2 平行线的证明
第2课时
课时目标
1.掌握平行线的性质定理,了解平行于同一条直线的两条直线平行.(推理能力、几何直观)
2.了解性质定理和判定定理的联系,初步感受互逆的思维过程.(推理能力、几何直观)
3.进一步理解证明的步骤、格式和方法,发展演绎推理能力.(推理能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.平行线的性质 性质 定理文字叙述定理1两直线平行,同位角 ∵a∥b, ∴∠1= 定理2两直线平行,内错角 ∵a∥b, ∴∠2= 定理3两直线平行,同旁内角 ∵a∥b, ∴∠2+ = 定理4平行于同一条直线的两条直线 ∵a∥c,b∥c,∴a∥b
1.(1)直线a,b均与直线c相交,且a∥b,∠1=48°,则∠2=( ) A.42° B.48° C.62° D.58° (2)如图,直线a∥b,将三角尺的直角顶点放在直线b上,如果∠2=60°,那么∠1的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60°
2.平行线的性质与判定的关系 (1)平行线的性质:由直线的 关系得出角之间的数量关系. (2)平行线的判定:由角之间的数量关系得出直线的 关系. 2.如图,已知∠1=∠2=32°,∠D=78°,则∠BCD= .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 平行线的性质(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P194T5强化)如图,AB∥CD,BD平分∠ABC,CA平分∠BCD.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若∠A=2∠D,求∠A的度数.
举一反三
1.如图,AB∥CD,AC⊥AD,若∠1=153°,则∠2的度数为( )
A.67° B.63° C.43° D.27°
2.如图,已知,AB∥CD,∠1=(4x-25)°,∠2=(85-x)°,∠1的度数为 .
重点2 平行线性质和判定的综合应用(推理能力、运算能力)
【典例2】 (教材再开发·P195T7强化)如图,在△ABC中,点E、点G分别是边AB、AC上的点,点F、点D是边BC上的点,连接EF、AD和DG,DG是∠ADC的平分线,若∠1+∠2=180°,AB∥DG,∠2=145°,求∠EFC的度数.
举一反三
(2025·常德质检)如图,已知AB∥DE,∠B+∠E=180°.
(1)求证:BC∥EF;
(2)若∠BHE=60°,射线HG平分∠BHE,求∠HGE的度数.
素养 思维提升 入境深探
综合运用
【问题情景】
如图1,AB∥DC,点P在直线AB,CD之间,连接AP,CP.∠BAP=60°,∠DCP=20°,求∠APC的度数.小明的思路如下:先过点P作PE∥AB,再根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,进而得到∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°.
【问题解决】
(1)如图2,AB∥DC,点P在直线AB,CD之间,连接AP,CP,∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K.若∠APC=88°,则∠AKC=__________ .
(2)在(1)的条件下,若∠APC=α,求∠AKC的度数.2 平行线的证明
第1课时
课时目标
1.了解证明的基本步骤和书写格式.(推理能力)
2.会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”,并能简单应用这些结论.(推理能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件能使a∥b的是(B) A.∠1=∠6 B.∠2=∠6 C.∠1=∠3 D.∠5=∠7 2.如图,已知∠1=50°,要使a∥b,那么∠2等于(C) A.40° B.130° C.50° D.120°
重点 典例研析 启思凝智
重点1 平行线的判定(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P194T2延伸)如图,已知△ABC,∠ACB=80°,点E,F分别在AB,AC上,ED交AC于点G,交BC的延长线于点D,∠FEG=32°,∠CGD=48°.
求证:EF∥BC.
【证明】∵∠CGD=48°,
∴∠EGF=∠CGD=48°,
∵∠FEG=32°,∴∠GFE=180°-∠EGF-∠FEG=180°-48°-32°=100°,
∵∠ACB=80°,∴∠GFE+∠ACB=180°,∴EF∥BC.
举一反三
1.(2025·长沙期中)如图,点E在CD延长线上,下列条件中能判定AB∥CE的是(D)
A.∠5=∠C
B.∠1=∠2
C.∠B=∠C
D.∠C+∠CAB=180°
2.如图∠B=∠D=∠E,那么图形中的平行线有 CD∥EF .
3.如图所示,已知BE⊥MN,垂足为B,DF⊥MN,垂足为D,∠1=∠2.求证:AB∥CD.
【证明】∵BE⊥MN,DF⊥MN,
∴∠MBE=90°,∠MDF=90°,
即∠ABM+∠1=90°,∠CDM+∠2=90°,
又∵∠1=∠2,∴∠ABM=∠CDM,
∴AB∥CD.
重点2 平行线判定定理的应用(推理能力、运算能力)
【典例2】 (教材再开发·P194T4拓展)生活中,经过薄凸透镜光心的光线,其传播方向不变.如图,光线AB从空气中射入薄凸透镜,再经过凸透镜的光心,射入到空气中,形成光线CD,由光学知识有∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB∥CD.
【证明】∵∠1=∠2,
∴∠EBC=∠NCB,∵∠3=∠4,
∴∠EBC+∠3=∠NCB+∠4,
即∠ABC=∠DCB,∴AB∥CD.
举一反三
1.如图,一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD,测得∠ABC=145°,则∠BCD=145°,就可以知道AB∥CD,其依据是(C)
A.同位角相等,两直线平行
B.同旁内角互补,两直线平行
C.内错角相等,两直线平行
D.平行于同一条直线的两直线平行
2.已知直线BC,嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线,他们的方法如下:
下列说法正确的是(A)
A.嘉嘉和琪琪的方法都正确
B.嘉嘉的方法不正确,琪琪的方法正确
C.嘉嘉的方法正确,琪琪的方法不正确
D.嘉嘉和琪琪的方法都不正确
素养 思维提升 入境深探
链接生活
在台球游戏中,有一种用平行线找母球撞点的方法:目标球进球线路的平行线穿过母球中心平行线接触母球的表面的点就是母球的撞点.我们可以把母球撞点到进球点的线作为瞄准线路,两点一线就可以在台球游戏中做到有的放矢.
如图,台球运动中,台桌为一个长方形DEFG,如果母球P击中点A,经桌边反弹后击中相邻的另一桌边上的点B,再次反弹经过点C.
(1)若∠PAD=32°,求∠PAB的度数;
(2)母球P经过的路线BC与PA一定平行吗 请说明理由.
【解析】(1)∵∠PAD=32°,∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+∠BAE=180°,
∴∠PAB=180°-32°-32°=116°.
(2)BC∥PA.理由如下:
∵∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,
∴∠PAB=180°-2∠BAE.
同理:∠ABC=180°-2∠ABE.
∵∠BAE+∠ABE=90°,∴∠PAB+∠ABC=360°-2(∠BAE+∠ABE)=180°,∴BC∥PA.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 四十一”2 平行线的证明
第1课时
课时目标
1.了解证明的基本步骤和书写格式.(推理能力)
2.会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”,并能简单应用这些结论.(推理能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.如图,直线a,b被直线c所截,下列条件能使a∥b的是( ) A.∠1=∠6 B.∠2=∠6 C.∠1=∠3 D.∠5=∠7 2.如图,已知∠1=50°,要使a∥b,那么∠2等于( ) A.40° B.130° C.50° D.120°
重点 典例研析 启思凝智
重点1 平行线的判定(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P194T2延伸)如图,已知△ABC,∠ACB=80°,点E,F分别在AB,AC上,ED交AC于点G,交BC的延长线于点D,∠FEG=32°,∠CGD=48°.
求证:EF∥BC.
举一反三
1.(2025·长沙期中)如图,点E在CD延长线上,下列条件中能判定AB∥CE的是( )
A.∠5=∠C
B.∠1=∠2
C.∠B=∠C
D.∠C+∠CAB=180°
2.如图∠B=∠D=∠E,那么图形中的平行线有 .
3.如图所示,已知BE⊥MN,垂足为B,DF⊥MN,垂足为D,∠1=∠2.求证:AB∥CD.
重点2 平行线判定定理的应用(推理能力、运算能力)
【典例2】 (教材再开发·P194T4拓展)生活中,经过薄凸透镜光心的光线,其传播方向不变.如图,光线AB从空气中射入薄凸透镜,再经过凸透镜的光心,射入到空气中,形成光线CD,由光学知识有∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AB∥CD.
举一反三
1.如图,一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD,测得∠ABC=145°,则∠BCD=145°,就可以知道AB∥CD,其依据是( )
A.同位角相等,两直线平行
B.同旁内角互补,两直线平行
C.内错角相等,两直线平行
D.平行于同一条直线的两直线平行
2.已知直线BC,嘉嘉和琪琪想画出BC的平行线,他们的方法如下:
下列说法正确的是( )
A.嘉嘉和琪琪的方法都正确
B.嘉嘉的方法不正确,琪琪的方法正确
C.嘉嘉的方法正确,琪琪的方法不正确
D.嘉嘉和琪琪的方法都不正确
素养 思维提升 入境深探
链接生活
在台球游戏中,有一种用平行线找母球撞点的方法:目标球进球线路的平行线穿过母球中心平行线接触母球的表面的点就是母球的撞点.我们可以把母球撞点到进球点的线作为瞄准线路,两点一线就可以在台球游戏中做到有的放矢.
如图,台球运动中,台桌为一个长方形DEFG,如果母球P击中点A,经桌边反弹后击中相邻的另一桌边上的点B,再次反弹经过点C.
(1)若∠PAD=32°,求∠PAB的度数;
(2)母球P经过的路线BC与PA一定平行吗 请说明理由.2 平行线的证明
第2课时
课时目标
1.掌握平行线的性质定理,了解平行于同一条直线的两条直线平行.(推理能力、几何直观)
2.了解性质定理和判定定理的联系,初步感受互逆的思维过程.(推理能力、几何直观)
3.进一步理解证明的步骤、格式和方法,发展演绎推理能力.(推理能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.平行线的性质 性质 定理文字叙述定理1两直线平行,同位角 相等 ∵a∥b, ∴∠1= ∠2 定理2两直线平行,内错角 相等 ∵a∥b, ∴∠2= ∠3 定理3两直线平行,同旁内角 互补 ∵a∥b, ∴∠2+ ∠4 = 180° 定理4平行于同一条直线的两条直线 平行 ∵a∥c,b∥c,∴a∥b
1.(1)直线a,b均与直线c相交,且a∥b,∠1=48°,则∠2=(B) A.42° B.48° C.62° D.58° (2)如图,直线a∥b,将三角尺的直角顶点放在直线b上,如果∠2=60°,那么∠1的度数为(A) A.30° B.40° C.50° D.60°
2.平行线的性质与判定的关系 (1)平行线的性质:由直线的 位置 关系得出角之间的数量关系. (2)平行线的判定:由角之间的数量关系得出直线的 位置 关系. 2.如图,已知∠1=∠2=32°,∠D=78°,则∠BCD= 102° .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 平行线的性质(运算能力、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P194T5强化)如图,AB∥CD,BD平分∠ABC,CA平分∠BCD.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若∠A=2∠D,求∠A的度数.
【自主解答】(1)∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵BD平分∠ABC,CA平分∠BCD,
∴∠CBE=∠ABC,∠BCE=∠BCD,
∴∠CBE+∠BCE=(∠ABC+∠BCD)=×180°=90°,
∴∠BEC=90°,∴AC⊥BD;
(2)∵AB∥CD,
∴∠ABE=∠D,
∵AC⊥BD,
∴∠A+∠ABE=90°,
∵∠A=2∠D,
∴2∠D+∠D=90°,
∴∠D=30°,
∴∠A=2×30°=60°.
举一反三
1.如图,AB∥CD,AC⊥AD,若∠1=153°,则∠2的度数为(B)
A.67° B.63° C.43° D.27°
2.如图,已知,AB∥CD,∠1=(4x-25)°,∠2=(85-x)°,∠1的度数为 135° .
重点2 平行线性质和判定的综合应用(推理能力、运算能力)
【典例2】 (教材再开发·P195T7强化)如图,在△ABC中,点E、点G分别是边AB、AC上的点,点F、点D是边BC上的点,连接EF、AD和DG,DG是∠ADC的平分线,若∠1+∠2=180°,AB∥DG,∠2=145°,求∠EFC的度数.
【自主解答】∵∠1+∠2=180°,∠2=145°,∴∠1=180-145°=35°,
∵DG是∠ADC的平分线,
∴∠ADC=2∠1=70°,
∵AB∥DG,∴∠1=∠BAD,
∵∠1+∠2=180°,
∴∠BAD+∠2=180°,
∴AD∥EF,∴∠EFC=∠ADC=70°.
举一反三
(2025·常德质检)如图,已知AB∥DE,∠B+∠E=180°.
(1)求证:BC∥EF;
(2)若∠BHE=60°,射线HG平分∠BHE,求∠HGE的度数.
【解析】(1)∵AB∥DE,
∴∠B+∠BHD=180°,
∵∠B+∠E=180°,
∴∠E=∠BHD,∴BC∥EF;
(2)由角平分线定义可知:∠BHG=∠BHE=30°,
∵BC∥EF,∴∠HGE=∠BHG=30°.
素养 思维提升 入境深探
综合运用
【问题情景】
如图1,AB∥DC,点P在直线AB,CD之间,连接AP,CP.∠BAP=60°,∠DCP=20°,求∠APC的度数.小明的思路如下:先过点P作PE∥AB,再根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,进而得到∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°.
【问题解决】
(1)如图2,AB∥DC,点P在直线AB,CD之间,连接AP,CP,∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K.若∠APC=88°,则∠AKC=__________ .
(2)在(1)的条件下,若∠APC=α,求∠AKC的度数.
【解析】(1)如图,过K作KE∥AB,
∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,
∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,过P作PF∥AB,
同理可得∠APC=∠BAP+∠DCP,
∵∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K,∴∠DCK=∠DCP,∠BAK=∠BAP,∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC,
∴∠AKC=∠APC,∵∠APC=88°,∴∠AKC=×88°=44°.
答案:44°
(2)根据解析(1)可知∠AKC=∠APC,∵∠APC=α,
∴∠AKC=α.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 四十二”
