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第1课时 基本不等式
第一章 §3 3.2 基本不等式
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导过程.
2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.
3.能初步运用基本不等式证明不等式和求最值，提升数学运算的核心素养.
任务一 基本不等式的证明与理解
问题导思
新知构建
基本不等式
(均值不等式)
算术平均值
如果a≥0，b≥0，则________称为a，b的算术平均值
几何平均值 如果a≥0，b≥0，则______称为a，b的几何平均值
表述 两个非负实数的______平均值大于或等于它们的______平均值
重要不等式 如果a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立
a＝b
算术
几何
微提醒
√
典例
1
√
√
√
规律方法
√
√
返回
任务二 利用基本不等式证明不等式
典例
2
利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题中要时刻注意等号能否取到.
规律方法
返回
任务三 利用基本不等式直接求最值
典例
3
利用基本不等式求最值的注意点
1.一正：各项必须为正.
2.二定：各项之和或各项之积为定值.
3.三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
规律方法
√
√
典例
4
√
√
√
返回
课堂小结
任务
再现
方法
提炼 转化的思想方法
易错
警示 使用基本不等式或基本不等式的变形形式时，要注意使用条件
随堂评价
√
√
3.已知0＜x＜2，则x2(4－x2)的最大值为
A.2 B.4
C.8 D.16
√
4.若a，b∈R，且ab＝4，则可以证明a2＋b2≥8成立.请写出等号成立的条件______________.
a＝b＝±2
由a2＋b2≥2ab，且ab＝4，则a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝±2时，等号成立.
返回
课时分层评价
√
√
√
√
√
√
√
√
4
x＜y
9.(新情境)如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形
熊猫居室，墙长20 m.如果可供建造围墙的材料总长
是36 m，则当宽x为_____m时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，熊猫居室的最大面积是_____m2.
9
162
11.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为
A.16 B.9
C.4 D.36
√
√
√
√
√
√
返回3.2 基本不等式
第1课时 基本不等式
学习目标 1.掌握基本不等式及其推导过程. 2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明不等式和求最值，提升数学运算的核心素养.
任务一 基本不等式的证明与理解
问题1.在北京召开的第24届国际数学家大会的会标的设计基础来自中国古代勾股圆方图中著名的弦图.如图，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？
提示：能.正方形的边长AB＝，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立.
问题2.现在我们讨论一种特别的情况，如果a＞0，b＞0，我们用，分别替换问题1关系式中的a，b，能得到什么样的结论？
提示：用，分别替换问题1关系式中的a，b可得到a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立.我们习惯表示成≤.
问题3.如图，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点，AC＝a，
BC＝b，过点C作AB的垂线，交于点D，连接AD，OD，BD，根据图形你能得到不等式≥吗？
提示：根据图形可以得到OD＝OA＝；利用三角形相似可证得△ACD∽△DCB，故CD＝，又OD≥CD，当且仅当点C与圆心O重合时，等号成立，故用不等式表示为≥，由此也可以得出圆的半径大于或等于半弦.
基本不等式 (均值不等式) 如果a≥0，b≥0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立
算术平均值 如果a≥0，b≥0，则称为a，b的算术平均值
几何平均值 如果a≥0，b≥0，则称为a，b的几何平均值
表述 两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值
重要不等式 如果a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立
[微提醒] (1)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0；不等式中的a，b可以是具体的某个数，也可以是代数式；当且仅当a＝b时，等号成立.(2)基本不等式常见的变形：①如果a≥0，b≥0，则a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立.②如果a，b∈R，则ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立.
(1)若0＜a＜b，则下列不等式成立的是( )
A.＜＜a＜b B.a＜＜＜b
C.＜a＜＜b D.a＜＜＜b
(2)(多选题)若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是( )
A.a2＋b2≥2ab B.a＋b≥2
C.＋≥2 D.＋≥2
答案：(1)D (2)ACD
解析：(1)因为0＜a＜b，可得＜，因为－a＝＞0，－b＝＜0，所以＞a，＜b，即a＜＜b，因为0＜a＜b，所以－a＝－＝＞0，即＞a，所以a＜＜＜b.故选D.
(2)a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，故A正确；取a＝－1，b＝－1，此时a＋b＝－2＜2＝2，故B错误；因为ab＞0，所以＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，故C正确；因为ab＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，故D正确.故选ACD.
利用基本不等式比较大小的注意事项
1.基本不等式≥一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和，注意等号成立的条件.
2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a≥0，b≥0.
对点练1.(1)下列结论正确且等号也能取到的是( )
A.当x＞1时，x＋≥2
B.当x＜0时，x＋≤－2
C.当0＜x＜1时，＋≥2
D.当x＞2时，＋≥2
(2)已知a＞0，b＞0，则，，，中最大的是( )
A. B.
C. D.
答案：(1)B (2)A
解析：(1)对于A，因为x＞1，x＋≥2＝2，等号成立的条件是x＝，即x＝1，故等号取不到，所以x＋＞2，故A错误；对于B，当x＜0时，－x＞0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时等号成立，故B正确；对于C，0＜x＜1，＋≥2＝2，等号成立的条件是＝，即x＝1，故等号取不到，即＋＞2，故C错误；对于D，当x＞2时，＋≥2＝2，等号成立的条件是＝，即x＝2，所以等号取不到，故＋＞2，故D错误.故选B.
(2)因为a＞0，b＞0，所以≤＝，≤，＝≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立，则≤≤≤.故选A.
任务二 利用基本不等式证明不等式
(链教材P27例4)已知x＞y＞0，z＞0，求证：(x＋y)(x＋z)(y＋z)＞8xyz.
证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，
所以x＋y≥2，x＋z≥2，y＋z≥2，
所以(x＋y)(x＋z)(y＋z)≥2·2·2＝8xyz，
当且仅当x＝y＝z时，等号同时成立.
因为x＞y，所以上式中等号不能同时取得，
所以(x＋y)(x＋z)(y＋z)＞8xyz.
利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题中要时刻注意等号能否取到.
对点练2.证明不等式：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
证明：a2＋b2＋c2＝＋＋≥ab＋bc＋ca，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
任务三 利用基本不等式直接求最值
(1)当x＞0时，求＋4x的最小值；
(2)当x＞1时，求x＋的最小值.
解：(1)因为x＞0，所以＞0，4x＞0，
所以＋4x≥2＝8，
当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，
所以当x＞0时，＋4x的最小值为8.
(2)因为x＞1，所以x－1＞0，
所以x＋＝x－1＋＋1
≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立.
所以x＋的最小值为5.
[变式探究] (变条件，变设问)本例(1)改为“当x＜0时，求＋4x的最大值”.
解：因为x＜0，所以－x＞0.
则＋(－4x)≥2＝8，
当且仅当＝－4x，即x＝－时，等号成立.
所以＋4x≤－8.
所以当x＜0时，＋4x的最大值为－8.
利用基本不等式求最值的注意点
1.一正：各项必须为正.
2.二定：各项之和或各项之积为定值.
3.三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
对点练3.(1)下列函数中，y的最小值为1的是( )
A.y＝＋ B.y＝x
C.y＝＋ D.y＝x＋
(2)已知0＜x＜，则x的最大值为 .
答案：(1)D (2)
解析：(1)对于A，当x＜0时，y＝＋＜0，故A错误；对于B，当－＜x＜0时，y＝x＜0，故B错误；对于C，y＝＋≥2＝1，当且仅当＝，此时x2＋4＝，无解，故等号取不到，因此最小值不是1，故C错误；对于D，因为x＞－1，所以x＋1＞0，故y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝时，即x＝0时等号成立，故D正确.故选D.
(2)由0＜x＜知1－2x＞0，x＝×2x·≤×＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取得等号，即x.
[教材拓展3] 基本不等式链(源于教材P30A组T5)
常用结论：基本不等式链≤≤≤(a＞0，b＞0).
其中和分别叫作a，b的调和平均数和平方平均数.
(1)已知a，b为正实数，A＝，＝＋，G＝，则( )
A.G≤H≤A B.H≤G≤A
C.G≤A≤H D.H≤A≤G
(2)(多选题)若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＞
答案：(1)B (2)ABD
解析：(1)因为a，b为正实数，所以A＝≥＝G，当且仅当a＝b时，等号成立，＝＋≥2＝，所以H≤，当且仅当a＝b时，等号成立，综上：H≤G≤A.故选B.
(2)由a＞b＞0，得＜，即＞，所以＜1，即＜，故选项A，B，D均成立.
任务 再现 基本不等式≥(a，b都是非负数)，ab≤(a，b∈R)及其应用
方法 提炼 转化的思想方法
易错 警示 使用基本不等式或基本不等式的变形形式时，要注意使用条件
1.函数y＝2x＋(x＞0)有( )
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值4 D.最大值4
答案：C
解析：因为x＞0，所以y＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝，即x＝1时等号成立，故函数最小值为4，无最大值.故选C.
2.给出下列条件：
①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中可使＋≥2成立的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：显然由①③④都可得到＞0，＞0，故＋≥2成立.故选C.
3.已知0＜x＜2，则x2(4－x2)的最大值为( )
A.2 B.4
C.8 D.16
答案：B
解析：因为0＜x＜2，所以x2＞0，4－x2＞0，故x2(4－x2)≤＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立.故选B.
4.若a，b∈R，且ab＝4，则可以证明a2＋b2≥8成立.请写出等号成立的条件 .
答案：a＝b＝±2
解析：由a2＋b2≥2ab，且ab＝4，则a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝±2时，等号成立.
课时分层评价10 基本不等式
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.下列不等式正确的是( )
A.a＋≥2 B.(－a)＋≤－2
C.a2＋≥2 D.(－a)2＋≤－2
答案：C
解析：因为＞0，故a2＋≥2成立.故选C.
2.已知x＞0，A＝x－2，B＝－，则A与B的大小关系是( )
A.A≥B B.A≤B
C.A＞B D.A＜B
答案：A
解析：因为x＞0，A＝x－2，B＝－，所以A－B＝x－2＋≥2－2＝0，即A≥B，当且仅当x＝1时等号成立.故选A.
3.(多选题)下列函数中，y的最小值为4的是( )
A.y＝4x＋ B.y＝x＋－1(x＞1)
C.y＝2＋ D.y＝
答案：BC
解析：对于A，当x＜0时，y＝4x＋＜0，故A错误；对于B，当x＞1时，x－1＞0，所以y＝x＋－1≥4，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，故B正确；对于C，由y＝2＋，＞0，所以y＝2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即x＝1时，等号成立，故C正确；对于D，y＝＝＝＋≥2＝4，当且仅当＝时取等号，此时x2＝－1，显然等号取不到，故D错误.故选BC.
4.若a＞0，b＞0且2a＋b＝1，则的最小值为( )
A.2 B.4
C.6 D.8
答案：D
解析：若a＞0，b＞0，则 2a＋b＝1≥2，则ab≤，则≥8，当且仅当a＝，b＝时等号成立.故选D.
5.若x＞1，则x＋＋1有( )
A.最小值6 B.最小值8
C.最大值8 D.最大值3
答案：B
解析：当x＞1时，x－1＞0，则x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立，即x＋＋1有最小值8.故选B.
6.(多选题)下列命题中，为真命题的有( )
A. x＞0，x＋≥2 B. x＜0，x＋＞－2
C. x＞0，≥ D. x＜0，≤－
答案：AD
解析：对于A，利用基本不等式可得 x＞0，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立，故A正确；对于B，对于 x＜0，x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立；即命题 x＜0，x＋＞－2不成立，故B错误；对于C，易知对于 x＞0，＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，故C错误；对于D，易知当x＝－1时，＝－，即 x＜0，≤－，故D正确.故选AD.
7.已知x＞0，y＞0，且xy＝1，则＋的最小值为 .
答案：4
解析：因为x＞0，y＞0，且xy＝1，所以＋≥2＝2＝4，当且仅当＝＝2，即x＝，y＝2时等号成立，故所求最小值为4.
8.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是 .
答案：x＜y
解析：x2＝，y2＝a＋b＝.因为a＋b＞2(a≠b)，所以x2＜y2.因为x，y＞0，所以x＜y.
9.(新情境)如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形熊猫居室，墙长20 m.如果可供建造围墙的材料总长是36 m，则当宽x为 m时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，熊猫居室的最大面积是 m2.
答案：9 162
解析：由题意知宽为x(x＞0)，设长为y(0＜y≤20)，则2x＋y＝36，面积S＝xy，由基本不等式可得，2x＋y≥2，即2≤36，解得xy≤162，当且仅当x＝9，y＝18＜20时，等号成立；因此当宽为9 m时，熊猫居室面积最大为162 m2.
10.(10分)(1)已知x＞0，求2－x－的最大值；
(2)证明：若a＞0，b＞0，则＋≥a＋b.并写出等号成立的条件.
解：(1)因为x＞0，x＋≥4，当且仅当x＝2时等号成立，
故2－x－≤－2，当且仅当x＝2时等号成立，故2－x－的最大值为－2.
(2)证明：由基本不等式有＋b≥2＝2a，当且仅当a＝b时等号成立，
同理＋a≥2＝2b，当且仅当a＝b时等号成立，
故＋＋a＋b≥2a＋2b即＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为( )
A.16 B.9
C.4 D.36
答案：B
解析：(1＋x)(1＋2y)≤＝＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，故所求最大值为9.故选B.
12.(多选题)下列结论正确的是( )
A.当x＞0时，＋≥2
B.当x＞2时，x＋的最小值是2
C.当x＞0，y＞0时，＋≥2
D.当x＜2时，y＝x－1＋的最小值为3
答案：AC
解析：对于A，由基本不等式可得＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，故A正确；对于B，由基本不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，而x＞2，故等号不成立，故x＋的最小值不是2，故B错误；对于C，由基本不等式可得＋≥2＝2，当且仅当x＝y时等号成立，故C正确；对于D，取x＝－5，则x－1＋＝－6－＜3，故y＝x－1＋的最小值不为3，故D错误.故选AC.
13.(多选题)设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是( )
A.＋的最小值为4
B.的最小值为
C.＋的最大值为
D.a2＋b2的最大值为
答案：AC
解析：对于A，＋＝(a＋b)＝＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0＜≤(a＋b)＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，所以0＜＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D错误.故选AC.
14.(10分)已知m＞0，n＞0，且mn＝2.
(1)证明：＋≥2；
(2)求m2＋n2＋的最小值.
解：(1)证明：因为m＞0，n＞0，所以＞0，＞0，所以＋≥2.
因为mn＝2，所以2＝2，即＋≥2，当且仅当＝，即m＝2，n＝1时，等号成立，
故＋≥2.
(2)因为mn＝2，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝(m＋n)2－4，
所以m2＋n2＋＝(m＋n)2＋－4.
因为(m＋n)2＞0，＞0，
所以(m＋n)2＋≥2＝18，
当且仅当(m＋n)2＝，即m＋n＝3，
即时，等号成立，
则(m＋n)2＋－4≥14，
即m2＋n2＋的最小值是14.
15.(5分)(新情境)无字证明即无需语言的证明(proof without words)，本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字.如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB的中点，以AB为直径做半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则下面可由CD≥DE进行无字证明的不等式为( )
A.≥(a＞0，b＞0)
B.≥(a＞0，b＞0)
C.a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
D.≥(a＞0，b＞0)
答案：A
解析：由于AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°，圆O的半径为，而CD⊥AB，则CD2＝AC×BC＝ab，CD＝.在直角三角形OCD中，CE⊥OD，同理得CD2＝DE×OD，DE＝＝，由CD≥DE，所以≥＝.故选A.
16.(15分)(新角度)学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：
已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求y＝＋的最小值；
小明和小红两位同学都巧妙地用了“a＋b＝1”，但结果并不相同.
小明的解法：由于a＋b＝1，所以y＝＋＋1－1＝＋＋a＋b－1＝a＋＋b＋－1，而a＋≥2＝2，b＋≥2＝2.那么y≥2＋2－1＝1＋2，则最小值为1＋2.
小红的解法：由于a＋b＝1，所以y＝＋＝(a＋b)＝3＋＋，而3＋＋≥3＋2＝3＋2，则最小值为3＋2.
(1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？(错误的需说明理由)
(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：
①设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c；
②已知a＞0，b＞0，且ab＋2a＋b＝4，求M＝2a＋b＋＋的最小值.
解：(1)小红的解法正确，小明的解法错误，理由如下：
对于a＋≥2＝2，b＋≥2＝2，
当且仅当时同时取等号，
此时a＋b＝1＋，不满足题意，所以该解法错误.
(2)①证明：由已知a，b，c都是正数，
则＋≥2＝2c，＋≥2＝2a，＋≥2＝2b，
所以＋＋≥2c＋2a＋2b，即＋＋≥a＋b＋c，
当且仅当即a＝b＝c时等号成立.
②由已知a＞0，b＞0，且ab＋2a＋b＝4，
则(a＋1)(b＋2)＝6，即a＋1＝，
所以M＝2(a＋1)＋(b＋2)＋＋－4
＝＋(b＋2)＋＋－4＝＋－4
≥2－4＝－4，
当且仅当＝，即时，等号成立，所以M的最小值为－4.
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