第一章 勾股定理 单元复习课
体系 自我构建 条分缕析
目标 维度评价 破译考向
维度1 知识技能应用
1.如图,两个大正方形的面积分别为132和108,则小正方形M的面积为( )
A.140 B.240
C.100 D.24
2.(2025·揭阳期中)如图,△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上,CD⊥AB于点D,则CD的长为( )
A. B.4
C. D.
3.(新趋势·数学文化)(2024·巴中中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=( )
A.8 B.10
C.12 D.13
4.如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S3+S2-S1=18,则图中阴影部分的面积为( )
A.6 B.
C.5 D.
5.(新趋势·数学文化)(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
6.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为( )
A.24 B.36
C.40 D.44
7.(2025·绵阳期中)若△ABC的三边长a,b,c满足(a+b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
8.(2024·甘孜州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为 .
9.(2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.
10.(2024·常州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE= .
11.(2023·随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= .
12.(2023·长沙中考)如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.
13.我们把满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为“勾股数”.已知a,b,c(a(1)当b=n+7,c=n+8时,请用含n的代数式表示a2,并直接写出n取何值时,a为满足题意的最小整数;
(2)当b=2n2+2n,c=b+1时,用含n的代数式表示a2,再完成下列勾股数表.
a b c
_____ 40 41
11 60 _____
维度2 思想方法应用
14.(分类讨论思想)(2025·济南期中)已知一个直角三角形的两条边长为5和13,则第三边的平方是( )
A.12 B.169
C.144或194 D.144或169
15.(方程思想)(2023·南京中考)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知为田几何 ”问题大意:如图,在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC=15里,则△ABC的面积是( )
A.80平方里 B.82平方里
C.84平方里 D.86平方里
16.(分类讨论思想)(2024·齐齐哈尔中考改编)已知长方形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 .
维度3 生产生活应用
17.(时代科技)小莹计划购买一台圆形自动扫地机,有以下6种不同的尺寸可供选择,直径(单位: cm)分别是34,34.5,37,39.5,40,42.如图是小莹家衣帽间的平面示意图,扫地机放置在该房间的角落(鞋柜、衣柜与地面均无缝隙),在没有障碍物阻挡的前提下,扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面,小莹可选择的扫地机尺寸有 种.
18.某台风登陆,使很多地区受到严重影响,风力影响半径为260 km(即以台风中心为圆心,260 km为半径的圆形区域都会受台风影响).如图,线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线,A是某个大型农场,且AB⊥AC.若A,C之间相距300 km,A,B之间相距400 km.
(1)判断农场A是否会受到台风的影响,请说明理由.
(2)若台风中心的移动速度为25 km/h,则台风影响该农场持续时间有多长
19.综合实践:阅读下列材料,解答问题.
任务:如图1,现要测量某校旗杆的高度(系在旗杆顶端的绳子垂到地面,并多出一小段).
工具:一把皮尺(测量长度达不到旗杆长一半).
李明学习小组测量过程和部分求解过程如下(如图2).
测量过程:
步骤1:测得多出一小段绳子的长度为a m;
步骤2:将绳子拉直,绳子末端与地面接触点为A,测得A点到旗杆底部C点距离AC=b m.
部分求解过程:
设旗杆高度BC=h,
因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
所以BC2+AC2=AB2.
因为AC=b,AB=h+a,
所以h2+b2=(h+a)2.
(1)根据李明学习小组求解过程,请直接写出旗杆高度h=__________ m(用含a,b的代数式表示);
(2)李明学习小组求解过程所用到的几何知识是__________;
(3)请你利用所提供的工具,通过2次测量,设计另外一种方案,写出你的测量和求解过程.(测量得到的长度用字母m,n表示)第一章 勾股定理 单元复习课
体系 自我构建 条分缕析
目标 维度评价 破译考向
维度1 知识技能应用
1.如图,两个大正方形的面积分别为132和108,则小正方形M的面积为(D)
A.140 B.240
C.100 D.24
2.(2025·揭阳期中)如图,△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上,CD⊥AB于点D,则CD的长为(A)
A. B.4
C. D.
3.(新趋势·数学文化)(2024·巴中中考)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=(C)
A.8 B.10
C.12 D.13
4.如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S3+S2-S1=18,则图中阴影部分的面积为(B)
A.6 B.
C.5 D.
5.(新趋势·数学文化)(2023·泸州中考)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是(C)
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
6.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为(D)
A.24 B.36
C.40 D.44
7.(2025·绵阳期中)若△ABC的三边长a,b,c满足(a+b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC一定是(B)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
8.(2024·甘孜州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为 3 .
9.(2023·东营中考)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 50 km.
10.(2024·常州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE= .
11.(2023·随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD= 5 .
12.(2023·长沙中考)如图,AB=AC,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)求证:△ABE≌△ACD;
(2)若AE=6,CD=8,求BD的长.
【解析】(1)因为CD⊥AB,BE⊥AC,
所以∠AEB=∠ADC=90°.
在△ABE和△ACD中,
所以△ABE≌△ACD(AAS).
(2)因为△ABE≌△ACD,
所以AD=AE=6.
在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2=62+82=100,AC=10.
因为AB=AC=10,
所以BD=AB-AD=10-6=4.
13.我们把满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为“勾股数”.已知a,b,c(a(1)当b=n+7,c=n+8时,请用含n的代数式表示a2,并直接写出n取何值时,a为满足题意的最小整数;
(2)当b=2n2+2n,c=b+1时,用含n的代数式表示a2,再完成下列勾股数表.
a b c
_____ 40 41
11 60 _____
【解析】(1)a2=c2-b2,
把b=n+7,c=n+8代入a2=c2-b2中,得a2=(n+8)2-(n+7)2=(n+8+n+7)(n+8-n-7)=2n+15.
因为n为正整数,所以当n=5时,满足题意的最小整数a=5.
(2)a2=c2-b2=(b+1)2-b2=2b+1=4n2+4n+1=(2n+1)2.
b=40,c=41,a=9,a=11,b=60,c=61,
补全勾股数表如下:
a b c
9 40 41
11 60 61
维度2 思想方法应用
14.(分类讨论思想)(2025·济南期中)已知一个直角三角形的两条边长为5和13,则第三边的平方是(C)
A.12 B.169
C.144或194 D.144或169
15.(方程思想)(2023·南京中考)我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里.里法三百步,欲知为田几何 ”问题大意:如图,在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC=15里,则△ABC的面积是(C)
A.80平方里 B.82平方里
C.84平方里 D.86平方里
16.(分类讨论思想)(2024·齐齐哈尔中考改编)已知长方形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 2或 .
维度3 生产生活应用
17.(时代科技)小莹计划购买一台圆形自动扫地机,有以下6种不同的尺寸可供选择,直径(单位: cm)分别是34,34.5,37,39.5,40,42.如图是小莹家衣帽间的平面示意图,扫地机放置在该房间的角落(鞋柜、衣柜与地面均无缝隙),在没有障碍物阻挡的前提下,扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面,小莹可选择的扫地机尺寸有 2 种.
18.某台风登陆,使很多地区受到严重影响,风力影响半径为260 km(即以台风中心为圆心,260 km为半径的圆形区域都会受台风影响).如图,线段BC是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线,A是某个大型农场,且AB⊥AC.若A,C之间相距300 km,A,B之间相距400 km.
(1)判断农场A是否会受到台风的影响,请说明理由.
(2)若台风中心的移动速度为25 km/h,则台风影响该农场持续时间有多长
【解析】(1)农场A会受到台风的影响.理由如下:如图,
过点A作AD⊥BC于D,因为AB⊥AC,所以∠BAC=90°.
因为AB=400 km,AC=300 km,所以BC=500 km.因为AD⊥BC,
所以S△ABC=BC·AD=AB·AC,
所以AD===240(km).
因为240 km<260 km,
所以农场A会受到台风的影响.
(2)如图,
假设台风在线段EF上移动时,会对农场A造成影响,所以AD=240 km,AE= AF=260 km.
在Rt△ADF中,由勾股定理得DF2=AF2-AD2,即DF2=2602-2402=10 000,
所以DF=100 km,
所以EF=2DF=2×100=200(km).
因为台风的速度是25 km/h,
所以受台风影响的时间为200÷25=8(h).
19.综合实践:阅读下列材料,解答问题.
任务:如图1,现要测量某校旗杆的高度(系在旗杆顶端的绳子垂到地面,并多出一小段).
工具:一把皮尺(测量长度达不到旗杆长一半).
李明学习小组测量过程和部分求解过程如下(如图2).
测量过程:
步骤1:测得多出一小段绳子的长度为a m;
步骤2:将绳子拉直,绳子末端与地面接触点为A,测得A点到旗杆底部C点距离AC=b m.
部分求解过程:
设旗杆高度BC=h,
因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
所以BC2+AC2=AB2.
因为AC=b,AB=h+a,
所以h2+b2=(h+a)2.
(1)根据李明学习小组求解过程,请直接写出旗杆高度h=__________ m(用含a,b的代数式表示);
(2)李明学习小组求解过程所用到的几何知识是__________;
(3)请你利用所提供的工具,通过2次测量,设计另外一种方案,写出你的测量和求解过程.(测量得到的长度用字母m,n表示)
【解析】(1)设旗杆高度BC=h,
因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
所以BC2+AC2=AB2.
因为AC=b,AB=h+a,
所以h2+b2=(h+a)2,
所以h2+b2=h2+2ah+a2,
所以2ah=b2-a2,所以h=(m).
答案:
(2)由(1)知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,根据勾股定理得:
BC2+AC2=AB2,即h2+b2=(h+a)2,
所以所用到的几何知识是勾股定理.
答案:勾股定理
(3)测量方案如下:
先在旗杆底端的绳子上打一个结,然后举起绳结拉到点D处(BD=BC),将绳结举至离旗杆m(m)远,此时绳结离地面n(m)远.
求解过程:作DE⊥BC,垂足为点E,如图:
设旗杆高度为h,由测量得,DE=m,CE=DF=n,BE=BC-CE=h-n,
在Rt△DBE中,∠DEB=90°,
所以(h-n)2+m2=h2,
所以h2-2hn+n2+m2=h2,
所以2hn=m2+n2,所以h=(m).
阶段测评,请使用 “单元质量评价(一)”
