1 探索勾股定理
第1课时
课时目标
1.经历探索勾股定理的过程,发展推理能力.(几何直观、推理能力)
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决问题.(运算能力、模型观念)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
勾股定理 1.判断: (1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5.(√) (2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10.(×) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为(B) A.15 B.13 C.12 D.10
重点 典例研析 启思凝智
重点1 勾股定理与面积(模型观念、运算能力)
【典例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面积是(A)
A.100 B.80
C.48 D.24
举一反三
1.(2025·无锡期中)如图,△ABC中,∠BCA=90°,AB=5,以直角三角形三边为直径,向外作半圆,其面积分别为S1,S2,S3,则S1+S2+S3的值为(C)
A.25π B.9π
C.π D.π
2.(2025·武汉期中)如图,以Rt△ABC的两条直角边为边长作两个正方形,面积分别为25,144,则斜边AC= 13 .
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”,当AC=24,AB=25时,阴影部分的面积为 84 .
技法点拨
毕达哥拉斯树
“源头活水” 基本图形
教材P8(第4题图)
结论:S1+S2=S3
重点2 利用勾股定理求线段长(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,求AC边上的高BD.
【自主解答】过A作AE⊥BC于点E,
因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,所以AE⊥BC,EB=EC=CB=3.在Rt△ABE中,AE2=AB2-BE2=52-32=42,所以AE=4,所以S△ABC=AC·BD=BC·AE
=×6×4=12,所以×5BD=12,解得BD=.
举一反三
在△ABC中,已知AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,求△ABC的面积.
【解析】分两种情况讨论:
①当△ABC为锐角三角形时,
在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=152-122=92,BD=9,在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=
132-122=52,CD=5,所以BC=5+9=14,所以△ABC的面积为×12×14=84;
②当△ABC为钝角三角形时,
在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=152-122=92,
在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=132-122=52,CD=5,所以BC=9-5=4.所以△ABC的面积为×12×4=24,所以当△ABC为锐角三角形时,△ABC的面积为84;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的面积为24.
素养 思维提升 入境深探
趣味数学
美丽的勾股树
勾股树,是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限重复的树形图形.又因为重复数次后的形状好似一棵树,所以又被称为毕达哥拉斯树.
具体操作为以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程.下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树.
(1)第一代勾股树中共有3个正方形,第二代勾股树中共有7个正方形,第三代勾股树中共有15个正方形……按照这一规律,第六代勾股树中正方形的个数为 127 .
(2)如果第一个正方形面积为1,则第2 026代勾股树中所有正方形的面积为
2 027 .
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 一”1 探索勾股定理
第2课时
课时目标
1.经历勾股定理的证明过程,感受数形结合的思想.(几何直观、推理能力)
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决实际问题.(推理能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.勾股定理的证明 拼接法割补法对图形进行拼接、割补,通过 相等来证明
2.勾股定理的简单应用 实际应用的问题,如大树折断、方位角等问题,可以借助勾股定理解决. 如图,在A村与B村之间有一座大山,原来从A村到B村,需沿道路A→C→B (∠C=90°)绕过村庄间的大山,打通A,B间的隧道后,就可直接从A村到B村.已知AC=6 km,BC=8 km,那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为( ) A.2 km B.3 km C.4 km D.5 km
重点 典例研析 启思凝智
重点1 勾股定理的验证(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P4尝试·思考延伸)如图,图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图2是以c为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形,画出拼成的这个图形的示意图,并用这个图形证明勾股定理.
举一反三
1. (2025·青岛期中)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如图,大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a+b)2的值是( )
A.20 B.12 C.24 D.25
2.“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理.小明受此启发,探究后发现,若将4个直角边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形,用等积法也可以证明勾股定理,则小明用两种方法表示五边形的面积分别是(用含有a,b,c的式子表示) , .
重点2 勾股定理的应用(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】如图,有一只摆钟,摆锤看作一个点,当摆锤静止时,它离底座的垂直高度DE=6 cm,当摆锤摆动到最高位置时,它离底座的垂直高度BF=8 cm,此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10 cm,钟摆AD的长度是( )
A.17 cm B.24 cm C.26 cm D.28 cm
举一反三
(2025·深圳期中)勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.如图,当秋千静止时,踏板B离地的垂直高度BE=0.8 m,将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD=3 m),踏板离地的垂直高度CF=2.6 m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是( )
A.3.4 m B.3.6 m C.3.8 m D.4.2 m
素养 思维提升 入境深探
阅读理解
漫话勾股定理
勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”.在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.
(1)如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以验证勾股定理,思路是:大正方形的面积有两种求法,一种是等于c2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即ab×4+(b-a)2,从而得到等式c2=ab×4+(b-a)2,化简便得结论a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.
现在,请你用“双求法”解决下面问题:
如图2,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值.
(2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含了赵爽的弦图.如图3,如果大正方形的面积为18,直角三角形中较短直角边长为a,较长直角边长为b,且a2+b2=ab+10,那么小正方形的面积为__________.
(3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现的一种重要的数学思想是__________.
A.函数思想 B.整体思想
C.分类讨论思想 D.数形结合思想1 探索勾股定理
第1课时
课时目标
1.经历探索勾股定理的过程,发展推理能力.(几何直观、推理能力)
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决问题.(运算能力、模型观念)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
勾股定理 1.判断: (1)直角三角形的两直角边长分别为1.5,2,斜边长一定是2.5.(√) (2)一个直角三角形的两边长分别是6和8,则第三边长为10.(×) 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,直角边a=5,b=12,则斜边c的长为( ) A.15 B.13 C.12 D.10
重点 典例研析 启思凝智
重点1 勾股定理与面积(模型观念、运算能力)
【典例1】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以AB为一条边向三角形外部作正方形,则正方形的面积是( )
A.100 B.80
C.48 D.24
举一反三
1.(2025·无锡期中)如图,△ABC中,∠BCA=90°,AB=5,以直角三角形三边为直径,向外作半圆,其面积分别为S1,S2,S3,则S1+S2+S3的值为( )
A.25π B.9π
C.π D.π
2.(2025·武汉期中)如图,以Rt△ABC的两条直角边为边长作两个正方形,面积分别为25,144,则斜边AC= .
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以各边为直径作半圆,图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”,当AC=24,AB=25时,阴影部分的面积为 .
技法点拨
毕达哥拉斯树
“源头活水” 基本图形
教材P8(第4题图)
结论:S1+S2=S3
重点2 利用勾股定理求线段长(运算能力、推理能力)
【典例2】如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,求AC边上的高BD.
举一反三
在△ABC中,已知AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,求△ABC的面积.
素养 思维提升 入境深探
趣味数学
美丽的勾股树
勾股树,是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限重复的树形图形.又因为重复数次后的形状好似一棵树,所以又被称为毕达哥拉斯树.
具体操作为以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程.下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树.
(1)第一代勾股树中共有3个正方形,第二代勾股树中共有7个正方形,第三代勾股树中共有15个正方形……按照这一规律,第六代勾股树中正方形的个数为 .
(2)如果第一个正方形面积为1,则第2 026代勾股树中所有正方形的面积为
. 1 探索勾股定理
第2课时
课时目标
1.经历勾股定理的证明过程,感受数形结合的思想.(几何直观、推理能力)
2.掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决实际问题.(推理能力、应用意识)
基础 主干落实 筑牢根基
新知要点 对点小练
1.勾股定理的证明 拼接法割补法对图形进行拼接、割补,通过 面积 相等来证明
2.勾股定理的简单应用 实际应用的问题,如大树折断、方位角等问题,可以借助勾股定理解决. 如图,在A村与B村之间有一座大山,原来从A村到B村,需沿道路A→C→B (∠C=90°)绕过村庄间的大山,打通A,B间的隧道后,就可直接从A村到B村.已知AC=6 km,BC=8 km,那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为(C) A.2 km B.3 km C.4 km D.5 km
重点 典例研析 启思凝智
重点1 勾股定理的验证(几何直观)
【典例1】(教材再开发·P4尝试·思考延伸)如图,图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形,两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,图2是以c为直角边的等腰直角三角形.请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形,画出拼成的这个图形的示意图,并用这个图形证明勾股定理.
【自主解答】如图所示,图形是梯形;
根据梯形的面积公式可知,梯形的面积=(a+b)(a+b).从如图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积和,即ab+ab+c2,所以(a+b)(a+b)=ab+ab+c2,化简,得a2+b2=c2.
举一反三
1. (2025·青岛期中)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,如图,大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a+b)2的值是(D)
A.20 B.12 C.24 D.25
2.“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理.小明受此启发,探究后发现,若将4个直角边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形,用等积法也可以证明勾股定理,则小明用两种方法表示五边形的面积分别是(用含有a,b,c的式子表示) c2+ab , a2+b2+ab .
重点2 勾股定理的应用(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】如图,有一只摆钟,摆锤看作一个点,当摆锤静止时,它离底座的垂直高度DE=6 cm,当摆锤摆动到最高位置时,它离底座的垂直高度BF=8 cm,此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10 cm,钟摆AD的长度是(C)
A.17 cm B.24 cm C.26 cm D.28 cm
举一反三
(2025·深圳期中)勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.如图,当秋千静止时,踏板B离地的垂直高度BE=0.8 m,将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD=3 m),踏板离地的垂直高度CF=2.6 m,它的绳索始终拉直,则绳索AC的长是(A)
A.3.4 m B.3.6 m C.3.8 m D.4.2 m
素养 思维提升 入境深探
阅读理解
漫话勾股定理
勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”.在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.
(1)如图1是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以验证勾股定理,思路是:大正方形的面积有两种求法,一种是等于c2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即ab×4+(b-a)2,从而得到等式c2=ab×4+(b-a)2,化简便得结论a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”.
现在,请你用“双求法”解决下面问题:
如图2,在△ABC中,AD是BC边上的高,AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值.
(2)2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标都包含了赵爽的弦图.如图3,如果大正方形的面积为18,直角三角形中较短直角边长为a,较长直角边长为b,且a2+b2=ab+10,那么小正方形的面积为__________.
(3)勾股定理本身及其验证和应用过程都体现的一种重要的数学思想是__________.
A.函数思想 B.整体思想
C.分类讨论思想 D.数形结合思想
【解析】(1)在Rt△ABD中,由勾股定理得AD2=AB2-BD2=42-x2=16-x2,因为BD+CD=BC=6,
所以CD=BC-BD=6-x,
在Rt△ACD中,由勾股定理得AD2=AC2-CD2=52-(6-x)2=-11+12x-x2,
所以16-x2=-11+12x-x2,所以x=.
(2)设大正方形的边长为c,
因为大正方形的面积是18,所以c2=18,所以a2+b2=c2=18.
因为a2+b2=ab+10,所以ab+10=18,所以ab=8,
所以小正方形的面积=(b-a)2=a2+b2-2ab=18-2×8=2.
答案:2
(3)答案:D
课时巩固训练,请使用 “课时过程性评价 二”
