3 一次函数的图象
第1课时
课时目标
1.理解函数图象的概念,知道画函数图象的一般步骤.(抽象能力)
2.借助正比例函数的图象探究正比例函数的性质.(几何直观、模型观念)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.函数图象的画法 列表列表,给出自变量x一个值,求出对应函数值y描点以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点连线将这些点依次连接起来
1.正比例函数y=-2x的图象经过点(-2, 4 ).
2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象及性质 图象一条过 原点 的直线 性质k>0时,y的值随着x值的增大而 增大 ; k<0时,y的值随着x值的增大而 减小
2.(1)一次函数y=2x的图象是(A) A.直线 B.抛物线 C.线段 D.折线 (2)正比例函数y=kx(k>0)的图象大致是(D)
重点 典例研析 启思凝智
重点1 正比例函数的图象(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P90尝试·思考强化)
已知三个函数的表达式分别为y1=x,y2=x,y3=2x.
(1)如图,请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象,并标记好函数;
(2)仔细观察画出的函数图象,写出3条函数的图象特征.
【自主解答】(1)列表如下,
x … 0 1 …
y1 … 0 …
y2 … 0 1 …
y3 … 0 2 …
三个函数的大致图象,如图所示,
(2)①三个函数的函数值y都随着x的增大而增大;
②三个函数的图象都经过(0,0);
③三个函数的图象都经过第一、三象限.(合理即可)
举一反三
1.正比例函数y=x的图象大致是(A)
2.画出下列正比例函数的图象:
(1)y=4x; (2)y=x; (3)y=-x.
【解析】(1)当x=0时,y=0,
当x=1时,y=4,如图,描点后连线即可;
(2)当x=3时,y=2,当x=0时,y=0,如图,描点后连线即可;
(3)当x=0时,y=0,当x=3时,y=-2,如图,描点后连线即可.
重点2 正比例函数的性质(模型观念、运算能力)
【典例2】已知函数y=(m-1)是正比例函数.
(1)若在函数中y随x的增大而减小,求m的值;
(2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值.
【自主解答】因为函数y=(m-1)是正比例函数,所以,解得m1=-2,m2=2.
(1)因为在函数中y随x的增大而减小,所以m-1<0,所以m<1,所以m=-2;
(2)因为函数的图象过第一、三象限,所以m-1>0,所以m>1,所以m=2.
举一反三
1.(2025·达州质检)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=-x图象上两点,则下列说法正确的是(C)
A.y1>y2 B.y1C.当x1y2 D.当x12.已知正比例函数y=kx,当x=-1时,y=4.
(1)求k的值;
(2)当-2≤x≤3时,求y的取值范围.
【解析】(1)把x=-1,y=4代入y=kx(k≠0),得k=-4.
(2)由(1)可得正比例函数表达式为y=-4x,当x=-2时,y=-4x=-4×(-2)=8,当x=3时, y=-4x=-4×3=-12,因为-4<0,所以y随x的增大而减小,
所以当-2≤x≤3时,-12≤y≤8.
素养 思维提升 入境深探
链接生活
生活中的正比例函数
3月22日是“世界水日”,联合国呼吁全世界关注和重视水资源.经常有家庭因为水龙头关闭不严造成漏水.下面的表格是某同学对漏水量与漏水时间的关系进行的调查.
时间t/min 0 5 10 15 20 25
量杯中的水量y/mL 0 15 30 45 60 75
根据信息,回答问题:
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,并依次连接这些点;
(2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律,试求出y关于t的函数表达式;
(3)请根据(2)中所求的函数表达式,估算这种漏水状态下一天的漏水量.
【解析】(1)如图所示.
(2)根据图象得,y是关于t的正比例函数,设函数表达式为y=kt(k≠0),
把(5,15)代入y=kt,得5k=15.解得k=3.所以y关于t的函数表达式为y=3t.
(3)当t=60×24=1 440(min)时,y=3t=3×1 440=4 320(mL).
答:估计这种漏水状态下一天的漏水量为4 320 mL.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 二十一”3 一次函数的图象
第2课时
课时目标
借助一次函数的图象,探究并掌握一次函数的性质.(几何直观、推理能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.一次函数的图象 (1)一次函数y=kx+b的图象是一条直线,通常也称为直线y=kx+b. (2)画法:①两点法:画图时通常取两点(0, b ), ( - ,0),过这两点画直线即可; ②平移法:一次函数y=kx+b的图象是一条 直线 ,它可以看作由直线y=kx平移 |b| 个单位长度而得到(当b>0时,向 上 平移,当b<0时,向 下 平移). 1.(1)一次函数y=x+1在平面直角坐标系内的图象如图所示,则正确的是(D) (2)将直线y=2x向下平移2个单位长度,平移后的直线关系式为 y=2x-2 .
2.一次函数y=kx+b的性质 2.(1)若k<0,一次函数y=kx+2的图象大致是(C) (2)一次函数y=2x-1的图象经过第 一、三、四 象限.
重点 典例研析 启思凝智
重点1 一次函数的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,一次函数y=mx+n与y=x(m≠0,n≠0)在同一坐标系内的图象可能是(C)
举一反三
1.正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=x-k在同一个平面直角坐标系内的图象大致是(D)
2.函数y=ax+b-2的图象如图所示,则函数y=-ax-b的大致图象是(C)
重点2 一次函数的性质(模型观念、推理能力)
【典例2】已知(-2,y1)和(-3,y2)是一次函数y=-2x-5图象上的两个点,则y1,y2的大小关系是 y2>y1 .(用“>”连接)
举一反三
1.关于函数y=-2x+1,下列结论正确的是(C)
A.图象必经过点(-2,1)
B.图象经过第一、二、三象限
C.图象与直线y=-2x+3平行
D.y随x的增大而增大
2.已知直线y=-3x+m过点A(-1,y1)和点(-3,y2),则y1和y2的大小关系是(B)
A.y1>y2 B.y1C.y1=y2 D.不能确定
技法点拨
比较一次函数值大小的方法
直接法 把自变量的值代入表达式,求出函数值后,直接比较大小
性质法 根据k的正负,判断函数的增减性;由自变量的大小,比较函数值大小
图象法 画出函数图象,大致描出两个点,直观比较函数值大小
素养 思维提升 入境深探
难题拆解
已知一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,点B.求这条直线关于y轴对称的直线的函数关系式.
【层层剖析·清障碍】
拆解一:根据函数表达式可知,该一次函数与x轴的交点A的坐标为__________,与y轴的交点B的坐标为__________,由此可以画出函数的图象,如图:
拆解二:在平面直角坐标系中找到点A的对称点A'的坐标为__________,画出对称直线的图象.
【水到渠成·破难题】
由图象可知,该函数过点B,所以函数表达式为y=kx+2,把点A'坐标代入得______________________, 解得______________________,
所以对称直线的函数表达式为__________________.
【解析】【层层剖析·清障碍】
拆解一:当x=0时,y=2;当y=0时,x=-4,所以A(-4,0),B(0,2),
所以一次函数y=x+2的图象如图所示:
拆解二:因为点A(-4,0)关于y轴的对称点为A'(4,0),
所以直线y=x+2关于y轴对称的直线过点A',B,
所以函数图象如图所示.
【水到渠成·破难题】
由拆解二可知,直线y=x+2关于y轴对称的直线过点A',B,
所以设对称直线的函数表达式为y=kx+2,把点A'坐标代入y=kx+2得4k+2=0,解得k=-,所以对称直线的函数表达式为y=-x+2.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 二十二”3 一次函数的图象
第2课时
课时目标
借助一次函数的图象,探究并掌握一次函数的性质.(几何直观、推理能力)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.一次函数的图象 (1)一次函数y=kx+b的图象是一条直线,通常也称为直线y=kx+b. (2)画法:①两点法:画图时通常取两点(0, ), ( ,0),过这两点画直线即可; ②平移法:一次函数y=kx+b的图象是一条 ,它可以看作由直线y=kx平移 个单位长度而得到(当b>0时,向 平移,当b<0时,向 平移). 1.(1)一次函数y=x+1在平面直角坐标系内的图象如图所示,则正确的是( ) (2)将直线y=2x向下平移2个单位长度,平移后的直线关系式为 .
2.一次函数y=kx+b的性质 2.(1)若k<0,一次函数y=kx+2的图象大致是( ) (2)一次函数y=2x-1的图象经过第 象限.
重点 典例研析 启思凝智
重点1 一次函数的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,一次函数y=mx+n与y=x(m≠0,n≠0)在同一坐标系内的图象可能是( )
举一反三
1.正比例函数y=kx(k≠0)和一次函数y=x-k在同一个平面直角坐标系内的图象大致是( )
2.函数y=ax+b-2的图象如图所示,则函数y=-ax-b的大致图象是( )
重点2 一次函数的性质(模型观念、推理能力)
【典例2】已知(-2,y1)和(-3,y2)是一次函数y=-2x-5图象上的两个点,则y1,y2的大小关系是 .(用“>”连接)
举一反三
1.关于函数y=-2x+1,下列结论正确的是( )
A.图象必经过点(-2,1)
B.图象经过第一、二、三象限
C.图象与直线y=-2x+3平行
D.y随x的增大而增大
2.已知直线y=-3x+m过点A(-1,y1)和点(-3,y2),则y1和y2的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1C.y1=y2 D.不能确定
技法点拨
比较一次函数值大小的方法
直接法 把自变量的值代入表达式,求出函数值后,直接比较大小
性质法 根据k的正负,判断函数的增减性;由自变量的大小,比较函数值大小
图象法 画出函数图象,大致描出两个点,直观比较函数值大小
素养 思维提升 入境深探
难题拆解
已知一次函数y=x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,点B.求这条直线关于y轴对称的直线的函数关系式.
【层层剖析·清障碍】
拆解一:根据函数表达式可知,该一次函数与x轴的交点A的坐标为__________,与y轴的交点B的坐标为__________,由此可以画出函数的图象,如图:
拆解二:在平面直角坐标系中找到点A的对称点A'的坐标为__________,画出对称直线的图象.
【水到渠成·破难题】
由图象可知,该函数过点B,所以函数表达式为y=kx+2,把点A'坐标代入得______________________, 解得______________________,
所以对称直线的函数表达式为__________________. 3 一次函数的图象
第1课时
课时目标
1.理解函数图象的概念,知道画函数图象的一般步骤.(抽象能力)
2.借助正比例函数的图象探究正比例函数的性质.(几何直观、模型观念)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.函数图象的画法 列表列表,给出自变量x一个值,求出对应函数值y描点以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点连线将这些点依次连接起来
1.正比例函数y=-2x的图象经过点(-2, ).
2.正比例函数y=kx(k≠0)的图象及性质 图象一条过 的直线 性质k>0时,y的值随着x值的增大而 ; k<0时,y的值随着x值的增大而
2.(1)一次函数y=2x的图象是( ) A.直线 B.抛物线 C.线段 D.折线 (2)正比例函数y=kx(k>0)的图象大致是( )
重点 典例研析 启思凝智
重点1 正比例函数的图象(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P90尝试·思考强化)
已知三个函数的表达式分别为y1=x,y2=x,y3=2x.
(1)如图,请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象,并标记好函数;
(2)仔细观察画出的函数图象,写出3条函数的图象特征.
【自主解答】(1)列表如下,
x … 0 1 …
y1 … 0 …
y2 … 0 1 …
y3 … 0 2 …
三个函数的大致图象,如图所示,
(2)①三个函数的函数值y都随着x的增大而增大;
②三个函数的图象都经过(0,0);
③三个函数的图象都经过第一、三象限.(合理即可)
举一反三
1.正比例函数y=x的图象大致是( )
2.画出下列正比例函数的图象:
(1)y=4x; (2)y=x; (3)y=-x.
重点2 正比例函数的性质(模型观念、运算能力)
【典例2】已知函数y=(m-1)是正比例函数.
(1)若在函数中y随x的增大而减小,求m的值;
(2)若函数的图象过第一、三象限,求m的值.
举一反三
1.(2025·达州质检)P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y=-x图象上两点,则下列说法正确的是( )
A.y1>y2 B.y1C.当x1y2 D.当x12.已知正比例函数y=kx,当x=-1时,y=4.
(1)求k的值;
(2)当-2≤x≤3时,求y的取值范围.
素养 思维提升 入境深探
链接生活
生活中的正比例函数
3月22日是“世界水日”,联合国呼吁全世界关注和重视水资源.经常有家庭因为水龙头关闭不严造成漏水.下面的表格是某同学对漏水量与漏水时间的关系进行的调查.
时间t/min 0 5 10 15 20 25
量杯中的水量y/mL 0 15 30 45 60 75
根据信息,回答问题:
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,并依次连接这些点;
(2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律,试求出y关于t的函数表达式;
(3)请根据(2)中所求的函数表达式,估算这种漏水状态下一天的漏水量.
