§4 一元二次函数与一元二次不等式
4.1 一元二次函数
学习目标 1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系，培养直观想象的核心素养. 2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质，培养逻辑推理的核心素养.
任务一 一元二次函数的图象
问题1.函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换得到？
提示：函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了一元二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了一元二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.
1.抛物线
一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a＋，
若设h＝－，k＝，则有y＝a(x－h)2＋k，通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数的图象变换
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移｜h｜个单位长度，再向上(或向下)平移｜k｜个单位长度而得到.
[微提醒] 在画二次函数的图象或利用图象解决问题时，应注意以下几点：(1)a决定函数图象的开口方向；(2)对应方程的判别式Δ决定函数图象与x轴是否有交点；(3)过定点(0，c)；(4)对称轴的位置.
(链教材P34例1)函数y＝4x2＋2x＋1的图象可以由函数y＝4x2的图象经过怎样的变换得到？
解：配方，得y＝4x2＋2x＋1＝4＋1＝4(x2＋x＋－)＋1＝4＋1＝4＋，
所以函数y＝4x2＋2x＋1的图象可以由函数y＝4x2的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到.
任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示：
上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”.
对点练1.(1)一次函数y＝ax－b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )
(2)将函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为( )
A.y＝2x2＋11x＋11 B.y＝2x2＋3x＋7
C.y＝2x2＋3x＋1 D.y＝2x2＋11x＋5
答案：(1)B (2)C
解析：(1)若a＞0，则一次函数y＝ax－b(a≠0)为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向上，故可排除A；若a＜0，则一次函数y＝ax－b(a≠0)为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口向下，故可排除D；对于C，由直线可知a＜0，b＞0，从而－＞0，而图中二次函数的对称轴在y轴的左侧，故应排除C.故选B.
(2)将函数y＝2x2＋7x＋4的图象向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度可得到y＝2(x－1)2＋7(x－1)＋4＋2的图象，化简可得y＝2x2＋3x＋1.故选C.
任务二 一元二次函数的解析式
问题2.一元二次函数的解析式有几种形式？
提示：三种不同形式.即一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
一元二次函数的解析式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
根据下列条件，求一元二次函数的解析式：
(1)图象过点(1，1)，(0，2)，(3，5)；
(2)图象过点(1，4)，(－1，0)和(3，0)；
(3)图象过点(2，－1)，(－1，－1)，且最大值为8.
解：(1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题设知
所以函数解析式为y＝x2－2x＋2.
(2)法一：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将(1，4)，(－1，0)，(3，0)分别代入上式，
得
所以函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
法二：设函数解析式为y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，
将(1，4)代入上式，得4＝a(1＋1)(1－3)，
所以a＝－1，所以y＝－(x＋1)(x－3)，
即函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(3)法一：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意，得
故函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
法二：因为函数图象过点(2，－1)，(－1，－1)，
所以抛物线的对称轴为直线x＝＝，
又因为函数最大值为8，所以y＝a＋8.
将(2，－1)代入，得a＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
故函数解析式为y＝－4x2＋4x＋7.
利用待定系数法求一元二次函数解析式的步骤
对点练2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象过点(0，3)，(3，0)，(－1，0)，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式.
解：依题意知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象过点(0，3)，(3，0)，(－1，0)，
所以则y＝－x2＋2x＋3.
任务三 一元二次函数的性质
问题3.你能找出一元二次函数y＝2(x－1)2＋5图象的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？
提示：能.对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5).
函数值y随x的增大而减小的区间是(－∞，1]，函数值y随x的增大而增大的区间是[1，＋∞).
当x＝1时，ymin＝5，无最大值.
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质
a＞0(开口向上) a＜0(开口向下)
图象
性 质 对称轴 直线x＝h
顶点坐标 (h，k)
x的取值 范围 (－∞，＋∞)或R
y的取值 范围 [k，＋∞) (－∞，k]
函数值的 变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而减小，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而增大 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而增大，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而减小
最值 x＝h时，y有最小值，ymin＝k x＝h时，y有最大值，ymax＝k
[微提醒] 在求一元二次函数的最值问题时常利用图象解决问题.
(链教材P34例1)已知一元二次函数y＝x2－3x－.
(1)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值；
(2)若x∈[1，4]，求函数值的取值范围.
解：(1)配方，得y＝x2－3x－＝(x－3)2－，该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝3；
在区间(－∞，3]上，函数值y随x的增大而减小，在区间[3，＋∞)上，函数值y随x的增大而增大；函数在x＝3处取得最小值－，即ymin＝－，无最大值.
(2)由于3∈[1，4]，所以函数值在区间[1，3]上随x的增大而减小，在区间[3，4]上随x的增大而增大，
所以当x＝3时，ymin＝－，
当x＝1时，ymax＝×4－＝－，
所以当x∈[1，4]时，函数值的取值范围为.
研究一元二次函数在给定区间上的性质
一看开口方向，二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”.只需作出一元二次函数相关的部分简图，利用数形结合法就可以得到问题的解.
对点练3.(1)已知二次函数y＝－2(x＋1)2＋3，下列结论正确的是( )
A.其图象的开口向上
B.图象的对称轴为直线x＝1
C.当x＞－1时，y随x的增大而减小
D.函数有最小值3
(2)(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A，对称轴为x＝－1，下面四个结论正确的为( )
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＜0 D.5a＜b
答案：(1)C (2)AD
解析：(1)对于A，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3开口向下，判断错误；对于B，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3图象的对称轴为直线x＝－1，判断错误；对于C，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3，当x＞－1时，y随x的增大而减小，判断正确；对于D，当x＝－1时，函数有最大值3，该函数无最小值，判断错误.故选C.
(2)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，所以2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a＝b，即5a＜b，故D正确.故选AD.
任务四 一元二次函数在闭区间上的最值问题
已知二次函数的图象过点(1，4)，(0，1)，(3，4).
(1)求二次函数的解析式；
(2)若x∈，求此二次函数的最小值和最大值.
解：(1)设二次函数为y＝ax2＋bx＋c，a≠0，
因为二次函数的图象过点(1，4)，(0，1)，(3，4)，可得
所以二次函数的解析式为y＝－x2＋4x＋1.
(2)函数y＝－x2＋4x＋1，开口向下，对称轴方程为x＝2，
即函数y＝－x2＋4x＋1在[－1，2]上y随x的增大而增大，在[2，5]上y随x的增大而减小，
所以ymin＝f(－1)＝f(5)＝－4，ymax＝f(2)＝5.
求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步骤
第一步：配方，找对称轴；
第二步：判断对称轴与区间的关系；
第三步：求最值.若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]的端点处取得.
对点练4.已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上有最大值2，求a的值.
解：函数y＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，
对称轴为直线x＝a.
当a＜0时，函数在[0，1]上单调递减，ymax＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；
当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，
所以a＝(舍去)；
当a＞1时，函数在[0，1]上单调递增，ymax＝a，
所以a＝2.
综上可知，a＝－1，或a＝2.
任务 再现 1.一元二次函数解析式的三种形式.2.一元二次函数的图象及变换.3.一元二次函数的性质
方法 提炼 配方法与数形结合法
易错 警示 1.易忽视一元二次函数的开口方向.2.二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论
1.一元二次函数y＝－2x2＋2x＋1的顶点坐标是( )
A.(1，1) B.(－1，－3)
C. D.
答案：C
解析：y＝－2x2＋2x＋1＝－2＋，所以顶点坐标为.故选C.
2.将y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为( )
A.y＝(x＋2)2＋1 B.y＝(x－2)2＋1
C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x＋2)2－1
答案：C
解析：将y＝x2的图象向右平移2个单位长度可得到y＝(x－2)2的图象，再向下平移1个单位长度可得到y＝(x－2)2－1的图象.故选C.
3.函数y＝x2－4x＋1在上的最小值是( )
A.－1 B.－2
C.－3 D.－4
答案：C
解析：由函数y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3，因为x∈，所以当x＝2时，函数取得最小值，最小值为ymin＝－3.故选C.
4.已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是 .
答案：1，2
解析：由于y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为，所以1－3＋m＝0，所以m＝2，故x2－3x＋m＝(x－1)(x－2)＝0，解得x1＝1，x2＝2.
课时分层评价12 一元二次函数
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.函数y＝x2的图象大致形状是( )
A.开口向上的抛物线 B.开口向下的抛物线
C.直线 D.折线
答案：A
解析：函数y＝x2的图象为开口向上的抛物线，故选A.
2.如果一元二次函数y＝5x2＋mx＋4的对称轴是x＝1，则当x＝1时，y＝( )
A.10 B.－10
C.－1 D.19
答案：C
解析：对称轴为－＝1，解得m＝－10，则y＝5x2－10x＋4，所以当x＝1时，y＝5－10＋4＝－1.故选C.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数图象与x轴交点的个数是( )
A.1 B.2
C.0 D.无法确定
答案：B
解析：由于y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，所以a＜0，c＞0，故Δ＝b2－4ac＞0，因此函数图象与x轴的交点有2个.故选B.
4.若y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，则该函数的函数值在区间(－3，1)上( )
A.随x的增大而增大
B.随x的增大而减小
C.随x的增大先增大后减小
D.随x的增大先减小后增大
答案：C
解析：y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，所以m＝0，此时y＝－x2＋3，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，函数值在区间(－3，1)上先增大后减小.故选C.
5.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案：D
解析：根据一次函数y＝bx＋c与二次函数y＝ax2在同一平面直角坐标系中的图象可判断出a＞0，b＞0，c＜0，则y＝ax2＋bx＋c图象开口向上，对称轴为x＝－＜0，D正确.故选D.
6.(多选题)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.a＋b＋c＞0
B.ac＞0
C.a－b＋c＝0
D.b2－4ac＞0
答案：ACD
解析：对于A，由图可知，当x＝1时，y＞0，即a＋b＋c＞0，故A正确；对于B，图象开口向下，a＜0，又对称轴x＝－＞0，故b＞0，图象与y轴交点在x轴上方，故c＞0，所以ac＜0，故B错误；对于C，D，二次函数图象与x轴交于两点，故Δ＝b2－4ac＞0，故D正确；将代入解析式得a－b＋c＝0，故C正确.故选ACD.
7.(开放题)请你写出一个对称轴为直线x＝2的函数解析式 .
答案：y＝(x－2)2(答案不唯一)
解析：设y＝(x－2)2，则二次函数的对称轴为x＝2.故答案为y＝(x－2)2(答案不唯一).
8.若函数y＝x2－2ax＋3在x∈上的最大值为6，则实数a＝ .
答案：1
解析：因为y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，x∈，所以当a≤2时，x＝3，ymax＝9－6a＋3＝6，解得a＝1；当a＞2时，x＝1，ymax＝1－2a＋3＝6，解得a＝－1，又a＞2，故不成立.综上，a＝1.
9.已知二次函数的图象过点，图象向左平移2个单位长度后的对称轴是y轴，向下平移1个单位长度后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 .
答案：y＝(x－2)2＋1
解析：因为二次函数图象向左平移2个单位长度后的对称轴是y轴，再向下平移1个单位长度后与x轴只有一个交点，所以二次函数的图象的顶点坐标为，设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋1，又因为二次函数的图象过点，代入可得a＝，所以二次函数的解析式为y＝(x－2)2＋1.
10.(15分)已知一元二次函数y＝－x2＋4x＋6.
(1)指出它的图象可以由函数y＝－x2的图象经过怎样的变换而得到；
(2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最小值.
解：(1)配方，得y＝－(x2－8x)＋6＝－(x2－8x＋16－16)＋6＝－(x－4)2＋14.
所以函数y＝－x2＋4x＋6的图象可以由y＝－x2的图象向右平移4个单位长度，再向上平移14个单位长度而得到.
(2)由(1)可知：该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝4；
在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大，在[4，＋∞)上，函数值y随x的增大而减小；
函数在x＝4处取得最大值14，无最小值.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.已知二次函数C1的图象的顶点坐标是，且截x轴所得线段的长度是4，将函数C1的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线C2的图象，则抛物线C2与y轴的交点是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为二次函数C1的图象的顶点为(2，2)，故C1的对称轴为直线x＝2，又C1的图象截x轴所得线段的长度是4，所以C1的图象与x轴的交点坐标为(0，0)和(4，0)，设y＝a(x－2)2＋2(a≠0)，将点(0，0)代入得a＋2＝0，解得a＝－，所以y＝－(x－2)2＋2，因为C2的图象是由C1的图象向右平移2个单位长度得到的，所以C2的解析式为y＝－＋2＝－＋2，令x＝0，则y＝－＋2＝－6，所以C2与y轴交点坐标为(0，－6).故选B.
12.当0≤x≤m时，函数y＝x2－2x＋3有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是( )
A.m≥－1 B.1≤m≤2
C.0≤m≤2 D.m≤2
答案：B
解析：二次函数y＝x2－2x＋3图象的对称轴为x＝1，并且函数图象的开口向上，因为x＝0时y＝3，x＝1时y＝2，x＝2时y＝3，所以若函数在上的最大值为3，最小值为2，则1≤m≤2.故选B.
13.(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是直线x＝－1，且过点，下列说法正确的是( )
A.abc＜0
B.2a－b＝0
C.3a＋c＝0
D.，是抛物线上两点，y1＞y2
答案：ABC
解析：由图知该抛物线开口向上，故a＞0，因为对称轴是直线x＝－1，所以－＝－1，故b＝2a＞0，即2a－b＝0，故B正确；因为抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以c＜0，故A正确；由抛物线对称性得该函数图象必过，可得a＋b＋c＝0，结合b＝2a，可得3a＋c＝0，故C正确；易知点，到对称轴距离相等，故y1＝y2，故D错误.故选ABC.
14.(15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈R，a＞b＞c且a＋b＋c＝0.
(1)证明：函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点；
(2)设函数y＝ax2＋bx＋c的图象截x轴所得线段的长为l，求t＝l2－4l的最小值.
解：(1)证明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则a＞0，c＜0，
所以－4ac＞0且b2≥0，所以Δ＝b2－4ac＞0，
则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点.
(2)由a＞－a－c＞c及a＞0，得1＞－1－＞，
所以－2＜＜－，
不妨设函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点为(1，0)，(x1，0)，则x1＝＜0，
所以函数y＝ax2＋bx＋c的图象截x轴所得线段的长l＝1－∈(，3)，
则t＝l2－4l的最小值是－4.
(15、16题，每小题5分，共10分)
15.已知二次函数y＝x2－2tx＋2t2－2t，则下列选项正确的是( )
A.二次函数的图象恒过点(0，0)
B.二次函数的图象必与x轴有两个不同的交点
C.二次函数的最小值可能为－2
D.二次函数的最小值可能为－1
答案：D
解析：对于A，当x＝0时，y＝2t2－2t不恒为0，所以二次函数的图象不恒过点，故A错误；对于B，当t＝0时，Δ＝4t2－4＝－4t2＋8t＝0，此时二次函数的图象与x轴只有1个交点，故B错误；对于C，D，y＝x2－2tx＋2t2－2t＝(x－t)2＋t2－2t，则二次函数的最小值为t2－2t＝(t－1)2－1≥－1，所以函数的最小值不可能是－2，可能为－1，故C错误，D正确.故选D.
16.(新定义)对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值等于2a，则称a为这个函数的H数.若二次函数y＝ax2＋4x＋c(a，c为常数且a≠0)有且只有一个H数1，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c－2的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是( )
A.0≤m≤2 B.1≤m≤3
C.2≤m≤3 D.2≤m≤4
答案：D
解析：由题意，令ax2＋4x＋c＝2x，则方程ax2＋2x＋c＝0的解为1，所以故可得y＝－x2＋4x－1－2＝－(x－2)2＋1，显然当x＝0时，y＝－3；当x＝2时，y＝1；当y＝－3时，x＝0或4.由题意可得2≤m≤4.故选D.
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4.1 一元二次函数
第一章 §4 一元二次函数与一元二次不等式
学习目标
1.理解函数y＝ax2(a≠0)与y＝a(x－h)2＋k(a≠0)及y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象之间的关系，培养直观想象的核心素养.
2.能利用配方法或图象法掌握一元二次函数的重要性质，培养逻辑推理的核心素养.
任务一 一元二次函数的图象
问题1.函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以由函数y＝ax2(a≠0)的图象经过怎样的变换得到？
提示：函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了一元二次函数图象的左右平移，而且“h正右移，h负左移”；k决定了一元二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.
问题导思
新知构建
－
抛物线
｜h｜
｜k｜
在画二次函数的图象或利用图象解决问题时，应注意以下几点：(1)a决定函数图象的开口方向；(2)对应方程的判别式Δ决定函数图象与x轴是否有交点；(3)过定点(0，c)；(4)对称轴的位置.
微提醒
典例
1
任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示：
上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”.
规律方法
对点练1.(1)一次函数y＝ax－b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是
√
(2)将函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为
A.y＝2x2＋11x＋11 B.y＝2x2＋3x＋7
C.y＝2x2＋3x＋1 D.y＝2x2＋11x＋5
√
将函数y＝2x2＋7x＋4的图象向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度可得到y＝2(x－1)2＋7(x－1)＋4＋2的图象，化简可得y＝2x2＋3x＋1.故选C.
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任务二 一元二次函数的解析式
问题2.一元二次函数的解析式有几种形式？
提示：三种不同形式.即一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
问题导思
一元二次函数的解析式
(1)一般式：_____________________；
(2)顶点式：______________________；
(3)两根式：__________________________.
新知构建
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
典例
2
利用待定系数法求一元二次函数解析式的步骤
规律方法
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任务三 一元二次函数的性质
问题3.你能找出一元二次函数y＝2(x－1)2＋5图象的对称轴和顶点坐标吗？你能找出函数值y随x的增大而减小，函数值y随x的增大而增大所对应的区间吗？你能求出函数的最值吗？
提示：能.对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，5).
函数值y随x的增大而减小的区间是(－∞，1]，函数值y随x的增大而增大的区间是[1，＋∞).
当x＝1时，ymin＝5，无最大值.
问题导思
一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质
新知构建
a＞0(开口向上) a＜0(开口向下)
图象
性
质 对称轴 直线______
顶点坐标 ________
x＝h
(h，k)
a＞0(开口向上) a＜0(开口向下)
性
质 x的取值范围 (－∞，＋∞)或R
y的取值范围 [k，＋∞) (－∞，k]
函数值的
变化趋势 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而______，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而______ 在区间(－∞，h]上，y随x的增大而______，在区间[h，＋∞)上，y随x的增大而______
最值 x＝h时，y有最小值，ymin＝___ x＝h时，y有最大值，ymax＝___
减小
增大
增大
减小
k
k
在求一元二次函数的最值问题时常利用图象解决问题.
微提醒
典例
3
研究一元二次函数在给定区间上的性质
一看开口方向，二看对称轴和区间的相对位置，简称“两看法”.只需作出一元二次函数相关的部分简图，利用数形结合法就可以得到问题的解.
规律方法
对点练3.(1)已知二次函数y＝－2(x＋1)2＋3，下列结论正确的是
A.其图象的开口向上
B.图象的对称轴为直线x＝1
C.当x＞－1时，y随x的增大而减小
D.函数有最小值3
√
对于A，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3开口向下，判断错误；对于B，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3图象的对称轴为直线x＝－1，判断错误；对于C，二次函数y＝－2(x＋1)2＋3，当x＞－1时，y随x的增大而减小，判断正确；对于D，当x＝－1时，函数有最大值3，该函数无最小值，判断错误.故选C.
√
√
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任务四 一元二次函数在闭区间上的最值问题
典例
4
求一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在[m，n]上的最值的步骤
第一步：配方，找对称轴；
第二步：判断对称轴与区间的关系；
第三步：求最值.若对称轴在区间外，则一元二次函数在[m，n]的端点处取得最值；若对称轴在区间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m，n]的端点处取得.
规律方法
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课堂小结
任务
再现 1.一元二次函数解析式的三种形式.
2.一元二次函数的图象及变换.
3.一元二次函数的性质
方法
提炼 配方法与数形结合法
易错
警示 1.易忽视一元二次函数的开口方向.
2.二次项含参时，要注意是否需要对二次项系数进行讨论
随堂评价
√
2.将y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得函数解析式为
A.y＝(x＋2)2＋1 B.y＝(x－2)2＋1
C.y＝(x－2)2－1 D.y＝(x＋2)2－1
√
将y＝x2的图象向右平移2个单位长度可得到y＝(x－2)2的图象，再向下平移1个单位长度可得到y＝(x－2)2－1的图象.故选C.
√
1，2
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课时分层评价
1.函数y＝x2的图象大致形状是
A.开口向上的抛物线 B.开口向下的抛物线
C.直线 D.折线
√
函数y＝x2的图象为开口向上的抛物线，故选A.
2.如果一元二次函数y＝5x2＋mx＋4的对称轴是x＝1，则当x＝1时，y＝
A.10 B.－10
C.－1 D.19
√
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，则函数图象与x轴交点的个数是
A.1 B.2
C.0 D.无法确定
√
由于y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象开口向下，与y轴正半轴相交，所以a＜0，c＞0，故Δ＝b2－4ac＞0，因此函数图象与x轴的交点有2个.故选B.
4.若y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，则该函数的函数值在区间(－3，1)上
A.随x的增大而增大
B.随x的增大而减小
C.随x的增大先增大后减小
D.随x的增大先减小后增大
√
y＝(m－1)x2＋2mx＋3关于y轴对称，所以m＝0，此时y＝－x2＋3，所以该函数的图象是开口向下的抛物线，函数值在区间(－3，1)上先增大后减小.故选C.
5.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是
√
6.(多选题)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是
A.a＋b＋c＞0
B.ac＞0
C.a－b＋c＝0
D.b2－4ac＞0
√
√
√
7.(开放题)请你写出一个对称轴为直线x＝2的函数解析式______________
______________.
设y＝(x－2)2，则二次函数的对称轴为x＝2.故答案为y＝(x－2)2(答案不唯一).
y＝(x－2)2
(答案不唯一)
1
(2)指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及函数的最大值或最 小值.
解：由(1)可知：该函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝4；
在区间(－∞，4]上，函数值y随x的增大而增大，在[4，＋∞)上，函数值y随x的增大而减小；
函数在x＝4处取得最大值14，无最小值.
√
12.当0≤x≤m时，函数y＝x2－2x＋3有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围是
A.m≥－1 B.1≤m≤2
C.0≤m≤2 D.m≤2
√
√
√
√
14.(15分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈R，a＞b＞c且a＋b＋c＝0.
(1)证明：函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点；
解：证明：若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则a＞0，c＜0，
所以－4ac＞0且b2≥0，所以Δ＝b2－4ac＞0，
则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点.
15.已知二次函数y＝x2－2tx＋2t2－2t，则下列选项正确的是
A.二次函数的图象恒过点(0，0)
B.二次函数的图象必与x轴有两个不同的交点
C.二次函数的最小值可能为－2
D.二次函数的最小值可能为－1
√
16.(新定义)对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值等于2a，则称a为这个函数的H数.若二次函数y＝ax2＋4x＋c(a，c为常数且a≠0)有且只有一个H数1，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c－2的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是
A.0≤m≤2 B.1≤m≤3
C.2≤m≤3 D.2≤m≤4
√
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