3 二次根式
第1课时
课时目标
1.了解二次根式的概念.(抽象能力、推理能力)
2.会用二次根式的乘法法则和除法法则进行二次根式的乘除运算.(运算能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.(1)下列式子中,不是二次根式的是( ) A. B. C. D. (2)要使二次根式有意义,则x的值可以为( ) A.0 B.1 C.2 D.4
2.二次根式的乘法法则和除法法则 2.计算:(1)×= . (2)÷= .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 二次根式的概念及应用(抽象能力、运算能力)
【典例1】如果y=++4,那么x+y的值为 .
举一反三
1.若=-x,则x的值不能是( )
A.- B.4
C.-2 D.0
2.(2025·常州期中)要使得式子有意义,则a的取值范围是 .
3.(2025·肇庆期中)若+=0,则x+y的值为 .
技法点拨
二次根式的双重非负性及应用
中a≥0的应用 若有意义,则x-m≥0
若有意义,则≥0且x-n≠0
若一个式子中同时出现和,则x-m=0
≥0的应用 若+(y-b)2+=0, 则x=a,y=b,z=c
重点2 二次根式的乘除(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P42例1强化)计算:
(1)×. (2)×.
(3)÷. (4).
举一反三
1.计算:(1)×= .
(2)×= .
2.计算:(1)÷= .
(2)÷= .
3.(2025·石家庄期中)计算:
(1)×;
(2)2÷.
技法点拨
二次根式乘除中的四点注意
1.顺序:按从左到右的顺序计算.
2.系数:对于根式系数要与被开方数分开相乘除.
3.被开方数:如果被开方数是带分数或小数应化成假分数.
4.结果:最后运算结果一定要化成最简形式.
素养 思维提升 入境深探
阅读理解
分母有理化
阅读材料:在进行二次根式的化简时,我们有时会碰到如,,这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
==;==;
===-1.
以上这种化简的步骤叫作分母有理化.如还可以用以下方法化简:====-1.
【解决问题】
化简:+++…+.3 二次根式
第2课时
课时目标
1.了解最简二次根式的概念,会对二次根式进行化简.(运算能力、模型观念)
2.掌握二次根式的加减法则,能熟练进行二次根式的加减运算.(推理能力、运算能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.二次根式的性质及最简二次根式 (1)性质: = (a≥0,b≥0) = (a≥0,b>0) (2)最简二次根式:被开方数不含 ,也不含能开得尽方的 的二次根式 2.二次根式的加减法 加减法先将二次根式化成 二次根式,如果被开方数 ,可以合并(加减)
1.下列二次根式中,是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 2.计算+结果正确的是( ) A. B.3 C.3 D.5 3.计算:-= .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 二次根式的化简及最简二次根式(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P43例4强化)将下列二次根式化成最简二次根式.
(1); (2);
(3); (4)-.
举一反三
1.下列式子中,属于最简二次根式的是( )
A. B.
C. D.
2.将化为最简二次根式的结果为 .
技法点拨
化简二次根式的类型及方法
1.被开方数是整数:熟记能开方的整数,如4,9,16,25,36等.
2.被开方数是分数:
方法1:==;
方法2:===(m≥0,n>0).
重点2 二次根式的加减(运算能力)
【典例2】计算:(1)+.
(2)+.
(3)3-9+3.
(4)(+)+(-).
举一反三
1.计算:-2= .
2.计算+的结果是 .
3.计算:
(1)+2-.
(2)+-.
技法点拨
二次根式加减的三步骤
1.“化”,将每个二次根式都化简为最简二次根式;
2.“找”,找出被开方数相同的最简二次根式;
3.“并”,将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
特别提醒:
1.整式加减运算中的交换律、结合律及去括号法则在二次根式的运算中仍然适用.
2.不能合并的二次根式不能丢掉,仍然作为结果的一部分.
素养 思维提升 入境深探
阅读理解
二次根式中巧化简
阅读下列解答过程:形如的式子的化简,只要我们找到两个正数a,b,使a+b=m,ab=n,即()2+()2=m,·=,那么便有==±(a>b).
例如:化简.
解:首先把化为,
这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12,
即()2+()2=7,×=,
所以===2+.
请根据材料解答下列问题:
(1)填空:=__________;
(2)化简:(请写出计算过程).3 二次根式
第2课时
课时目标
1.了解最简二次根式的概念,会对二次根式进行化简.(运算能力、模型观念)
2.掌握二次根式的加减法则,能熟练进行二次根式的加减运算.(推理能力、运算能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.二次根式的性质及最简二次根式 (1)性质: = · (a≥0,b≥0) = (a≥0,b>0) (2)最简二次根式:被开方数不含 分母 ,也不含能开得尽方的 因数或因式 的二次根式 2.二次根式的加减法 加减法先将二次根式化成 最简 二次根式,如果被开方数 相同 ,可以合并(加减)
1.下列二次根式中,是最简二次根式的是(A) A. B. C. D. 2.计算+结果正确的是(C) A. B.3 C.3 D.5 3.计算:-= - .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 二次根式的化简及最简二次根式(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P43例4强化)将下列二次根式化成最简二次根式.
(1); (2);
(3); (4)-.
【自主解答】
(1)原式==10;
(2)原式==;
(3)原式==;
(4)原式=-=-.
举一反三
1.下列式子中,属于最简二次根式的是(B)
A. B.
C. D.
2.将化为最简二次根式的结果为 3 .
技法点拨
化简二次根式的类型及方法
1.被开方数是整数:熟记能开方的整数,如4,9,16,25,36等.
2.被开方数是分数:
方法1:==;
方法2:===(m≥0,n>0).
重点2 二次根式的加减(运算能力)
【典例2】计算:(1)+.
(2)+.
(3)3-9+3.
(4)(+)+(-).
【自主解答】(1)+=+2=(1+2)×=3.
(2)+
=4+8
=(4+8)
=12.
(3)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)×=15.
(4)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+.
举一反三
1.计算:-2= .
2.计算+的结果是 5 .
3.计算:
(1)+2-.
(2)+-.
【解析】(1)+2-=4+2-5=.
(2)+-=+-=.
技法点拨
二次根式加减的三步骤
1.“化”,将每个二次根式都化简为最简二次根式;
2.“找”,找出被开方数相同的最简二次根式;
3.“并”,将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.
特别提醒:
1.整式加减运算中的交换律、结合律及去括号法则在二次根式的运算中仍然适用.
2.不能合并的二次根式不能丢掉,仍然作为结果的一部分.
素养 思维提升 入境深探
阅读理解
二次根式中巧化简
阅读下列解答过程:形如的式子的化简,只要我们找到两个正数a,b,使a+b=m,ab=n,即()2+()2=m,·=,那么便有==±(a>b).
例如:化简.
解:首先把化为,
这里m=7,n=12,由于4+3=7,4×3=12,
即()2+()2=7,×=,
所以===2+.
请根据材料解答下列问题:
(1)填空:=__________;
(2)化简:(请写出计算过程).
【解析】(1)-1
(2)首先把化为,这里m=19,n=60,因为15+4=19,15×4=60,
即()2+()2=19,×=,
所以=
==-=-2.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 十二”3 二次根式
第1课时
课时目标
1.了解二次根式的概念.(抽象能力、推理能力)
2.会用二次根式的乘法法则和除法法则进行二次根式的乘除运算.(运算能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.(1)下列式子中,不是二次根式的是(D) A. B. C. D. (2)要使二次根式有意义,则x的值可以为(D) A.0 B.1 C.2 D.4
2.二次根式的乘法法则和除法法则 2.计算:(1)×= 2 . (2)÷= .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 二次根式的概念及应用(抽象能力、运算能力)
【典例1】如果y=++4,那么x+y的值为 7 .
举一反三
1.若=-x,则x的值不能是(B)
A.- B.4
C.-2 D.0
2.(2025·常州期中)要使得式子有意义,则a的取值范围是 a≥1 .
3.(2025·肇庆期中)若+=0,则x+y的值为 -1 .
技法点拨
二次根式的双重非负性及应用
中a≥0的应用 若有意义,则x-m≥0
若有意义,则≥0且x-n≠0
若一个式子中同时出现和,则x-m=0
≥0的应用 若+(y-b)2+=0, 则x=a,y=b,z=c
重点2 二次根式的乘除(运算能力)
【典例2】(教材再开发·P42例1强化)计算:
(1)×. (2)×.
(3)÷. (4).
【自主解答】(1)×=.
(2)×==.
(3)÷=
===2.
(4)===2.
举一反三
1.计算:(1)×= .
(2)×= 2 .
2.计算:(1)÷= .
(2)÷= 6 .
3.(2025·石家庄期中)计算:
(1)×;
(2)2÷.
【解析】(1)×===3.
(2)2÷=2=2=2×=.
技法点拨
二次根式乘除中的四点注意
1.顺序:按从左到右的顺序计算.
2.系数:对于根式系数要与被开方数分开相乘除.
3.被开方数:如果被开方数是带分数或小数应化成假分数.
4.结果:最后运算结果一定要化成最简形式.
素养 思维提升 入境深探
阅读理解
分母有理化
阅读材料:在进行二次根式的化简时,我们有时会碰到如,,这样的式子,其实我们还可以将其进一步化简:
==;==;
===-1.
以上这种化简的步骤叫作分母有理化.如还可以用以下方法化简:====-1.
【解决问题】
化简:+++…+.
【解析】+++…+
=++…+
=-1+-+-+…+-=-1+.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 十一”3 二次根式
第3课时
课时目标
1.掌握二次根式的混合运算法则及运算顺序.(推理能力)
2.能运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.(运算能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
二次根式的混合运算 运算种类二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算顺序先乘方或 开方 ,再乘除,最后算加减;如果有括号先算 括号 里面的 运算结果化为 最简二次根式
1.下列计算中正确的是(B) A. (+ )=3 B.(- )÷=-1 C.÷=2 D. (+)=+2 2.计算÷(+)的结果是 .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 二次根式的混合运算(运算能力)
【典例1】计算:
(1)(+)×;
(2)(+1)(-1)-(-1)2;
(3)(-)÷-×.
【自主解答】(1)原式=(3+4)×=7×=14;
(2)原式=3-1-(3+1-2)
=3-1-4+2
=-2+2;
(3)原式=(2-)÷-2=-2=-.
举一反三
1.下列计算,正确的是(C)
A.+= B.3-2=1
C.(-2)(+2)=1 D.2+7=54
2.计算×(+)的结果是(B)
A.2 B.4
C. D.1+
3.计算:
(1)÷+-×;
(2)(-1)2+(+1)(-1).
【解析】(1)÷+-×
=+3-
=2+3-4
=2-;
(2)(-1)2+(+1)(-1)
=3-2+1+6-1
=9-2.
技法点拨
二次根式混合运算的常见类型
(1)(++)=++;
(2)(+)(+)=+++;
(3)(+)(-)=a-b;
(4)(±)2=a±2+b.
重点2 与二次根式有关的化简求值(运算能力、推理能力)
【典例2】设M=(-)·,其中a=3,b=2,求M的值.
【自主解答】原式=×-×=1-=1-|a|,
因为a=3,b=2,
所以原式=1-3=-2.
举一反三
1.(2025·长沙质检)先化简,再求值:(2+a)(2-a)+(a-2)2,其中a=2-.
【解析】(2+a)(2-a)+(a-2)2=4-a2+a2-4a+4=-4a+8,
当a=2-时,原式=-4(2-)+8=4.
2.先化简,再求值:x(-x)+(x+)(x-),其中x=-.
【解析】x(-x)+(x+)(x-)=x-x2+x2-5=x-5.
将x=-代入得:原式=(-)-5=6-2-5=1-2.
技法点拨
含字母的二次根式化简求值的三点注意
1.的隐含条件为a≥0.
2.化简时,先让=|a|,再利用绝对值意义化简.
3.最后的结果化为最简.
素养 思维提升 入境深探
【火眼金睛】(找错并纠正)
计算,其中a=-1.
【陷阱】忽略二次根式的性质≥0.
【正解】====3.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 十三”3 二次根式
第3课时
课时目标
1.掌握二次根式的混合运算法则及运算顺序.(推理能力)
2.能运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.(运算能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
二次根式的混合运算 运算种类二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算顺序先乘方或 ,再乘除,最后算加减;如果有括号先算 里面的 运算结果化为
1.下列计算中正确的是( ) A. (+ )=3 B.(- )÷=-1 C.÷=2 D. (+)=+2 2.计算÷(+)的结果是 .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 二次根式的混合运算(运算能力)
【典例1】计算:
(1)(+)×;
(2)(+1)(-1)-(-1)2;
(3)(-)÷-×.
举一反三
1.下列计算,正确的是( )
A.+= B.3-2=1
C.(-2)(+2)=1 D.2+7=54
2.计算×(+)的结果是( )
A.2 B.4
C. D.1+
3.计算:
(1)÷+-×;
(2)(-1)2+(+1)(-1).
技法点拨
二次根式混合运算的常见类型
(1)(++)=++;
(2)(+)(+)=+++;
(3)(+)(-)=a-b;
(4)(±)2=a±2+b.
重点2 与二次根式有关的化简求值(运算能力、推理能力)
【典例2】设M=(-)·,其中a=3,b=2,求M的值.
举一反三
1.(2025·长沙质检)先化简,再求值:(2+a)(2-a)+(a-2)2,其中a=2-.
2.先化简,再求值:x(-x)+(x+)(x-),其中x=-.
技法点拨
含字母的二次根式化简求值的三点注意
1.的隐含条件为a≥0.
2.化简时,先让=|a|,再利用绝对值意义化简.
3.最后的结果化为最简.
素养 思维提升 入境深探
【火眼金睛】(找错并纠正)
计算,其中a=-1.
