(共68张PPT)
第1课时 函数的单调性和最值
第二章 §3 函数的单调性和最值
学习目标
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.
2.理解函数单调区间、单调性等概念，培养数学抽象的核心素养.
3.能根据函数的图象求单调区间和最值，培养直观想象的核心素养.
任务一 增函数、减函数的概念
问题1.如图是函数f(x)(x∈[－6，9])的图象.直观上你可以看出，对于区间[－6，－5]，[－2，1]，[3，4.5]，[7，8]上函数有什么共同特征吗？对于区间[－5，－2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]上函数有什么共同特征吗？
提示：对于区间[－6，－5]，[－2，1]，[3，4.5]，[7，8]，每个区间上函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[－5，－2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，每个区间上函数值f(x)都随x值的增大而减小.
问题导思
问题2. 如何用数学符号的语言表达函数值f(x)在区间[－6，－5]上随x值的增大而增大呢？
提示：在区间[－6，－5]上任取两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2).
1.增函数、减函数的概念
新知构建
f（x1）＜f（x2）
f（x1）＞f（x2）
函数y＝f(x)的定义域是D，如果对于定义域D内某个区间I上存在两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则函数y＝f(x)在区间I上是增函数吗？
提示：不一定，应该是任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则函数y＝f(x)在区间I上是增函数.
微思考
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上__________或__________，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为__________.
单调递增
单调递减
单调区间
微提醒
√
典例
1
√
√
若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，f(x)的单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞).故选C.
单调性定义中的x1，x2有以下三个特征
1.同区间性，即x1，x2∈I，其中I是定义域D的一个区间.
2.任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2.
3.有序性，即需要区分大小，通常规定x1＜x2.
规律方法
√
√
返回
任务二 图象法求函数的单调区间、最值
问题导思
问题4.你是怎样理解函数的图象最高点的？
提示：函数的图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
函数的最大值与最小值
新知构建
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域是D，若存在实数M，对所有的x∈D，都有
f(x)____M f(x)____M
且存在x0∈D，使得___________
结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的________
≤
≥
f(x0)＝M
纵坐标
纵坐标
若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是.
微思考
(1)(链教材P62例1)画出函数y＝｜－x2＋2x＋3｜的图象，并通过图象直观判断它的单调性，同时指出函数的单调区间.
解： 函数y＝｜－x2＋2x＋3｜的图象如图所示.
由图象可知，函数在[－1，1]，[3，＋∞)上是增函数，
在(－∞，－1]，[1，3]上是减函数，所以函数的单调
递增区间是[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3].
典例
2
图象法求函数的单调区间与最值的步骤
第一步：作出函数y＝f(x)的图象；
第二步：找出对应的单调区间，如果图象有最高点和最低点，则最高点与最低点的纵坐标分别为y＝f(x)的最大值和最小值.
规律方法
√
√
√
√
返回
任务三 利用单调性求参数的范围
典例
3
[4，8)
已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
1.将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围.
2.运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围.
规律方法
对点练3.(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是_____________.
(－∞，－4]
因为f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.所以实数a的取值范围为(－∞，－4].
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，若f(x)在[m，m＋3]上单调递减，则实数m的取值范围为_____________________.
(－∞，－3]∪[2，＋∞)
由图可知，f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，[2，＋∞).因为函数f(x)在[m，m＋3]上单调递减，则[m，m＋3] (－∞，0]或[m，m＋3] [2，＋∞)，所以m＋3≤0或m≥2，即m≤－3或m≥2.所以实数m的取值范围为(－∞，－3]∪[2，＋∞).
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任务四 单调性与最值在实际问题中的应用
典例
4
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
解：当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，
当x＝16时，ymax＝156.
而当x＞20时，160－x＜140，
故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时，所得最大年利润为156万元.
求解实际问题的步骤
规律方法
对点练4.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解：设售价为x元，50≤x≤100，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，
销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，
则y＝(x－40)(1 000－10x)
＝－10(x－70)2＋9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000，
即当售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元.
返回
课堂小结
任务
再现 1.增函数、减函数的定义.2.函数的单调性与单调区间.3.函数的最值
方法
提炼 定义法、图象法
易错
警示 函数的单调区间误用并集符号连接
随堂评价
1.如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间为
A.(－2，0)
B.(－2，2)
C.(0，2)
D.(2，＋∞)
√
根据题意，结合函数图象可得函数f(x)的单调递减区间为(0，2).故选C.
2.已知函数f(x)的定义域是[－2，2]，其图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是
A.f(－2)，0
B.f(－2)，2
C.0，2
D.f(2)，2
√
观察函数图象，知图象最低点的纵坐标为f(－2)，最高点的纵坐标为2.故选B.
√
返回
课时分层评价
1.函数f(x)＝｜x＋2｜在[－3，0]上
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
√
作出f(x)＝｜x＋2｜在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，易知f(x)在[－3，0]上先减后增.故选C.
√
3.(多选题)已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，5]，其图象如图所示，则下列说法中正确的是
A.f(x)的单调递减区间为(0，2)
B.f(x)的最大值为3
C.f(x)的最小值为－1
D.f(x)的单调递增区间为(－1，0)∪(2，5)
√
由图象可知：对于A，f(x)的单调递减区间为(0，2)，故A正确；对于B，当x＝0时，f(x)max＝3，故B正确；对于C，当x＝2时，f(x)min＝－1，故C正确；对于D，f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(2，5)，不能用“∪”连接，故D错误.故选ABC.
√
√
4.函数y＝f(x)为定义在R上的减函数，若a≠0，则
A.f(a)＞f(2a) B.f(a2)＞f(a)
C.f(a2＋a)＜f(a) D.f(a2＋a)＞f(a＋1)
√
因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，a≠0，a与2a的大小关系不能确定，从而f(a)，f(2a)的大小关系不确定，故A错误；a2－a＝a(a－1)，a＞1或a＜0时，a2＞a；0＜a＜1时，a2＜a，故f(a2)，f(a)的大小关系不确定，故B错误；a2＋a－a＝a2＞0，所以a2＋a＞a，所以f(a2＋a)＜f(a)，故C正确；a2＋a－a－1＝a2－1＝(a＋1)(a－1)，a＞1或a＜－1时，a2＋a＞a＋1；－1＜a＜0或0＜a＜1时，a2＋a＜a＋1，故f(a2＋a)，f(a＋1)的大小关系不确定，故D错误.故选C.
5.(多选题)定义在R上的函数y＝f(x＋1)＋1的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出下列结论，其中正确的有
A.f(－1)＝1
B.f(0)＝1
C.若x＜0，则f(x)＞0
D.若x＞0，则f(x)＜0
√
√
将y＝f(x＋1)＋1图象向右平移1个单位长度，再向下平
移1个单位长度得到y＝f(x)图象，如图所示：
由图象可知，A错误，B正确；又当x＜1时，f(x)＞0，
当x＞1时，f(x)＜0，故C正确，D错误.故选BC.
√
√
8.若函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是______________.
因为对 x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，所以f(x)在R上是增函数，又－3＞－π，故f(－3)＞f(－π).
f(－3)＞f(－π)
9.设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为0，则a＝_______.
作出函数y＝x2－2x的图象如图所示，
由图可得，当且仅当a＝0时，有ymin＝0，所以a＝0.
0
(2)写出f(x)的单调递增区间和单调递减区间.
解：画出函数f(x)的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是(－∞，0]，[2，＋∞)，单调递增区间是(0，2).
√
√
√
√
√
√
√
16.(15分)(开放题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，利用函数图象解决下列问题.
(1)若x1＜x2≤1，试比较f(x1)与f(x2)的大小；
解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象如图所示.
由图知：当x1＜x2≤1时，f(x1)＞f(x2).
返回§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性和最值
学习目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义. 2.理解函数单调区间、单调性等概念，培养数学抽象的核心素养. 3.能根据函数的图象求单调区间和最值，培养直观想象的核心素养.
任务一 增函数、减函数的概念
问题1.如图是函数f(x)(x∈[－6，9])的图象.直观上你可以看出，对于区间[－6，－5]，[－2，1]，[3，4.5]，[7，8]上函数有什么共同特征吗？对于区间[－5，－2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]上函数有什么共同特征吗？
提示：对于区间[－6，－5]，[－2，1]，[3，4.5]，[7，8]，每个区间上函数值f(x)都随x值的增大而增大；对于区间[－5，－2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，每个区间上函数值f(x)都随x值的增大而减小.
问题2. 如何用数学符号的语言表达函数值f(x)在区间[－6，－5]上随x值的增大而增大呢？
提示：在区间[－6，－5]上任取两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2).
1.增函数、减函数的概念
[微思考] 函数y＝f(x)的定义域是D，如果对于定义域D内某个区间I上存在两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则函数y＝f(x)在区间I上是增函数吗？
提示：不一定，应该是任意的x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，则函数y＝f(x)在区间I上是增函数.
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间.
[微提醒] (1)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，只能用“，”将它们隔开或用“和”字连接.例如函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞).(2)书写函数的单调区间时，若函数在区间端点处有定义，则可写成闭区间，也可写成开区间；若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间.
(1)(多选题)下列说法能判断函数f(x)在区间(a，b)上单调递增的有( )
A.对于任意的x1，x2∈(a，b)，当x1＞x2时，都有f(x1)－f(x2)＞0恒成立
B.对于任意的x1，x2∈(a，b)，x1≠x2，都有＞0恒成立
C.存在x1，x2∈(a，b)，使得＞0成立
D.对于任意的a＜x1＜x2＜，都有＞0恒成立，并且对于任意的≤x1＜x2＜b，都有＞0也恒成立
(2)如图是函数y＝f(x)的图象，其定义域为[－2，＋∞)，则函数f(x)的单调递减区间是( )
A. B.
C.， D.∪
答案：(1)AB (2)C
解析：(1)对于A，由题意可得当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)恒成立，所以函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，故A正确；对于B，因为x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2时，＞0恒成立，所以函数f(x)在(a，b)上是增函数，故B正确；对于C，假设f(x)＝x2，x∈(－2，4)时，－1＜3，且＝＞0，但函数f(x)＝x2在(－2，4)上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误；对于D，由选项B可知：f(x)在，内单调递增，假设f(x)的图象如图.满足f(x)在，内单调递增，但f(x)在内不单调，故D错误.故选AB.
(2)若函数单调递减，则对应图象呈下降趋势，由图知，f(x)的单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞).故选C.
单调性定义中的x1，x2有以下三个特征
1.同区间性，即x1，x2∈I，其中I是定义域D的一个区间.
2.任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2.
3.有序性，即需要区分大小，通常规定x1＜x2.
对点练1.(1)已知函数f(x)在上单调递减，则对实数x1＞0，x2＞0，“x1＞x2”是“f(x1)＜f(x2)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)如图为函数y＝f(x)，x∈的图象，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A. B.∪
C.(－1，0)， D.，
答案：(1)C (2)D
解析：(1)因为函数f(x)在上单调递减，且x1＞0，x2＞0，由减函数的定义可知，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，充分性成立；当f(x1)＜f(x2)时，x1＞x2，必要性成立.即对实数x1＞0，x2＞0，“x1＞x2”是“f(x1)＜f(x2)”的充要条件.故选C.
(2)根据图象知f(x)的单调递增区间为，.故选D.
任务二 图象法求函数的单调区间、最值
问题3.如图所示是函数y＝－x2－2x、y＝－2x＋1，x∈、y＝f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征.
提示：函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数图象的共同特征是都有最高点.
问题4.你是怎样理解函数的图象最高点的？
提示：函数的图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.
函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 设函数y＝f(x)的定义域是D，若存在实数M，对所有的x∈D，都有
f(x)≤M f(x)≥M
且存在x0∈D，使得f(x0)＝M
结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值
几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标
[微思考] 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是.
(1)(链教材P62例1)画出函数y＝｜－x2＋2x＋3｜的图象，并通过图象直观判断它的单调性，同时指出函数的单调区间.
(2)(链教材P62例2)作出函数f(x)＝的图象，通过图象直观判断它的单调性，并指出函数f(x)的单调区间和最值.
解： (1)函数y＝｜－x2＋2x＋3｜的图象如图所示.
由图象可知，函数在[－1，1]，[3，＋∞)上是增函数，在(－∞，－1]，[1，3]上是减函数，所以函数的单调递增区间是[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3].
(2)画出f(x)＝的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，在区间(1，2)上单调递减，在区间[2，＋∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调递增区间为[2，＋∞).
由图知，当x＝1时，y＝f(x)取得最小值，最小值为－4；f(x)无最大值.
图象法求函数的单调区间与最值的步骤
第一步：作出函数y＝f(x)的图象；
第二步：找出对应的单调区间，如果图象有最高点和最低点，则最高点与最低点的纵坐标分别为y＝f(x)的最大值和最小值.
对点练2.(1)(多选题)已知函数f(x)＝－x2＋2｜x｜＋1，则下列说法正确的是( )
A.函数y＝f(x)在上单调递增
B.函数y＝f(x)在[－1，0]上单调递减
C.当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值
D.当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值
(2)已知f(x)＝3－2｜x｜，g(x)＝x2－2x，若F(x)＝则关于F(x)的说法正确的是( )
A.最大值为3，最小值为－1
B.最大值为7－2，无最小值
C.最大值为3，无最小值
D.无最大值，最小值为－1
答案：(1)ABD (2)B
解析：(1)因为f(x)＝－x2＋2｜x｜＋1，所以f(x)＝－x2＋2｜x｜＋1＝作出函数f(x)的图象如图：
由图象可知f(x)在上单调递增，在[－1，0]上单调递减，故A，B正确；由图象可知f(x)在x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确.故选ABD.
(2)根据已知条件，可以求出F(x)＝如图所示，
F(x)在A处取得最大值，没有最小值.由3＋2x＝x2－2x得xA＝2－，所以yA＝3＋2xA＝7－2.所以有最大值7－2，无最小值.故选B.
任务三 利用单调性求参数的范围
设f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为 .
答案：[4，8)
解析：因为f(x)是R上的增函数，所以解得4≤a＜8，所以实数a的取值范围为[4，8).
已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
1.将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围.
2.运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围.
对点练3.(1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是 .
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，若f(x)在[m，m＋3]上单调递减，则实数m的取值范围为 .
答案：(1)(－∞，－4] (2)(－∞，－3]∪[2，＋∞)
解析：(1)因为f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.所以实数a的取值范围为(－∞，－4].
(2)由图可知，f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，[2，＋∞).因为函数f(x)在[m，m＋3]上单调递减，则[m，m＋3] (－∞，0]或[m，m＋3] [2，＋∞)，所以m＋3≤0或m≥2，即m≤－3或m≥2.所以实数m的取值范围为(－∞，－3]∪[2，＋∞).
任务四 单调性与最值在实际问题中的应用
(链教材P63练习T4)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件.当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润＝年销售总收入－年总投资)
(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；
(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？
解：(1)当0＜x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；
当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.
故y＝ (x∈N＋).
(2)当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，
当x＝16时，ymax＝156.
而当x＞20时，160－x＜140，
故x＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元.
即当该工厂年产量为16件时，所得最大年利润为156万元.
求解实际问题的步骤
对点练4.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
解：设售价为x元，50≤x≤100，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个，
销量为500－10(x－50)＝(1 000－10x)个，
则y＝(x－40)(1 000－10x)
＝－10(x－70)2＋9 000.
故当x＝70时，ymax＝9 000，
即当售价为70元时，利润最大，最大利润为9 000元.
任务 再现 1.增函数、减函数的定义.2.函数的单调性与单调区间.3.函数的最值
方法 提炼 定义法、图象法
易错 警示 函数的单调区间误用并集符号连接
1.如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(－2，0) B.(－2，2)
C.(0，2) D.(2，＋∞)
答案：C
解析：根据题意，结合函数图象可得函数f(x)的单调递减区间为(0，2).故选C.
2.已知函数f(x)的定义域是[－2，2]，其图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A.f(－2)，0 B.f(－2)，2
C.0，2 D.f(2)，2
答案：B
解析：观察函数图象，知图象最低点的纵坐标为f(－2)，最高点的纵坐标为2.故选B.
3.若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有( )
A.k＞ B.k＞－
C.k＜ D.k＜－
答案：C
解析：因为y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，所以2k－1＜0，所以k＜.故选C.
4.函数f(x)＝在区间上的最小值为 .
答案：
解析：f(x)＝＝＝2－，作出函数f(x)＝2－的图象(图象略)，由图象知x∈[2，4]时f(x)＝2－单调递增，故当x＝2时，f(x)＝2－取得最小值，f(2)＝2－＝.
课时分层评价18 函数的单调性和最值
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.函数f(x)＝｜x＋2｜在[－3，0]上( )
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
答案：C
解析：作出f(x)＝｜x＋2｜在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，易知f(x)在[－3，0]上先减后增.故选C.
2.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.f(x)＝3－x B.f(x)＝2x
C.f(x)＝x2－3x D.f(x)＝
答案：B
解析：根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性可知：f(x)＝3－x，f(x)＝在(0，＋∞)上均单调递减；f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增；f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增.故选B.
3.(多选题)已知函数y＝f(x)的定义域为[－1，5]，其图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A.f(x)的单调递减区间为(0，2)
B.f(x)的最大值为3
C.f(x)的最小值为－1
D.f(x)的单调递增区间为(－1，0)∪(2，5)
答案：ABC
解析：由图象可知：对于A，f(x)的单调递减区间为(0，2)，故A正确；对于B，当x＝0时，f(x)max＝3，故B正确；对于C，当x＝2时，f(x)min＝－1，故C正确；对于D，f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(2，5)，不能用“∪”连接，故D错误.故选ABC.
4.函数y＝f(x)为定义在R上的减函数，若a≠0，则( )
A.f(a)＞f(2a) B.f(a2)＞f(a)
C.f(a2＋a)＜f(a) D.f(a2＋a)＞f(a＋1)
答案：C
解析：因为y＝f(x)是定义在R上的减函数，a≠0，a与2a的大小关系不能确定，从而f(a)，f(2a)的大小关系不确定，故A错误；a2－a＝a(a－1)，a＞1或a＜0时，a2＞a；0＜a＜1时，a2＜a，故f(a2)，f(a)的大小关系不确定，故B错误；a2＋a－a＝a2＞0，所以a2＋a＞a，所以f(a2＋a)＜f(a)，故C正确；a2＋a－a－1＝a2－1＝(a＋1)(a－1)，a＞1或a＜－1时，a2＋a＞a＋1；－1＜a＜0或0＜a＜1时，a2＋a＜a＋1，故f(a2＋a)，f(a＋1)的大小关系不确定，故D错误.故选C.
5.(多选题)定义在R上的函数y＝f(x＋1)＋1的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出下列结论，其中正确的有( )
A.f(－1)＝1
B.f(0)＝1
C.若x＜0，则f(x)＞0
D.若x＞0，则f(x)＜0
答案：BC
解析：将y＝f(x＋1)＋1图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y＝f(x)图象，如图所示：
由图象可知，A错误，B正确；又当x＜1时，f(x)＞0，当x＞1时，f(x)＜0，故C正确，D错误.故选BC.
6.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若存在x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在R上单调递增
B.函数f(x)＝在定义域内单调递减
C.若函数f(x)＝x2－mx的单调递减区间是(－∞，1]，则m＝2
D.若g(x)在R上单调递增，则g(－1)＜g(1)
答案：CD
解析： x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在R上单调递增，故A错误；函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，但是在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，故B错误；函数f(x)＝x2－mx的对称轴为x＝，开口向上，所以单调递减区间为，又函数f(x)＝x2－mx的单调递减区间是(－∞，1]，所以＝1，故m＝2，故C正确；若g(x)在R上单调递增，所以g(－1)＜g(1)，故D正确.故选CD.
7.函数f(x)＝的单调减区间是 .
答案：，
解析：画出函数f(x)＝的图象，如下：
故f(x)的单调递减区间为，.
8.若函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是 .
答案：f(－3)＞f(－π)
解析：因为对 x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，所以f(x)在R上是增函数，又－3＞－π，故f(－3)＞f(－π).
9.设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为0，则a＝ .
答案：0
解析：作出函数y＝x2－2x的图象如图所示，
由图可得，当且仅当a＝0时，有ymin＝0，所以a＝0.
10.(10分)已知函数f(x)＝且f(1)＝5，f(2)＝6.
(1)求f(x)的解析式；
(2)写出f(x)的单调递增区间和单调递减区间.
解：(1)因为f(x)＝且f(1)＝5，f(2)＝6，
所以
所以f(x)＝
(2)画出函数f(x)的图象，如图所示：
函数的单调递减区间是(－∞，0]，[2，＋∞)，单调递增区间是(0，2).
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A.10，6 B.10，8
C.8，6 D.以上都不对
答案：A
解析：由函数f(x)＝的图象(图略)知，函数f(x)在[－1，2]上是增函数，所以f(x)的最大值为f(2)＝10，f(x)的最小值为f(－1)＝6.故选A.
12.(新定义)(多选题)定义一种运算：a b＝设f(x)＝(5＋2x－x2) ｜x－1｜，则下面结论中正确的有( )
A.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
B.函数f(x)的图象与直线y＝5有三个公共点
C.函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－1]和[1，3]
D.函数f(x)的最小值是2
答案：ACD
解析：由题意f(x)＝(5＋2x－x2) ｜x－1｜＝作出函数的图象如图所示，
由图象可知，函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；函数f(x)的图象与直线y＝5有四个公共点，故B错误；函数f(x)的单调递减区间是和[1，3]，故C正确；函数f(x)的最小值是2，故D正确.故选ACD.
13.函数g(x)＝x＋1的单调递减区间为 .
答案：
解析：g(x)＝x＋1＝画出函数图象，如图可知，当x≤1时，函数在上单调递增，在上单调递减，当x＞1时，函数在(1，＋∞)上单调递增，综上所述，函数的单调递减区间为.
14.(10分)已知定义在上的函数f(x)＝其中f(2)＝－1，f(4)＝0.
(1)求出f(x)的解析式并且画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调区间；
(3)直接写出f(x)的值域.
解：(1)当x＞0时，f(x)＝x2－bx＋c.
因为f(2)＝×22－2b＋c＝－1，
即1－2b＋c＝－1.
又因为f(4)＝×42－4b＋c＝0，即4－4b＋c＝0.
所以(4－4b＋c)－(1－2b＋c)＝0－(－1)，
即3－2b＝1，解得b＝1.
将b＝1代入1－2b＋c＝－1，得1－2×1＋c＝－1，解得c＝0.
所以f(x)＝画出f(x)的图象如图(不含端点，(0，1)).
(2)如图，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，所在直线斜率为1，故f(x)单调递增.
当x＞0时，f(x)＝x2－x＝(x2－4x)＝(x－2)2－1所在的抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(0，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.所以f(x)的单调递增区间是[－1，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0，2].
(3)当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1的值域是[0，1)；
当x＞0时，f(x)＝x2－x＝(x－2)2－1，其最小值为f(2)＝－1，无最大值.
所以综合图象可知f(x)的值域是[－1，＋∞).
15.(5分)(多选题)如图，正方形ABCD的边长为2，E是边AD的中点，点P从点B出发，沿着正方形的边按B－C－D－E的方向运动(与点B和点E均不重合).设点P运动的路程为x，△BEP的面积为y，若y关于x的函数解析式为y＝f(x)，则( )
A.f(x)的定义域为(0，5)
B.f(x)为增函数
C.当x∈(2，4)时，f(x)＝3－
D.f(x)的最大值为2
答案：ACD
解析：当P在线段BC上(不与B重合)，此时0＜x≤2，则y＝S△BEP＝×2x＝x；当P在线段CD上(不含端点C，D)，此时2＜x＜4，则y＝S△BEP＝×2－×2×(x－2)－×1×＝3－x；当P在线段DE上(不与E重合)，此时4≤x＜5，则y＝S△BEP＝×2×＝5－x；所以f(x)＝故函数f(x)的定义域为(0，5)，故A正确；函数f(x)的图象如图所示：由图可知当0＜x≤2时，f(x)为增函数，当2＜x＜5时，f(x)为减函数，故B错误；当x∈(2，4)时，f(x)＝3－，故C正确；f(x)max＝f(2)＝2，故D正确.故选ACD.
16.(15分)(开放题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，利用函数图象解决下列问题.
(1)若x1＜x2≤1，试比较f(x1)与f(x2)的大小；
(2)若函数f(x)在区间D上的值域也为D，则称函数f(x)具有较好的保值性，这个区间称为保值区间，保值区间有三种形式：(－∞，m]，[m，n]，[m，＋∞).试问f(x)＝x2－2x＋2是否具有较好的保值性？若具有，求出保值区间.
解：(1)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象如图所示.
由图知：当x1＜x2≤1时，f(x1)＞f(x2).
(2)f(x)具有较好的保值性.
由f(x)的图象知：f(x)的值域是[1，＋∞).
当x∈(－∞，m]时，f(x)的值域为[f(m)，＋∞)或[1，＋∞)，不符合题意；
当x∈[m，n]时，要使值域为[m，n]，则
所以m，n是方程x2－2x＋2＝x的两个根，解得m＝1，n＝2，所以保值区间是[1，2]；
当x∈[m，＋∞)时，要使值域为[m，＋∞)，则解得m＝1，或m＝2，
所以保值区间是[1，＋∞)，[2，＋∞).
综上，f(x)＝x2－2x＋2具有较好的保值性，保值区间是[1，2]，[1，＋∞)，[2，＋∞).
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