第2课时 全集与补集
学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集. 3.会用Venn图、数轴进行集合的综合运算，培养数学抽象和数学运算的核心素养.
任务一 全集与补集
U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}.
问题1.集合U，A，B三者有何关系？
提示：U＝A∪B.
问题2.集合B中元素与U和A有何关系？
提示：B中元素都在U中，但都不在A中.
1.全集
在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示，全集包含所要研究的这些集合.
[微思考] 全集一定是实数集R吗？
提示：不一定.全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
2.补集
[微提醒] (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，所选的全集不同，得到的补集也不同.
(1)(链教材P10例7)设集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，则 UA＝( )
A.{0，2，3，4，5，6} B.{2，3，4，5，6}
C.{0，1} D.
(2)已知全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜1≤x＜2}，则 UA＝( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
答案：(1)C (2)B
解析：(1)因为U＝{0，1，2，3，4，5，6}，A＝{2，3，4，5，6}，根据补集定义得 UA＝.故选C.
(2)因为U＝，A＝，所以 UA＝∪.故选B.
求集合的补集的方法
对点练1.(1)已知集合U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}， UA＝{4，5，6}，则( )
A.2∈A B.3 A
C.6∈A D.7 A
(2)设全集U＝，集合A＝， UA＝，则m＝( )
A.3 B.－2
C.4 D.2
答案：(1)A (2)D
解析：(1)U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}＝{2，3，4，5，6，7，8}，又 UA＝{4，5，6}，所以A＝{2，3，7，8}，所以2∈A，3∈A，6 A，7∈A.故选A.
(2) 已知A＝{2，m－1}， UA＝{4}，由补集概念知，m－1≠4，由集合中元素的互异性知，m－1≠2，又全集U＝{1，2，m2}，因为 UA＝{4} U，且A U，所以4∈U，m－1∈U，则解得m＝2.故选D.
任务二 交集、并集、补集的综合运算
(链教材P10例8)已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}.求A∩B，( UA)∪B，A∩( UB)， U(A∪B).
解：因为A＝{x｜－2＜x＜3}，
B＝{x｜－3≤x≤2}，
U＝{x｜x≤4}，
如图所示.
所以 UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}，
A∩B＝{x｜－2＜x≤2}，
A∪B＝{x｜－3≤x＜3}.
故( UA)∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x｜2＜x＜3}，
U(A∪B)＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}.
求集合交、并、补运算的方法
对点练2.设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}.
(1)求A∪B；
(2)求 UA， UB；
(3)求( UA)∪( UB)， U(A∩B).
解：(1)U＝{x｜x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，得A∪B＝{1，2，3，4，5，6}.
(2) UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}.
(3)( UA)∪( UB)＝{1，2，4，5，6，7，8}，
由A∩B＝{3}，得 U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}.
任务三 由补集的运算求参数的值(范围)
设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且( UA)∩B＝ ，求实数m的取值范围.
解：法一(直接法)：由A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，得 UA＝{x｜x＜－m}.
因为B＝{x｜－2＜x＜4}，( UA)∩B＝ ，如图所示，
所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是[2，＋∞).
法二(集合间的关系)：由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x｜－2＜x＜4}，A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，结合数轴(如图)，得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是[2，＋∞).
[变式探究]
1.(变条件)将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又( UA)∩B≠ ，所以－m＞－2，解得m＜2.
所以m的取值范围是(－∞，2).
2.(变条件)将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
所以m的取值范围是(－∞，－4].
由集合的补集求解参数的方法
1.直接法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义直接求解.
2.数轴分析法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.
对点练3.设全集U＝R，集合A＝{x｜3－a＜x＜a}，B＝{x｜－2≤x≤6}.
(1)当a＝4时，求( UA)∩B；
(2)若A∩( UB)＝ ，求实数a的取值范围.
解：(1)当a＝4时，A＝，
所以 UA＝∪，
所以( UA)∩B＝∪.
(2)因为A∩( UB)＝ ，所以A B.
当3－a≥a，即a≤时，A＝ ，此时A B成立；
当a＞时，由A B得：－2≤3－a＜a≤6，
所以＜a≤5.
综上，a的取值范围是{a｜a≤5}.
[教材拓展1] 集合中的德摩根定律(源于教材P11：思考交流)
常用结论： U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
(1)(多选题)已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，( UA)∪( UB)中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可能为( )
A.2 B.6
C.8 D.12
(2)设U为全集，S1，S2是U的两个非空子集，且S1∪S2＝U，则下列结论正确的是( )
A.S1∪S2＝
B.S1 ( US2)
C.( US1)∩( US2)＝
D.( US1)∩( US2)＝U
答案：(1)BC (2)C
解析：(1)因为( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有m个元素，所以A∩B中有12－m个元素，
设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x，
因为m≥8，所以x≤10，又U＝A∪B中共有12个元素，所以x≥6，则6≤x≤10.故选BC.
(2)由题S1，S2不为空集，所以S1∪S2≠ ，故A错误；当S1 S2，S2＝U时，满足S1∪S2＝U，但 US2＝ ，故B错误；因为S1∪S2＝U，所以 US1∩ US2＝ U(S1∪S2)＝ UU＝ ，故C正确，D错误.故选C.
任务 再现 1.全集和补集的概念及运算.2.并、交、补集的混合运算.3.与补集有关的参数的求解
方法 提炼 分类讨论、数形结合法
易错 警示 正难则反，求补集时易忽视全集，运算时易忽视端点的取舍
1.已知集合U＝R，A＝{x｜x＜－1，或x＞2}，则 UA等于( )
A.{x｜x＜－1，或x＞2} B.{x｜x≤－1，或x≥2}
C.{x｜－1＜x＜2} D.{x｜－1≤x≤2}
答案：D
解析：由题意可得， UA＝.故选D.
2.设全集U＝R，M＝{x｜x＜－1，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤4}，如图，阴影部分所表示的集合为( )
A.{x｜－1≤x≤4} B.{x｜－1≤x＜1}
C.{x｜x≤1，或x＞2} D.{x｜－1≤x≤2}
答案：B
解析：由题意得，阴影部分可表示为 U，因为M＝{x｜x＜－1，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤4}，则M∪N＝{x｜x＜－1，或x≥1}，且U＝R，所以 U＝{x｜－1≤x＜1}.故选B.
3.已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{x｜－2＜x＜1}，且A∪ RB＝R，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由B＝{x｜－2＜x＜1}，得 RB＝{x｜x≤－2，或x≥1}，而A＝{x｜x＜a}，A∪ RB＝R，则a≥1，所以实数a的取值范围是.故选A.
4.(多选题)已知全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，则{x｜x≤－2}＝( )
A.M∩( UN) B. U(M∪N)
C.( UM)∩N D.( UM)∩( UN)
答案：BD
解析：全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，则 UM＝{x｜x≤3}， UN＝{x｜x≤－2，或x≥4}，对于A，M∩( UN)＝{x｜x≥4}，故A错误；对于B，M∪N＝{x｜x＞－2}， U(M∪N)＝{x｜x≤－2}，故B正确；对于C，( UM)∩N＝{x｜－2＜x≤3}，故C错误；对于D，( UM)∩( UN)＝{x｜x≤－2}，故D正确.故选BD.
课时分层评价4 全集与补集
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.已知全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜1≤x＜2}，则 UA＝( )
A.{x｜x≤－1，或x≥2}
B.{x｜0＜x＜1，或x≥2}
C.{x｜x＜－1，或x＞2}
D.{x｜0＜x＜1，或x＞2}
答案：B
解析：因为U＝{x}，A＝{x}，所以 UA＝{x｜0＜x＜1，或x≥2}.故选B.
2.已知集合U＝{2，4，6，8，10}，A＝{2，4}，B＝{4，6}，则 U＝( )
A.{4} B.{2，4}
C.{8，10} D.{2，4，6}
答案：C
解析：由题意，得A∪B＝{2，4，6}，所以 U＝{8，10}.故选C.
3.设集合A＝，B＝，A∪( RB)＝A，则实数a的取值范围为( )
A.a＞2 B.a＜2
C.a≥2 D.a≤2
答案：C
解析：因为集合B＝{x｜x≥2}，可得 RB＝{x｜x＜2}，又由集合A＝{x｜x≤a}，要使得A∪( RB)＝A，可得( RB) A，则满足a≥2.故选C.
4.已知全集U＝A∪B＝{x∈N｜1≤x≤8}，A∩( UB)＝{1，3，5，7}，则集合B＝( )
A.{2，6，8} B.{4，6，8}
C.{2，4，6，8} D.{1，2，4，6}
答案：C
解析：由A∩( UB)＝{1，3，5，7}，如右图所示，且U＝A∪B＝{x∈N｜1≤x≤8}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，则B＝ U(A∩( UB))＝{2，4，6，8}.故选C.
5.(多选题)已知全集U＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x2－x＜6}，B＝{－2，0，1，3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，2} B. (A∪B)B
C.A∩( UB) D.( UA)∩( UB)
答案：ABC
解析：由图可知阴影部分所表示的集合为 (A∪B)B，A∩( UB)，故B，C正确，D错误；因为A＝{x∈Z｜x2－x＜6}＝{－1，0，1，2}， UB＝{－1，2，4}，所以A∩( UB)＝{－1，2}，故A正确.故选ABC.
6.(多选题)图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
A.( UB)∩(A∪C)
B. U((A∩B)∪(B∩C))
C.A∪(C∩ UB)
D.(A∩ UB)∪(C∩ UB)
答案：AD
解析：对于A，( UB)∩(A∪C)即为题图中所示；对于B， U((A∩B)∪(B∩C))应为如图①；
对于C，A∪(C∩ UB)应为如图②； 对于D，(A∩ UB)∪(C∩ UB)＝( UB)∩(A∪C)即为题图中所示.故选AD.
7.已知集合A＝{x}，B＝{x}，则A∩( RB)＝ .
答案：{x｜－3≤x＜1}
解析：由B＝{x｜x≥1}，得 RB＝{x｜x＜1}，而A＝{x｜－3≤x＜3}，所以A∩( RB)＝{x｜－3≤x＜1}.
8.(开放题)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，试写出一个符合要求的集合B＝ .
答案：{2}(答案不唯一)
解析：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，则{3，4，5} UB U，所以B＝{1}或{2}或{1，2}或 (答案不唯一).
9.设U＝R，已知集合A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜x＞a}，且( UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是 .
答案：
解析：由题设，可得 UA＝{x｜x＜0}，因为( UA)∪B＝R，B＝{x｜x＞a}，所以a＜0.
10.(10分)已知集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜m＜x＜m＋9}.
(1)若m＝－3，求A∪B， R；
(2)若( UB)∩A＝ ，求实数m的取值范围.
解：(1)当m＝－3时，B＝{x｜－3＜x＜6}，
又A＝{x｜－2＜x＜3}，
所以A∪B＝{x｜－3＜x＜6}，
A∩B＝{x｜－2＜x＜3}，
所以 R＝{x，或x≥3}.
(2)因为B＝{x｜m＜x＜m＋9}，
所以 RB＝{x｜x≤m，或x≥m＋9}，
又A＝{x｜－2＜x＜3}，( UB)∩A＝ ，
所以解得－6≤m≤－2，
所以实数m的取值范围为[－6，－2].
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.设全集U＝，集合M，N满足M＝，( UM)∩N＝，则＝( )
A.M∪( UN) B.( UM)∪( UN)
C.M∩( UN) D.( UM)∩( UN)
答案：D
解析：U＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，M＝，故 UM＝{0，1，2，4，5，6}，又( UM)∩N＝，故4∈N，5∈N，0，1，2，6 N，对于A，由题意得3，7∈M∪( UN)，故A错误；对于B，由于 UM＝{0，1，2，4，5，6}，故4，5∈( UM)∪( UN)，B错误；对于C，由于0，1，2，6 M，故0，1，2，6 M∩( UN)，C错误；对于D，由于0，1，2，6 N，故0，1，2，6∈ UN，且4 UN，5 UN，又 UM＝{0，1，2，4，5，6}，故( UM)∩( UN)＝.故选D.
12.(多选题)设全集U＝，集合A，B U，若A∩B＝，A∩ UB＝， UA∩ UB＝，则( )
A.A＝ B.B＝
C.B真子集的个数31 D.9
答案：ACD
解析：由题意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，作出Venn图，如图，由图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}，故A正确，B错误；所以集合B的真子集个数为25－1＝31个，故C正确；A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，故9 (A∪B)，故D正确.故选ACD.
13.设全集U＝，A∩( UB)＝，B∩( UA)＝，( UA)∩( UB)＝，则集合B＝ .
答案：
解析：因为U＝，A∩( UB)＝，所以集合B中没有0，1，8，9，又B∩( UA)＝，所以集合B中有2，4，因为( UA)∩( UB)＝，说明集合B中没有5，7，10，所以3，6∈A∩B，综上，集合B＝{2，3，4，6}.
14.(10分)已知集合A＝[0，2]，B＝[a，a＋3].
(1)若( RA)∪B＝R，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使( RA)∪B＝R且A∩B＝ ？
解：(1)集合A＝[0，2]，
则 RA＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，
而B＝[a，a＋3]，且( RA)∪B＝R，
因此解得－1≤a≤0，
所以实数a的取值范围是[－1，0].
(2)由(1)知－1≤a≤0，由A∩B＝ ，得a＋3＜0，或a＞2，解得a＜－3，或a＞2，
所以不存在实数a使( RA)∪B＝R且A∩B＝ 成立.
15.(5分)(新题型)(多选题)设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B＝A∪C，那么下列各式中不一定成立的是( )
A.B A
B.C A
C.A∩( UB)＝A∩( UC)
D.( UA)∩B＝( UA)∩C
答案：ABC
解析：当U＝，A＝，B＝，C＝时，满足A∪B＝A∪C，此时，B，C不是A的子集，所以A，B不一定成立； UB＝， UC＝ ，A∩( UB)＝，A∩( UC)＝ ，所以C不一定成立；对于D，若 x∈( UA)∩B，则x A，但x∈B，因为A∪B＝A∪C，所以x∈C，于是x∈( UA)∩C，所以( UA)∩B ( UA)∩C，同理若 x∈( UA)∩C，则x∈( UA)∩B，( UA)∩C ( UA)∩B，因此，( UA)∩B＝( UA)∩C成立，所以D成立.故选ABC.
16.(15分)(新定义)(1)对于数集A，B，定义A＋B＝，A÷B＝{x｜x＝，a∈A，b∈B}，若集合A＝，求集合(A＋A)÷A中所有元素之和.
(2)设A，B是R上的两个子集，对任意x∈R，定义：m＝n＝
①若A B，则对任意x∈R，求m的值；
②若对任意x∈R，m＋n＝1，求A，B的关系.
解：(1)由A＋B＝{x｜x＝a＋b，a∈A，b∈B}及A＝，得A＋A＝{2，3，4}，
由A÷B＝{x｜x＝，a∈A，b∈B}，
得(A＋A)÷A＝{1，，2，3，4}，
所以集合(A＋A)÷A中所有元素之和为1＋＋2＋3＋4＝.
(2)①由A B，得x A或x∈A，
当x A时，m＝0，m(1－n)＝0；
当x∈A时，必有x∈B，则m＝n＝1，m(1－n)＝0，
所以m(1－n)＝0.
②对任意x∈R，m＋n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，
则x∈A且x B，或x∈B且x A，于是A∪B＝R，且A∩B＝ ，
因此集合A，B的关系为A＝ RB.
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第2课时 全集与补集
第一章 §1 1.3 集合的基本运算
学习目标
1.了解全集的含义及其符号表示.
2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的 补集.
3.会用Venn图、数轴进行集合的综合运算，培养数学抽象和数学运算的核心素养.
任务一 全集与补集
U＝{高一(2)班全班同学}，A＝{高一(2)班中参加足球队的同学}，B＝{高一(2)班中没有参加足球队的同学}.
问题1.集合U，A，B三者有何关系？
提示：U＝A∪B.
问题2.集合B中元素与U和A有何关系？
提示：B中元素都在U中，但都不在A中.
问题导思
1.全集
在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作______，常用符号____表示，全集______所要研究的这些集合.
新知构建
全集
U
包含
全集一定是实数集R吗？
提示：不一定.全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
微思考
2.补集
UA
{x｜x∈U，且x A}
U
A
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，所选的全集不同，得到的补集也不同.
微提醒
(1)(链教材P10例7)设集合U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，4，5，6}，则 UA＝
A.{0，2，3，4，5，6} B.{2，3，4，5，6}
C.{0，1} D.
√
典例
1
√
求集合的补集的方法
规律方法
对点练1.(1)已知集合U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}， UA＝{4，5，6}，则
A.2∈A B.3 A
C.6∈A D.7 A
√
U＝{x｜1＜x＜9，x∈N}＝{2，3，4，5，6，7，8}，又 UA＝{4，5，6}，所以A＝{2，3，7，8}，所以2∈A，3∈A，6 A，7∈A.故选A.
√
返回
任务二 交集、并集、补集的综合运算
(链教材P10例8)已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}.求A∩B，( UA)∪B，A∩( UB)， U(A∪B).
解：因为A＝{x｜－2＜x＜3}，
B＝{x｜－3≤x≤2}，
U＝{x｜x≤4}，
如图所示.
所以 UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}，
A∩B＝{x｜－2＜x≤2}，
A∪B＝{x｜－3≤x＜3}.
故( UA)∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}，
A∩( UB)＝{x｜2＜x＜3}，
U(A∪B)＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}.
典例
2
求集合交、并、补运算的方法
规律方法
对点练2.设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}.
(1)求A∪B；
解：U＝{x｜x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，得A∪B＝{1，2，3，4，5，6}.
(2)求 UA， UB；
解： UA＝{4，5，6，7，8}， UB＝{1，2，7，8}.
(3)求( UA)∪( UB)， U(A∩B).
解：( UA)∪( UB)＝{1，2，4，5，6，7，8}，
由A∩B＝{3}，得 U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}.
返回
任务三 由补集的运算求参数的值(范围)
设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且( UA)∩B＝ ，求实数m的取值范围.
解：法一(直接法)：由A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，得 UA＝{x｜x＜－m}.
因为B＝{x｜－2＜x＜4}，( UA)∩B＝ ，如图所示，
所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是[2，＋∞).
典例
3
法二(集合间的关系)：由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x｜－2＜x＜4}，A＝{x｜x＋m≥0}＝{x｜x≥－m}，结合数轴(如图)，得－m≤－2，即m≥2.
所以m的取值范围是[2，＋∞).
变式探究
1.(变条件)将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B≠ ”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又( UA)∩B≠ ，所以－m＞－2，解得m＜2.
所以m的取值范围是(－∞，2).
2.(变条件)将本例中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
所以 UA＝{x｜x＜－m}，
又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
所以m的取值范围是(－∞，－4].
由集合的补集求解参数的方法
1.直接法：如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义直接求解.
2.数轴分析法：如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解.
规律方法
[教材拓展1] 集合中的德摩根定律(源于教材P11：思考交流)
常用结论： U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
(1)(多选题)已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，( UA)∪( UB)中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可能为
A.2 B.6
C.8 D.12
典例
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√
√
因为( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有m个元素，所以A∩B中有12－m个 元素，
设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x＋6－(12－m)＝12，即m＝18－x，
因为m≥8，所以x≤10，又U＝A∪B中共有12个元素，所以x≥6，则6≤x≤10.故选BC.
(2)设U为全集，S1，S2是U的两个非空子集，且S1∪S2＝U，则下列结论正确的是
A.S1∪S2＝ B.S1 ( US2)
C.( US1)∩( US2)＝ D.( US1)∩( US2)＝U
√
由题S1，S2不为空集，所以S1∪S2≠ ，故A错误；当S1 S2，S2＝U时，满足S1∪S2＝U，但 US2＝ ，故B错误；因为S1∪S2＝U，所以 US1∩ US2＝ U(S1∪S2)＝ UU＝ ，故C正确，D错误.故选C.
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课堂小结
任务再现 1.全集和补集的概念及运算.
2.并、交、补集的混合运算.
3.与补集有关的参数的求解
方法提炼 分类讨论、数形结合法
易错警示 正难则反，求补集时易忽视全集，运算时易忽视端点的取舍
随堂评价
1.已知集合U＝R，A＝{x｜x＜－1，或x＞2}，则 UA等于
A.{x｜x＜－1，或x＞2} B.{x｜x≤－1，或x≥2}
C.{x｜－1＜x＜2} D.{x｜－1≤x≤2}
√
2.设全集U＝R，M＝{x｜x＜－1，或x＞2}，N＝{x｜1≤x≤4}，如图，阴影部分所表示的集合为
A.{x｜－1≤x≤4}
B.{x｜－1≤x＜1}
C.{x｜x≤1，或x＞2}
D.{x｜－1≤x≤2}
√
√
4.(多选题)已知全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，则{x｜x≤－2}＝
A.M∩( UN) B. U(M∪N)
C.( UM)∩N D.( UM)∩( UN)
√
√
全集U＝R，集合M＝{x｜x＞3}，N＝{x｜－2＜x＜4}，则 UM＝{x｜x≤3}， UN＝{x｜x≤－2，或x≥4}，对于A，M∩( UN)＝{x｜x≥4}，故A错误；对于B，M∪N＝{x｜x＞－2}， U(M∪N)＝{x｜x≤－2}，故B正确；对于C，( UM)∩N＝{x｜－2＜x≤3}，故C错误；对于D，( UM)∩( UN)＝{x｜x≤－2}，故D正确.故选BD.
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课时分层评价
1.已知全集U＝{x｜x＞0}，集合A＝{x｜1≤x＜2}，则 UA＝
A.{x｜x≤－1，或x≥2}
B.{x｜0＜x＜1，或x≥2}
C.{x｜x＜－1，或x＞2}
D.{x｜0＜x＜1，或x＞2}
√
√
√
因为集合B＝{x｜x≥2}，可得 RB＝{x｜x＜2}，又由集合A＝{x｜x≤a}，要使得A∪( RB)＝A，可得( RB) A，则满足a≥2.故选C.
4.已知全集U＝A∪B＝{x∈N｜1≤x≤8}，A∩( UB)＝{1，3，5，7}，则集合B＝
A.{2，6，8} B.{4，6，8}
C.{2，4，6，8} D.{1，2，4，6}
√
由A∩( UB)＝{1，3，5，7}，如右图所示，且U＝A∪B＝
{x∈N｜1≤x≤8}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，则B＝
U(A∩( UB))＝{2，4，6，8}.故选C.
√
由图可知阴影部分所表示的集合为 (A∪B)B，A∩( UB)，故B，C正确，D错误；因为A＝{x∈Z｜x2－x＜6}＝{－1，0，1，2}， UB＝{－1，2，4}，所以A∩( UB)＝{－1，2}，故A正确.故选ABC.
√
√
6.(多选题)图中阴影部分用集合符号可以表示为
A.( UB)∩(A∪C)
B. U((A∩B)∪(B∩C))
C.A∪(C∩ UB)
D.(A∩ UB)∪(C∩ UB)
√
对于A，( UB)∩(A∪C)即为题图中所示；
对于B， U((A∩B)∪(B∩C))应为如图①；
对于C，A∪(C∩ UB)应为如图②；对于D，
(A∩ UB)∪(C∩ UB)＝( UB)∩(A∪C)即为题图中所示.故选AD.
√
由B＝{x｜x≥1}，得 RB＝{x｜x＜1}，而A＝{x｜－3≤x＜3}，所以A∩( RB)＝{x｜－3≤x＜1}.
{x｜－3≤x
＜1}
8.(开放题)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，试写出一个符合要求的集合B＝________________.
U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，A∪( UB)＝U，则{3，4，5} UB U，所以B＝{1}或{2}或{1，2}或 (答案不唯一).
{2}(答案不唯一)
9.设U＝R，已知集合A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜x＞a}，且( UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是____________.
由题设，可得 UA＝{x｜x＜0}，因为( UA)∪B＝R，B＝{x｜x＞a}，所以a＜0.
√
√
由题意知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，作出Venn
图，如图，由图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，
6，8}，故A正确，B错误；所以集合B的真子集个数为
25－1＝31个，故C正确；A∪B＝{1，2，3，4，5，6，
7，8}，故9 (A∪B)，故D正确.故选ACD.
√
√
(2)是否存在实数a使( RA)∪B＝R且A∩B＝ ？
解：由(1)知－1≤a≤0，由A∩B＝ ，得a＋3＜0，或a＞2，解得a＜－3，或a＞2，
所以不存在实数a使( RA)∪B＝R且A∩B＝ 成立.
15.(5分)(新题型)(多选题)设U为全集，集合A，B，C满足条件A∪B＝A∪C，那么下列各式中不一定成立的是
A.B A B.C A
C.A∩( UB)＝A∩( UC) D.( UA)∩B＝( UA)∩C
√
√
√
②若对任意x∈R，m＋n＝1，求A，B的关系.
解：对任意x∈R，m＋n＝1，则m，n的值一个为0，另一个为1，
则x∈A且x B，或x∈B且x A，于是A∪B＝R，且A∩B＝ ，
因此集合A，B的关系为A＝ RB.
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