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第1课时 函数的奇偶性
第二章 §4 4.1 函数的奇偶性
学习目标
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，培养数学抽象的核心素养.
2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题，培养直观想象和数学运算的核心素养.
任务一 函数奇偶性的概念及判定
问题导思
问题2.观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？
提示：这两个函数图象都关于y轴对称.能.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数.
1.奇函数、偶函数的定义
新知构建
奇函数 偶函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且________________，那么称函数f(x)为奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且______________，那么称函数f(x)为偶函数
等价形式 f(x)＋f(－x)＝0 f(x)－f(－x)＝0
图象特征 图象关于______对称 图象关于_____对称
2.奇偶性：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有________.
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
原点
y轴
奇偶性
1.奇、偶函数的定义域有什么特点？
提示：定义域关于原点对称.
2.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？
提示：f(0)＝0.
3.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？
提示：不是偶函数，只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.
微思考
典例
1
判断函数奇偶性的两种方法
1.定义法
规律方法
2.图象法
规律方法
(2)f(x)＝x2－2｜x｜＋1，x∈[－1，1]；
解：函数的定义域为[－1，1]，关于原点对称.
又因为f(－x)＝(－x)2－2｜－x｜＋1＝x2－2｜x｜＋1＝f(x)，
所以函数f(x)＝x2－2｜x｜＋1，x∈[－1，1]是偶函数.
返回
任务二 奇、偶函数的图象及应用
定义在R上的奇函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的
图象如图所示.
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
解：先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，
－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图.
典例
2
(2)解不等式xf(x)＞0.
解：xf(x)＞0即图象上点的横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)＞0的解集是(－2，0)∪(0，2).
变式探究
(变条件)把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，(1)补全函数f(x)的图象；
解：f(x)的图象如图所示.
(2)解不等式xf(x)＞0.
解：xf(x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).
利用奇偶性作函数的图象的步骤
第一步：确定函数的奇偶性；
第二步：根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(－∞，0]或[0，＋∞)上的图象.
规律方法
对点练2.如图，已知函数f(x)是奇函数.
(1)补充完整函数f(x)的图象；
解：结合已知函数图象和奇函数图象关于原点对称，补充函数f(x)图象如下：
(2)写出函数f(x)的单调区间，并写出函数f(x)的值域.
解：根据f(x)图象可知单调增区间是[－3，－2]，[－1，1]，[2，3]；单调减区间是[－2，－1]，[1，2]；函数f(x)的值域为[－3，3].
返回
任务三 利用函数的奇偶性求值
√
典例
3
(2)已知函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x(x＋1)，则f(－3)＝
A.－12 B.12
C.9 D.－9
√
f(3)＝－3×4＝－12，因为函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝12.故选B.
利用奇偶性求值的常见类型
1.求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
2.求函数值：利用f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
规律方法
√
返回
课堂小结
任务
再现 1.函数奇偶性的概念.2.奇、偶函数的图象及应用.3.利用奇偶性求值
方法
提炼 定义法、数形结合法
易错
警示 1.判断奇偶性时忽略函数的定义域的对称性.2.特值法求参数忽略检验
随堂评价
1.下列函数图象中，可以表示偶函数的有
√
根据偶函数图象关于y轴对称，结合函数图象可知符合题意的是A选项，B，C，D不合题意.故选A.
√
√
√
0
因为f(x)是偶函数，所以函数的对称轴为x＝0，即－a＝0，得a＝0.
－18
返回
课时分层评价
√
2.已知函数f(x)＝(x＋1)(ax＋b)是偶函数，其定义域为[2a－3，a]，则a－b＝
A.－1 B.0
C.1 D.2
√
因为f(x)的定义域为[2a－3，a]，所以2a－3＋a＝0，即a＝1.因为f(x)＝(x＋1)(x＋b)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(1－x)(b－x)＝(x＋1)(x＋b)，解得b＝－1，所以a－b＝2.故选D.
3.已知f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则f(－2)＝
A.8 B.－8
C.0 D.2
√
因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋2×2)＝－8.故选B.
√
√
√
6.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有
A.f(0)＝0
B.f(－1)＝f(1)
C.若f(x)在(0，＋∞)上有最小值－3，则f(x)在(－∞，0)上有最大值3
D.若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增
√
对于A，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，故A正确；对于B，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－1)＝－f(1)，故B错误；对于C，奇函数f(x)的图象关于原点中心对称，故若f(x)在(0，＋∞)上有最小值－3，则f(x)在 (－∞，0)上有最大值3，故C正确；对于D，奇函数f(x)＝－x在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1)上也单调递减，故D错误.故选AC.
√
7.函数f(x)是奇函数，且f(－3)＝7，则f(3)＝______.
因为函数f(x)是奇函数，且f(－3)＝7，所以f(3)＝－f(－3)＝－7.
－7
奇函数
9.(开放题)写出一个定义域不为R的奇函数f(x)＝_________________.
√
√
12.设定义在R上的函数f(x)，则下列函数必为偶函数的有
A.y＝f(｜x｜) B.y＝f(x2)
C.y＝－f(－x) D.y＝f(x)＋f(－x)
√
f(x)的定义域为R，关于原点对称，对于A，令g(x)＝f(｜x｜)，因为g(－x)＝f(｜－x｜)＝f(｜x｜)，所以g(x)为偶函数，A选项正确；对于B，令g(x)＝f(x2)，因为g(－x)＝f[(－x)2]＝f(x2)＝g(x)，所以g(x)＝f(x2)为偶函数，B选项正确；对于C，令g(x)＝－f(－x)，因为g(－x)＝－f(x)，g(x)＝－f(－x)，所以无法判断奇偶性，C选项错误；对于D，令g(x)＝f(x)＋f(－x)，因为g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，所以g(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，D选项正确.故选ABD.
√
√
{x｜－1＜x＜0，或1＜x＜3}
√
16.(15分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a).
(1)求f(0)，f(1)的值；
解：令a＝b＝0，则f(0)＝0.
令a＝b＝1，则f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.
解： f(x)的奇函性
证明：令a＝b＝－1，则f(1)＝－2f(－1).
因为f(1)＝0，所以f(－1)＝0.令a＝x，b＝－1，
则f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是奇函数.
返回§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
第1课时 函数的奇偶性
学习目标 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义，培养数学抽象的核心素养. 2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题，培养直观想象和数学运算的核心素养.
任务一 函数奇偶性的概念及判定
问题1.观察函数f(x)＝x和g(x)＝的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？
提示：可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.能.f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数.
问题2.观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？
提示：这两个函数图象都关于y轴对称.能.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数.
1.奇函数、偶函数的定义
奇函数 偶函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域是D，如果对任意的x∈D，有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数
等价 形式 f(x)＋f(－x)＝0 f(x)－f(－x)＝0
＝－1 (f(x)≠0) ＝1(f(x)≠0)
图象 特征 图象关于原点对称 图象关于y轴对称
2.奇偶性：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性.
[微思考] 1.奇、偶函数的定义域有什么特点？
提示：定义域关于原点对称.
2.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)的值是多少？
提示：f(0)＝0.
3.若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？
提示：不是偶函数，只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.
(链教材P67例2)根据定义，判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
解：(1)依题意知函数f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称，
且对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有
f(－x)＝(－x)－＝－x＋，
－f(x)＝－＝－x＋，
即f(－x)＝－f(x).
所以函数f(x)＝x－是奇函数.
(2)依题意知函数f(x)＝＋的定义域为{－1，1}，定义域关于原点对称，且f(x)＝0，
对任意的x∈{－1，1}，有f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数.
(3)依题意知函数f(x)＝的定义域为{x｜x≠1}，定义域不关于原点对称，
所以f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数.
(4)依题意知函数f(x)＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称.
当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，f(x)＝x＋1，即f(－x)＝f(x)；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)＋1＝－x＋1，f(x)＝－x＋1，即f(－x)＝f(x).
综上可知，对于任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x).
所以函数f(x)＝是偶函数.
判断函数奇偶性的两种方法
1.定义法
2.图象法
对点练1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝x2－2｜x｜＋1，x∈[－1，1]；
(3)f(x)＝
解：(1)因为f(x)＝＋，
所以 x＝1，
所以f(x)的定义域为，不关于原点对称，
所以函数f(x)＝＋不是奇函数也不是偶函数.
(2)函数的定义域为[－1，1]，关于原点对称.
又因为f(－x)＝(－x)2－2｜－x｜＋1＝x2－2｜x｜＋1＝f(x)，
所以函数f(x)＝x2－2｜x｜＋1，x∈[－1，1]是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当x＜0时，－x＞0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－＝－f(x)，
当x＞0时，－x＜0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).
综上，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x).
所以函数f(x)＝为奇函数.
任务二 奇、偶函数的图象及应用
定义在R上的奇函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示.
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)解不等式xf(x)＞0.
解：(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图.
(2)xf(x)＞0即图象上点的横坐标、纵坐标同号.结合图象可知，xf(x)＞0的解集是(－2，0)∪(0，2).
[变式探究]
(变条件)把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，(1)补全函数f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)＞0.
解：(1)f(x)的图象如图所示.
(2)xf(x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).
利用奇偶性作函数的图象的步骤
第一步：确定函数的奇偶性；
第二步：根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(－∞，0]或[0，＋∞)上的图象.
对点练2.如图，已知函数f(x)是奇函数.
(1)补充完整函数f(x)的图象；
(2)写出函数f(x)的单调区间，并写出函数f(x)的值域.
解：(1)结合已知函数图象和奇函数图象关于原点对称，补充函数f(x)图象如下：
(2)根据f(x)图象可知单调增区间是[－3，－2]，[－1，1]，[2，3]；单调减区间是[－2，－1]，[1，2]；函数f(x)的值域为[－3，3].
任务三 利用函数的奇偶性求值
(1)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )
A. B.
C. D.1
(2)已知函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x(x＋1)，则f(－3)＝( )
A.－12 B.12
C.9 D.－9
答案：(1)A (2)B
解析：(1)由函数f(x)＝为奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，所以＝－，所以－x(2x－1)(x＋a)＝－x(－2x－1)(－x＋a)，化简得2(2a－1)·x2＝0恒成立，所以2a－1＝0，即a＝，经验证f(x)＝＝，定义域关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)，故a＝.故选A.
(2)f(3)＝－3×4＝－12，因为函数f(x)是定义在[－3，3]上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝12.故选B.
利用奇偶性求值的常见类型
1.求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
2.求函数值：利用f(－x)＝－f(x)，或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值.
对点练3.(1)函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝－1，则f(－1)＝( )
A.－1 B.1
C.－3 D.3
(2)设f(x)＝ax2＋bx是定义在上的偶函数，则a＋b的值是 ，f(a)＝ .
答案：(1)A (2)
解析：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－＝－1.故选A.
(2)因为f(x)＝ax2＋bx是定义在上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即ax2－bx＝ax2＋bx，得到b＝0，又a－1＝－2a，得到a＝，所以f(x)＝x2，a＋b＝，f(a)＝f＝×＝.
任务 再现 1.函数奇偶性的概念.2.奇、偶函数的图象及应用.3.利用奇偶性求值
方法 提炼 定义法、数形结合法
易错 警示 1.判断奇偶性时忽略函数的定义域的对称性.2.特值法求参数忽略检验
1.下列函数图象中，可以表示偶函数的有( )
答案：A
解析：根据偶函数图象关于y轴对称，结合函数图象可知符合题意的是A选项，B，C，D不合题意.故选A.
2.(多选题)下列函数具有奇偶性的是( )
A.f(x)＝－3x2＋2 B.f(x)＝3｜x｜＋2
C.f(x)＝ D.f(x)＝2x－1
答案：ABC
解析：对于A，f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝－3(－x)2＋2＝－3x2＋2＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于B，f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C，f(x)的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－＝－f(x)，故f(x)是奇函数；对于D，f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－2x－1≠－f(x)，f(－x)＝－2x－1≠f(x)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.故选ABC.
3.已知函数 f(x)＝＋1 是偶函数，则a＝ .
答案：0
解析：因为f(x)是偶函数，所以函数的对称轴为x＝0，即－a＝0，得a＝0.
4.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋－8，则f(0)＋f＝ .
答案：－18
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，f(－5)＝－f(5).所以f(0)＋f＝0－f(5)＝－＝－18.
课时分层评价20 函数的奇偶性
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.函数y＝－的奇偶性是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数
答案：A
解析：由函数解析式可知定义域为{x｜x≠±1，x∈R}，即定义域关于原点对称，又f(x)＝－ f(－x)＝－＝－f(x)，所以函数y＝－是奇函数.故选A.
2.已知函数f(x)＝(x＋1)(ax＋b)是偶函数，其定义域为[2a－3，a]，则a－b＝( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
答案：D
解析：因为f(x)的定义域为[2a－3，a]，所以2a－3＋a＝0，即a＝1.因为f(x)＝(x＋1)(x＋b)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(1－x)(b－x)＝(x＋1)(x＋b)，解得b＝－1，所以a－b＝2.故选D.
3.已知f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，则f(－2)＝( )
A.8 B.－8
C.0 D.2
答案：B
解析：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋2×2)＝－8.故选B.
4.函数f(x)＝ 的图象大致是( )
答案：B
解析：因为f(x)＝，所以f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，故C错误；当x＞0时，f(x)＞0，所以A，D错误，B正确.故选B.
5.(多选题)已知函数f(x)＝是奇函数，则下列选项正确的有( )
A.b＝0
B.f(x)在区间(1，＋∞)单调递增
C.f(x)的最小值为－
D.f(x)的最大值为2
答案：AC
解析：函数f(x)＝是奇函数，则f(0)＝0，代入可得b＝0，经验证b＝0时，满足f(x)是奇函数，故A正确；由f(x)＝＝＝，对勾函数y＝x＋在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减，故B错误；由y＝x＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以f(x)＝∈∪，所以f(x)min＝－，f(x)max＝，故C正确，D错误.故选AC.
6.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的有( )
A.f(0)＝0
B.f(－1)＝f(1)
C.若f(x)在(0，＋∞)上有最小值－3，则f(x)在(－∞，0)上有最大值3
D.若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，－1)上单调递增
答案：AC
解析：对于A，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，故A正确；对于B，函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－1)＝－f(1)，故B错误；对于C，奇函数f(x)的图象关于原点中心对称，故若f(x)在(0，＋∞)上有最小值－3，则f(x)在(－∞，0)上有最大值3，故C正确；对于D，奇函数f(x)＝－x在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，－1)上也单调递减，故D错误.故选AC.
7.函数f(x)是奇函数，且f(－3)＝7，则f(3)＝ .
答案：－7
解析：因为函数f(x)是奇函数，且f(－3)＝7，所以f(3)＝－f(－3)＝－7.
8.函数f(x)＝是 (从“奇函数”“偶函数”“既奇又偶”“非奇非偶”中选一个恰当答案填入).
答案：奇函数
解析：由不等式10－x2＞0，可得－＜x＜，所以f(x)的定义域为(－，)，关于原点对称，又由f(x)＝＝＝，可得f(－x)＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝为奇函数.
9.(开放题)写出一个定义域不为R的奇函数f(x)＝ .
答案：(答案不唯一)
解析：令f(x)＝，可得函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且满足f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝为定义域不为R的奇函数(答案不唯一).
10.(10分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：f()＋f(x)＝0.
解：(1)由1－x2≠0得x2≠1，即x≠±1，
即函数的定义域为{x｜x≠±1}.
(2)由(1)可知，函数f(x)的定义域关于原点对称，
因为f(－x)＝＝＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数.
(3)证明：因为f(x)＝，
所以f()＝＝＝－＝－f(x)，所以f()＋f(x)＝0.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(多选题)下列函数是偶函数，且在x∈(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝｜x｜
C.f(x)＝x2＋｜x｜ D.f(x)＝(x＋1)2
答案：BC
解析：对于A，函数f(x)＝定义域为[0，＋∞)，不是偶函数，故A错误；对于B，函数f(x)＝｜x｜定义域为R，f(－x)＝｜－x｜＝f(x)，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2＋｜x｜定义域为R，f(－x)＝(－x)2＋｜－x｜＝f(x)，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，函数f(x)＝(x＋1)2定义域为R，而f(－x)＝(－x＋1)2≠f(x)，不是偶函数，故D错误.故选BC.
12.设定义在R上的函数f(x)，则下列函数必为偶函数的有( )
A.y＝f(｜x｜) B.y＝f(x2)
C.y＝－f(－x) D.y＝f(x)＋f(－x)
答案：ABD
解析：f(x)的定义域为R，关于原点对称，对于A，令g(x)＝f(｜x｜)，因为g(－x)＝f(｜－x｜)＝f(｜x｜)，所以g(x)为偶函数，A选项正确；对于B，令g(x)＝f(x2)，因为g(－x)＝f[(－x)2]＝f(x2)＝g(x)，所以g(x)＝f(x2)为偶函数，B选项正确；对于C，令g(x)＝－f(－x)，因为g(－x)＝－f(x)，g(x)＝－f(－x)，所以无法判断奇偶性，C选项错误；对于D，令g(x)＝f(x)＋f(－x)，因为g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，所以g(x)＝f(x)＋f(－x)为偶函数，D选项正确.故选ABD.
13.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，当0≤x＜3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)·x＜0的解集是 .
答案：{x｜－1＜x＜0，或1＜x＜3}
解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以函数f(x)在上的图象如图所示，所以f(x)·x＜0的解集为{x｜－1＜x＜0，或1＜x＜3}.
14.(10分)已知函数f(x)＝ax2－，a∈R.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间(不必写明证明过程)；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由.
解：(1)当a＝1时，
f(x)＝x2－｜x－1｜＝
当x≥1时，f(x)＝x2－x＋1＝＋，
所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
当x＜1时，f(x)＝x2＋x－1＝－，
所以f(x)在上单调递增，
因为12－1＋1＝12＋1－1＝1，
所以f(x)的单调递增区间为.
(2)当a＝0时，f(x)＝－｜x｜，
因为f(－x)＝－＝－｜x｜＝f(x)，
所以f(x)为偶函数；
当a≠0时，因为f(0)＝－≠0，
所以f(x)不是奇函数，
因为f(1)＝a－，f(－1)＝a－，且≠，
所以f(1)≠f(－1)，所以f(x)不是偶函数.
综上，当a＝0时，f(x)为偶函数，当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数.
15.(5分)已知函数f(x)＝1－＋｜x｜，则下列函数为奇函数的是( )
A.y＝f(x＋1)＋1 B.y＝f(x－1)＋1
C.y＝f(x＋1)－1 D.y＝f(x－1)－1
答案：C
解析：因为f(x)＝1－｜x－2｜＋｜x｜，所以f(x＋1)－1＝1－｜x＋1－2｜＋｜x＋1｜－1＝－｜x－1｜＋｜x＋1｜，令g(x)＝f(x＋1)－1＝－｜x－1｜＋｜x＋1｜，定义域为R，且g(－x)＝－｜－x－1｜＋｜－x＋1｜＝－＝－g(x)，所以g(x)＝f(x＋1)－1为奇函数，故C正确；又y＝f(x＋1)＋1＝－｜x－1｜＋｜x＋1｜＋2，为非奇非偶函数，故A错误；y＝f(x－1)＋1＝1－｜x－1－2｜＋｜x－1｜＋1＝－｜x－3｜＋｜x－1｜＋2，为非奇非偶函数，故B错误；y＝f(x－1)－1＝1－｜x－1－2｜＋｜x－1｜－1＝－｜x－3｜＋｜x－1｜，为非奇非偶函数，故D错误.故选C.
16.(15分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，都满足f(ab)＝af(b)＋bf(a).
(1)求f(0)，f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论.
解：(1)令a＝b＝0，则f(0)＝0.
令a＝b＝1，则f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.
(2)f(x)是奇函数，
证明：令a＝b＝－1，则f(1)＝－2f(－1).
因为f(1)＝0，所以f(－1)＝0.令a＝x，b＝－1，
则f(－x)＝xf(－1)－f(x)＝－f(x)，又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是奇函数.
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