2 认识一次函数
第2课时
课时目标
1.理解分段函数的特点,能根据实际问题写出分段函数的表达式.(模型观念)
2.知道分段函数在自变量不同取值范围内的实际意义,并能解决相关实际问题.(应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
分段函数 1.定义:在自变量的不同取值范围内的函数表达式有不同的形式. 2.实质:分段函数其实就是函数受 影响而形成的同一条件下的不同函数表达式. 向最大容量为60升的热水器内注水,每分钟注水10升,注水2分钟后停止注水1分钟,然后继续注水,直至注满.则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是( )
重点 典例研析 启思凝智
重点1 一次函数的应用——分段函数
【典例1】(教材再开发·P83例3拓展)某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)成分段函数关系:当0≤x≤150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)成一次函数关系,如表:
行驶路程x/千米 0 24 48 72 …
蓄电池剩余电量y/千瓦时 60 56 52 48 …
当x>150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)的函数关系式是y=-x+110.
(1)根据表格中的数据求0≤x≤150时,y与x的函数关系式;
(2)求该电动汽车充满电后能行驶的最大里程.
举一反三
某市出租车计费方法如图所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象回答下列问题:
(1)出租车的起步价是多少元 当x>3时,求y关于x的函数表达式.
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的里程.
技法点拨
表达式法表示分段函数的注意点
(1)分段函数是一个函数,而非多个函数,其自变量在不同范围内表达式不同;
(2)表示函数关系的表达式,每一段后面必须加上自变量的取值范围.
重点2 一次函数的应用——方案问题
【典例2】(2025·咸阳质检)“生活即教育,行为即课程.”某校将劳动教育融入立德树人全过程,学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木,以及清理校园周边环境卫生等,学校现要购买劳动工具,学校与农资店店主商量后,店主给出了两种购买方案(如表),且都送货上门.
方案 运费 劳动工具价格
方案一 50元 12.5元/件
方案二 0元 15元/件
若学校购买x件劳动工具,按方案一购买的付款总金额为y1元,按方案二购买的付款总金额为y2元.
(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)若学校计划用900元钱购买劳动工具,请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多
举一反三
春节期间,某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开放海产品的运输业务,两货运公司的收费项目及收费标准如表所示.已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/小时,100千米/小时,请你选择一种交通工具( )
运输 工具 运输单位 (元/吨· 千米) 冷藏单位 (元/吨· 小时) 过路 费(元) 装卸及 管理 费(元)
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1 600
A.当运输货物重量为60吨时,选择汽车
B.当运输货物重量大于50吨时,选择汽车
C.当运输货物重量小于50吨时,选择火车
D.当运输货物重量大于50吨时,选择火车
素养 思维提升 入境深探
趣味数学
寻宝游戏中的分段函数
一个寻宝游戏的寻宝通道由正方形ABCD的边组成,如图1所示.为记录寻宝者的行进路线,在AB的中点M处放置了一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则寻宝者的行进路线可能是什么 2 认识一次函数
第1课时
课时目标
理解一次函数和正比例函数的概念,以及它们之间的关系,能根据条件写出一次函数表达式.(抽象能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.“均匀”变化:一个变量增加固定的数值时,另一个变量的改变量是相同的. 2.一次函数的定义 对于两个变量x,y间的对应关系一次 函数形如y= (k,b为常数,k≠0)的函数 正比例 函数形如y= (k为常数,k≠0)的函数 正比例函数是特殊的一次函数,即b=0
1.下列函数中,是一次函数的是( ) A.y= B.y=-2x+1 C.y=3(x-2)-3x D.y=x+x2 2.下列式子中,表示y是x的正比例函数的是( ) A.y=x B.y=x+1 C.y=2x2 D.y2=4x
重点 典例研析 启思凝智
重点1 “均匀”变化现象(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P80操作·思考强化)漏刻是中国古代的一种计时工具.中国最早的漏刻出现在夏朝时期,在宋朝时期,中国漏刻的发展达到了巅峰,其精确度和稳定性得到了极大的提高.漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间.水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶,再均匀地流入最下方的箭壶,使得壶中有刻度的小棍匀速升高,从而取得比较精确的时刻.某学习小组复制了一个漏刻模型,研究中发现小棍露出的部分y(厘米)是时间x(分钟)的一次函数,且当时间x=0分钟时,y=2厘米.表中是小明记录的部分数据,其中有一个y的值记录错误.
x(分钟) … 10 20 30 40
y(厘米) … 2.6 3.2 3.6 4.4
(1)你认为y的值记录错误的数据是_____;
(2)利用正确的数据确定函数表达式;
(3)当小棍露出部分为8厘米时,对应的时间为多少
举一反三
在某一阶段,某商品的销售量与销售价之间存在如表关系.设该商品的销售价为x元,销售量为y件,估计:当x=115时,y的值为( )
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
A.85 B.75
C.65 D.55
重点2 一次函数的概念(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P81定义强化)已知y=(m-3)x|m|-2+n-2.
(1)当m为何值时,y是关于x的一次函数
(2)当m,n为何值时,y是关于x的正比例函数
举一反三
1.下列函数为一次函数的为( )
①y=2x+4;②y-4x=8(x-2);③y=x2-2x+3;④y=x4-x3+2x;⑤y=4x.
A.②④ B.①③⑤
C.①②⑤ D.①②
2.(2025·西安期中)已知关于x的函数y=(m+1)x|m|+n-3.
(1)当m取何值时,该函数是关于x的一次函数
(2)当m和n取何值时,该函数是关于x的正比例函数
技法点拨
判断两个变量是否为一次函数关系的三个步骤
重点3 列一次函数解决实际问题(模型观念、运算能力)
【典例3】(教材再开发·P82例2深化)一天老王骑摩托车外出旅游,以60 km/h的速度匀速行驶,刚开始行驶时,油箱中有油9 L,行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.
(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围.
(2)当油箱中的剩余油量为3 L时,老王行驶了多少千米
举一反三
汽车由北京驶往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/时,则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系式及自变量的取值范围是( )
A.S=120-30t(0≤t≤4)
B.S=30t(0≤t≤4)
C.S=120-30t(t>0)
D.S=30t(t=4)
技法点拨
列一次函数关系式的三个步骤
1.找:找题目中的等量关系(有时直接将公式当作等量关系).
2.列:用字母表示自变量、因变量,并根据等量关系列出等式.
3.变形:将等式变形为一次函数的一般形式,即y=kx+b或y=kx.
素养 思维提升 入境深探
【火眼金睛】(找错并纠正)
函数y=(k+3)x+k2-9是关于x的正比例函数,求k的值.2 认识一次函数
第2课时
课时目标
1.理解分段函数的特点,能根据实际问题写出分段函数的表达式.(模型观念)
2.知道分段函数在自变量不同取值范围内的实际意义,并能解决相关实际问题.(应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
分段函数 1.定义:在自变量的不同取值范围内的函数表达式有不同的形式. 2.实质:分段函数其实就是函数受 自变量的取值范围 影响而形成的同一条件下的不同函数表达式. 向最大容量为60升的热水器内注水,每分钟注水10升,注水2分钟后停止注水1分钟,然后继续注水,直至注满.则能反映注水量与注水时间函数关系的图象是(D)
重点 典例研析 启思凝智
重点1 一次函数的应用——分段函数
【典例1】(教材再开发·P83例3拓展)某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)成分段函数关系:当0≤x≤150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)成一次函数关系,如表:
行驶路程x/千米 0 24 48 72 …
蓄电池剩余电量y/千瓦时 60 56 52 48 …
当x>150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)的函数关系式是y=-x+110.
(1)根据表格中的数据求0≤x≤150时,y与x的函数关系式;
(2)求该电动汽车充满电后能行驶的最大里程.
【自主解答】(1)由题意可知,行驶路程每增加24千米,蓄电池剩余电量减少4千瓦时,
所以每行驶1千米所消耗的电量为=千瓦时,所以0≤x≤150时y与x的函数关系式为y=60-x.
(2)因为当x>150时,蓄电池剩余电量y(千瓦时)与行驶路程x(千米)的函数关系式是y=-x+110,所以当y=0时,-x+110=0,解得x=220.
答:该电动汽车充满电后能行驶的最大里程为220千米.
举一反三
某市出租车计费方法如图所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表示车费,请根据图象回答下列问题:
(1)出租车的起步价是多少元 当x>3时,求y关于x的函数表达式.
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的里程.
【解析】(1)由图象可知,出租车的起步价是8元.当x>3时,x每增加2 km,y增加4元,所以y=2x+2.
(2)当y=32时,2x+2=32,解得x=15.
答:这位乘客乘车的里程是15 km.
技法点拨
表达式法表示分段函数的注意点
(1)分段函数是一个函数,而非多个函数,其自变量在不同范围内表达式不同;
(2)表示函数关系的表达式,每一段后面必须加上自变量的取值范围.
重点2 一次函数的应用——方案问题
【典例2】(2025·咸阳质检)“生活即教育,行为即课程.”某校将劳动教育融入立德树人全过程,学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木,以及清理校园周边环境卫生等,学校现要购买劳动工具,学校与农资店店主商量后,店主给出了两种购买方案(如表),且都送货上门.
方案 运费 劳动工具价格
方案一 50元 12.5元/件
方案二 0元 15元/件
若学校购买x件劳动工具,按方案一购买的付款总金额为y1元,按方案二购买的付款总金额为y2元.
(1)请分别写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)若学校计划用900元钱购买劳动工具,请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多
【自主解答】(1)由题意得:y1=12.5x+50,y2=15x.
(2)当y1=900时,12.5x+50=900,解得:x=68,当y2=900时,15x=900,解得x=60,因为68>60,所以学校选择方案一购买的劳动工具较多.
举一反三
春节期间,某批发商欲将一批海产品由A地运往B地,汽车货运公司和铁路货运公司均开放海产品的运输业务,两货运公司的收费项目及收费标准如表所示.已知运输路程为120千米,汽车和火车的速度分别为60千米/小时,100千米/小时,请你选择一种交通工具(D)
运输 工具 运输单位 (元/吨· 千米) 冷藏单位 (元/吨· 小时) 过路 费(元) 装卸及 管理 费(元)
汽车 2 5 200 0
火车 1.8 5 0 1 600
A.当运输货物重量为60吨时,选择汽车
B.当运输货物重量大于50吨时,选择汽车
C.当运输货物重量小于50吨时,选择火车
D.当运输货物重量大于50吨时,选择火车
素养 思维提升 入境深探
趣味数学
寻宝游戏中的分段函数
一个寻宝游戏的寻宝通道由正方形ABCD的边组成,如图1所示.为记录寻宝者的行进路线,在AB的中点M处放置了一台定位仪器,设寻宝者行进的时间为x,寻宝者与定位仪器之间的距离为y,若寻宝者匀速行进,且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则寻宝者的行进路线可能是什么
【解析】观察题图2得:该函数关系为一个分段函数,寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越近,到达M后再越来越远,结合题图1得:寻宝者的行进路线可能为A→B.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 二十”2 认识一次函数
第1课时
课时目标
理解一次函数和正比例函数的概念,以及它们之间的关系,能根据条件写出一次函数表达式.(抽象能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.“均匀”变化:一个变量增加固定的数值时,另一个变量的改变量是相同的. 2.一次函数的定义 对于两个变量x,y间的对应关系一次 函数形如y= kx+b (k,b为常数,k≠0)的函数 正比例 函数形如y= kx (k为常数,k≠0)的函数 正比例函数是特殊的一次函数,即b=0
1.下列函数中,是一次函数的是(B) A.y= B.y=-2x+1 C.y=3(x-2)-3x D.y=x+x2 2.下列式子中,表示y是x的正比例函数的是(A) A.y=x B.y=x+1 C.y=2x2 D.y2=4x
重点 典例研析 启思凝智
重点1 “均匀”变化现象(抽象能力)
【典例1】(教材再开发·P80操作·思考强化)漏刻是中国古代的一种计时工具.中国最早的漏刻出现在夏朝时期,在宋朝时期,中国漏刻的发展达到了巅峰,其精确度和稳定性得到了极大的提高.漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间.水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶,再均匀地流入最下方的箭壶,使得壶中有刻度的小棍匀速升高,从而取得比较精确的时刻.某学习小组复制了一个漏刻模型,研究中发现小棍露出的部分y(厘米)是时间x(分钟)的一次函数,且当时间x=0分钟时,y=2厘米.表中是小明记录的部分数据,其中有一个y的值记录错误.
x(分钟) … 10 20 30 40
y(厘米) … 2.6 3.2 3.6 4.4
(1)你认为y的值记录错误的数据是_____;
(2)利用正确的数据确定函数表达式;
(3)当小棍露出部分为8厘米时,对应的时间为多少
【自主解答】(1)因为=,=,=,
所以y的值记录错误的数据是3.6.
答案:3.6
(2)由表格可知,x每增加10分钟,y增加0.6厘米,所以=,
所以y与x的表达式为y=x+2.
(3)将y=8代入y=x+2得:x+2=8,解得x=100.
答:对应的时间是100分钟.
举一反三
在某一阶段,某商品的销售量与销售价之间存在如表关系.设该商品的销售价为x元,销售量为y件,估计:当x=115时,y的值为(C)
销售价/元 90 100 110 120 130 140
销售量/件 90 80 70 60 50 40
A.85 B.75
C.65 D.55
重点2 一次函数的概念(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P81定义强化)已知y=(m-3)x|m|-2+n-2.
(1)当m为何值时,y是关于x的一次函数
(2)当m,n为何值时,y是关于x的正比例函数
【自主解答】(1)当|m|-2=1,m-3≠0时,y=(m-3)x|m|-2+n-2是一次函数,
所以m=-3,所以当m=-3时,y=(m-3)x|m|-2+n-2是一次函数;
(2)当|m|-2=1,m-3≠0,n-2=0时,y=(m-3)x|m|-2+n-2是正比例函数,
所以m=-3,n=2,
所以当m=-3,n=2时,y=(m-3)x|m|-2+n-2是正比例函数.
举一反三
1.下列函数为一次函数的为(C)
①y=2x+4;②y-4x=8(x-2);③y=x2-2x+3;④y=x4-x3+2x;⑤y=4x.
A.②④ B.①③⑤
C.①②⑤ D.①②
2.(2025·西安期中)已知关于x的函数y=(m+1)x|m|+n-3.
(1)当m取何值时,该函数是关于x的一次函数
(2)当m和n取何值时,该函数是关于x的正比例函数
【解析】(1)由题意知:|m|=1,m+1≠0,
所以m=1,即当m=1时,该函数是关于x的一次函数;
(2)由(1)知,m=1,由题意知:n-3=0,所以n=3,即当m=1,n=3时,该函数是关于x的正比例函数.
技法点拨
判断两个变量是否为一次函数关系的三个步骤
重点3 列一次函数解决实际问题(模型观念、运算能力)
【典例3】(教材再开发·P82例2深化)一天老王骑摩托车外出旅游,以60 km/h的速度匀速行驶,刚开始行驶时,油箱中有油9 L,行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.
(1)求油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围.
(2)当油箱中的剩余油量为3 L时,老王行驶了多少千米
【自主解答】(1)Q=9-1.5t,
由9-1.5t=0,得到t=6,
故t的取值范围为0≤t≤6.
(2)由3=9-1.5t,得t=4.
于是s=vt=60×4=240(km).
答:老王行驶了240 km.
举一反三
汽车由北京驶往相距120千米的天津,它的平均速度是30千米/时,则汽车距天津的路程S(千米)与行驶时间t(时)的函数关系式及自变量的取值范围是(A)
A.S=120-30t(0≤t≤4)
B.S=30t(0≤t≤4)
C.S=120-30t(t>0)
D.S=30t(t=4)
技法点拨
列一次函数关系式的三个步骤
1.找:找题目中的等量关系(有时直接将公式当作等量关系).
2.列:用字母表示自变量、因变量,并根据等量关系列出等式.
3.变形:将等式变形为一次函数的一般形式,即y=kx+b或y=kx.
素养 思维提升 入境深探
【火眼金睛】(找错并纠正)
函数y=(k+3)x+k2-9是关于x的正比例函数,求k的值.
【陷阱】忽视一次函数表达式y=kx+b中k≠0的条件.
【正解】因为y=(k+3)x+k2-9是关于x的正比例函数,
所以k2-9=0且k+3≠0,解得k=3.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 十九”
