第七章 命题与证明 单元复习课
体系 自我构建 条分缕析
目标 维度评价 破译考向
维度1 知识技能应用
1.下列命题中的真命题是( )
A.内错角相等
B.三角形的任意两边之和大于第三边
C.是有理数
D.若|a|=1,则a=1
2.能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是( )
3. (2024·陕西中考)如图,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,则∠D的度数为( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
4.(2024·德阳中考)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图,其中AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC=70°,则∠EDC等于( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
5.(2024·包头中考)如图,直线AB∥CD,点E在直线AB上,射线EF交直线CD于点G,则图中与∠AEF互补的角有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.(2024·泸州中考)把一块含30°角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间,若∠1=45°,则∠2=( )
A.10° B.15° C.20° D.30°
7.(2024·苏州中考)如图,AB∥CD,若∠1=65°,∠2=120°,则∠3的度数为( )
A.45° B.55° C.60° D.65°
8.(综合实践)(2024·大庆中考)如图,在一次综合实践课上,为检验纸带①、②的边线是否平行,小庆和小铁采用了两种不同的方法:小庆把纸带①沿AB折叠,量得∠1=∠2=59°;小铁把纸带②沿GH折叠,发现GD与GC重合,HF与HE重合,且点C,G,D在同一直线上,点E,H,F也在同一直线上.则下列判断正确的是( )
A.纸带①、②的边线都平行
B.纸带①、②的边线都不平行
C.纸带①的边线平行,纸带②的边线不平行
D.纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行
9.(2024·盐城中考)小明将一块直角三角尺摆放在直尺上,如图,若∠1=55°,则∠2的度数为( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
10.(2024·乐山中考)如图,两条平行线a,b被第三条直线c所截.若∠1=60°,那么∠2= .
11.(2024·南通中考)如图,点D在△ABC的边AB上,DF经过边AC的中点E,且EF=DE.求证:CF∥AB.
12.(2024·自贡中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.
(1)求证:∠BDF=∠A;
(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.
13.(2025·南阳期末)如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1)AD与CE平行吗 请说明理由.
(2)若DA平分∠BDC,CE⊥AE,∠1=64°,求∠FAB的度数.
维度2 思想方法应用
14.(分类讨论思想)两块不同的三角尺按如图1所示摆放,AC边重合,∠BAC=45°,∠DAC=30°.接着如图2保持三角尺ABC不动,将三角尺ACD绕着点C顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止.在此旋转过程中,当旋转时间t= 秒时,三角尺A'CD'有一条边与三角尺ABC的一条边恰好平行.
维度3 生产生活应用
15.(2024·湖北中考)如图,一条公路的两侧铺设了AB,CD两条平行管道,并有纵向管道AC连通,若∠1=120°,则∠2的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
16.(2024·潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其底部支架AB与吊线FG平行,灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°,顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°,则EF与FG所成锐角的度数为( )
A.60° B.55° C.50° D.45°
17.(推理论证)(2024·赤峰中考)编号为A,B,C,D,E的五台收割机,若同时启动其中两台收割机,收割面积相同的田地所需时间如表:
收割机编号 A,B B,C C,D D,E A,E
所需时间 (小时) 23 19 20 22 18
则收割最快的一台收割机编号是 .
18.(推理论证)(2024·宜宾中考)如图,一个圆柱体容器,其底部有三个完全相同的小孔槽,分别命名为甲槽、乙槽、丙槽.有大小质地完全相同的三个小球,每个小球标有从1至9中选取的一个数字,且每个小球所标数字互不相同.作如下操作:将这三个小球放入容器中,摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽(每个小孔槽只能容下一个小球),取出小球记录下各小孔槽的计分(分数为落入该小孔槽小球上所标的数字),完成第一次操作,再重复以上操作两次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分,其中第一次操作计分最高的是乙槽,则第二次操作计分最低的是 (从“甲槽”“乙槽”“丙槽”中选填).
19.如图,是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯,它的优点是可以变化伸缩,找到合适的照明角度.图①是这盏台灯的示意图,已知台灯水平放置,当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度,此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=135°,两支架BC和CD的夹角∠BCD=108°.
如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢 小明解决此问题的思路如下:
(1)小明在解决问题时,过点C作CF∥BE,则可以得到CF∥MN,其理由是_________________________.
(2)如图②,根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数.
(3)小明在解题时发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的,与∠CBE和∠BCD的度数无关.小明的说法对吗 请结合图②说明理由.
维度4 学科融合应用
20.(与物理结合)(2024·达州中考)当光线从空气射入水中时,光线的传播方向发生了改变,这就是光的折射现象(如图所示),图中∠1=80°,∠2=40°,则∠3的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
21.(与物理结合)(2024·深圳中考)如图,一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角∠1=50°,则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
22.(与物理结合)(2024·山西中考)一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力G的方向竖直向下,支持力F1的方向与斜面垂直,摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°,则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为( )
A.155° B.125° C.115° D.65°第七章 命题与证明 单元复习课
体系 自我构建 条分缕析
目标 维度评价 破译考向
维度1 知识技能应用
1.下列命题中的真命题是(B)
A.内错角相等
B.三角形的任意两边之和大于第三边
C.是有理数
D.若|a|=1,则a=1
2.能说明“三角形的高线一定在三角形的内部(含边界)”是假命题的反例是(C)
3. (2024·陕西中考)如图,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,则∠D的度数为(B)
A.25° B.35° C.45° D.55°
4.(2024·德阳中考)如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图,其中AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC=70°,则∠EDC等于(B)
A.10° B.20° C.30° D.40°
5.(2024·包头中考)如图,直线AB∥CD,点E在直线AB上,射线EF交直线CD于点G,则图中与∠AEF互补的角有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.(2024·泸州中考)把一块含30°角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间,若∠1=45°,则∠2=(B)
A.10° B.15° C.20° D.30°
7.(2024·苏州中考)如图,AB∥CD,若∠1=65°,∠2=120°,则∠3的度数为(B)
A.45° B.55° C.60° D.65°
8.(综合实践)(2024·大庆中考)如图,在一次综合实践课上,为检验纸带①、②的边线是否平行,小庆和小铁采用了两种不同的方法:小庆把纸带①沿AB折叠,量得∠1=∠2=59°;小铁把纸带②沿GH折叠,发现GD与GC重合,HF与HE重合,且点C,G,D在同一直线上,点E,H,F也在同一直线上.则下列判断正确的是(D)
A.纸带①、②的边线都平行
B.纸带①、②的边线都不平行
C.纸带①的边线平行,纸带②的边线不平行
D.纸带①的边线不平行,纸带②的边线平行
9.(2024·盐城中考)小明将一块直角三角尺摆放在直尺上,如图,若∠1=55°,则∠2的度数为(B)
A.25° B.35° C.45° D.55°
10.(2024·乐山中考)如图,两条平行线a,b被第三条直线c所截.若∠1=60°,那么∠2= 120° .
11.(2024·南通中考)如图,点D在△ABC的边AB上,DF经过边AC的中点E,且EF=DE.求证:CF∥AB.
【证明】∵E是AC的中点,
∴AE=CE.在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴∠ADE=∠CFE,∴CF∥AB.
12.(2024·自贡中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.
(1)求证:∠BDF=∠A;
(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.
【解析】(1)∵DE∥BC,
∴∠C=∠AED.
∵∠EDF=∠C,∴∠AED=∠EDF,
∴DF∥AC,∴∠BDF=∠A.
(2)∵∠A=45°,∴∠BDF=45°.
∵DF平分∠BDE,
∴∠BDE=2∠BDF=90°.
∵DE∥BC,∴∠B=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
13.(2025·南阳期末)如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1)AD与CE平行吗 请说明理由.
(2)若DA平分∠BDC,CE⊥AE,∠1=64°,求∠FAB的度数.
【解析】(1)平行.理由如下:
∵∠1=∠BDC,∴AB∥DC,
∴∠2=∠ADC.∵∠2+∠3=180°,
∴∠ADC+∠3=180°,∴AD∥CE.
(2)∵∠1=∠BDC,∠1=64°,
∴∠BDC=64°.∵DA平分∠BDC,
∴∠ADC=∠BDC=32°,
∴∠2=∠ADC=32°.
又∵CE⊥AE,∴∠AEC=90°.
∵AD∥CE,∴∠FAD=∠AEC=90°,
∴∠FAB=∠FAD-∠2=90°-32°=58°.
维度2 思想方法应用
14.(分类讨论思想)两块不同的三角尺按如图1所示摆放,AC边重合,∠BAC=45°,∠DAC=30°.接着如图2保持三角尺ABC不动,将三角尺ACD绕着点C顺时针以每秒15°的速度旋转90°后停止.在此旋转过程中,当旋转时间t= 2或3或5 秒时,三角尺A'CD'有一条边与三角尺ABC的一条边恰好平行.
维度3 生产生活应用
15.(2024·湖北中考)如图,一条公路的两侧铺设了AB,CD两条平行管道,并有纵向管道AC连通,若∠1=120°,则∠2的度数是(B)
A.50° B.60° C.70° D.80°
16.(2024·潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示,其底部支架AB与吊线FG平行,灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°,顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°,则EF与FG所成锐角的度数为(A)
A.60° B.55° C.50° D.45°
17.(推理论证)(2024·赤峰中考)编号为A,B,C,D,E的五台收割机,若同时启动其中两台收割机,收割面积相同的田地所需时间如表:
收割机编号 A,B B,C C,D D,E A,E
所需时间 (小时) 23 19 20 22 18
则收割最快的一台收割机编号是 C .
18.(推理论证)(2024·宜宾中考)如图,一个圆柱体容器,其底部有三个完全相同的小孔槽,分别命名为甲槽、乙槽、丙槽.有大小质地完全相同的三个小球,每个小球标有从1至9中选取的一个数字,且每个小球所标数字互不相同.作如下操作:将这三个小球放入容器中,摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽(每个小孔槽只能容下一个小球),取出小球记录下各小孔槽的计分(分数为落入该小孔槽小球上所标的数字),完成第一次操作,再重复以上操作两次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分,其中第一次操作计分最高的是乙槽,则第二次操作计分最低的是 乙槽 (从“甲槽”“乙槽”“丙槽”中选填).
19.如图,是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯,它的优点是可以变化伸缩,找到合适的照明角度.图①是这盏台灯的示意图,已知台灯水平放置,当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度,此时支架BC与水平线BE的夹角∠CBE=135°,两支架BC和CD的夹角∠BCD=108°.
如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢 小明解决此问题的思路如下:
(1)小明在解决问题时,过点C作CF∥BE,则可以得到CF∥MN,其理由是_________________________.
(2)如图②,根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数.
(3)小明在解题时发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的,与∠CBE和∠BCD的度数无关.小明的说法对吗 请结合图②说明理由.
【解析】(1)答案:平行于同一条直线的两直线平行
(2)∵CF∥BE,∴∠BCF+∠CBE=180°.
∵∠CBE=135°,∴∠BCF=45°.
∵∠BCD=108°,
∴∠DCF=∠BCD-∠BCF=63°.
又∵CF∥MN,∴∠CDM=∠DCF=63°.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵∠BCD=108°,∴∠ABC=72°,
∴∠ABE=∠CBE-∠ABC=63°.
(3)对,理由如下:
∵CF∥BE,∴∠BCF+∠CBE=180°,
∴∠BCF+∠CBA+∠ABE=180°.
∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°,
∴∠ABE=∠FCD.
∵CF∥MN,∴∠CDM=∠DCF,
∴∠CDM=∠ABE.
维度4 学科融合应用
20.(与物理结合)(2024·达州中考)当光线从空气射入水中时,光线的传播方向发生了改变,这就是光的折射现象(如图所示),图中∠1=80°,∠2=40°,则∠3的度数为(B)
A.30° B.40° C.50° D.70°
21.(与物理结合)(2024·深圳中考)如图,一束平行光线照射平面镜后反射,若入射光线与平面镜夹角∠1=50°,则反射光线与平面镜夹角∠4的度数为(B)
A.40° B.50° C.60° D.70°
22.(与物理结合)(2024·山西中考)一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力G的方向竖直向下,支持力F1的方向与斜面垂直,摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°,则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(C)
A.155° B.125° C.115° D.65°
阶段测评,请使用 “单元质量评价(七)”
