第2课时 函数奇偶性的应用
学习目标 1.掌握用奇偶性求解析式的方法. 2.理解奇偶性对单调性的影响并能用于比较大小、求最值和解不等式，培养数学抽象及数学运算的核心素养.
任务一 根据函数奇偶性求函数的解析式
问题1.如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那么你能判断下列函数：f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)的奇偶性吗？ 如果f(x)和g(x)都是偶函数呢？
提示：能.如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，则f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)均为奇函数，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)均为偶函数；如果函数f(x)和g(x)都是偶函数，则f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)，f(x)·g(x)，(g(x)≠0)都是偶函数.
关于奇、偶函数的几个性质
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商，分母不为零)为偶函数；奇偶性相反的两个函数的积(商，分母不为零)为奇函数.
(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)＝0.
(4)如果函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(｜x｜).
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解：(1)当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.
因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
故f(x)＝
(2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
因为f(x)＋g(x)＝2x＋x2，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
所以f(x)＝x2，g(x)＝2x.
[变式探究]
(变条件)将本例(1)中的“奇函数”改为“偶函数”，“x＞0”改为“x＜0”，其他条件不变，求函数f(x)的解析式.
解：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
第一步：“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
第二步：转化到已知区间上，代入已知的解析式；
第三步：利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
对点练1.(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x).则当x＜0时，f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝x(1＋x) B.f(x)＝x(x－1)
C.f(x)＝－x(x＋1) D.f(x)＝x(1－x)
(2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x，则f(1)＋g(1)＝( )
A.1 B.3
C.－3 D.－1
答案：(1)D (2)D
解析：(1)由题意知，当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－＝x(1－x).故选D.
(2)因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则有：f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x①，将其中的x取为－x，则可化简得，f(－x)－g(－x)＝f(x)＋g(x)＝－x3＋x2－x②，由①②联立可求得，f(x)＝x2，g(x)＝－x3－x，于是f(1)＋g(1)＝1－1－1＝－1.故选D.
任务二 利用函数奇偶性与单调性比较大小
问题2.想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性又如何？
提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增.
若a，b符号相同
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同).
2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反.
3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为－M.
4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N.
(1)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则下列结论正确的是( )
A.f(－1)＞f(5)＞f(2) B.f(2)＞f(－1)＞f(5)
C.f(－1)＞f(2)＞f(5) D.f(5)＞f(2)＞f(－1)
(2)已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )
A.f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)
B.f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C.f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)
D.f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
答案：(1)D (2)B
解析：(1)由题意知，函数f(x)在上单调递增，且f(－x)＝f(x)，f(－1)＝f(1)＜f(2)＜f(5).故选D.
(2)因为函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0).故选B.
v
利用函数奇偶性与单调性比较大小的求解策略
1.若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
2.若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
对点练2.(1)已知定义在[2a－1，3a]上的奇函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )
A.f(a)＞f(b)＞f(c) B.f(c)＞f(b)＞f(a)
C.f(b)＞f(a)＞f(c) D.f(b)＞f(c)＞f(a)
(2)已知函数f(x)＝，则( )
A.f＞f＞f(－1)
B.f＞f＞f(－1)
C.f＞f(－1)＞f
D.f(－1)＞f＞f
答案：(1)D (2)A
解析：(1)由题意可得2a－1＝－3a，所以a＝，因为函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)为奇函数，所以所以函数f(x)＝x3＋x，又函数f(x)＝x3＋x在上为单调递增函数，且b＞c＞a，所以f(b)＞f(c)＞f(a).故选D.
(2)由函数f(x)＝有意义，则满足4－x2＞0，解得－2＜x＜2，所以函数f(x)的定义域为，又由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得f(x)是上的奇函数.当0＜x＜2时，函数f(x)＝＝＝，因为y＝－1在(0，2)上为单调递减函数，可得f(x)在(0，2)上为单调递增函数，又因为f(x)是上的奇函数，所以f(x)在(－2，0)上为单调递增函数，因为x∈(0，2)时，f(x)＞0，x∈(－2，0)时，f(x)＜0，f(0)＝0，所以函数f(x)是上的单调递增函数，因为＞＞－1，所以f＞f＞f(－1).故选A.
任务三 利用函数的单调性与奇偶性解不等式
设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.
解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，2]上单调递减，
所以f(x)在[－2，2]上单调递减.
所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于
解得－1≤m＜.
所以实数m的取值范围为［－1，).
[变式探究]
1.(变条件)若把本例中“f(1－m)＜f(m)”改为“f(1＋m)＋f(m)＜0”，求实数m的取值范围.
解：由题意知f(x)为奇函数，且在定义域[－2，2]上单调递减，
所以不等式f(1＋m)＋f(m)＜0，
即f(1＋m)＜－f(m)＝f(－m).
则解得－＜m≤1.
故实数m的取值范围为.
2.(变条件)设定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[－2，0]上单调递减，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.
解：因为f(x)为偶函数，且在区间[－2，0]上单调递减，所以f(x)在[0，2]上单调递增.
所以不等式f(1－m)＜f(m)等价于f(｜1－m｜)＜f(｜m｜)，则｜1－m｜＜｜m｜≤2，解得＜m≤2.
故实数m的取值范围为.
利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
第一步：将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
第二步：由已知或利用奇偶性得出在区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的问题.
对点练3.(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ax＋1，若f(－3)＝8，则不等式f(x)＞的解集为( )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
(2)定义在[－1，1]上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)为减函数，则满足不等式f＜f的实数m的取值范围是 .
答案：(1)A (2)∪
解析：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝8，则f(3)＝－8，则3a＋1＝－8，即a＝－3，即当x＞0时，f(x)＝－3x＋1，设x＜0，则－x＞0，则f(x)＝－f(－x)＝－[－3(－x)＋1]＝－3x－1，则当x＞0时，由f(x)＞可得－3x＋1＞，解得0＜x＜，当x＜0时，由f(x)＞可得－3x－1＞，解得x＜－，所以不等式的解集为∪.故选A.
(2)因为函数f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，所以f＜f等价于f＜f，因为当x≥0时，f(x)为减函数，则解得－2≤m＜－，或－＜m≤0，所以实数m的取值范围是［－2，－)∪(－，0］.
[教材拓展5] 奇偶函数与对称性(源于教材P65B组T3)
常用结论：
1.函数 y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
2.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
(1)已知函数y＝f(2x－1)的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是( )
A.y＝f＋1 B.y＝f＋1
C.y＝f－1 D.y＝f－1
(2)已知函数f(x＋1)为偶函数，当x＞1时，f(x)＝x2－4x＋1，则当x＜1时，f(x)＝ .
(3)已知函数f(x)定义域为[a－1，2a]，且y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－1)＞f(2x－3a)的解集是 .
答案：(1)B (2)x2－3 (3)
解析：(1)因为函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，所以将函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数y＝f(2(x＋1)－1)＋1，其图象关于原点对称，即y＝f(2x＋1)＋1图象关于原点对称，函数为奇函数.故选B.
(2)由f(x＋1)是偶函数可得：f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(2－x)，所以当x＜1时，2－x＞1，即f(x)＝f(2－x)＝(2－x)2－4(2－x)＋1＝x2－3.
(3)因为函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则f(－x)＝f(x)，故函数f(x)是定义在上的偶函数，则a－1＋2a＝0，解得a＝，所以函数f(x)是定义在上的偶函数，由题意可知，函数f(x)在上单调递减，由f(x－1)＞f(2x－1)可得f＞f，所以＜x≤.因此不等式f(x－1)＞f.
任务 再现 1.利用奇偶性求函数的解析式.2.利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式
方法 提炼 转化法、数形结合法
易错 警示 解不等式时易忽视函数的定义域
1.已知偶函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，f(x)＝( )
A.－x2＋x B.－x2－x
C.x2＋x D.x2－x
答案：D
解析：当x＜0，则－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，又f(x)为偶函数，所以当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x.故选D.
2.若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上( )
A.单调递增且有最大值－5
B.单调递增且有最小值－5
C.单调递减且有最大值－5
D.单调递减且有最小值－5
答案：A
解析：因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选A.
3.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则不等式f(x＋1)＞f(2x)的解集为( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，－1]
C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
答案：C
解析：因为奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，因为f(x＋1)＞f(2x)，所以x＋1＞2x，解得x＜1，所以不等式的解集为(－∞，1).故选C.
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x(x＋4)，则函数f(x)在R上的表达式为 .
答案：f(x)＝
解析：当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝－2x(－x＋4)＝2x(x－4)，故f(x)＝f(－x)＝2x(x－4)，所以f(x)＝
课时分层评价21 函数奇偶性的应用
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋x，则当x＜0时，f(x)＝( )
A.－x3＋x B.－x3－x
C.x3－x D.x3＋x
答案：D
解析：f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋x，则当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋(－x)]＝x3＋x.故选D.
2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A.y＝x2 B.y＝x5＋1
C.y＝ D.y＝x3
答案：D
解析：对于A，y＝x2是偶函数，故A错误；对于B，y＝x5＋1是非奇非偶函数，故B错误；对于C，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，故C错误；对于D，y＝x3既是奇函数又是增函数，故D正确.故选D.
3.若奇函数f(x)在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则f(－3)＋2f(－6)＝( )
A.13 B.－13
C.5 D.－5
答案：B
解析：由f(x)在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，得f(3)＝－1，f(6)＝7.因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，f(－6)＝－f(6)＝－7，所以f(－3)＋2f(－6)＝1＋2×(－7)＝－13.故选B.
4.已知函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝x2－x＋1，则f(1)＝( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
答案：B
解析：因为f(x)＋g(x)＝x2－x＋1①，所以f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋1，因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋1②，①－②得2f(x)＝－2x，所以f(x)＝－x，则f(1)＝－1.故选B.
5.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈时，f(x)＝x2＋x，则下列说法正确的是( )
A.f(－1)＝－2
B.f(x)在定义域R上为增函数
C.当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x
D.不等式f(x－1)＜2的解集为
答案：CD
解析：对于A，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，又当x∈时，f(x)＝x2＋x，所以f(－1)＝f(1)＝2，故A错误；对于B，由二次函数y＝x2＋x＝－可知，f(x)在上单调递增，又因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，即f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，故B错误；对于C，当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，则f(x)＝f(－x)＝x2－x，故C正确；对于D，由f(x)的奇偶性与单调性可知，f(x－1)＜2可化为f＜f(1)，所以＜1，解得0＜x＜2，故D正确.故选CD.
6.已知定义在区间[－2，2]上的偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，都有＞0成立，若f(2＋m)＜f(2m)，则实数m的取值范围为( )
A.(－1，－) B.［－1，－)
C.(－1，0) D.(－∞，－)
答案：B
解析：由 x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，都有＞0成立，得函数f(x)在[0，2]上单调递增，又函数f(x)是[－2，2]上的偶函数，则f(2＋m)＜f(2m) f(｜2＋m｜)＜f(｜2m｜)，因此｜m＋2｜＜｜2m｜≤2，解得－1≤m＜－，所以实数m的取值范围为［－1，－).故选B.
7.函数f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝－1，则f(－1)＝ ；当x＜0时，函数的解析式为 .
答案：1 f(x)＝－－1
解析：因为函数f(x)是R上的偶函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)＝－1，所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1，设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－－1，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝－－1，即当x＜0时，函数的解析式为f(x)＝－－1.
8.(开放题)若f(x)是R上的奇函数，且在上单调递减，则函数f(x)的解析式可以为f(x)＝ .(写出符合条件的一个解析式即可)
答案：－x(答案不唯一)
解析：由函数f(x)是R上的奇函数，且在上单调递减，可取函数f(x)＝－x(答案不唯一).
9.已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)＞0，那么实数m的取值范围是 .
答案：
解析：因为f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，由f(m－2)＋f(2m－3)＞0，即f(m－2)＞－f(2m－3)＝f(3－2m)，所以解得1＜m＜，所以实数m的取值范围是.
10.(10分)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数.
(1)比较f(－1)与f(2)的大小；
(2)试比较f(－)与f(2a2－a＋1)的大小.
解：(1)因为函数y＝f(x)是偶函数，
所以f(2)＝f(－2)，
又f(x)在(－∞，0]上是减函数，－2＜－1＜0，所以有f(－2)＞f(－1)，即f(－1)＜f(2).
(2)因为函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
所以y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)在上单调递增，
因为2a2－a＋1＝2＋≥＞0，
所以f≥f，
又因为f(－)＝f()，
所以f(－)≤f.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.已知a＞0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z.若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M和m的值可能为( )
A.4和3 B.3和1
C.5和2 D.7和4
答案：B
解析：设g(x)＝x5＋2x，则g(x)＝x5＋2x为奇函数，函数g(x)＝x5＋2x在[－a，a]上的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z的最大值M，最小值m满足M＋m＝2b，为偶数.故选B.
12.(多选题)已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，则下列说法正确的有( )
A.g(2)＝9
B.f(x)在R上单调递增
C.f(x)·g(x)为奇函数
D.xf(x)≤0
答案：ACD
解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，则f(－x)＋g(－x)＝2x2＋x＋1，即－f(x)＋g(x)＝2x2＋x＋1，解得f(x)＝－x，g(x)＝2x2＋1.对于A，g(2)＝9，故A正确；对于B，f(x)＝－x在R上单调递减，故B错误；对于C，设F(x)＝f(x)·g(x)，函数定义域为R，F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，函数为奇函数，故C正确；对于D，xf(x)＝－x2≤0，故D正确.故选ACD.
13.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x，则x＜0时，f(x)＝ ；不等式f(2x＋1)＋f(－5)＞0的解集是 .
答案： －x2＋x (2，＋∞)
解析：当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝x2－x，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x，所以x＜0时，f(x)＝－x2＋x；由f(2x＋1)＋f(－5)＞0可得：f(2x＋1)＞－f(－5)＝f(5)，当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，所以2x＋1＞5，所以x＞2，所以不等式的解集为(2，＋∞).
14.(10分)已知函数f(x)为[－1，1]上的奇函数，当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－ax＋b，且f(－1)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)满足不等式f＞f，求实数t的取值范围.
解：(1)因为函数f(x)为[－1，1]上的奇函数，且当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－ax＋b，
所以f(0)＝b＝0，又f(－1)＝1＋a＝2，解得a＝1，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2－x，
设0＜x≤1，则－1≤－x＜0，所以f(－x)＝x2＋x＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－x，
所以f(x)＝
(2)由(1)知f(x)＝可得f(x)在[－1，1]上是减函数，
又f(x)为奇函数，f＞f，所以解得0≤t＜，
所以实数t的取值范围是［0，).
15.(5分)(开放题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数，则f(x)＝ .
①定义域为R，值域为；②y＝f(x)在定义域内是偶函数；③f(x)＝0有3个根.
答案：x2－2｜x｜(答案不唯一)
解析：根据题意，取函数f(x)＝x2－2｜x｜，可得函数f(x)＝x2－2｜x｜＝(｜x｜－1)2－1的定义域为R，值域为，故①符合；因为f(－x)＝x2－2｜x｜＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故②符合；令f(x)＝x2－2｜x｜＝0，解得x＝0或x＝±2，所以y＝f(x)的图象与x轴有3个交点，即f(x)＝0有3个根，所以③符合.综上，函数f(x)＝x2－2｜x｜符合题意(答案不唯一).
16.(15分)已知函数f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1.
(1)求m，n的值；
(2)判断f(x)的单调性，并用定义法证明你的结论；
(3)求使f(a－1)＋f＜0成立的实数a的取值范围.
解：(1)由题意可知f(0)＝0，故n＝0，
又由f(1)＝1可得f(1)＝＝1，解得m＝2；所以f(x)＝，x∈[－1，1]，
此时f(x)定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，
故f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，满足题意，所以m＝2，n＝0.
(2)f(x)在[－1，1]上单调递增，证明如下：
取任意x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
所以x1－x2＜0，＋1＞0，＋1＞0，x1x2＜1，
所以1－x1x2＞0，所以f(x1)－f(x2)＝＜0，即f(x1)＜f(x2)，
因此f(x)在[－1，1]上单调递增.
(3)由(1)(2)可知，f(x)是在[－1，1]上单调递增的奇函数，
所以由f(a－1)＋f(a2－1)＜0可得f(a－1)＜－f(a2－1)＝f(1－a2)，
因此需满足
解得即0≤a＜1.
故实数a的取值范围为.
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第2课时 函数奇偶性的应用
第二章 §4 4.1 函数的奇偶性
学习目标
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用于比较大小、求最值和解不等式，培养数学抽象及数学运算的核心素养.
任务一 根据函数奇偶性求函数的解析式
问题导思
关于奇、偶函数的几个性质
(1)两个奇函数的和(差)仍是________，两个偶函数的和(差)仍是________.
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商，分母不为零)为________；奇偶性相反的两个函数的积(商，分母不为零)为________.
(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，则_________.
(4)如果函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(｜x｜).
新知构建
奇函数
偶函数
偶函数
奇函数
f(0)＝0
典例
1
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
因为f(x)＋g(x)＝2x＋x2，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
所以f(x)＝x2，g(x)＝2x.
变式探究
(变条件)将本例(1)中的“奇函数”改为“偶函数”，“x＞0”改为“x＜0”，其他条件不变，求函数f(x)的解析式.
解：当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
因为函数f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，
即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3.
利用函数奇偶性求函数解析式的步骤
第一步：“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
第二步：转化到已知区间上，代入已知的解析式；
第三步：利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
规律方法
对点练1.(1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x).则当x＜0时，f(x)的解析式为
A.f(x)＝x(1＋x) B.f(x)＝x(x－1)
C.f(x)＝－x(x＋1) D.f(x)＝x(1－x)
√
(2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x，则f(1)＋g(1)＝
A.1 B.3
C.－3 D.－1
因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则有：f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)－g(x)＝x3＋x2＋x①，将其中的x取为－x，则可化简得，f(－x)－g(－x)＝f(x)＋g(x)＝－x3＋x2－x②，由①②联立可求得，f(x)＝x2，g(x)＝－x3－x，于是f(1)＋g(1)＝1－1－1＝－1.故选D.
√
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任务二 利用函数奇偶性与单调性比较大小
问题2.想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性又如何？
提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增.
问题导思
若a，b符号相同
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性____________.
2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性______.
3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为______.
4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为____.
新知构建
单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
－M
N
(1)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则下列结论正确的是
A.f(－1)＞f(5)＞f(2) B.f(2)＞f(－1)＞f(5)
C.f(－1)＞f(2)＞f(5) D.f(5)＞f(2)＞f(－1)
√
典例
2
(2)已知f(x)是奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是
A.f(－0.5)＜f(0)＜f(－1) B.f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)
C.f(0)＜f(－0.5)＜f(－1) D.f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)
√
因为函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，所以f(－1)＜f(－0.5)＜f(0).故选B.
利用函数奇偶性与单调性比较大小的求解策略
1.若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小.
2.若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小.
规律方法
对点练2.(1)已知定义在[2a－1，3a]上的奇函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为
A.f(a)＞f(b)＞f(c) B.f(c)＞f(b)＞f(a)
C.f(b)＞f(a)＞f(c) D.f(b)＞f(c)＞f(a)
√
√
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任务三 利用函数的单调性与奇偶性解不等式
典例
3
利用函数奇偶性与单调性解不等式的步骤
第一步：将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
第二步：由已知或利用奇偶性得出在区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的对应法则“f”，转化为解不等式(组)的 问题.
规律方法
√
[教材拓展5] 奇偶函数与对称性(源于教材P65B组T3)
常用结论：
1.函数 y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
2.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
典例
4
√
因为函数y＝f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，所以将函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数y＝f(2(x＋1)－1)＋1，其图象关于原点对称，即y＝f(2x＋1)＋1图象关于原点对称，函数为奇函数.故选B.
(2)已知函数f(x＋1)为偶函数，当x＞1时，f(x)＝x2－4x＋1，则当x＜1时，f(x)＝__________.
x2－3
由f(x＋1)是偶函数可得：f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(x)＝f(2－x)，所以当x＜1时，2－x＞1，即f(x)＝f(2－x)＝(2－x)2－4(2－x)＋1＝x2－3.
(3)已知函数f(x)定义域为[a－1，2a]，且y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，当x∈[0，2a]时，f(x)单调递减，则关于x的不等式f(x－1)＞f(2x－3a)的解
集是__________.
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课堂小结
任务
再现 1.利用奇偶性求函数的解析式.2.利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式
方法
提炼 转化法、数形结合法
易错
警示 解不等式时易忽视函数的定义域
随堂评价
1.已知偶函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，f(x)＝
A.－x2＋x B.－x2－x
C.x2＋x D.x2－x
√
当x＜0，则－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，又f(x)为偶函数，所以当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x.故选D.
2.若奇函数f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上
A.单调递增且有最大值－5 B.单调递增且有最小值－5
C.单调递减且有最大值－5 D.单调递减且有最小值－5
√
因为f(x)在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上单调递增，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选A.
3.已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，则不等式f(x＋1)＞f(2x)的解集为
A.(－∞，－1) B.(－∞，－1]
C.(－∞，1) D.(1，＋∞)
√
因为奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在R上单调递增，因为f(x＋1)＞f(2x)，所以x＋1＞2x，解得x＜1，所以不等式的解集为(－∞，1).故选C.
4.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x(x＋4)，则函数f(x)在R上的表达式为______________________.
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课时分层评价
1.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋x，则当x＜0时，f(x)＝
A.－x3＋x B.－x3－x
C.x3－x D.x3＋x
√
f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋x，则当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋(－x)]＝x3＋x.故选D.
√
3.若奇函数f(x)在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，则f(－3)＋2f(－6)＝
A.13 B.－13
C.5 D.－5
√
由f(x)在区间[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大值为7，最小值为－1，得f(3)＝－1，f(6)＝7.因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝1，f(－6)＝－f(6)＝－7，所以f(－3)＋2f(－6)＝1＋2×(－7)＝－13.故选B.
4.已知函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝x2－x＋1，则f(1)＝
A.1 B.－1
C.2 D.－2
√
因为f(x)＋g(x)＝x2－x＋1①，所以f(－x)＋g(－x)＝x2＋x＋1，因为f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以－f(x)＋g(x)＝x2＋x＋1②，①－②得2f(x)＝－2x，所以f(x)＝－x，则f(1)＝－1.故选B.
√
√
√
1
－x(答案不唯一)
9.已知f(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)＞0，那么实数m的取值范围是__________.
10.(10分)函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是减函数.
(1)比较f(－1)与f(2)的大小；
解：因为函数y＝f(x)是偶函数，
所以f(2)＝f(－2)，
又f(x)在(－∞，0]上是减函数，－2＜－1＜0，所以有f(－2)＞f(－1)，即f(－1)＜f(2).
11.已知a＞0，设函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z.若f(x)的最大值为M，最小值为m，则M和m的值可能为
A.4和3 B.3和1
C.5和2 D.7和4
√
设g(x)＝x5＋2x，则g(x)＝x5＋2x为奇函数，函数g(x)＝x5＋2x在[－a，a]上的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)＝x5＋2x＋b，x∈[－a，a]，b∈Z的最大值M，最小值m满足M＋m＝2b，为偶数.故选B.
12.(多选题)已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，则下列说法正确的有
A.g(2)＝9 B.f(x)在R上单调递增
C.f(x)·g(x)为奇函数 D.xf(x)≤0
√
f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(x)＋g(x)＝2x2－x＋1，则f(－x)＋g(－x)＝2x2＋x＋1，即－f(x)＋g(x)＝2x2＋x＋1，解得f(x)＝－x，g(x)＝2x2＋1.对于A，g(2)＝9，故A正确；对于B，f(x)＝－x在R上单调递减，故B错误；对于C，设F(x)＝f(x)·g(x)，函数定义域为R，F(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－F(x)，函数为奇函数，故C正确；对于D，xf(x)＝－x2≤0，故D正确.故选ACD.
√
√
13.f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2＋x，则x＜0时，f(x)＝__________；不等式f(2x＋1)＋f(－5)＞0的解集是__________.
－x2＋x
(2，＋∞)
当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝x2－x，因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2＋x，所以x＜0时，f(x)＝－x2＋x；由f(2x＋1)＋f(－5)＞0可得：f(2x＋1)＞－f(－5)＝f(5)，当x≥0时，f(x)＝x2＋x在[0，＋∞)上单调递增，因为f(x)是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，所以2x＋1＞5，所以x＞2，所以不等式的解集为(2，＋∞).
x2－2｜x｜(答案不唯一)
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