1 函数
课时目标
1.经历从实例中抽象出函数模型的过程,初步掌握函数的概念.(抽象能力、模型观念)
2.在具体实例中,能区分变量和常量,理解实际情况中,自变量往往是有取值范围的.(抽象能力、推理能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
变量及函数的相关概念 变量自变量一个变化过程中, 的量 因变量随自变量变化的量常量不随自变量变化的量,如数字函 数定义在一个变化过程中有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有 的值与它对应 表示 方法列表法、 法、 法 函数值一个函数中,自变量取a时,因变量对应的值
1.刘师傅到加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,则其中的变量是( ) A.金额 B.单价 C.数量 D.金额和数量 2.下列不属于函数关系的是( ) A.长方形的面积一定,它的长和宽的关系 B.x+2与x的关系 C.匀速运动的火车,时间与路程的关系 D.某人的身高和体重的关系 3.若一辆汽车以50 km/h的速度匀速行驶,行驶的路程为s(km),行驶的时间为t(h),则用t表示s的关系式为 .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 函数与变量(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P75操作·思考1拓展)一石激起千层浪,一枚石子投入水中,会在水面上激起一圈圈圆形涟漪,如图所示(这些圆的圆心相同).
(1)当圆的半径为1 cm时,圆的面积为 cm2;面积随 的变化而变化,当半径由2 cm增加到5 cm时,面积增加了 cm2;
(2)在这个变化过程中,自变量是 , 是半径的函数.
举一反三
1.(2025·佛山质检)下列四个选项中,y不是x的函数的是( )
A.y=2x-7
B.y=
C.y=x2
D.y=±x
2.在一次实验中,小强把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体.下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值:
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 20 22 24 26 28 30
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 这两个变量是函数关系吗
(2)不挂重物时,弹簧长是多少
重点2 函数的三种表示方法(推理能力、运算能力)
【典例2】某条客运线试运行期间,一列动车从甲地开往乙地,如图中的线段表示这列动车到乙地的距离与时间之间的关系.根据图象,解答下列问题:
(1)甲地与乙地相距__________km,这列动车从甲地到乙地用了__________h.
(2)这列动车的速度是多少千米/时
(3)设这列动车到乙地的距离为y,时间为x,你能写出y与x之间的关系式吗
举一反三
(2025·北京期末)鸡蛋是优质蛋白质的来源,富含多种对人体有益的营养成分,某校科学小组连续28天监测了25 ℃恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况,其中一项监测指标为蛋黄指数(蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标,蛋黄指数越高,蛋黄弹性越大,鸡蛋越新鲜).当储存时间为x(单位:天)时,A品类鸡蛋的蛋黄指数记为y1.B品类鸡蛋的蛋黄指数记为y2,部分数据如下:
x/天 0 7 11 14 21 27 28
y1 0.45 0.35 0.30 0.26 0.18 0.14 0.13
y2 0.45 0.33 0.30 0.28 0.26 0.18 0.15
通过分析表格中的数据,发现可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系,如图所示,在给出的平面直角坐标系xOy中,画出了函数y1,y2的图象.
根据以上数据与函数图象,解决下列问题:
(1)第__________天之后,B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数;
(2)当蛋黄指数小于或等于0.18时,蛋黄基本失去弹性,A品类鸡蛋从第__________天起基本失去弹性;B品类鸡蛋从第__________天起基本失去弹性;
(3)当储存时间相同时,若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n,则n的最大值约为__________(结果保留小数点后两位).
技法点拨
函数三种表示方法的优劣
方法 优点 不足
列表法 一目了然,可查已有自变量对应的函数值 所列对应值有限;不易发现变化规律
图象法 形象、直观地反映函数变化趋势 不易求出某些自变量对应的函数值
关系式法 能准确反映自变量与函数值的对应关系 不易发现函数的变化趋势,有时关系式不易求得
素养 思维提升 入境深探
链接生活
自行车链条中的函数关系
小林同学在保养自己的山地自行车时发现,自行车每节链条的长度为2.5 cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.
(1)观察图形,尝试填表:
链条节 数(节) 2 3 6
链条长 度(cm) _____ _____ _____
(2)根据表格,发现关系:
如果x节链条的总长度是y cm,求y与x之间的关系式,并说出这个关系式中的变量和常量.
(3)利用关系,解决问题:
如果该种型号自行车链条总长度为181 cm,则它是由多少节这样的链条构成的 1 函数
课时目标
1.经历从实例中抽象出函数模型的过程,初步掌握函数的概念.(抽象能力、模型观念)
2.在具体实例中,能区分变量和常量,理解实际情况中,自变量往往是有取值范围的.(抽象能力、推理能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
变量及函数的相关概念 变量自变量一个变化过程中, 自主变化 的量 因变量随自变量变化的量常量不随自变量变化的量,如数字函 数定义在一个变化过程中有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有 唯一 的值与它对应 表示 方法列表法、 图象 法、 关系式 法 函数值一个函数中,自变量取a时,因变量对应的值
1.刘师傅到加油站加油,如图是所用的加油机上的数据显示牌,则其中的变量是(D) A.金额 B.单价 C.数量 D.金额和数量 2.下列不属于函数关系的是(D) A.长方形的面积一定,它的长和宽的关系 B.x+2与x的关系 C.匀速运动的火车,时间与路程的关系 D.某人的身高和体重的关系 3.若一辆汽车以50 km/h的速度匀速行驶,行驶的路程为s(km),行驶的时间为t(h),则用t表示s的关系式为 s=50t .
重点 典例研析 启思凝智
重点1 函数与变量(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P75操作·思考1拓展)一石激起千层浪,一枚石子投入水中,会在水面上激起一圈圈圆形涟漪,如图所示(这些圆的圆心相同).
(1)当圆的半径为1 cm时,圆的面积为 π cm2;面积随 半径 的变化而变化,当半径由2 cm增加到5 cm时,面积增加了 21π cm2;
(2)在这个变化过程中,自变量是 半径 , 面积 是半径的函数.
举一反三
1.(2025·佛山质检)下列四个选项中,y不是x的函数的是(D)
A.y=2x-7
B.y=
C.y=x2
D.y=±x
2.在一次实验中,小强把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体.下面是他测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值:
所挂物体的质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 20 22 24 26 28 30
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 这两个变量是函数关系吗
(2)不挂重物时,弹簧长是多少
【解析】(1)由题中表格信息可得,反映了弹簧长度y与所挂物体质量x之间的关系;y随着x的变化而变化,且每个x都有唯一的y与之对应,所以这两个变量是函数关系.
(2)不挂重物,即x=0时,弹簧长20 cm.
重点2 函数的三种表示方法(推理能力、运算能力)
【典例2】某条客运线试运行期间,一列动车从甲地开往乙地,如图中的线段表示这列动车到乙地的距离与时间之间的关系.根据图象,解答下列问题:
(1)甲地与乙地相距__________km,这列动车从甲地到乙地用了__________h.
(2)这列动车的速度是多少千米/时
(3)设这列动车到乙地的距离为y,时间为x,你能写出y与x之间的关系式吗
【自主解答】(1)由题中函数图象可得:
甲地与乙地相距750 km,这列动车从甲地到乙地用了3 h.
答案:750 3
(2)因为750÷3=250,
所以这列动车的速度是250 km/h.
(3)根据题中图象及(1)(2)的信息可知,动车速度为250 km/h,甲、乙两地相距
750 km,所以y与x之间的关系式为y=750-250x.
举一反三
(2025·北京期末)鸡蛋是优质蛋白质的来源,富含多种对人体有益的营养成分,某校科学小组连续28天监测了25 ℃恒温下A品类和B品类鸡蛋品质变化的情况,其中一项监测指标为蛋黄指数(蛋黄指数是反映蛋黄弹性大小和鸡蛋新鲜程度的指标,蛋黄指数越高,蛋黄弹性越大,鸡蛋越新鲜).当储存时间为x(单位:天)时,A品类鸡蛋的蛋黄指数记为y1.B品类鸡蛋的蛋黄指数记为y2,部分数据如下:
x/天 0 7 11 14 21 27 28
y1 0.45 0.35 0.30 0.26 0.18 0.14 0.13
y2 0.45 0.33 0.30 0.28 0.26 0.18 0.15
通过分析表格中的数据,发现可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系,如图所示,在给出的平面直角坐标系xOy中,画出了函数y1,y2的图象.
根据以上数据与函数图象,解决下列问题:
(1)第__________天之后,B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数;
(2)当蛋黄指数小于或等于0.18时,蛋黄基本失去弹性,A品类鸡蛋从第__________天起基本失去弹性;B品类鸡蛋从第__________天起基本失去弹性;
(3)当储存时间相同时,若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n,则n的最大值约为__________(结果保留小数点后两位).
【解析】(1)由题图可知在第11天之后,y2>y1,即B品类鸡蛋的蛋黄指数大于A品类鸡蛋的蛋黄指数.
答案:11
(2)由题图可知,蛋黄指数小于或等于0.18时,蛋黄基本失去弹性,A品类鸡蛋从第 21天(结果保留整数)起基本失去弹性;B品类鸡蛋从第27天(结果保留整数)起基本失去弹性.
答案:21 27
(3)由题图可知,当储存时间相同时,若记B品类鸡蛋的蛋黄指数与A品类鸡蛋的蛋黄指数的差为n,则当第21天时,n的最大值约为0.26-0.18=0.08.
答案:0.08
技法点拨
函数三种表示方法的优劣
方法 优点 不足
列表法 一目了然,可查已有自变量对应的函数值 所列对应值有限;不易发现变化规律
图象法 形象、直观地反映函数变化趋势 不易求出某些自变量对应的函数值
关系式法 能准确反映自变量与函数值的对应关系 不易发现函数的变化趋势,有时关系式不易求得
素养 思维提升 入境深探
链接生活
自行车链条中的函数关系
小林同学在保养自己的山地自行车时发现,自行车每节链条的长度为2.5 cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm.
(1)观察图形,尝试填表:
链条节 数(节) 2 3 6
链条长 度(cm) _____ _____ _____
(2)根据表格,发现关系:
如果x节链条的总长度是y cm,求y与x之间的关系式,并说出这个关系式中的变量和常量.
(3)利用关系,解决问题:
如果该种型号自行车链条总长度为181 cm,则它是由多少节这样的链条构成的
【解析】(1)由题中图形可得:
2节链条的长度为:2.5×2-0.8=4.2(cm);
3节链条的长度为:2.5×3-0.8×2=5.9(cm);
6节链条的长度为:2.5×6-0.8×5=11(cm).
答案:4.2 5.9 11
(2)由(1)可得x节链条长为:
y=2.5x-0.8(x-1)=1.7x+0.8,
所以y与x之间的关系式为y=1.7x+0.8.自变量是链条节数x,因变量是总长度y,常量是1.7和0.8.
(3)将y=181代入上述关系式中得,1.7x+0.8=181,解得x=106,所以它是由106节这样的链条构成的.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 十八”
