x－a－1)[1－(－2－3x)]＝(x－a)(3＋3x)＝3x2＋(3－3a)x－3a≥－3a－3恒成立，即x2＋(1－a)x＋1≥0恒成立，则Δ＝(1－a)2－4≤0，解得－1≤a≤3，故C错误；对于D，由题可知存在x≥2，使得x2＋(1－a)x＋1≤0成立，即a≥x＋＋1成立，又＝，得实数a的取值范围是，故D正确.故选ABD.
三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在横线上.)
12.设A，B是非空集合，定义：A×B＝{x｜x∈A∪B，且x A∩B}，已知A＝，B＝，则A×B＝ .
答案：{x｜0≤x≤1，或x＞2}
解析：因为A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜x＞1}，所以A∪B＝{x｜x≥0}，A∩B＝{x｜1＜x≤2}，因为A×B＝{x｜x∈A∪B，且x A∩B}，所以A×B＝{x｜0≤x≤1，或x＞2}.
13.某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株.为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1 250元，则每株这种多肉植物的最低售价为 元.
答案：10
解析：设每株多肉植物的售价为x元，则每天可以卖[25＋5(30－x)]株，由题意可得x[25＋5(30－x)]≥1 250，即x2－35x＋250≤0，解得10≤x≤25，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元.
14.已知不等式＋≥9对任意x∈(0，1)恒成立，则正实数a的取值范围是 .
答案：[4，＋∞)
解析：依题意，对任意x∈(0，1)，不等式＋≥9 a≥9(1－x)－恒成立，当x∈(0，1)时，9(1－x)－＝10－(9x＋)≤10－2＝4，当且仅当x＝时取等号，因此a≥4，所以正实数a的取值范围是[4，＋∞).
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.(13分)已知集合A＝{x｜－3≤x≤10}，B＝{x｜2m＋1≤x≤3m－2}，且B≠ .
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.
解：(1)因为B A，且B≠ ，
所以 解得3≤m≤4，
所以实数m的取值范围为[3，4].
(2)因为B≠ ，所以2m＋1≤3m－2，得m≥3.
因为命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠ ，
所以－3≤2m＋1≤10，或－3≤3m－2≤10，
解得－2≤m≤.
综上，实数m的取值范围为［3，］.
16.(15分)已知全集为R，集合A＝{x｜x2－x－6≤0}，集合B＝，集合C＝{x｜2－a＜x＜2＋a}.
(1)求集合( RA)∩B；
(2)在下列条件中任选一个，补充在下面问题中作答.
①A∩C＝C；②B∪C＝B；③C (A∩B).若 ，求实数a的取值范围.
解：(1)解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即A＝[－2，3]，则 RA＝(－∞，－2)∪(3，＋∞)，
由≤0，得(x＋1)(x－4)≤0，且x＋1≠0，解得－1＜x≤4，则B＝(－1，4]，
所以( RA)∩B＝(3，4].
(2)选①，由A∩C＝C，得C A，若2－a≥2＋a，即a≤0时，C＝ A，符合题意；
当C≠ 时，－2≤2－a＜2＋a≤3，解得0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是(－∞，1].
选②，由B∪C＝B，得C B，若2－a≥2＋a，即a≤0时，C＝ B，符合题意；
当C≠ 时，－1≤2－a＜2＋a≤4，解得0＜a≤2，
所以实数a的取值范围是(－∞，2].
选③，由(1)知A∩B＝(－1，3]，则C (－1，3]，
若2－a≥2＋a，即a≤0时，C＝ (－1，3]，符合题意；
当C≠ 时，－1≤2－a＜2＋a≤3，解得0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是(－∞，1].
17.(15分)设y＝mx2＋(1－m)x＋m－2.
(1)若m＝2，求不等式y＞0的解集；
(2)解关于x的不等式mx2＋(1－m)x＋m－2＜m－1(m∈R).
解：(1)若m＝2，则由y＝mx2＋(1－m)x＋m－2＝2x2－x＝x(2x－1)＞0，解得x＜0或x＞，
所以不等式y＞0的解集为(－∞，0)∪(，＋∞).
(2)不等式mx2＋(1－m)x＋m－2＜m－1，
即mx2＋(1－m)x－1＝(mx＋1)(x－1)＜0，
当m＝0时，x－1＜0，解得x＜1，不等式的解集为(－∞，1)；
当m＞0时，不等式的解集为；
当－1＜m＜0时，不等式的解集为(－∞，1)∪；
当m＝－1时，不等式的解集为{x｜x≠1}；
当m＜－1时，不等式的解集为(－∞，－)∪(1，＋∞).
18.(17分)某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知x年内付出的各种维护费用之和y满足二次函数y＝ax2＋c，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
(1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地x年共获得的纯利润之和P(用只含有x的表达式表示)；
(2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户选择哪种方案更好？请说明理由.
解：(1)由题意
所以P＝90x－3x2－243.
(2)选择方案①：
x年时年平均利润为y＝＝90－3x－＝90－3(x＋)≤90－3×2＝36，
当且仅当x＝9时取等号，
此时以138万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为9×36＋138＝462(万元)；
x年时纯利润总和为P＝90x－3x2－243＝－3(x－15)2＋432，当x＝15时，Pmax＝432，
此时以30万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为432＋30＝462(万元).
两种方案获得的最大总利润相同，而方案①时间短，因此选择方案①更好.
19.(17分)问题：正数a，b满足a＋b＝1，求＋的最小值.其中一种解法是：＋＝(a＋b)＝1＋＋＋2≥3＋2，当且仅当＝且a＋b＝1时，即a＝－1且b＝2－时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正数x，y满足xy＝3x＋y，求x＋y的最小值；
(2)若正数a，b，x，y满足－＝1，且a＞b，试比较a2－b2和(x－y)2的大小；
(3)利用(2)的结论，求代数式M＝－的最小值，并求出使得M取得最小值时m的值.
解：(1)由xy＝3x＋y(x＞0，y＞0)可得：＋＝1(x＞0，y＞0)，
所以x＋y＝(x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，
当且仅当时取“＝”，所以x＋y的最小值为4＋2.
(2)因为－＝1，所以a2－b2＝(a2－b2)(－)＝x2＋y2－(＋)，
因为＋≥2＝2｜xy｜＝2xy(当且仅当＝时取“＝”)，
所以x2＋y2－(＋)≤x2＋y2－2xy＝(x－y)2，
所以a2－b2≤(x－y)2，当且仅当即b2x＝a2y时取“＝”.
(3)取x＝，y＝，
由 m≥2，此时(3m－5)－(m－2)＝2m－3＞0，所以x－y＞0.
同时：x2－3y2＝1 x2－＝1.
再取a2＝1，b2＝.
由(2)可知：(x－y)2≥a2－b2＝1－＝，当且仅当取“＝”.
因为时，
即m＝时取“＝”.
因为(x－y)2≥，所以x－y≥，故M＝x－y的最小值为，此时m＝.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
