(共57张PPT)
§1 生活中的变量关系
第二章 函数
学习目标
1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象和函数关系现象.
2.能通过实例辨析依赖关系和函数关系，培养数学建模的核心素养.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
任务一 生活中的依赖关系和函数关系
问题1.某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动，则他所处的高度与摩天轮的转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
提示：此人所处的高度与摩天轮的转动时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟.
问题2.某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他所处的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
提示：每取一个t值，有唯一一个h值与之对应.
问题导思
新知构建
每一个值
唯一确定
函数
自变量
因变量
函数
依赖关系与函数关系的联系是什么？
提示：函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量.
微思考
(链教材P50例1、例2)下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化、冷却时间与温度计示数的关系；
解：冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量.
典例
1
(2)商品的销售额与广告费之间的关系；
解：商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系.
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；
解：家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系.
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.
解：高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量.
综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不是函数关系.
判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考查对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.
规律方法
对点练1.(多选题)下列变量之间的关系是依赖关系而不是函数关系的是
A.圆的面积和它的直径长
B.商品的价格与销售量
C.一个人的身高与体重
D.某同学的学习时间与其学习成绩
√
√
√
返回
任务二 通过图象反映两变量之间的关系
(链教材P51例5)如图所示为某市一天24小时内的气温变化图.
(1)上午8时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
解：上午8时气温约是0 ℃，全天最高气温大约是9 ℃，全天最低气温大约是－2 ℃.
典例
2
(2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？
解：大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃.
(3)大约在什么时刻，气温在0 ℃以上？温度与时间具有怎样的对应关系？两个变量有什么变化趋势？
解：在8时到22时之间，气温在0 ℃以上.自变量0≤t≤24，因变量－2≤T≤9，对于“时间t”的每一个值，都有唯一确定的“气温T”值和它对应.由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温呈先降再升再降的变化趋势.
用图象反映两个变量间的关系是一种常用的表示两个变量关系的方法，在解决此类问题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的依赖关系是如何变化的.
规律方法
对点练2.(1)某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是
√
选项A反映体温逐渐降低，不符合题意；选项B不能反映下午体温又开始上升的过程；选项D不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程.故选C.
(2)某同学居住地距离学校1 km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是
√
该同学从居住地出发，一开始距离学校1 km，先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合适.故选A.
返回
任务三 分段函数
问题导思
(2)这种函数关系的特征是什么？
提示：在给定范围内，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同.
分段函数
一般地，分段函数就是对于自变量x的不同取值范围，有着不同的__________的函数.
新知构建
对应关系
(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)作分段函数的图象时，应分别作出每一段的图象.(3)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
微提醒
典例
3
分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
规律方法
√
√
(2)某旅行社不定期组织旅游团乘大客车去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下(不低于20)，则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止(大客车限乘51人，含司机).设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，则y与x
之间的关系式为_________________________________.
返回
课堂小结
任务
再现 1.依赖关系.2.函数关系.3.通过图象反映两个变量之间的关系.4.分段函数
方法
提炼 数形结合的思想方法
易错
警示 依赖关系与函数关系容易混淆
随堂评价
1.下列变量之间的关系是函数关系的是
A.某一天24小时内的时间与气温
B.光照时间和果树的亩产量
C.降雨量和交通事故发生率
D.一个人的身高与体重
√
易知每一时刻都有唯一的气温与之相对应.故选A.
2.甲、乙两人沿着同一方向去B地，途中两人的速度都是v1或v2(v1＜v2)，甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半的时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，则其中可能正确的图示分析为
A.① B.② C.③ D.④
√
由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D，再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示①正确.故选A.
3.给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系
②二次函数图象上的点的纵坐标y与该点的横坐标x之间的关系
③橘子的产量与气候之间的关系
④某同学在6次考试中的数学成绩y与他的考试号x之间的关系
其中不是函数关系的有__________(填序号).
①③④
①④无关系，③有依赖关系，但不是函数关系，只有②是函数关系.
4.函数的图象如图所示，则它的解析式为______________________.
返回
课时分层评价
1.张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则
A.x，y之间有依赖关系 B.x，y之间有函数关系
C.y是x的函数 D.x是y的函数
√
小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有依赖关系，但不一定是函数关系.故选A.
2.某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是
A.y是x的函数 B.w是y的函数
C.w是z的函数 D.w是x的函数
√
对于A，D，由于同学姓名非数字，故A，D错误；对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误.故选B.
3.俗语“名师出高徒”说明
A.名师与高徒之间具有依赖关系
B.名师与高徒之间具有函数关系
C.名师是高徒的函数
D.高徒是名师的函数
√
“名师出高徒”说明“名师”与“高徒”之间具有依赖关系，一个名师可以对应多个高徒，一个高徒也可以对应多个名师，所以两者不是函数关系.
4.一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)
开始一段时间路程逐渐增大，速度不变，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A.
√
5.电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费.通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象表示为下图中的
√
由题意，当0＜t≤3时，S＝0.2；当3＜t≤4时，S＝0.2＋0.1＝0.3；当4＜t≤5时，S＝0.3＋0.1＝0.4；…，所以对应函数图象为B.
6.如图，由两个高为H的圆锥(去掉底面)构成的玻璃容器，装满水，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，图中某时刻t，水面的高度为h，水面对应圆的直径为d，则下列说法错误的是
A.h是d的函数
B.d是t的函数
C.h是t的函数
D.d是h的函数
√
对于A，当水面对应圆的直径d确定时，水面的高度h有两种
可能，即d的一个值可能对应两个h的值，故h不是d的函数，
故A错误；对于B，当时间t确定时，水面对应圆的直径d也
唯一确定，故d是t的函数，故B正确；对于C，当时间t确定
时，水面的高度h也唯一确定，故h是t的函数，故C正确；对于D，当水面高度h确定时，水面对应圆的直径d也唯一确定，故d是h的函数，故D正确.故选A.
7.当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，________________是自变量，______________是因变量.
圆柱底面半径
圆柱的体积
8.从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
饰用K金的K数与含金量之间是_______关系，K数越大，含金量_______.
K数 24 K 22 K 21 K 18 K 14 K
含金量％ 99以上 91.7 87.5 75 58.5
K数 12 K 10 K 9 K 8 K 6 K
含金量％ 50 41.66 37.5 33.34 25
函数
越高
9.如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压铸成了一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为_______(填序号).
高减小但圆柱钢锭的体积不变.
②
10.(10分)如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系.骑车者9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
解：最初到达离家最远的地方的时间是12：00，离家
30千米.
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
解：10：30开始第一次休息，休息了半小时.
(3)第一次休息时，离家多远？
解：第一次休息时，离家17千米.
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
解：11：00至12：00，他骑了13千米.
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速
度分别是多少？
解：9：00～10：00的平均速度是10千米/时；
10：00～10：30的平均速度是14千米/时.
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解：12：00～13：00停止前进，并休息用午餐.
11.星期天，小明从家出发出去散步，图中描述了他散步过
程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关
系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是A.从家
出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C.从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
√
水平线段表明小明离家的距离始终是300 m，然后离家距离达到500 m，故可能情况是小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了.故选B.
12.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是
√
13.(多选题)如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意
图，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，
油面高度为h，油面宽度为w，油量为v(h，w，v为变
量)，则下列说法正确的是
A.w是v的函数 B.v是w的函数
C.h是v的函数 D.v是h的函数
√
√
√
根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会
影响油面的宽度w，从而影响油量v，对于A，由于v
确定，故h确定，w就确定，符合函数的定义，故A正
确；对于B，由于w确定，h有两个(上下对称)，所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误；对于C，由于v确定，故h确定，符合函数的定义，故C正确；对于D，由于h确定，故v确定，符合函数的定义，故D正确.故选ACD.
14.(10分)(新情境)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
提出概念所
用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接
受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
解：画出图如图所示：
此图反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力
y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量.
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
提出概念所
用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接
受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
解：由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生的接受能力是59.
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
解：提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强.
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
解：当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低.
提出概念所
用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接
受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
15.(5分)如图，一高为H的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为T.若鱼缸水深h时，匀速注水所用的时间为t，则满足函数鱼缸水深h与注水时间t的图象大致是
√
将容器看作一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的Δt时间，高度Δh的变化较大，即h的变化率较大，到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，h的变化率较小，接近于球体的顶端时，h的变化率又较大.故选D.
16.(15分)有研究表明，声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，当空气的温度变化，声音的传播速度也将随之变化.声音在空气中传播速度与空气温度关系的一些数据如下表所示：
(1)指出在这个变化过程中的自变量和因变量；
解：由题设可得：当空气的温度变化，声音的传播速度也将随着变化，
因此自变量是温度，因变量是声速.
温度/℃ … －20 －10 0 10 20 30 …
声速/(m/s) … 318 324 330 336 342 348 …
(2)当声音在空气中传播速度为342 m/s时，此时空气的温度是多少？
解：根据题设中给出的数据表可知：当传播速度为342 m/s时，空气的温度为20 ℃.
温度/℃ … －20 －10 0 10 20 30 …
声速/(m/s) … 318 324 330 336 342 348 …
(3)该数据表明：空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大(或减少)多少？
解：因为324－318＝330－324＝336－330＝342－336＝348－342＝6，
所以空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大6 m/s.
温度/℃ … －20 －10 0 10 20 30 …
声速/(m/s) … 318 324 330 336 342 348 …
返回§1 生活中的变量关系
学习目标 1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象和函数关系现象. 2.能通过实例辨析依赖关系和函数关系，培养数学建模的核心素养. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
任务一 生活中的依赖关系和函数关系
问题1.某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动，则他所处的高度与摩天轮的转动时间有依赖关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？
提示：此人所处的高度与摩天轮的转动时间有依赖关系.当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟.
问题2.某人坐摩天轮一圈用时8分钟.摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间t当作自变量，他所处的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？
提示：每取一个t值，有唯一一个h值与之对应.
[微思考] 依赖关系与函数关系的联系是什么？
提示：函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.要确定变量的函数关系，需先分清谁是自变量，谁是因变量.
(链教材P50例1、例2)下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化、冷却时间与温度计示数的关系；
(2)商品的销售额与广告费之间的关系；
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系；
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系.
解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数的定义知，二者之间存在函数关系，且冷却时间是自变量，温度计示数是因变量.
(2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依赖关系，但商品的销售额还受其他因素的影响，比如产品的质量、价格、售后服务等，所以商品的销售额与广告费之间不是函数关系.
(3)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依赖关系，更不具有函数关系.
(4)高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量.
综上可知，(1)(4)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中变量间存在依赖关系，但不是函数关系；(3)中两个变量不存在依赖关系，也不是函数关系.
判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考查对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.
对点练1.(多选题)下列变量之间的关系是依赖关系而不是函数关系的是( )
A.圆的面积和它的直径长
B.商品的价格与销售量
C.一个人的身高与体重
D.某同学的学习时间与其学习成绩
答案：BCD
解析：对于A，因为圆的面积S与直径d存在确定的数量关系即S＝，因此圆的面积与其直径是函数关系；对于B，一般情况下，商品的价格越低销售量越大，但只是依赖关系，没有确定的数量关系，不是函数关系；对于C，一个人的身高与体重有一定的关系，但体重并不完全由身高来决定，还受人的胖瘦等因素的影响，因此一个人的身高与体重之间存在依赖关系，但不是函数关系；对于D，某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系，但学习成绩并不完全由学习时间而定，还受其他因素的影响，如这位同学的学习效率、智力等，因此某同学的学习时间与其学习成绩之间存在依赖关系，但不是函数关系.故选BCD.
任务二 通过图象反映两变量之间的关系
(链教材P51例5)如图所示为某市一天24小时内的气温变化图.
(1)上午8时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0 ℃？
(3)大约在什么时刻，气温在0 ℃以上？温度与时间具有怎样的对应关系？两个变量有什么变化趋势？
解：(1)上午8时气温约是0 ℃，全天最高气温大约是9 ℃，全天最低气温大约是－2 ℃.
(2)大约在0时、8时和22时，气温为0 ℃.
(3)在8时到22时之间，气温在0 ℃以上.自变量0≤t≤24，因变量－2≤T≤9，对于“时间t”的每一个值，都有唯一确定的“气温T”值和它对应.由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温呈先降再升再降的变化趋势.
用图象反映两个变量间的关系是一种常用的表示两个变量关系的方法，在解决此类问题时要能从图中找到两个变量，并能判断它们之间的依赖关系是如何变化的.
对点练2.(1)某天0时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常(正常体温为37 ℃)，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天(0时至24时)体温变化情况的图象是( )
(2)某同学居住地距离学校1 km，某天早晨到校时为了赶时间他先跑步3分钟，到早餐店买早餐耽搁1分钟后步行到达学校，与此事实吻合最好的图象是( )
答案：(1)C (2)A
解析：(1)选项A反映体温逐渐降低，不符合题意；选项B不能反映下午体温又开始上升的过程；选项D不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程.故选C.
(2)该同学从居住地出发，一开始距离学校1 km，先跑步3分钟，再买早餐耽搁1分钟，最后步行，速度比跑步要慢一些，所以相对而言，A选项更合适.故选A.
任务三 分段函数
问题3.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：5 km以内(含5 km)，票价2元；5 km以上，每增加5 km，票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).已知两个相邻的站点间相距1 km，沿途(包括起点站和终点站)有11个站点.
(1)从起点站出发，乘坐公共汽车的行程x(km)与票价y(元)间的函数关系是什么？
(2)这种函数关系的特征是什么？
提示：(1)当0＜x≤5时，y＝2；当5＜x≤10时，y＝3，故y＝
(2)在给定范围内，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同.
分段函数
一般地，分段函数就是对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.
[微提醒] (1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)作分段函数的图象时，应分别作出每一段的图象.(3)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
(链教材P52例6)某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)关于用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象写出y关于x的函数关系式.
解：由图象可知y＝
分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式.
对点练3.(1)(多选题)下列给出的函数是分段函数的是( )
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
(2)某旅行社不定期组织旅游团乘大客车去风景区旅游，若旅游团人数在30或30以下(不低于20)，则收取费用180元/人；若旅游团人数大于30，则给予如下优惠：每多1人，费用每人减少3元，直到达到满额50人为止(大客车限乘51人，含司机).设旅游团人数为x时每人应交的费用为y元，则y与x之间的关系式为 .
答案：(1)AD (2)y＝
解析：(1)B中的函数y＝ 中，当x＝4时，有两个函数值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C中的函数y＝ 中，当x＝1时，有两个函数值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A，D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数.故选AD.
(2)当20≤x≤30时，y＝180，
当30＜x≤50时，y＝180－3(x－30)＝270－3x，
即y＝
任务 再现 1.依赖关系.2.函数关系.3.通过图象反映两个变量之间的关系.4.分段函数
方法 提炼 数形结合的思想方法
易错 警示 依赖关系与函数关系容易混淆
1.下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A.某一天24小时内的时间与气温
B.光照时间和果树的亩产量
C.降雨量和交通事故发生率
D.一个人的身高与体重
答案：A
解析：易知每一时刻都有唯一的气温与之相对应.故选A.
2.甲、乙两人沿着同一方向去B地，途中两人的速度都是v1或v2(v1＜v2)，甲一半的路程使用速度v1，另一半的路程使用速度v2；乙一半的时间使用速度v1，另一半的时间使用速度v2，关于甲、乙二人从A地到达B地的路程与时间的函数图象及关系，有下面4个不同的图示分析(其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程)，则其中可能正确的图示分析为( )
A.① B.②
C.③ D.④
答案：A
解析：由题意可知，开始时，甲、乙速度均为v1，所以图象是重合的线段，由此排除C，D，再根据v1＜v2可知两人的运动情况均是先慢后快，图象是折线且前“缓”后“陡”，故图示①正确.故选A.
3.给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系
②二次函数图象上的点的纵坐标y与该点的横坐标x之间的关系
③橘子的产量与气候之间的关系
④某同学在6次考试中的数学成绩y与他的考试号x之间的关系
其中不是函数关系的有 (填序号).
答案：①③④
解析：①④无关系，③有依赖关系，但不是函数关系，只有②是函数关系.
4.函数的图象如图所示，则它的解析式为 .
答案：y＝
课时分层评价15 生活中的变量关系
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则( )
A.x，y之间有依赖关系 B.x，y之间有函数关系
C.y是x的函数 D.x是y的函数
答案：A
解析：小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有依赖关系，但不一定是函数关系.故选A.
2.某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是( )
A.y是x的函数 B.w是y的函数
C.w是z的函数 D.w是x的函数
答案：B
解析：对于A，D，由于同学姓名非数字，故A，D错误；对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误.故选B.
3.俗语“名师出高徒”说明( )
A.名师与高徒之间具有依赖关系
B.名师与高徒之间具有函数关系
C.名师是高徒的函数
D.高徒是名师的函数
答案：A
解析：“名师出高徒”说明“名师”与“高徒”之间具有依赖关系，一个名师可以对应多个高徒，一个高徒也可以对应多个名师，所以两者不是函数关系.
4.一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间.图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)( )
答案：A
解析：开始一段时间路程逐渐增大，速度不变，图象是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图象与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图象知选A.
5.电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟后，每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟按1分钟计费.通话收费S(元)与通话时间t(分钟)的函数图象表示为下图中的( )
答案：B
解析：由题意，当0＜t≤3时，S＝0.2；当3＜t≤4时，S＝0.2＋0.1＝0.3；当4＜t≤5时，S＝0.3＋0.1＝0.4；…，所以对应函数图象为B.
6.如图，由两个高为H的圆锥(去掉底面)构成的玻璃容器，装满水，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，图中某时刻t，水面的高度为h，水面对应圆的直径为d，则下列说法错误的是( )
A.h是d的函数 B.d是t的函数
C.h是t的函数 D.d是h的函数
答案：A
解析：对于A，当水面对应圆的直径d确定时，水面的高度h有两种可能，即d的一个值可能对应两个h的值，故h不是d的函数，故A错误；对于B，当时间t确定时，水面对应圆的直径d也唯一确定，故d是t的函数，故B正确；对于C，当时间t确定时，水面的高度h也唯一确定，故h是t的函数，故C正确；对于D，当水面高度h确定时，水面对应圆的直径d也唯一确定，故d是h的函数，故D正确.故选A.
7.当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量.
答案：圆柱底面半径 圆柱的体积
8.从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数 24 K 22 K 21 K 18 K 14 K
含金量％ 99以上 91.7 87.5 75 58.5
K数 12 K 10 K 9 K 8 K 6 K
含金量％ 50 41.66 37.5 33.34 25
饰用K金的K数与含金量之间是 关系，K数越大，含金量 .
答案：函数 越高
9.如图，将一个“瘦长”的圆柱钢锭经过多次锻压铸成了一个“矮胖”的圆柱钢锭(不计损耗)，则在锻压过程中，圆柱体积与高的关系可用图象表示为 (填序号).
答案：②
解析：高减小但圆柱钢锭的体积不变.
10.(10分)如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系.骑车者9时离开家，15时回到家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12：00，离家30千米.
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时.
(3)第一次休息时，离家17千米.
(4)11：00至12：00，他骑了13千米.
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；
10：00～10：30的平均速度是14千米/时.
(6)12：00～13：00停止前进，并休息用午餐.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.星期天，小明从家出发出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是( )
A.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了
B.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了
C.从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了
D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18 min后才回家
答案：B
解析：水平线段表明小明离家的距离始终是300 m，然后离家距离达到500 m，故可能情况是小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了.故选B.
12.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间t之间的函数图象大致是( )
答案：D
解析：小明沿走时，与O点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点O的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点O的距离越来越大.故D选项的函数图象符合题意.故选D.
13.(多选题)如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r(d，r为常量)，油面高度为h，油面宽度为w，油量为v(h，w，v为变量)，则下列说法正确的是( )
A.w是v的函数 B.v是w的函数
C.h是v的函数 D.v是h的函数
答案：ACD
解析：根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，对于A，由于v确定，故h确定，w就确定，符合函数的定义，故A正确；对于B，由于w确定，h有两个(上下对称)，所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误；对于C，由于v确定，故h确定，符合函数的定义，故C正确；对于D，由于h确定，故v确定，符合函数的定义，故D正确.故选ACD.
14.(10分)(新情境)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分钟)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)
提出概念所 用时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20
对概念的接 受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？
(4)从表格中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
解：(1)画出图如图所示：
此图反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系；其中x是自变量，y是因变量.
(2)由题中表格可知，当提出概念所用时间为10分钟时，学生的接受能力是59.
(3)提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强.
(4)当x在2分钟至13分钟的范围内时，学生的接受能力逐步增强；当x在13分钟至20分钟的范围内时，学生的接受能力逐步降低.
15.(5分)如图，一高为H的球形鱼缸，匀速注满水所用时间为T.若鱼缸水深h时，匀速注水所用的时间为t，则满足函数鱼缸水深h与注水时间t的图象大致是( )
答案：D
解析：将容器看作一个球体，在刚开始注水时，由于球体的截面积较小，对于相同的Δt时间，高度Δh的变化较大，即h的变化率较大，到水注入球体的一半时，由于球体的截面积较大，h的变化率较小，接近于球体的顶端时，h的变化率又较大.故选D.
16.(15分)有研究表明，声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，当空气的温度变化，声音的传播速度也将随之变化.声音在空气中传播速度与空气温度关系的一些数据如下表所示：
温度/℃ … －20 －10 0 10 20 30 …
声速/(m/s) … 318 324 330 336 342 348 …
(1)指出在这个变化过程中的自变量和因变量；
(2)当声音在空气中传播速度为342 m/s时，此时空气的温度是多少？
(3)该数据表明：空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大(或减少)多少？
(4)用y表示声音在空气中的传播速度，x表示空气温度，根据(3)中你发现的规律，直接写出y与x之间的关系式.
解：(1)由题设可得：当空气的温度变化，声音的传播速度也将随着变化，
因此自变量是温度，因变量是声速.
(2)根据题设中给出的数据表可知：当传播速度为342 m/s时，空气的温度为20 ℃.
(3)因为324－318＝330－324＝336－330＝342－336＝348－342＝6，
所以空气的温度每升高10 ℃，声音的传播速度将增大6 m/s.
(4)数据表对应的点如图所示：
故设y与x之间的关系为y＝kx＋b，
所以
所以y＝0.6x＋330.
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