第2课时 基本不等式的应用
学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题，提升数学建模的核心素养.
任务一 利用基本不等式的变形求最值
问题1.把一段长为32 cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，当矩形的长、宽分别是何值时，面积最大？
提示：设矩形的长与宽分别是x cm和y cm，则x＋y＝16，由≥xy得xy≤64，当且仅当x＝y＝8时，等号成立，即这个矩形为正方形且边长为8 cm时，其面积最大.
问题2.类比上面的方法，用一段细铁丝弯成面积为64 cm2形状不同的矩形，当矩形的长、宽分别是何值时，周长最小？
提示：设矩形的长与宽分别是x cm和y cm，则xy＝64，由x＋y≥2得x＋y≥16，当且仅当x＝y＝8时等号成立，即这个矩形为正方形且边长为8 cm时，其周长最小.
两个重要结论
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当x＝y时，xy取得最大值；
(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值2.
[微提醒] (1)口诀：两个正数的和定积最大，积定和最小.(2)应用基本不等式求最值时的三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
(一题多解)已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值.
解：法一：因为x＞0，y＞0，＋＝1，
所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当时，等号成立，
故x＋2y的最小值为18.
法二：因为x＞0，y＞0，＋＝1，则8y＋x＝xy，所以x＝，所以y－1＞0.
所以x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2＝10＋＋(2y－2)
≥10＋2＝10＋8＝18，当且仅当＝2y－2，即y＝3，x＝12时，等号成立，故x＋2y的最小值为18.
[变式探究] (变条件，变设问)若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值.
解：因为x＞0，y＞0，
所以＋＝(x＋2y)＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当时取等号，
故＋的最小值为18.
利用基本不等式的变形求最值的策略
1.应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式以及使等号成立的条件.
2.特别注意“1”的代换.
对点练1.(1)若正实数a，b满足a＋2b＝1，则＋有( )
A.最小值，且最小值为 1＋
B.最小值，且最小值为 3＋2
C.最大值，且最大值为 1＋
D.最大值，且最大值为 3＋2
(2)(多选题)设正实数m，n满足m＋n＝2，则( )
A.＋的最小值为3 B.＋的最大值为2
C.的最大值为1 D.m2＋n2的最小值为
答案：(1)B (2)BC
解析：(1)已知a＞0，b＞0，且满足a＋2b＝1，所以＋＝＝＋＋3≥2＋3＝3＋2，当且仅当a＝－1，b＝时，等号成立，因此＋的最小值为3＋2.故选B.
(2)因为正实数m，n满足m＋n＝2，所以＋＝(m＋n)＝≥＝＋，当且仅当＝，即m＝＝2－2，n＝4－2时，等号成立，故A错误；＝m＋n＋2＝2＋2≤2＋m＋n＝4，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，所以＋≤2，故B正确；m＋n≥2，所以≤＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故C正确；m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥4－2＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故D错误.故选BC.
任务二 利用基本不等式求参数范围
当x＞1时，不等式x＋≥a＋1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：由题意，只需在x＞1时≥a＋1即可，又x＞1，则x－1＞0，故x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝ x＝2时等号成立，故＝3，所以a＋1≤3 a≤2，即实数a的取值范围是.故选A.
1.恒成立问题常采用分离参数的方法：若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax，从而将问题转化为求y的最值问题.
2.在利用基本不等式求最值时，要注意能否取到等号.
对点练2.(1)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，7] B.(－∞，7)
C.(－∞，9] D.(－∞，9)
(2)当x＞2时，不等式5x－a＋＞0恒成立，则实数a的取值范围是 .
答案：(1)D (2)(－∞，10＋4)
解析：(1)因为＋＝1，x＞0，y＞0，故2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9，当且仅当＝，即x＝y＝3时，等号成立，故2x＋y的最小值为9，故m＜9.故选D.
(2)不等式5x－a＋＞0恒成立，即5(x－2)＋＞a－10恒成立，又x＞2，所以5(x－2)＋≥2＝4，当且仅当x＝＋2时取等号，所以a－10＜4，解得a＜10＋4.
任务三 基本不等式在实际问题中的应用
(链教材P29例5)某公司建造一个长方体的粮仓，粮仓底面的长为x米，底面面积为64 m2，粮仓仓壁每平方米的造价为120元，仓顶的总造价为4 800元.如果仓壁高为3米，且不计粮仓底面的费用，设建造此粮仓的总造价为y元.
(1)设粮仓仓壁的面积为S，用x表示S，并求出x的取值范围；
(2)粮仓底面的长x为多少米时，粮仓的总造价y最低？最低总造价是多少？
解：(1)由题意S＝2(＋x)×3＝6(＋x)，x＞0.
(2)由已知y＝6(＋x)×120＋4 800≥720×2＋4 800＝16 320元，
当且仅当＝x，即x＝8时取得最小值.
所以粮仓底面的长为8米时，粮仓的总造价y最低，最低总造价是16 320元.
实际问题中求最值的一般思路
1.先读懂题意，理清思路，设出变量，列出函数的关系式.
2.把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
3.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
4.用基本不等式求函数的最大值或最小值.
对点练3.已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，呈现“爱我中华”字样.
(1)若用48米长的栅栏围成小矩形花池(不考虑用料损耗)，则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？
(2)若每个小矩形的面积为平方米，则当每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小？
解：(1)设每个小矩形花池的长、宽分别为x米、y米，则每个花池的面积为xy平方米.由题意可知4x＋6y＝48，所以2x＋3y＝24，
则2≤24，所以xy≤24，
当且仅当2x＝3y，即x＝6，y＝4时取得等号.
故当每个小矩形花池的长为6米、宽为4米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大.
(2)由题意知xy＝，则y＝，
所以4x＋6y＝4x＋6×＝4
≥4×2＝56，
当且仅当x＝，即x＝7，y＝时取得等号，
故每个小矩形花池的长为7米、宽为米时，才能使得围成4个小矩形花池所用栅栏总长度最小.
任务 再现 1.利用基本不等式的变形求最值.2.利用常数代换求最值.3.利用基本不等式解决实际问题
方法 提炼 配凑法、常数代换法以及转化的思想方法
易错 警示 利用基本不等式时，忽略等号成立的条件
1.已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(3－3x)＝3·x(1－x)≤3·＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立.故选B.
2.已知x＞1，y＞0，x＋y＝3，则(x－1)·y的最大值是( )
A. B.
C. D.1
答案：D
解析：由x＞1，y＞0，x＋y＝3，得(x－1)·y≤()2＝1，当且仅当x－1＝y＝1时取等号，所以(x－1)·y的最大值是1.故选D.
3.已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为( )
A.54 B.72
C.56 D.81
答案：B
解析：因为 ＋＝1，所以 8a＋b＝(8a＋b)(＋)＝＋32＋8＋≥40＋2＝72，当且仅当＝，即a＝6，b＝24时等号成立，故选B.
4.(开放题)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1.请写出使得“m＜＋”恒成立的一个充分不必要条件为 .(用含m的式子作答)
答案：m＜15(答案不唯一)
解析：由题意可知：x＞0，y＞0，故＋＝＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当y＝3x＝时取等号，故“m＜＋”恒成立的充要条件为m＜16，故“m＜＋”恒成立的一个充分不必要条件为m＜15.(答案不唯一).
课时分层评价11 基本不等式的应用
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.已知x＞0，y＞0，且满足x＋6y＝6，则xy有( )
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
答案：A
解析：xy＝≤＝×9＝，当且仅当时等号成立.故选A.
2. y＝x＋的最小值为( )
A.4 B.6
C.8 D.10
答案：B
解析：因为x＞－2，所以y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时取等号，故选B.
3.用28 cm长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为( )
A.49 cm2 B.196 cm2
C.36 cm2 D.81 cm2
答案：A
解析：设该矩形相邻的两边长为x cm，y cm，则2x＋2y＝28，即x＋y＝14.由x＞0，y＞0，则x＋y＝14≥2，得xy≤49，当且仅当x＝y＝7时，等号成立.故该矩形面积的最大值为49 cm2.故选A.
4.已知0＜x＜1，则＋的最小值是( )
A.16 B.25
C.27 D.34
答案：B
解析：由0＜x＜1，得1－x＞0，因此＋＝＝17＋＋≥17＋2＝25，当且仅当＝，即x＝时取等号，所以当x＝时，＋取得最小值25.故选B.
5.(多选题)下列命题中正确的是( )
A.任意非零实数a，b，都有＋≥2
B.当x＞1时，x＋的最小值是2
C.当0＜x＜10时，的最大值是5
D.若正数x，y满足＋＝3，则2x＋y的最小值为3
答案：CD
解析：对于A，取a＝－1，b＝1，而＋＝－2＜2，故A错误；对于B，当x＞1时，x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时取等号，故B错误；对于C，当0＜x＜10时，≤＝5，当且仅当x＝5时取等号，故C正确；对于D，正数x，y满足＋＝3，则2x＋y＝＋)(2x＋y)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝3，当且仅当x＝y＝1时取等号，故D正确.故选CD.
6.(多选题)已知x，y为正数，且xy＝1，m＝x＋y，n＝＋，下列选项中正确的有( )
A.m的最小值为2
B.n的最小值为10
C.mn的最小值为16
D.m＋n的最小值为4
答案：ACD
解析：对于A，m＝x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故A正确；对于B，n＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即x＝，y＝3时等号成立，故B错误；对于C，mn＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故C正确；对于D，因为xy＝1，则y＝，所以m＋n＝(x＋y)＋＝＋＝10x＋≥2＝4，当且仅当10x＝，即x＝，y＝时等号成立，故D正确.故选ACD.
7.已知y＝2x＋，则y的最小值为 .
答案：14
解析：因为x＞3，所以x－3＞0，则y＝2x＋＝2(x－3)＋＋6≥2＋6＝14，当且仅当2(x－3)＝，即x＝5时取等号，所以当x＝5时，y取最小值为14.
8.青岛某科技公司要购买一批机器人投入使用，据分析，这批机器人可获得的利润y(单位：万元)与投入使用时间x(单位：年)满足y＝－x2＋14x－4(x∈N*，x≤15)，当投入使用 年时，这批机器人的年平均利润最大.
答案：2
解析：由题意可得年平均利润为＝－x－＋14(x∈N*，x≤15)，因为－x－＝－(x＋)≤－2＝－4，当且仅当x＝，即x＝2＜15时，等号成立，所以年平均利润的最大值为14－4＝10(万元).所以当投入使用2年时，年平均利润最大.
9.已知不等式x＋＞m对任意x∈(2，＋∞)恒成立，则实数m的取值范围为 .
答案：(－∞，6)
解析：x∈(2，＋∞)，所以x－2∈(0，＋∞)，x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时等号成立，又不等式x＋＞m对任意x∈(2，＋∞)恒成立，所以＞m，即m＜6，故实数m的取值范围为(－∞，6).
10.(10分)解答下列各题.
(1)若x＞3，求x＋的最小值；
(2)若正数x，y满足9x＋y＝xy，
①求xy的最小值；
②求2x＋3y的最小值.
解：(1)由x＞3，得x－3＞0，x＋＝x－3＋＋3≥2＋3＝7，
当且仅当x－3＝，即x＝5时取等号，
故x＋的最小值为7.
(2)①由9x＋y＝xy结合基本不等式可得，
xy＝9x＋y≥2＝6 ≥0，又x，y为正数，
则≥6 xy≥36，当且仅当9x＝y，即x＝2，y＝18时取等号，故xy的最小值为36.
②由9x＋y＝xy可得＋＝1，
则2x＋3y＝＝29＋＋≥29＋2＝29＋6，
当且仅当＝ 18x2＝3y2 x＝y，又9x＋y＝xy，即x＝＋1，y＝9＋时取等号，
故2x＋3y的最小值为29＋6.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(新定义)权方和不等式在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y＞0，则＋≥，当且仅当＝时等号成立.根据权方和不等式，函数y＝＋的最小值为( )
A.1 B.4
C.9 D.16
答案：D
解析：由0＜x＜，得1－4x＞0，由权方和不等式可得y＝＋＝＋≥＝16，当且仅当＝，即x＝时取等号.故选D.
12.(多选题)已知正实数a，b满足2a＋b＝3ab，下列结论中正确的是( )
A.ab的最大值是
B.2a＋b的最小值是
C.a＋2b的最小值是3
D.b－的最小值为2－3
答案：BCD
解析：正实数a，b满足2a＋b＝3ab，3ab＝2a＋b≥2 3≥2 ab≥，当且仅当a＝，b＝时取等号，故A错误；由A得，2a＋b＝3ab≥，当且仅当a＝，b＝时取等号，故B正确；由2a＋b＝3ab，得＋＝3，所以3(a＋2b)＝(a＋2b)＝5＋＋≥9，a＋2b≥3，当且仅当a＝b＝1时取等号，故C正确；b－＝b－＝b＋－3≥2－3，当且仅当b＝时取等号，故D正确.故选BCD.
13.对任意的正实数x，y，＋≤k恒成立，则k的最小值为 .
答案：
解析：依题意x，y为正实数，则＞0，则k≥恒成立，因为＝，2＝2≤5x＋y，所以＝≤＝＝6，当且仅当y＝5x时等号成立，所以≤，且当x，y取满足y＝5x的任意正实数时等号成立.所以＝.所以k≥，即k的最小值为.
14.(10分)利用所学知识解决以下问题：
(1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
(2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
(3)正实数a，b满足＋＝1，求(a＋2)(b＋4)的最小值.
解：(1)ab＝36，则a＋b≥2＝12，
当且仅当a＝b＝6时等号成立，
即a＝b＝6时，它们的和最小，为12.
(2)a＋b＝18，则ab≤＝81，
当且仅当a＝b＝9时等号成立，
即a＝b＝9时，它们的积最大，为81.
(3)正实数ab满足＋＝1，
所以1≥2，ab≥8，
当且仅当b＝2a＝4时取等号，
由＋＝1化简得ab＝2a＋b，
所以(a＋2)(b＋4)＝ab＋2＋8＝3ab＋8≥32，当且仅当a＝2，b＝4时等号成立.
即(a＋2)(b＋4)的最小值为32.
15.(5分)(多选题)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，下列结论中正确的是( )
A.xy的最大值是
B.xy＋y2的最大值是1
C.＋的最小值是9
D.x2＋4y2的最小值是
答案：ACD
解析：对于A，因为x＋2y＝1≥2，xy≤，当且仅当x＝2y＝时等号成立，故A正确；对于B，因为x＝1－2y＞0，所以0＜y＜，则xy＋y2＝－y2＋y，当y＝时ymax＝，故B错误；对于C，＋＝(＋)(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y＝时等号成立，故C正确；对于D，x2＋4y2＝－4xy＝1－4xy，由A知(xy)max＝，所以(x2＋4y2)min＝1－4×＝，故D正确.故选ACD.
16.(15分)某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米.
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为3 600＋86 400(a＞0)元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
解：(1)因为体育馆前墙长为x米，地面面积为540平方米，所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为(x＞0)米，设甲工程队报价为y元，
则y＝×6×500×2＋300×6x×2＋540×200＝3 600＋108 000，
因为y≥3 600×2＋108 000＝324 000，
当且仅当＝x，即x＝30时，等号成立，
所以当前墙的长度为30米时，甲工程队报价最低为324 000元.
(2)根据题意可知3 600＋108 000＞3 600＋86 400，对任意的x＞0恒成立，
即x2＋6x＋14＞a对任意的x＞0恒成立，
所以a＜对任意的x＞0恒成立，
因为x＞0，＝＝(x＋1)＋＋4≥2＋4＝10，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，
所以0＜a＜10，
故当0＜a＜10时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功.
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第2课时 基本不等式的应用
第一章 §3 3.2 基本不等式
学习目标
1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题，提升数学建模的核心素养.
任务一 利用基本不等式的变形求最值
问题导思
新知构建
2
(1)口诀：两个正数的和定积最大，积定和最小.(2)应用基本不等式求最值时的三个关键点：一正、二定、三相等.①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备.
微提醒
典例
1
利用基本不等式的变形求最值的策略
1.应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式以及使等号成立的条件.
2.特别注意“1”的代换.
规律方法
√
√
√
返回
任务二 利用基本不等式求参数范围
√
典例
2
1.恒成立问题常采用分离参数的方法：若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax，从而将问题转化为求y的最值问题.
2.在利用基本不等式求最值时，要注意能否取到等号.
规律方法
√
返回
任务三 基本不等式在实际问题中的应用
典例
3
实际问题中求最值的一般思路
1.先读懂题意，理清思路，设出变量，列出函数的关系式.
2.把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
3.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
4.用基本不等式求函数的最大值或最小值.
规律方法
对点练3.已知某园林部门计划对公园内一块如图所示的空
地进行绿化，用栅栏围4个面积相同的小矩形花池，一面
可利用公园内原有绿化带，四个花池内种植不同颜色的花，
呈现“爱我中华”字样.
(1)若用48米长的栅栏围成小矩形花池(不考虑用料损耗)，则每个小矩形花池的长、宽各为多少米时，才能使得每个小矩形花池的面积最大？
返回
课堂小结
任务
再现 1.利用基本不等式的变形求最值.
2.利用常数代换求最值.
3.利用基本不等式解决实际问题
方法
提炼 配凑法、常数代换法以及转化的思想方法
易错
警示 利用基本不等式时，忽略等号成立的条件
随堂评价
√
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m＜15(答案不唯一)
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课时分层评价
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3.用28 cm长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为
A.49 cm2 B.196 cm2
C.36 cm2 D.81 cm2
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14
8.青岛某科技公司要购买一批机器人投入使用，据分析，这批机器人可获得的利润y(单位：万元)与投入使用时间x(单位：年)满足y＝－x2＋14x－4(x∈N*，x≤15)，当投入使用_____年时，这批机器人的年平均利润最大.
2
(－∞，6)
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