(共57张PPT)
第2课时 函数的单调性和最值的应用
第二章 §3 函数的单调性和最值
学习目标
1.掌握用函数单调性的定义证明或判断单调性，培养数学抽象的核心素养.
2.会利用函数的单调性解决求最值、解不等式、比较大小等问题，培养数学运算的核心素养.
任务一 判断(证明)函数的单调性
典例
1
利用定义证明函数单调性的步骤
规律方法
返回
任务二 利用函数的单调性求最值
典例
2
函数的最大(小)值与单调性的关系
1.若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
[注意] (1)求最值勿忘求定义域.(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意.
规律方法
返回
任务三 利用函数的单调性比较大小或解不等式
典例
3
√
(2)定义在R上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为
A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(－1，2)
C.(1，2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
√
因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数f(x)在R上单调递增，根据题设不等式关系，有2a－2＜a2－a，即a2－3a＋2＝(a－1)(a－2)＞0，解得a＞2或a＜1，所以实数a的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞).故选A.
利用单调性比较大小或解不等式的方法
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
规律方法
对点练3.(1)函数y＝f(x)是实数集上的严格增函数，且a＋b＞0，则
A.f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)
B.f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
C.f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)
D.f(a)－f(b)＜f(－a)－f(－b)
√
因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又因为y＝f(x)在R上是增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b).故选A.
(2)若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(m2)＞f(－m)，则实数m的取值范围是
A.(－∞，－1) B.(0，＋∞)
C.(－1，0) D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)
√
因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(m2)＞f(－m)，所以m2＜－m，即m2＋m＜0，解得－1＜m＜0.故选C.
返回
任务四 利用函数的单调性或最值求参数范围
√
典例
4
√
已知函数的单调性(最值)求参数的取值范围的一般方法
1.将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围.
2.运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围.
规律方法
√
18
返回
课堂小结
任务
再现 1.定义法证明、判断函数的单调性.2.利用函数的单调性求最值.3.利用函数的单调性比较大小、解不等式.4.利用函数的单调性或最值求参数范围
方法
提炼 定义法和数形结合法
易错
警示 1.用定义证明单调性时化简不彻底.2.利用函数单调性解决问题时忽略定义域
随堂评价
√
2.已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(2)，f(π)，f(3)的大小关 系是
A.f(π)＞f(2)＞f(3) B.f(3)＞f(π)＞f(2)
C.f(2)＞f(3)＞f(π) D.f(π)＞f(3)＞f(2)
√
因为f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，且π＞3＞2，所以f(π)＞f(3)＞f(2).故选D.
√
4.函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝_____.
1
由题意得，a≠0.若a＜0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a＜0，舍去；若a＞0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.
返回
课时分层评价
√
选项B，C在[1，4]上均为增函数，选项A，D在[1，4]上均为减函数，代入端点值，可知A正确.故选A.
2.(多选题)若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是
A.2 B.－2
C.1 D.0
√
由题意得，a≠0.当a＞0时，y＝ax＋1在[1，2]上单调递增，则2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a＜0时，y＝ax＋1在[1，2]上单调递减，则a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2.故选AB.
√
√
√
由一次函数和二次函数的性质可知，函数f(x)的图象连续，
在R上单调递减，如图所示，若f(x－4)＞f(2x－3)，则x－4
＜2x－3，解得x＞－1，所以实数x的取值范围是(－1，＋∞).
故选A.
√
√
√
√
(－∞，0)∪(4，＋∞)
9.(开放题)定义在R上的函数f(x)，给出下列三个论断：①f(x)在R上单调递增；②x＞1；③f(x)＞f(1).以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：______推出_______________.(把序号写在横线上)
①②推出③；证明：当f(x)在R上单调递增且当x＞1时，有f(x)＞f(1)，得证.①③推出②；证明：当f(x)在R上单调递增且当f(x)＞f(1)时，有x＞1，得证.②③无法推出①；取f(x)＝(x－1)2，此时满足x＞1且f(x)＞f(1)，但不满足f(x)在R上单调递增.
①②
③(或①③ ②)
√
√
√
13.(开放题)写出使得函数y＝x2－2x＋2的值域为[1，2]的一个定义域___________________.
[1，2](答案不唯一)
由y＝x2－2x＋2＝1得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，得x＝1，由y＝x2－2x＋2＝2得x2－2x＝0，即x＝0或x＝2，则根据二次函数的性质可举例定义域为[1，2].
√
√
√
返回第2课时 函数的单调性和最值的应用
学习目标 1.掌握用函数单调性的定义证明或判断单调性，培养数学抽象的核心素养. 2.会利用函数的单调性解决求最值、解不等式、比较大小等问题，培养数学运算的核心素养.
任务一 判断(证明)函数的单调性
(链教材P64例5)试用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数.
证明：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－＝
＝.
因为x1＜x2＜0，
所以x2－x1＞0，x2＋x1＜0，＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2).
所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数.
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝.
因为0＜x1＜x2，
所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，
即f(x1)＞ f(x2).
所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数.
利用定义证明函数单调性的步骤
对点练1.试用函数单调性的定义证明：函数f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上是增函数.
证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
由f(x1)－f(x2)＝(x1－)－(x2－)＝(x1－x2)－＝(x1－x2)(1＋)，
因为0＜x1＜x2，
故1＋＞0，x1－x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，
即函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数.
任务二 利用函数的单调性求最值
已知函数f(x)＝，且f(1)＝10.
(1)判断函数f(x)在区间[3，＋∞)上的单调性，并用定义法证明；
(2)求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.
解：(1)f(x)在区间[3，＋∞)上单调递增.证明如下：
函数f(x)＝，因为f(1)＝10，
所以f(1)＝＝10，则a＝9.
所以f(x)＝＝x＋，设3≤x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－
＝，
由3≤x1＜x2，则x1x2－9＞0，x1－x2＜0，x1x2＞0，
所以＜0 f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在区间[3，＋∞)上单调递增.
(2)由(1)可知f(x)在区间[3，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间[3，6]上单调递增，
所以f(x)min＝f(3)＝3＋＝6，f(x)max＝f(6)＝6＋＝，
则函数f(x)在区间[3，6]上的最大值为，最小值为6.
函数的最大(小)值与单调性的关系
1.若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
2.若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.
[注意] (1)求最值勿忘求定义域.(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意.
对点练2.已知函数f(x)＝.
(1)先判断函数f(x)在区间上的单调性，再用定义法证明；
(2)求函数f(x)在区间[1，5]上的最值.
解：(1)f(x)＝上单调递减.证明如下：
令＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝，
又3x1－1＞0，3x2－1＞0，x2－x1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，故f(x1)＞f(x2)，
则f(x)在区间上单调递减.
(2)由(1)知：f(x)在区间上单调递减，
所以f(x)在区间[1，5]上单调递减，
即f(x)max＝f(1)＝＝，
f(x)min＝f(5)＝＝，
故函数f(x)在区间[1，5]上的最大值为f(1)＝，最小值为f(5)＝.
任务三 利用函数的单调性比较大小或解不等式
(1)已知对f(x)定义域R内的任意实数x1，x2，且x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0恒成立，
设a＝f，b＝f(3)，c＝f(5)，则( )
A.b＜a＜c B.c＜b＜a
C.b＜c＜a D.a＜b＜c
(2)定义在R上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，1)∪(2，＋∞)
B.(－1，2)
C.(1，2)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
答案：(1)D (2)A
解析：(1)因为对f(x)定义域内任意实数x1，x2(x1≠x2)，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＞0，所以函数f(x)在R上是增函数，所以f＜f(3)＜f(5)，即a＜b＜c.故选D.
(2)因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，所以函数f(x)在R上单调递增，根据题设不等式关系，有2a－2＜a2－a，即a2－3a＋2＝(a－1)(a－2)＞0，解得a＞2或a＜1，所以实数a的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞).故选A.
利用单调性比较大小或解不等式的方法
在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
对点练3.(1)函数y＝f(x)是实数集上的严格增函数，且a＋b＞0，则( )
A.f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)
B.f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)
C.f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)
D.f(a)－f(b)＜f(－a)－f(－b)
(2)若函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(m2)＞f(－m)，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(0，＋∞)
C.(－1，0) D.(－∞，－1)∪(0，＋∞)
答案：(1)A (2)C
解析：(1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又因为y＝f(x)在R上是增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，所以f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b).故选A.
(2)因为函数y＝f(x)在R上单调递减，且f(m2)＞f(－m)，所以m2＜－m，即m2＋m＜0，解得－1＜m＜0.故选C.
任务四 利用函数的单调性或最值求参数范围
(1)已知函数h(x)＝x2－kx－8在[5，10]上是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C.(－∞，10]∪[20，＋∞) D.
(2)已知函数f(x)＝2x2－ax＋1，x∈[－1，a]，且f(x)的最大值为f(a)，则实数a的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.[3，＋∞)
答案：(1)C (2)C
解析：(1)函数h(x)＝x2－kx－8的对称轴为x＝，若函数h(x)＝x2－kx－8在上是单调递增函数，则≤5；若函数h(x)＝x2－kx－8在上是单调递减函数，则≥10，解得k≤10或k≥20，故实数k的取值范围是∪.故选C.
(2)由题意可得函数的对称轴方程为x＝，当－1＜a≤0时，f(x)在上单调递减，则f(x)max＝f(－1)，不符合题意；当a＞0时，要使f(x)的最大值为f(a)，则f(a)≥f(－1)，即2a2－a2＋1≥2＋a＋1，解得a≤－1(舍去)，或a≥2，所以实数a的取值范围是.故选C.
已知函数的单调性(最值)求参数的取值范围的一般方法
1.将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围.
2.运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围.
对点练4.(1)已知函数f(x)＝在上单调递增，则实数m的取值范围为( )
A.∪
B.
C.∪
D.
(2)已知反比例函数y＝和y＝，当2≤x≤3时，函数y＝的最小值为m－4，函数y＝的最大值为m，则k的值是 .
答案：(1)A (2)18
解析：(1)画出分段函数f(x)＝的图象，如图所示，所以要使函数f(x)在上单调递增，则m≥1或m＋1≤－1，解得m≥1或m≤－2，所以实数m的取值范围为∪.故选A.
(2)由k＞0可知当2≤x≤3时，函数y＝和y＝均单调递减，所以当x＝3时函数y＝
取最小值为＝m－4；当x＝2时函数y＝＝m，解得m＝10，k＝18.
任务 再现 1.定义法证明、判断函数的单调性.2.利用函数的单调性求最值.3.利用函数的单调性比较大小、解不等式.4.利用函数的单调性或最值求参数范围
方法 提炼 定义法和数形结合法
易错 警示 1.用定义证明单调性时化简不彻底.2.利用函数单调性解决问题时忽略定义域
1.y＝＋1在[3，4]上的最大值为( )
A.2 B.
C. D.4
答案：A
解析：y＝＋1在[3，4]上是减函数，所以当x＝3时，取得最大值为＋1＝2.故选A.
2.已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(2)，f(π)，f(3)的大小关系是( )
A.f(π)＞f(2)＞f(3) B.f(3)＞f(π)＞f(2)
C.f(2)＞f(3)＞f(π) D.f(π)＞f(3)＞f(2)
答案：D
解析：因为f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，且π＞3＞2，所以f(π)＞f(3)＞f(2).故选D.
3.已知函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意可知解得x∈.故选D.
4.函数y＝ax＋1在区间[1，3]上的最大值为4，则a＝ .
答案：1
解析：由题意得，a≠0.若a＜0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不满足a＜0，舍去；若a＞0，则函数y＝ax＋1在区间[1，3]上是增函数，并且在区间的右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.综上，a＝1.
课时分层评价19 函数的单调性和最值的应用
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.下列函数在[1，4]上最大值为3的是( )
A.y＝＋2 B.y＝3x－2
C.y＝x2 D.y＝1－x
答案：A
解析：选项B，C在[1，4]上均为增函数，选项A，D在[1，4]上均为减函数，代入端点值，可知A正确.故选A.
2.(多选题)若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是( )
A.2 B.－2
C.1 D.0
答案：AB
解析：由题意得，a≠0.当a＞0时，y＝ax＋1在[1，2]上单调递增，则2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；当a＜0时，y＝ax＋1在[1，2]上单调递减，则a＋1－(2a＋1)＝2，即a＝－2.故选AB.
3.已知f(x)为R上的增函数，则满足f＞ f(1)的实数x的取值范围是( )
A.(－∞，1)
B.(－1，0)∪(0，1)
C.(0，1)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：因为f(x)为R上的增函数，所以由f＞ f(1)，得＞1，即－1＝＞0，即x(1－x)＞0，解得0＜x＜1，故实数x的取值范围是(0，1).故选C.
4.已知函数f(x)＝若f(x－4)＞f(2x－3)，则实数x的取值范围是( )
A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1)
C.(－1，4) D.(－∞，1)
答案：A
解析：由一次函数和二次函数的性质可知，函数f(x)的图象连续，在R上单调递减，如图所示，若f(x－4)＞f(2x－3)，则x－4＜2x－3，解得x＞－1，所以实数x的取值范围是(－1，＋∞).故选A.
5.(多选题)已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是( )
A.a＝1，b＞ B.a＞4，b＝2
C.a＝－1，b＝2 D.a＝2，b＝－1
答案：AC
解析：若f(x)＝＝b＋在(－2，＋∞)上单调递增，则满足a－2b＜0，即a＜2b，故a＝1，b＞满足，a＝－1，b＝2满足.故选AC.
6.(多选题)已知函数f(x)＝，下列选项正确的是( )
A.若f(x)＝2，则x＝14
B.函数f(x)在定义域内是减函数
C.若x∈时，则f(x)的值域是
D.若x∈N，则函数f(x)有最小值也有最大值
答案：AD
解析：对于A，由f(x)＝2，可得＝2，解得x＝14，故A正确；对于B，f(x)＝＝1＋的定义域为(－∞，6)∪(6，＋∞)，所以f(x)在(－∞，6)上单调递减，且f(x)＜1，所以f(x)在(6，＋∞)上单调递减，且f(x)＞1，故f(x)在(－∞，6)∪(6，＋∞)上不是单调函数，故B错误；对于C，由B可得，当x∈[2，6)时，f(x)≤f(2)＝－1，当x∈(6，8]时，f(x)≥f(8)＝5，所以f(x)的值域是(－∞，－1]∪[5，＋∞)，当x＝6时，f(x)无意义，故C错误；对于D，当x∈N且x∈时，－7＝f(5)≤f(x)≤f(0)＝－，当x∈N且x∈(6，＋∞)时，1＜f(x)≤f(7)＝9，所以若x∈N，则函数f(x)有最小值也有最大值，故D正确.故选AD.
7.若函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f，f，f的大小关系为 .
答案：f＜f＜f
解析：因为函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且＜＜，所以有f＜f＜f.
8.已知函数f(x)是R上的减函数，A(－1，1)，B(3，－1)是其图象上的两点，那么＞1的解集是 .
答案：(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析：由＞1，得f(x－1)＞1，或f(x－1)＜－1，因为函数f(x)是R上的减函数，f(－1)＝1，f(3)＝－1，所以有x－1＜－1，或x－1＞3，所以x＜0，或x＞4，所以｜f(x－1)｜＞1的解集为(－∞，0)∪(4，＋∞).
9.(开放题)定义在R上的函数f(x)，给出下列三个论断：①f(x)在R上单调递增；②x＞1；③f(x)＞f(1).以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题： 推出 .(把序号写在横线上)
答案：①② ③(或①③ ②)
解析：①②推出③；证明：当f(x)在R上单调递增且当x＞1时，有f(x)＞f(1)，得证.①③推出②；证明：当f(x)在R上单调递增且当f(x)＞f(1)时，有x＞1，得证.②③无法推出①；取f(x)＝(x－1)2，此时满足x＞1且f(x)＞f(1)，但不满足f(x)在R上单调递增.
10.(10分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(f(1))的值；
(2)若g(x)＝3f(x)＋，试证明函数g(x)在(0，1)上是减函数.
解：(1)因为f(1)＝＝3，
所以f(f(1))＝f(3)＝＝.
(2)证明：g(x)＝3f(x)＋＝＝7， x1，x2∈(0，1)且x1＜x2，
g(x2)－g(x1)＝7＝7(x2－x1)＝.
因为0＜x1＜x2＜1，
所以0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，x2－x1＞0.
所以g(x2)－g(x1)＜0，g(x2)＜g(x1).
因此函数g(x)在(0，1)上是减函数.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上满足：对任意x1，x2∈R，有 ＜0，则下列不等式成立的是( )
A.f＞ f(a2－a＋1) B.f≥f(a2－a＋1)
C.f＜f(a2－a＋1) D.f≤f(a2－a＋1)
答案：B
解析：由已知得，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且a2－a＋1＝＋≥＞0，所以f(a2－a＋1)≤ f.故选B.
12.(新定义)(多选题)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＞0，则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个定义域为(0，＋∞)的函数，其中能被称为“理想函数”的有( )
A.f(x)＝1 B.f(x)＝x2
C.f(x)＝x2＋1 D.f(x)＝x2＋x
答案：BD
解析：由题可得，当x1≠x2时，恒有＞0，令x1＞x2，故x2f(x1)－x1f(x2)＞0，又f(x)定义在(0，＋∞)上，故＞，即在(0，＋∞)上单调递增.对于A，＝在(0，＋∞)上单调递减，故A不正确；对于B，＝x在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C不正确；对于D，＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，故D正确.故选BD.
13.(开放题)写出使得函数y＝x2－2x＋2的值域为[1，2]的一个定义域 .
答案：[1，2](答案不唯一)
解析：由y＝x2－2x＋2＝1得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，得x＝1，由y＝x2－2x＋2＝2得x2－2x＝0，即x＝0或x＝2，则根据二次函数的性质可举例定义域为[1，2].
14.(10分)已知函数f(x)＝经过，两点.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(0，1)上的单调性并用定义进行证明；
(3)若f(x)≤m对任意x∈［，］恒成立，求实数m的取值范围.
解：(1)因为f(－1)＝－2，f＝，
所以
所以f(x)＝x＋.
(2)f(x)在(0，1)上单调递减，证明如下：
任取x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为x1，x2∈(0，1)，且x1＜x2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，所以x1x2－1＜0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在(0，1)上单调递减.
(3)由f(x)≤m对任意x∈［，］恒成立得m≥f(x)max，
由(2)知f(x)在(0，1)上单调递减，
所以函数f(x)在x∈［，］上的最大值为f＝，所以m≥，
所以实数m的取值范围为.
15.(5分)(多选题)已知函数f(x)满足：任意给定x∈R，函数f(x)关于x＝2对称，且任意x1，x2∈，＜0，则下列结论正确的是( )
A.f≤f
B.任意给定x∈R，f(x)≤f(2)
C.f(0)＞f(3)
D.若f(m)＞f(－1)，则－1＜m＜5
答案：ABD
解析：任意给定x∈R，函数f(x)关于x＝2对称，又任意x1，x2∈，＜0，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，故函数f(x)在x＝2处取最大值，故B正确；f(0)＝f(4)＜f(3)，故C错误；－a2＋a＋1＝－＋≤，所以f(－a2＋a＋1)≤f，故A正确；若f(m)＞f(－1)，则＜，解得－1＜m＜5，故D正确.故选ABD.
16.(15分)已知函数f(x)＝.
(1)用单调性的定义证明函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
(2)是否存在实数λ，使得当f(x)的定义域为(m＞0，n＞0)时，函数f(x)的值域为.若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在说明理由.
解：(1)证明：f(x)＝＝1－，设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝1－－＝－＝＝，
因为0＜x1＜x2，
所以x1－x2＜0，x1＋x2＞0，＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
(2)由(1)可知，f(x)在上单调递增，
若存在λ使得f(x)的值域为，
则
因为m＞0，n＞0，所以x2－λx＋1＝0存在两个不相等的正根，
所以解得λ＞2，
所以存在λ∈使得f(x)的定义域为时，值域为.
学生用书 第66页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
