4 一次函数的应用
第2课时
课时目标
会用一次函数解决有关实际问题.(运算能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
应用一次函数解决实际问题 问题类型求解方法折线类型先求一次函数 ,再求点的坐标 交点的 是kx+b=m的解 交点类型求两个一次函数交点交点的 意义是两个函数值相等
甲、乙两人沿同一条路从A地出发,去往100千米外的B地,甲、乙两人离A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示,以下说法正确的是( ) A.甲的速度是60 km/h B.乙的速度是30 km/h C.甲乙同时到达B地 D.甲出发两小时后两人第一次相遇
重点 典例研析 启思凝智
重点1 应用一次函数图象解决折线问题(应用意识、运算能力)
【典例1】某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用6小时,调进物资3小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均保持不变).储运部库存物资S(吨)与时间t(小时)之间的函数关系如图所示,这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是 小时.
举一反三
1.初二年级外出游学,同学们所乘的客车先在公路上匀速行驶,在服务区休息一段时间后,进入高速路继续匀速行驶.已知客车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)的函数关系的图象如图所示,则客车在高速路上行驶的速度为( )
A.60千米/时 B.75千米/时
C.80千米/时 D.90千米/时
2.甲、乙两人同起点同方向出发,匀速步行3 000米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发3分钟,甲、乙两人之间的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示,则先到终点的人原地休息了 分钟.
技法点拨
折线类一次函数图象应用问题的解题关键
拐点的意义 折线中每个点的意义是解决问题的关键,即由点的意义求出点的坐标
每段的表达式 根据每条线段的两个端点的坐标,可求出其对应的表达式
问题 化点 将问题转化为点的坐标问题,即将欲求点的已知坐标代入一次函数表达式即可求出另一坐标,进而解决问题
重点2 应用一次函数图象解决交点类问题(几何直观、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P99例3补充)某校组织学生从学校出发,乘坐大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小时后,学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是40千米/时,轿车行驶的速度是60千米/时.
(1)求轿车出发后多少小时追上大巴 此时,两车与学校相距多少千米
(2)如图,OB,AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(小时)的函数关系的图象.试求点B的坐标和AB所在直线的表达式.
(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶,轿车行驶了1.5小时追上大巴,求a的值.
举一反三
(2025·太原质检)某快递公司每天下午15:00~16:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件.如图,线段BC,DE分别表示甲仓库、乙仓库的快件数量y1,y2(件)与揽件(或派件)时间x(分钟)之间的函数关系,线段BC,DE相交于点A.
(1)求甲仓库快件数量y1(件)与揽件(或派件)时间x(分钟)之间的函数表达式;(0≤x≤60)
(2)若已知乙仓库快件数量y2(件)与揽件(或派件)时间x(分钟)之间的函数表达式是y2=-4x+240,点A的坐标为(x1,160),求出点A的横坐标x1并写出点A的坐标表示的实际意义.4 一次函数的应用
第1课时
课时目标
1.了解由两个条件可以确定一次函数,能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)确定一次函数的表达式.(模型观念、运算能力)
2.了解一次函数与一元一次方程的关系,能通过函数图象获取信息解决实际问题.(推理能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.确定正比例函数、一次函数的表达式所需要的条件 1.(1)已知y是x的正比例函数,当x=3时,y=-6,则y与x的函数关系式为( ) A.y=2x B.y=-2x C.y=x D.y=-x (2)已知一次函数y=kx-3的图象经过点(-1,2),则k的值为 .
2.一次函数与一元一次方程的关系 2.一次函数y=kx+b的图象如图,则关于x的方程kx+b=0的解为( ) A.x=-3 B.x=-2 C.x=2 D.x=3
重点 典例研析 启思凝智
重点1 求一次函数的表达式(模型观念、运算能力)
【典例1】如图,已知A(2,3),B(0,2),直线l过A,B两点,试写出直线l的表达式.
举一反三
1.(2025·厦门质检)正比例函数y=kx的图象经过点(1,1),则k的值是 .
2.(2025·成都质检)已知一次函数y=kx+b的图象过点(-1,0)和点(0,2),则该一次函数的表达式是 .
技法点拨
求一次函数表达式的三个步骤
1.设:设函数表达式为y=kx+b;
2.代:将函数与y轴的交点坐标代入求出b,然后将另一个点的坐标代入求出k;
3.写:根据求出的k,b的值写出表达式.
重点2 利用一次函数求一元一次方程的解(几何直观、运算能力)
【典例2】(2025·六安质检)如图,直线y=kx+b分别与x轴的负半轴和y轴的负半轴交于点A和点B,若OA=4,OB=3,则关于x的方程kx+b=0的解为( )
A.x=-3 B.x=-4
C.x=3 D.x=4
举一反三
1.直线y=kx+b分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于点A和点B,若OA=5,OB=4,则关于x的方程kx+b=0的解为( )
A.x=-4 B.x=-5
C.x=4 D.x=5
2.(逆向思维)一次函数y=ax+b(a,b是常数,且a≠0),若a+b-2=0,则这个一次函数的图象必经过的点是( )
A.(1,-2) B.(2,-3)
C.(-1,-2) D.(1,2)
技法点拨
一次函数与一元一次方程解的关系
温馨提示:
解一元一次方程可以利用一次函数的图象,求一次函数图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程.
素养 思维提升 入境深探
趣味数学
《九章算术》中记载,浮箭漏(如图①)由供水壶和箭壶组成,箭壶内装有箭尺,水匀速地从供水壶流到箭壶,箭壶中的水位逐渐上升,箭尺匀速上浮,可通过读取箭尺读数计算时间.
某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏,并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2 h记录一次箭尺读数(箭尺最大读数为120 cm),得到如表:
供水时间x(h) 0 2 4 6 8
箭尺读数y(cm) 6 18 30 42 54
根据上述信息回答下列问题:
(1)如图②,建立平面直角坐标系,横轴表示供水时间x(h),纵轴表示箭尺读数y(cm),描出以表格中数据为坐标的各点,并连线;
(2)观察描出各点的分布规律,可以知道它是我们学过的__________函数,请结合表格数据,求出该函数表达式;
(3)应用上述得到的规律计算:如果本次实验记录的开始时间是上午9:00,那么当箭尺读数为81 cm时是什么时候 4 一次函数的应用
第1课时
课时目标
1.了解由两个条件可以确定一次函数,能根据所给信息(图象、表格、实际问题等)确定一次函数的表达式.(模型观念、运算能力)
2.了解一次函数与一元一次方程的关系,能通过函数图象获取信息解决实际问题.(推理能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.确定正比例函数、一次函数的表达式所需要的条件 1.(1)已知y是x的正比例函数,当x=3时,y=-6,则y与x的函数关系式为(B) A.y=2x B.y=-2x C.y=x D.y=-x (2)已知一次函数y=kx-3的图象经过点(-1,2),则k的值为 -5 .
2.一次函数与一元一次方程的关系 2.一次函数y=kx+b的图象如图,则关于x的方程kx+b=0的解为(A) A.x=-3 B.x=-2 C.x=2 D.x=3
重点 典例研析 启思凝智
重点1 求一次函数的表达式(模型观念、运算能力)
【典例1】如图,已知A(2,3),B(0,2),直线l过A,B两点,试写出直线l的表达式.
【自主解答】设直线l的表达式为y=kx+b(k≠0),代入点A(2,3),B(0,2),得2k+b=3①,b=2②,将②代入①,得k=,所以直线l的表达式为y=x+2.
举一反三
1.(2025·厦门质检)正比例函数y=kx的图象经过点(1,1),则k的值是 1 .
2.(2025·成都质检)已知一次函数y=kx+b的图象过点(-1,0)和点(0,2),则该一次函数的表达式是 y=2x+2 .
技法点拨
求一次函数表达式的三个步骤
1.设:设函数表达式为y=kx+b;
2.代:将函数与y轴的交点坐标代入求出b,然后将另一个点的坐标代入求出k;
3.写:根据求出的k,b的值写出表达式.
重点2 利用一次函数求一元一次方程的解(几何直观、运算能力)
【典例2】(2025·六安质检)如图,直线y=kx+b分别与x轴的负半轴和y轴的负半轴交于点A和点B,若OA=4,OB=3,则关于x的方程kx+b=0的解为(B)
A.x=-3 B.x=-4
C.x=3 D.x=4
举一反三
1.直线y=kx+b分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于点A和点B,若OA=5,OB=4,则关于x的方程kx+b=0的解为(D)
A.x=-4 B.x=-5
C.x=4 D.x=5
2.(逆向思维)一次函数y=ax+b(a,b是常数,且a≠0),若a+b-2=0,则这个一次函数的图象必经过的点是(D)
A.(1,-2) B.(2,-3)
C.(-1,-2) D.(1,2)
技法点拨
一次函数与一元一次方程解的关系
温馨提示:
解一元一次方程可以利用一次函数的图象,求一次函数图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程.
素养 思维提升 入境深探
趣味数学
《九章算术》中记载,浮箭漏(如图①)由供水壶和箭壶组成,箭壶内装有箭尺,水匀速地从供水壶流到箭壶,箭壶中的水位逐渐上升,箭尺匀速上浮,可通过读取箭尺读数计算时间.
某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏,并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2 h记录一次箭尺读数(箭尺最大读数为120 cm),得到如表:
供水时间x(h) 0 2 4 6 8
箭尺读数y(cm) 6 18 30 42 54
根据上述信息回答下列问题:
(1)如图②,建立平面直角坐标系,横轴表示供水时间x(h),纵轴表示箭尺读数y(cm),描出以表格中数据为坐标的各点,并连线;
(2)观察描出各点的分布规律,可以知道它是我们学过的__________函数,请结合表格数据,求出该函数表达式;
(3)应用上述得到的规律计算:如果本次实验记录的开始时间是上午9:00,那么当箭尺读数为81 cm时是什么时候
【解析】(1)描点并连线如图所示:
(2)观察描出各点的分布规律,可以知道它是我们学过的一次函数.
设y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k,b为常数,且k≠0).
将x=0,y=6代入y=kx+b得b=6,
将x=2,y=18代入y=kx+6,得k=6,
所以y与x之间的函数表达式为y=6x+6.
答案:一次
(3)当y=81时,得6x+6=81,解得x=12.5,
上午9:00经过12.5 h是21:30,即晚上9:30.
答:当箭尺读数为81 cm时是晚上9:30.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 二十三”4 一次函数的应用
第2课时
课时目标
会用一次函数解决有关实际问题.(运算能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
应用一次函数解决实际问题 问题类型求解方法折线类型先求一次函数 表达式 ,再求点的坐标 交点的 横坐标 是kx+b=m的解 交点类型求两个一次函数交点交点的 纵坐标 意义是两个函数值相等
甲、乙两人沿同一条路从A地出发,去往100千米外的B地,甲、乙两人离A地的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示,以下说法正确的是(A) A.甲的速度是60 km/h B.乙的速度是30 km/h C.甲乙同时到达B地 D.甲出发两小时后两人第一次相遇
重点 典例研析 启思凝智
重点1 应用一次函数图象解决折线问题(应用意识、运算能力)
【典例1】某储运部紧急调拨一批物资,调进物资共用6小时,调进物资3小时后开始调出物资(调进物资与调出物资的速度均保持不变).储运部库存物资S(吨)与时间t(小时)之间的函数关系如图所示,这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是 6.6 小时.
举一反三
1.初二年级外出游学,同学们所乘的客车先在公路上匀速行驶,在服务区休息一段时间后,进入高速路继续匀速行驶.已知客车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)的函数关系的图象如图所示,则客车在高速路上行驶的速度为(C)
A.60千米/时 B.75千米/时
C.80千米/时 D.90千米/时
2.甲、乙两人同起点同方向出发,匀速步行3 000米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发3分钟,甲、乙两人之间的距离y(米)与甲出发的时间t(分)之间的关系如图所示,则先到终点的人原地休息了 4.5 分钟.
技法点拨
折线类一次函数图象应用问题的解题关键
拐点的意义 折线中每个点的意义是解决问题的关键,即由点的意义求出点的坐标
每段的表达式 根据每条线段的两个端点的坐标,可求出其对应的表达式
问题 化点 将问题转化为点的坐标问题,即将欲求点的已知坐标代入一次函数表达式即可求出另一坐标,进而解决问题
重点2 应用一次函数图象解决交点类问题(几何直观、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P99例3补充)某校组织学生从学校出发,乘坐大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小时后,学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是40千米/时,轿车行驶的速度是60千米/时.
(1)求轿车出发后多少小时追上大巴 此时,两车与学校相距多少千米
(2)如图,OB,AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(小时)的函数关系的图象.试求点B的坐标和AB所在直线的表达式.
(3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶,轿车行驶了1.5小时追上大巴,求a的值.
【自主解答】(1)设轿车出发后x小时追上大巴,
依题意得:40(x+1)=60x,解得x=2.
所以轿车出发后2小时追上大巴,
此时,两车与学校相距60×2=120(千米),
答:轿车出发后2小时追上大巴,此时,两车与学校相距120千米.
(2)因为轿车出发后2小时追上大巴,此时,两车与学校相距120千米,所以大巴行驶了3小时,所以B(3,120),由题图得A(1,0),
设AB所在直线的表达式为s=kt+b,
所以k+b=0,3k+b=120,
解得k=60,b=-60,
所以AB所在直线的表达式为s=60t-60.
(3)依题意得:40(a+1.5)=60×1.5,解得a=,所以a的值为.
举一反三
(2025·太原质检)某快递公司每天下午15:00~16:00为集中揽件和派件时段,甲仓库用来揽收快件,乙仓库用来派发快件.如图,线段BC,DE分别表示甲仓库、乙仓库的快件数量y1,y2(件)与揽件(或派件)时间x(分钟)之间的函数关系,线段BC,DE相交于点A.
(1)求甲仓库快件数量y1(件)与揽件(或派件)时间x(分钟)之间的函数表达式;(0≤x≤60)
(2)若已知乙仓库快件数量y2(件)与揽件(或派件)时间x(分钟)之间的函数表达式是y2=-4x+240,点A的坐标为(x1,160),求出点A的横坐标x1并写出点A的坐标表示的实际意义.
【解析】(1)设y1=kx+b(k≠0),由题中图象可知,直线过点(0,40),(60,400),所以b=40,
将(60,400)代入得60k+40=400,得k=6,所以y1=6x+40(0≤x≤60).
(2)因为y2=-4x+240,
当y=160时,160=-4x+240,解得x=20,所以点A的横坐标x1=20,
由题中图象可知,点A为两条直线的交点,实际意义为经过20分钟,甲、乙两个仓库中的快件数量相等,均为160件.
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 二十四”
