3 轴对称与坐标变化
课时目标
1.在同一平面直角坐标系中,能求一个点关于坐标轴的对称点的坐标.(几何直观、空间观念)
2.在同一平面直角坐标系中,掌握图形的坐标变化与轴对称之间的关系,体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁,感受代数与几何之间的相互转化.(几何直观、空间观念、运算能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
轴对称与坐标变化 图形轴对称 点的轴对称点P(a,b)关于x轴对称的点 (a,-b) 关于y轴对称的点 (-a,b)
1.点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(C) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 2.若点A的坐标为(-3,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为(B) A.(3,4) B.(-3,-4) C.(3,-4) D.(4,3)
重点 典例研析 启思凝智
重点1 坐标系中轴对称的两个点(模型观念、运算能力)
【典例1】在平面直角坐标系中,若点P(a-3,1)与点Q(2,b+1)关于x轴对称,求a+b的值.
【自主解答】因为点P(a-3,1)与点Q(2,b+1)关于x轴对称,
所以a-3=2,b+1=-1,
解得a=5,b=-2,所以a+b=5-2=3.
举一反三
1.(2025·哈尔滨质检)点P(3,-5)关于y轴对称的点的坐标是(A)
A.(-3,-5) B.(-3,5)
C.(3,-5) D.(3,5)
2.(推理能力)已知点A(x,3)与点B(2,y)关于y轴对称,那么x+y的值为(A)
A.1 B.2
C.-2 D.-1
技法点拨
轴对称的两个点的坐标特征
点M(a,b)关于以下直线的对称点M'
x轴 M'(a,-b) 横坐标相同,纵坐标互为相反数
y轴 M'(-a,b) 横坐标互为相反数,纵坐标相同
y=x M'(b,a) 横坐标、纵坐标互换位置
y=-x M'(-b,-a) 横坐标、纵坐标变为相反数且互换位置
x=m M'(2m-a,b)
y=n M'(a,2n-b)
重点2 坐标系中作轴对称图形(空间观念、运算能力)
【典例2】如图,在平面直角坐标系中有△ABC,且A,B,C三点都在格点上,
(1)作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF;
(2)分别写出点D,E,F的坐标;
(3)在△ABC的边上有任意一点M(x,y),则点M关于y轴对称的对应点的坐标是什么
【自主解答】(1)如图,△DEF即为所求;
(2)如图,D(3,4),E(5,2),F(2,0);
(3)点M关于y轴对称的对应点的坐标是(-x,y).
举一反三
在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A(-4,5),C(-1,3),A1(4,5),B1(2,1),△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称.
(1)在网格内完善平面直角坐标系.
(2)点B的坐标是__________,
点C1的坐标是__________;
(3)求△A1B1C1的面积.
【解析】(1)建立平面直角坐标系如图所示.
(2)由图可知,B(-2,1),C1(1,3).
答案:(-2,1) (1,3)
(3)=3×4-×2×1-×2×3-×2×4=4.
技法点拨
作一个图形关于x轴(或y轴)对称的图形的步骤
素养 思维提升 入境深探
溯根求源
坐标系中的“将军饮马”图形
结论:P为y轴上一动点,连接BA',则BA'的长是PA+PB的最小值.
问题解决:
在如图所示的平面直角坐标系中,A(-3,4),B(2,1),C(3,3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC;
(2)△ABC的面积为_______________;
(3)若P是x轴上的动点,则PA+PB的最小值为 __________.
【解析】(1)如图,△ABC即为所求;
(2)S△ABC=6×3-×1×2-×3×5-×1×6=.
(3)作B关于x轴的对称点B',连接AB'交x轴于点P,
则此时PA+PB最小,
因为B(2,1),所以B'(2,-1),
所以PA+PB=PA+PB'=AB'==5.
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课时目标
1.在同一平面直角坐标系中,能求一个点关于坐标轴的对称点的坐标.(几何直观、空间观念)
2.在同一平面直角坐标系中,掌握图形的坐标变化与轴对称之间的关系,体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁,感受代数与几何之间的相互转化.(几何直观、空间观念、运算能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
轴对称与坐标变化 图形轴对称 点的轴对称点P(a,b)关于x轴对称的点 关于y轴对称的点
1.点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是( ) A.(1,2) B.(-1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 2.若点A的坐标为(-3,4),则点A关于x轴对称的点的坐标为( ) A.(3,4) B.(-3,-4) C.(3,-4) D.(4,3)
重点 典例研析 启思凝智
重点1 坐标系中轴对称的两个点(模型观念、运算能力)
【典例1】在平面直角坐标系中,若点P(a-3,1)与点Q(2,b+1)关于x轴对称,求a+b的值.
举一反三
1.(2025·哈尔滨质检)点P(3,-5)关于y轴对称的点的坐标是( )
A.(-3,-5) B.(-3,5)
C.(3,-5) D.(3,5)
2.(推理能力)已知点A(x,3)与点B(2,y)关于y轴对称,那么x+y的值为( )
A.1 B.2
C.-2 D.-1
技法点拨
轴对称的两个点的坐标特征
点M(a,b)关于以下直线的对称点M'
x轴 M'(a,-b) 横坐标相同,纵坐标互为相反数
y轴 M'(-a,b) 横坐标互为相反数,纵坐标相同
y=x M'(b,a) 横坐标、纵坐标互换位置
y=-x M'(-b,-a) 横坐标、纵坐标变为相反数且互换位置
x=m M'(2m-a,b)
y=n M'(a,2n-b)
重点2 坐标系中作轴对称图形(空间观念、运算能力)
【典例2】如图,在平面直角坐标系中有△ABC,且A,B,C三点都在格点上,
(1)作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF;
(2)分别写出点D,E,F的坐标;
(3)在△ABC的边上有任意一点M(x,y),则点M关于y轴对称的对应点的坐标是什么
举一反三
在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,点A(-4,5),C(-1,3),A1(4,5),B1(2,1),△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称.
(1)在网格内完善平面直角坐标系.
(2)点B的坐标是__________,
点C1的坐标是__________;
(3)求△A1B1C1的面积.
技法点拨
作一个图形关于x轴(或y轴)对称的图形的步骤
素养 思维提升 入境深探
溯根求源
坐标系中的“将军饮马”图形
结论:P为y轴上一动点,连接BA',则BA'的长是PA+PB的最小值.
问题解决:
在如图所示的平面直角坐标系中,A(-3,4),B(2,1),C(3,3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC;
(2)△ABC的面积为_______________;
(3)若P是x轴上的动点,则PA+PB的最小值为 __________.
