1 平均数与方差
第1课时
课时目标
1.理解众数、算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数据的众数、算术平均数和加权平均数.(数据观念、运算能力)
2.经历用平均数描述数据集中趋势的过程;体会算术平均数与加权平均数的联系与区别,并能利用它们解决一些现实问题.(数据观念、运算能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.已知一组数据:1,3,3,4,6,则这组数据的众数是 3 . 2.(1)小君周一至周五的支出分别是(单位:元)7,10,14,7,12,则这组数据的平均数是(B) A.7 B.10 C.11 D.11.5 (2)某学习小组有5人,在一次数学测验中的成绩分别是102,106,100,105,102,则他们成绩的平均数是 103 . (3)小丽的笔试成绩为100分,面试成绩为90分,若笔试成绩、面试成绩按6∶4计算平均成绩,则小丽的平均成绩是 96 分.
重点 典例研析 启思凝智
重点1 众数与算术平均数(运算能力、数据观念)
【典例1】(教材再开发·P146引入问题补充)某校组织了“在阳光下成长”主题演讲比赛,比赛规则:6名裁判打分,去除一个最高分和一个最低分,剩下的4个分数的平均值为该选手成绩,如表是某选手的得分情况:
裁判 1 2 3 4 5 6
分数 94 94 94 94 a b
其中,裁判4、裁判5给出的分数均被去除.经计算,该选手的成绩为93.75分.
请根据上述信息,解决以下问题:
(1)求b的值;
(2)请判断a是最高分还是最低分,并说明理由.
(3)该选手得分的众数是多少
【自主解答】(1)由题意得,(94+94+94+b)÷4=93.75,解得b=93;
答:b的值为93.
(2)a是最低分,由题意可知a≤93,否则就不满足去掉的是94分和a分.
(3)因为94分出现的次数最多,所以该选手得分的众数是94分.
举一反三
1.(2025·盐城期中)一组数据3,5,2,x,7的平均数是4,则x的值为(A)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.射击运动最早起源于狩猎和军事活动,是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目.小强、小刚、小明三位选手进行男子10米气手枪射击比赛,比赛第一枪小强以10.9环满环的好成绩暂列第一,小刚以10环暂列第三,则这三位选手第一枪的平均成绩在(C)
A.10环以下
B.10环到10.3环之间
C.10.3环到10.6环之间
D.10.6环到10.9环之间
3.抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码,数据如下:
尺码 33 34 35 36 37
人数 7 6 15 1 1
这组数据的众数是 35 .
技法点拨
计算算术平均数的三个“明确”
(1)明确需要计算的量;
(2)明确需要计算的个数;
(3)明确公式:算术平均数=各数之和÷个数.
重点2 加权平均数(运算能力、数据观念、应用意识)
【典例2】(2025·邯郸质检)某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成的,如果期末评价成绩在80分以上,则评为“优秀”.下表是嘉嘉和淇淇两位同学的成绩.
学生 完成作业/分 半期检测/分 期末考试/分
嘉嘉 90 76 80
淇淇 82 70 86
(1)若将三项成绩的平均分记为期末评价成绩,请计算嘉嘉的期末评价成绩;
(2)若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按2∶3∶5的比例来确定期末评价成绩,请你通过计算判断淇淇能否被评为“优秀”.
【自主解答】(1)=82(分);
(2)=80.4(分),
因为80.4>80,
所以淇淇能被评为“优秀”.
举一反三
1.(2025·扬州期中)小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分,各项占学期成绩的百分比分别为10%,40%,50%,则小明的数学学期成绩是 89.8 分.
2.某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示,该食堂销售午餐盒饭的平均价格是 9.4 元.
技法点拨
加权平均数中“权”的认知
(1)三种常见形式:①百分数的形式,②出现的次数(个数),③比例关系;
(2)反映了各个数据的“重要程度”;
(3)计算加权平均数时要将权和数据对应起来.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 三十四”1 平均数与方差
第1课时
课时目标
1.理解众数、算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数据的众数、算术平均数和加权平均数.(数据观念、运算能力)
2.经历用平均数描述数据集中趋势的过程;体会算术平均数与加权平均数的联系与区别,并能利用它们解决一些现实问题.(数据观念、运算能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.已知一组数据:1,3,3,4,6,则这组数据的众数是 . 2.(1)小君周一至周五的支出分别是(单位:元)7,10,14,7,12,则这组数据的平均数是( ) A.7 B.10 C.11 D.11.5 (2)某学习小组有5人,在一次数学测验中的成绩分别是102,106,100,105,102,则他们成绩的平均数是 . (3)小丽的笔试成绩为100分,面试成绩为90分,若笔试成绩、面试成绩按6∶4计算平均成绩,则小丽的平均成绩是 分.
重点 典例研析 启思凝智
重点1 众数与算术平均数(运算能力、数据观念)
【典例1】(教材再开发·P146引入问题补充)某校组织了“在阳光下成长”主题演讲比赛,比赛规则:6名裁判打分,去除一个最高分和一个最低分,剩下的4个分数的平均值为该选手成绩,如表是某选手的得分情况:
裁判 1 2 3 4 5 6
分数 94 94 94 94 a b
其中,裁判4、裁判5给出的分数均被去除.经计算,该选手的成绩为93.75分.
请根据上述信息,解决以下问题:
(1)求b的值;
(2)请判断a是最高分还是最低分,并说明理由.
(3)该选手得分的众数是多少
举一反三
1.(2025·盐城期中)一组数据3,5,2,x,7的平均数是4,则x的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.射击运动最早起源于狩猎和军事活动,是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目.小强、小刚、小明三位选手进行男子10米气手枪射击比赛,比赛第一枪小强以10.9环满环的好成绩暂列第一,小刚以10环暂列第三,则这三位选手第一枪的平均成绩在( )
A.10环以下
B.10环到10.3环之间
C.10.3环到10.6环之间
D.10.6环到10.9环之间
3.抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码,数据如下:
尺码 33 34 35 36 37
人数 7 6 15 1 1
这组数据的众数是 .
技法点拨
计算算术平均数的三个“明确”
(1)明确需要计算的量;
(2)明确需要计算的个数;
(3)明确公式:算术平均数=各数之和÷个数.
重点2 加权平均数(运算能力、数据观念、应用意识)
【典例2】(2025·邯郸质检)某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成的,如果期末评价成绩在80分以上,则评为“优秀”.下表是嘉嘉和淇淇两位同学的成绩.
学生 完成作业/分 半期检测/分 期末考试/分
嘉嘉 90 76 80
淇淇 82 70 86
(1)若将三项成绩的平均分记为期末评价成绩,请计算嘉嘉的期末评价成绩;
(2)若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按2∶3∶5的比例来确定期末评价成绩,请你通过计算判断淇淇能否被评为“优秀”.
举一反三
1.(2025·扬州期中)小明本学期数学综合实践活动、期中考试及期末考试的成绩分别是88分、90分和90分,各项占学期成绩的百分比分别为10%,40%,50%,则小明的数学学期成绩是 分.
2.某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示,该食堂销售午餐盒饭的平均价格是 元.
技法点拨
加权平均数中“权”的认知
(1)三种常见形式:①百分数的形式,②出现的次数(个数),③比例关系;
(2)反映了各个数据的“重要程度”;
(3)计算加权平均数时要将权和数据对应起来.1 平均数与方差
第2课时
课时目标
1.理解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差;会计算一组简单数据的相应数值,并在具体情境中应用.(数据观念、运算能力)
2.会用样本的方差、标准差估计总体的方差、标准差;并能用数据的波动性进行决策.(数据观念、应用意识、运算能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.离差平方和、方差、标准差 2.组内离差平方和 (1)常用的分组方法:使“组内离差平方和达到 最小 ”. (2)多组数据的组内离差平方和:每组数据的离差平方和的和. 1.(1)方差是刻画数据波动程度的量.对于一组数据x1,x2,x3,…,xn,可用如下算式计算方差:s2=[(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+…+(xn-5)2],其中“5”是这组数据的 平均数 . (2)已知一组数据的方差是4,则这组数据的标准差是 2 . (3)甲、乙、丙、丁都参加了5次数学模拟测试,每个人这5次测试的平均成绩都是125分,方差分别是=0.65,=0.55,=0.50,=0.45,最稳定的是 丁 . 2.把5个数据-1,3,1,5,4分成{-1,1}和{3,4,5}两组,则这种分组情况的组内离差平方和为 4 .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 离差平方和、方差和标准差(运算能力、数据观念)
【典例1】(教材再开发·P151例2强化)淇淇在计算一组数据的方差时,列得没有化简的算式:s2=.关于这组数据,下列说法正确的是(A)
①平均数是4;②众数是5;③样本容量是3.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
举一反三
1.(2025·南京期中)若一组数据2,4,6,8,x的方差比另一组数据1,3,5,7,9的方差大,则x的值可能是(A)
A.12 B.10 C.2 D.0
2.已知一组数据离差平方和S=(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2=50,则这组数据的方差s2= 5 .
3.若2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差为16,则x1,x2,x3,x4,x5的方差为 4 .
技法点拨
若一组数据x1,x2,…,xn的方差为s2,
①x1±a,x2±a,…,xn±a的方差为s2;
②mx1,mx2,…,mxn的方差为m2s2.
重点2 方差的应用(运算能力、数据观念、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P152尝试·思考强化)《朗读者》自开播以来,以其厚重的文化底蕴和真挚的人文情怀,感动了数以亿计的观众.某中学开展“朗读”比赛活动,九年级(1)、(2)班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示.
(1)根据图示填写表格,则n=__________;
项目 平均数 众数
九(1)班 85 85
九(2)班 n 100
(2)结合两班复赛成绩的平均数和众数,分析哪个班级的复赛成绩较好;
(3)如果规定成绩较稳定班级胜出,你认为哪个班级能胜出 说明理由.
【自主解答】(1)由题中统计图可知:九(1)班5名选手的成绩分别为75,80,85,85,100,九(2)班5名选手的成绩分别为70,75,80,100,100,
所以九(2)班5名选手成绩的平均数是(70+75+80+100+100)÷5=85,所以n=85;
答案:85
(2)九(2)班复赛成绩较好,因为两个班级复赛成绩的平均数相同,九(2)班的众数高,所以在平均数相同的情况下众数高的九(2)班的复赛成绩较好;
(3)九(1)班复赛成绩的方差为:×[(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2]
=70,
九(2)班复赛成绩的方差为:×[(70-85)2+(75-85)2+(80-85)2+(100-85)2+(100-85)2]
=160,所以九(1)班复赛成绩的方差小于九(2)班复赛成绩的方差,所以九(1)班成绩更稳定,能胜出.
举一反三
1.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
项目 甲 乙 丙 丁
平均数(cm) 190 180 190 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择(A)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.(2025·盐城期中)甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下:甲:8,8,7,8,9;乙:5,9,7,10,9.
项目 平均数 众数 方差
甲 8 8 b
乙 a 9 3.2
(1)表格中a=__________;b=__________;
(2)教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差__________.(填“变大”“变小”或“不变”)
【解析】(1)乙的射击成绩的平均数a=×(5+9+7+10+9)=8,
甲的射击成绩的方差b=×[(8-8)2×3+(7-8)2+(9-8)2]=0.4;
答案:8 0.4
(2)因为他们的平均数相等,虽然乙的射击成绩的众数大于甲,但甲的射击成绩的方差小,成绩比较稳定,
所以选择甲参加射击比赛;
(3)乙再射击1次,命中8环,此时乙的射击成绩的方差为×[(5-8)2+(9-8)2×2+(7-8)2+(10-8)2+(8-8)2]=,因为<3.2,所以乙的射击成绩的方差变小了.
答案:变小
重点3 组内离差平方和的应用(运算能力、数据观念)
【典例3】(教材再开发·P153例3强化)某校随机抽查了5名同学暑假中阅读课外书的数量(单位:本),结果如下:14,13,6,11,8.按照“组内离差平方和达到最小”的方法,把5名同学按暑假中阅读课外书数量的多少分成两组.
【自主解答】将各数据由小到大排序:6,8,11,13,14.
把5个数据分成两组,共有4种情况,第一组1个数据{6},第二组4个数据{8,11,13,14};第一组2个数据{6,8},第二组3个数据{11,13,14}……第一组4个数据{6,8,11,13},第二组1个数据{14}.
计算各种分组情况的组内离差平方和,结果如下(计算结果保留两位小数):
分组情况 组内离差平方和
第一组1个,第二组4个 21
第一组2个,第二组3个 6.67
第一组3个,第二组2个 13.17
第一组4个,第二组1个 29
计算结果表明,第2种情况的组内离差平方和最小.因此把5名同学按暑假中阅读课外书数量的多少分成两组是{6,8},{11,13,14}.
举一反三
把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是(B)
A.{2},{4,8,10,12} B.{2,4},{8,10,12}
C.{2,4,8},{10,12} D.{2,4,8,10},{12}
素养 思维提升 入境深探
链接生活
为方便游客通行,某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶.如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图.
(图中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm),并且数据15,16,16,14,14,15的方差=,数据11,15,18,17,10,19的方差=).
请你用所学过的有关统计知识(平均数和方差)回答下列问题:
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点
(2)哪段台阶路走起来更舒服,为什么
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
【解析】(1)因为平均数:=(15+16+16+14+14+15)=15(cm);
=(11+15+18+17+10+19)=15(cm),又因为=,=,
所以相同点:两段台阶路高度的平均数相同.
不同点:两段台阶路高度的方差不相同.
(2)甲段台阶路走起来更舒服,因为它的台阶高度的方差小.
(3)每个台阶高度均为15 cm(原平均数),使得方差为0(合理即可).
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 三十五”1 平均数与方差
第2课时
课时目标
1.理解刻画数据离散程度的三个量——离差平方和、方差和标准差;会计算一组简单数据的相应数值,并在具体情境中应用.(数据观念、运算能力)
2.会用样本的方差、标准差估计总体的方差、标准差;并能用数据的波动性进行决策.(数据观念、应用意识、运算能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.离差平方和、方差、标准差 2.组内离差平方和 (1)常用的分组方法:使“组内离差平方和达到 ”. (2)多组数据的组内离差平方和:每组数据的离差平方和的和. 1.(1)方差是刻画数据波动程度的量.对于一组数据x1,x2,x3,…,xn,可用如下算式计算方差:s2=[(x1-5)2+(x2-5)2+(x3-5)2+…+(xn-5)2],其中“5”是这组数据的 . (2)已知一组数据的方差是4,则这组数据的标准差是 . (3)甲、乙、丙、丁都参加了5次数学模拟测试,每个人这5次测试的平均成绩都是125分,方差分别是=0.65,=0.55,=0.50,=0.45,最稳定的是 . 2.把5个数据-1,3,1,5,4分成{-1,1}和{3,4,5}两组,则这种分组情况的组内离差平方和为 .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 离差平方和、方差和标准差(运算能力、数据观念)
【典例1】(教材再开发·P151例2强化)淇淇在计算一组数据的方差时,列得没有化简的算式:s2=.关于这组数据,下列说法正确的是( )
①平均数是4;②众数是5;③样本容量是3.
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
举一反三
1.(2025·南京期中)若一组数据2,4,6,8,x的方差比另一组数据1,3,5,7,9的方差大,则x的值可能是( )
A.12 B.10 C.2 D.0
2.已知一组数据离差平方和S=(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2=50,则这组数据的方差s2= .
3.若2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差为16,则x1,x2,x3,x4,x5的方差为 .
技法点拨
若一组数据x1,x2,…,xn的方差为s2,
①x1±a,x2±a,…,xn±a的方差为s2;
②mx1,mx2,…,mxn的方差为m2s2.
重点2 方差的应用(运算能力、数据观念、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P152尝试·思考强化)《朗读者》自开播以来,以其厚重的文化底蕴和真挚的人文情怀,感动了数以亿计的观众.某中学开展“朗读”比赛活动,九年级(1)、(2)班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如图所示.
(1)根据图示填写表格,则n=__________;
项目 平均数 众数
九(1)班 85 85
九(2)班 n 100
(2)结合两班复赛成绩的平均数和众数,分析哪个班级的复赛成绩较好;
(3)如果规定成绩较稳定班级胜出,你认为哪个班级能胜出 说明理由.
举一反三
1.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:
项目 甲 乙 丙 丁
平均数(cm) 190 180 190 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应选择( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
2.(2025·盐城期中)甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下:甲:8,8,7,8,9;乙:5,9,7,10,9.
项目 平均数 众数 方差
甲 8 8 b
乙 a 9 3.2
(1)表格中a=__________;b=__________;
(2)教练根据这5次成绩,选择甲参加射击比赛,教练的理由是什么
(3)如果乙再射击1次,命中8环,那么乙的射击成绩的方差__________.(填“变大”“变小”或“不变”)
重点3 组内离差平方和的应用(运算能力、数据观念)
【典例3】(教材再开发·P153例3强化)某校随机抽查了5名同学暑假中阅读课外书的数量(单位:本),结果如下:14,13,6,11,8.按照“组内离差平方和达到最小”的方法,把5名同学按暑假中阅读课外书数量的多少分成两组.
举一反三
把数据2,8,10,4,12按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是( )
A.{2},{4,8,10,12} B.{2,4},{8,10,12}
C.{2,4,8},{10,12} D.{2,4,8,10},{12}
素养 思维提升 入境深探
链接生活
为方便游客通行,某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶.如图是其中的甲、乙段台阶路的示意图.
(图中的数字表示每一级台阶的高度(单位:cm),并且数据15,16,16,14,14,15的方差=,数据11,15,18,17,10,19的方差=).
请你用所学过的有关统计知识(平均数和方差)回答下列问题:
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点
(2)哪段台阶路走起来更舒服,为什么
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
