§1 对数的概念
学习目标 1.理解对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化，培养逻辑推理的核心素养. 3.会求简单的对数值，提升数学运算的核心素养.
任务一 对数的概念
问题1.我们知道若2x＝4，则x＝2；若3x＝81，则x＝4；若＝128，则x＝－7等这些方程，我们可以轻松求出x的值，但对于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等这样的指数方程，你能求出方程的解吗？
提示：不能解出上述方程，为了解决这个问题，早在18世纪的欧拉为我们提供了解决问题的方案，那就是发现了指数与对数的互逆关系，用对数来表示指数方程的解.
1.对数的概念
一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN＝b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数.
2.两种特殊对数
名称 定义 记法
常用对数 以10为底数的对数 lg N
自然对数 以无理数e＝2.718 281…为底数的对数 ln N
[微思考] 1.式子logaN中，底数a的范围是什么？
提示：a＞0，且a≠1.
2.对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数.
(1)对数log(a＋3)(5－a)中实数a的取值范围是( )
A.(－∞，5) B.(－3，5)
C.(－3，－2)∪(－2，5) D.(－3，＋∞)
(2)对数式log2(1－3x)中x的取值范围为 .
答案：(1)C (2)
解析：(1)因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数，所以有 a∈∪.故选C.
(2)由题意可得1－3x＞0，解得x＜，所以x的取值范围为.
关于对数式中字母的范围，可利用式子logab 求字母的范围.
对点练1.(1)若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是( )
A.[2，＋∞) B.(2，3)∪(3，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
(2)在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A.a＞5或a＜0 B.0＜a＜1或1＜a＜5
C.0＜a＜1 D.1＜a＜5
答案：(1)B (2)B
解析：(1)要使对数式log(t－2)3有意义，需解得t＞2，且t≠3.所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，＋∞).故选B.
(2)由对数的定义可知解得0＜a＜5，且a≠1.故选B.
任务二 对数式与指数式的互化
问题2.现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？
提示：能.x＝log23；x＝log1.112；x＝log105＝lg 5.
对数与指数的关系
[微思考] 对数logaN中，底数a能不能是0或者负数？a的值为什么不取1？真数N的取值范围是什么？
提示：不能.在指数式中要求a＞0，且a≠1，所以在对数logaN中a＞0，且a≠1，真数N大于0.
(链教材P99例1、例2)将下列指数式与对数式互化：
(1)53＝125；(2)4－2＝；(3)lo8＝－3；
(4)log3＝－3；(5)lg 1 000＝3.
解：由对数的定义，得
(1)53＝125 log5125＝3.
(2)4－2＝ log4＝－2.
(3)lo8＝－3 ＝8.
(4)log3＝－3 3－3＝.
(5)lg 1 000＝3 103＝1 000.
指数式与对数式互化的思路
对点练2.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的有( )
A.e0＝1与ln 1＝0
B.log39＝2与＝3
C.＝与log8＝－
D.log77＝1与71＝7
答案：ACD
解析：对于A，e0＝1可化为0＝loge1＝ln 1，故A正确；对于B，log39＝2可化为32＝9，故B错误；对于C，＝可化为log8＝－，故C正确；对于D，log77＝1可化为71＝7，故D正确.故选ACD.
任务三 对数的基本性质
问题3.对于任意的a＞0且a≠1，loga1，logaa，loga， 的值有什么特点？
提示：loga1＝0，logaa＝1，loga＝－1，＝1，都是常数.
1.对数恒等式：＝N.
2.对数的性质
(1)loga1＝0；(2)logaa＝1；(3)零和负数没有对数.
(链教材P99例3)求下列各式中x的值：
(1)log2(2x＋1)＝3；(2)logx ＝3；(3)log28x＝－3；(4)x＝.
解：(1)因为log2(2x＋1)＝3，所以2x＋1＝23＝8，解得x＝.
(2)因为logx ＝3，
所以＝x3＝，
所以x＝.
(3)因为log28x＝－3，
所以8x＝2－3＝8－1，
所以x＝－1.
(4)由题意可得x＝＝＝.
利用对数的性质及对数恒等式求值
1.对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质：loga1＝0和logaa＝1(a＞0，且a≠1)，进行变形求解.
2.对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式： ＝N的应用.
对点练3.(1)(多选题)有以下四个结论，其中正确的有( )
A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0
C.若e＝ln x，则x＝e2 D.ln(lg 1)＝0
(2)若a＝log102，b＝log103，则的值为 .
答案：(1)AB (2)
解析：(1)lg(lg 10)＝lg 1＝0，lg(ln e)＝lg 1＝0，所以A、B均正确；对于C，若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；对于D，lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误.故选AB.
(2)因为a＝log102，b＝log103，则10a＝2，10b＝3，所以＝＝.
任务四 利用对数式和指数式互化关系求值
(双空题)设loga2＝m，loga3＝n(a＞0，且a≠1)，则a2m＋n＝ ，a2m－n＝ .
答案：12
解析：因为loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，所以a2m＋n＝a2m·an＝4×3＝12，
a2m－n＝a2m÷an＝4÷3＝.
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
1.已知底数与指数，用指数式求幂.
2.已知指数与幂，用指数式求底数.
3.已知底数与幂，利用对数式表示指数.
对点练4.(1)(多选题)已知x＝log43，则下列计算正确的有( )
A.2x＝ B.2－x＝
C.(2x－2－x)2＝ D.4x＝9
(2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )
A.9 B.8
C.7 D.6
答案：(1)ABC (2)A
解析：(1)因为x＝log43，所以4x＝3，故2x＝，2－x＝，(2x－2－x)2＝＝＝.因此选项A、B、C正确，D不正确.故选ABC.
(2)因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝20＝1，所以x＝3，同理可得y＝4，z＝2，所以x＋y＋z＝9.
任务 再现 1.对数的概念和两种特殊对数：自然对数、常用对数.2.对数式与指数式的互化.3.对数恒等式及对数的基本性质
方法 提炼 转化与化归法
易错 警示 易忽视对数式中底数与真数的范围
1.将23＝8化为对数式，正确的是( )
A.log23＝8 B.log28＝3
C.log82＝3 D.log32＝8
答案：B
解析：23＝8化为对数式为log28＝3.故选B.
2.若loga8＝－3，则a＝( )
A.2 B.4
C. D.
答案：C
解析：显然a＞0且a≠1，若loga8＝－3，则a－3＝8，即a3＝，所以a＝.故选C.
3.计算＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝ .
答案：0
解析：＋2log31－3lg 10＋3ln 1＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.故答案为0.
4.若对数log3a(－2a＋1)有意义，则实数a的取值范围是 .
答案：(0，)∪(，)
解析：由题意，得解得0＜a＜且a≠，所以实数a的取值范围是(0，)∪(，).
课时分层评价27 对数的概念
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.若7x＝8，则x等于( )
A. B.log87
C.log78 D.log7x
答案：C
解析：把指数式转化为对数式可知x＝ log78.故选C.
2.方程＝的解是( )
A. B.
C. D.9
答案：A
解析：由＝，得＝2－2，所以log3x＝－2，所以x＝3－2＝.故选A.
3.log2的值为( )
A.－ B.
C.－ D.
答案：D
解析：设log2＝x，则2x＝＝，所以x＝.故选D.
4.(多选题)下列指数式与对数式的互化，正确的一组是( )
A.100＝1与lg 1＝0
B.2＝与log27＝－
C.log24＝2与＝2
D.log55＝1与51＝5
答案：ABD
解析：由aN＝b logab＝N(a＞0，且a≠1，b＞0)可知，A、B、D正确；对于C，log24＝2 4＝22，故C错误.故选ABD.
5.设＝25，则x的值等于( )
A.10 B.13
C.100 D.12
答案：B
解析：由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.故选B.
6.(多选题)下列命题正确的是( )
A.若lox＝3，则x＝2
B.若logx＝－，则x＝64
C.若＝，则x＝4
D.若lob2＝1，则a＝b
答案：AB
解析：对于A，若lox＝3，所以x＝＝2，故A正确；对于B，若logx＝－，则＝＝2－4，所以x＝＝26＝64，故B正确；对于C，因为log3＝－2，所以＝x－2＝＝，可得x2＝4，即x＝±2，故C错误；对于D，例如a＝2，b＝－2，则a2＝b2＝4，可得lob2＝1，符合题意，但a＝－b，故D错误.故选AB.
7.若log(a－1)(5－a)有意义，则实数a的取值范围是 .
答案：(1，2)∪(2，5)
解析：要使log(a－1)(5－a)有意义，须解得1＜a＜2或2＜a＜5，即实数a的取值范围是(1，2)∪(2，5).
8.已知log32x＝1，则2x＋4x＝ .
答案：12
解析：由log32x＝1得2x＝3，则4x＝＝9，所以2x＋4x＝3＋9＝12.
9.(新情境)(双空题)十六、十七世纪，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N b＝logaN.现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝ ，a＋b＝ (用最简结果作答).
答案：8
解析：因为a＝log48，则4a＝8，即22a＝23，所以2a＝3，所以a＝.因为b＝log24，所以2b＝4，即2b＝22，所以b＝2，所以a＋b＝＋2＝.
10.(10分)求下列各式中的x的值：
(1)logx27＝；
(2)log2x＝－；
(3)logx(3＋2)＝－2；
(4)log5(log2x)＝0；
(5)x＝log27.
解：(1)由logx27＝，得＝27，
所以x＝2＝32＝9.
(2)由log2x＝－，得＝x，
所以x＝＝.
(3)由logx(3＋2)＝－2，得3＋2＝x－2，即x＝(3＋2＝－1.
(4)由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，
所以x＝21＝2.
(5)由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，
所以x＝－.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.若logx＝z，则x，y，z之间满足( )
A.y7＝xz B.y＝x7z
C.y＝7xz D.y＝z7x
答案：B
解析：由题意得＝xz，所以y＝(xz)7＝x7z.故选B.
12.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是( )
A.d＝ac B.a＝dc
C.c＝ad D.d＝a＋c
答案：B
解析：由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c，因为5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以a＝dc.故选B.
13.已知正实数x，y满足ln x＝2m，y＝e2m－1，则＝ .
答案：e
解析：ln x＝2m x＝e2m，所以＝＝e.
14.(10分)已知lo(3x2＋2x－1)＝1，求x的值.
解：3x2＋2x－1＝2x2－1，解得x＝0，或－2，
当x＝0时，2x2－1＝－1，不合要求，舍去，
当x＝－2时，2x2－1＝7，满足要求.
综上：x＝－2.
15.(5分)尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系式为：lg E＝4.8＋1.5M.若甲地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为E1，乙地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E2.则E1大约是E2的( )
A.102.8倍 B.101.8倍
C.103.8倍 D.104.8倍
答案：D
解析：由题设lg E1＝4.8＋1.5×7.8＝16.5，lg E2＝4.8＋1.5×4.6＝11.7，所以E1＝1016.5，E2＝1011.7，故＝＝104.8，则E1＝104.8E2.故选D.
16.(15分)已知log2[lo(log2x)]＝log3[lo(log3y)]＝log5＝0，试比较x，y，z的大小.
解：由log2＝0，
得lo(log2x)＝1，log2x＝，即x＝；
同理y＝，z＝.
因为y＝＝＝，x＝＝＝，
所以y＞x.又x＝＝＝3，z＝＝＝2，
所以x＞z，所以y＞x＞z.
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§1 对数的概念
第四章 对数运算与对数函数
学习目标
1.理解对数的概念.
2.会进行对数式与指数式的互化，培养逻辑推理的核心素养.
3.会求简单的对数值，提升数学运算的核心素养.
任务一 对数的概念
问题导思
新知构建
1.对数的概念
一般地，如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b称为以___为底____的对数，记作___________.其中a叫作对数的______，N叫作______.
2.两种特殊对数
名称 定义 记法
常用对数 以____为底数的对数 _______
自然对数 以______________________为底数的对数 _______
a
N
logaN＝b
底数
真数
10
lg N
无理数e＝2.718 281…
ln N
1.式子logaN中，底数a的范围是什么？
提示：a＞0，且a≠1.
2.对数式logaN是不是loga与N的乘积？
提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数.
微思考
(1)对数log(a＋3)(5－a)中实数a的取值范围是
A.(－∞，5) B.(－3，5)
C.(－3，－2)∪(－2，5) D.(－3，＋∞)
√
典例
1
(2)对数式log2(1－3x)中x的取值范围为__________.
规律方法
对点练1.(1)若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是
A.[2，＋∞) B.(2，3)∪(3，＋∞)
C.(－∞，2) D.(2，＋∞)
√
(2)在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是
A.a＞5或a＜0 B.0＜a＜1或1＜a＜5
C.0＜a＜1 D.1＜a＜5
√
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任务二 对数式与指数式的互化
问题2.现在你能解指数方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了吗？
提示：能.x＝log23；x＝log1.112；x＝log105＝lg 5.
问题导思
对数与指数的关系
新知构建
对数logaN中，底数a能不能是0或者负数？a的值为什么不取1？真数N的取值范围是什么？
提示：不能.在指数式中要求a＞0，且a≠1，所以在对数logaN中a＞0，且a≠1，真数N大于0.
微思考
(链教材P99例1、例2)将下列指数式与对数式互化：
(1)53＝125；
解：由对数的定义，得
53＝125 log5125＝3.
典例
2
(5)lg 1 000＝3.
解：由对数的定义，得
lg 1 000＝3 103＝1 000.
指数式与对数式互化的思路
规律方法
√
√
√
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任务三 对数的基本性质
问题导思
新知构建
N
0
1
典例
3
(3)log28x＝－3；
解：因为log28x＝－3，
所以8x＝2－3＝8－1，
所以x＝－1.
规律方法
对点练3.(1)(多选题)有以下四个结论，其中正确的有
A.lg(lg 10)＝0 B.lg(ln e)＝0
C.若e＝ln x，则x＝e2 D.ln(lg 1)＝0
√
√
lg(lg 10)＝lg 1＝0，lg(ln e)＝lg 1＝0，所以A、B均正确；对于C，若e＝ln x，则x＝ee，故C错误；对于D，lg 1＝0，而ln 0没有意义，故D错误.故选AB.
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任务四 利用对数式和指数式互化关系求值
(双空题)设loga2＝m，loga3＝n(a＞0，且a≠1)，则a2m＋n＝_____，a2m－n＝_______.
典例
4
12
利用指数式与对数式的互化求变量值的策略
1.已知底数与指数，用指数式求幂.
2.已知指数与幂，用指数式求底数.
3.已知底数与幂，利用对数式表示指数.
规律方法
√
√
√
(2)若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为
A.9 B.8
C.7 D.6
√
因为log2(log3x)＝0，所以log3x＝20＝1，所以x＝3，同理可得y＝4，z＝2，所以x＋y＋z＝9.
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课堂小结
任务
再现 1.对数的概念和两种特殊对数：自然对数、常用对数.2.对数式与指数式的互化.3.对数恒等式及对数的基本性质
方法
提炼 转化与化归法
易错
警示 易忽视对数式中底数与真数的范围
随堂评价
1.将23＝8化为对数式，正确的是
A.log23＝8 B.log28＝3
C.log82＝3 D.log32＝8
√
23＝8化为对数式为log28＝3.故选B.
√
0
4.若对数log3a(－2a＋1)有意义，则实数a的取值范围是________________.
返回
课时分层评价
√
把指数式转化为对数式可知x＝ log78.故选C.
√
√
√
由aN＝b logab＝N(a＞0，且a≠1，b＞0)可知，A、B、D正确；对于C，log24＝2 4＝22，故C错误.故选ABD.
√
√
√
√
√
7.若log(a－1)(5－a)有意义，则实数a的取值范围是__________________.
(1，2)∪(2，5)
8.已知log32x＝1，则2x＋4x＝_____.
12
9.(新情境)(双空题)十六、十七世纪，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数，直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N b＝logaN.现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝______，a＋b＝______(用最简结果作答).
8
(4)log5(log2x)＝0；
解：由log5(log2x)＝0，得log2x＝1，
所以x＝21＝2.
√
12.已知b＞0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是
A.d＝ac B.a＝dc
C.c＝ad D.d＝a＋c
√
由已知得5a＝b，10c＝b，所以5a＝10c，因为5d＝10，所以5dc＝10c，所以5dc＝5a，所以a＝dc.故选B.
e
15.(5分)尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系式为：lg E＝4.8＋1.5M.若甲地发生7.8级地震，它所释放出来的能量为E1，乙地发生4.6级地震，它所释放出来的能量为E2.则E1大约是E2的
A.102.8倍 B.101.8倍
C.103.8倍 D.104.8倍
√
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