(共55张PPT)
§1 指数幂的拓展
第三章 指数运算与指数函数
学习目标
1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化，提升数学运算的核心素养.
2.通过对有理数指数幂 (a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0)、实数指数幂 (a＞0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养.
ax
任务一 分数指数幂
问题导思
新知构建
微思考
典例
1
规律方法
典例
1
指数幂的运算，一般用待定系数法，把分数指数幂转化为整数指数幂，利用整数指数幂的运算性质求解指数幂.
规律方法
返回
任务二 无理数指数幂
问题3.我们知道实数是由无理数与有理数构成的，而指数幂可以从整数指数幂拓展到有理数指数幂，还可以拓展到无理数指数幂吗？
提示：可以，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它仍然是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应.
问题导思
新知构建
√
典例
3
√
√
由无理数指数幂的定义，可知B，C，D正确.
规律方法
√
√
√
返回
任务三 根式与分数指数幂的互化
√
典例
4
√
√
规律方法
√
√
返回
课堂小结
任务
再现 1.正分数指数幂和负分数指数幂.2.根式与分数指数幂的互化.3.无理数指数幂和实数指数幂
方法
提炼 定义法、转化法、待定系数法
易错
警示
随堂评价
√
√
√
√
返回
课时分层评价
√
√
√
√
√
√
√
(0，＋∞)
3
√
√
12.若正数x，y满足x3＝8，y4＝81，则x＋y＝
A.1 B.3
C.5 D.7
√
√
15.(5分)(新角度)瑞士数学家伯努利提出了一个重要的不等式：设实数x＞－1，0≤α≤1，则(1＋x)α≤1＋αx，该不等式被称为“伯努利不等式”.当｜x｜比较接近于0时，(1＋x)α≈1＋αx，常被用于估值问题，则方程x15＝1.005的根的近似值为(结果保留四位小数)
A.1.000 3 B.1.000 6
C.1.000 8 D.1.005 0
√
返回§1 指数幂的拓展
学习目标 1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂之间的相互转化，提升数学运算的核心素养. 2.通过对有理数指数幂(a＞0，且a≠1；m，n为整数，且n＞0)、实数指数幂ax(a＞0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，提升数学抽象、逻辑推理的核心素养.
任务一 分数指数幂
问题1.在根式中，当被开方数的指数能被根指数整除时，可以表示为分数指数幂的形式.那么当被开方数的指数不能被根指数整除时，比如 ，，，(a＞0)，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？
提示：可以.＝，＝＝，＝，＝＝.
问题2.类比＝2－1，＝3－2，你能用分数指数幂表示吗？如何表示？
提示：能.＝＝.
1.正分数指数幂
(1)定义：给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝.这就是正分数指数幂.
(2)性质：①当k是正整数时，分数指数幂满足：＝.②＝.
2.负分数指数幂
给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义＝＝.
[微思考] 能否将 ＝－3写成(－27＝－3？
提示：不能.因为在指数幂的概念中，总有a＞0.于是，尽管有＝－3，但不可以写成(－27＝－3的形式.
角度1 分数指数幂的表示
(链教材P77例1)把下列各式中的正数b写成分数指数幂的形式：
(1)b10＝100；(2)b4＝(－3)2；(3)b5n＝π3m(m，n∈N＋)；(4)b－4＝33；(5)b－2n＝π3m(m，n∈N＋).
解：(1)b＝10.
(2)b4＝9，所以b＝.
(3)b＝.
(4)因为b－4＝33＝27，
所以b＝＝＝.
(5)因为b－2n＝π3m，
所以b＝＝ (m，n∈N＋).
分数指数幂是一个实数，且b＝ bn＝am，其中a，b均为正数，m，n∈Z，且m，n互素.
对点练1.把下列各式中的正数b写成分数指数幂的形式：
(1)b4＝35；(2)b3＝(－2)6；(3)b－3＝32；(4)b－3＝104m(m∈N＋).
解：(1)b＝.
(2)b3＝(－2)6＝26，所以b＝6.
(3)因为b－3＝32＝25，所以b＝.
(4)b＝1＝＝.
角度2 分数指数幂的运算
(链教材P77例2)计算：
(1)6；(2)；(3)；(4)1.
解：(1)设b＝6，由定义，得b2＝64，
所以b＝8(b＞0)，所以6＝8.
(2)设b＝，由定义，得b3＝＝，
所以b＝，所以＝.
(3)由负分数指数幂的定义，得＝，
设b＝，由定义，得b3＝＝＝，
所以b＝＝，所以＝＝9.
(4)由负分数指数幂的定义，得1＝，
设b＝1，由定义，得b2＝163＝(42)3＝(43)2，
所以b＝43＝64(b＞0)，所以1＝.
指数幂的运算，一般用待定系数法，把分数指数幂转化为整数指数幂，利用整数指数幂的运算性质求解指数幂.
对点练2.计算：(1)0.12；(2).
解：(1)由负分数指数幂的定义，
得0.12＝，
设b＝0.12，由定义，得b3＝0.125＝，
所以b＝，所以0.12＝2.
(2)由负分数指数幂的定义，得＝，
设b＝，由定义，得b2＝＝，
所以b＝，所以＝.
任务二 无理数指数幂
问题3.我们知道实数是由无理数与有理数构成的，而指数幂可以从整数指数幂拓展到有理数指数幂，还可以拓展到无理数指数幂吗？
提示：可以，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它仍然是一个确定的实数，在数轴上有唯一的点与它对应.
无理数指数幂
一般地，给定正数a，对于任意的正无理数α，可以用类似的方法定义一个实数aα.规定a－α＝.
(1)(多选题)下列各式是无理数指数幂的是( )
A. B.
C.2π D.
(2)1＝ .
答案：(1)BCD (2)
解析：(1)由无理数指数幂的定义，可知B，C，D正确.
(2)1＝.
无理数指数幂的形式aα(a＞0，α是正无理数)，并且a－α＝.
对点练3.(多选题)下列各式正确的是( )
A.＝1 B.1＝(
C.π－π＝ D.＝4
答案：ACD
解析：对于A，＝＝1，故A正确；对于B，1＝，(＝(1＝1，故B错误；对于C，π－π＝，故C正确；对于D，设b＝，所以b3＝82＝43，所以b＝4，所以＝4，故D正确.故选ACD.
任务三 根式与分数指数幂的互化
(多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.＝
B.＝－
C.＝
D.＝
答案：ACD
解析：对于A，设b＝，则b3＝a·，所以＝，则＝a，所以b6＝a3，即b＝，故A正确； 对于B，＝＝，故B错误；对于C，＝·＝，故C正确；对于D，＝＝，故D正确.故选ACD.
1.根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数化为分数指数幂的分母；
(2)被开方数(式)的指数化为分数指数幂的分子.
2.掌握两个公式
(1)()n＝a(n∈N＋，且n＞1)；
(2)n为奇数，＝a；n为偶数，＝｜a｜＝
对点练4.(1)＝( )
A.0 B.
C.1 D.2
(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
A.－＝(－x B.＝(y＜0)
C.＝(x＞0) D.[＝
答案：(1)D (2)C
解析：(1)＝2.故选D.
(2)对于A，由－＝－(x≥0)，(－x＝(x≤0)，故该项等号两侧不相等，故A错误；对于B，由＝－(y＜0)，故B错误；对于C，由指数幂的运算性质，可得＝(x＞0)，故C正确；对于D，当x＞0时，[＝[＝，当x＜0时，[＝(－x，显然当x＜0时，该项的等量关系不成立，故D错误.故选C.
任务 再现 1.正分数指数幂和负分数指数幂.2.根式与分数指数幂的互化.3.无理数指数幂和实数指数幂
方法 提炼 定义法、转化法、待定系数法
易错 警示 1.对于，当n为偶数时，a≥0.2.0的任意负实数指数幂没有意义
1.可化为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：＝＝.故选C.
2.已知x7＝8，则x等于( )
A.2 B.
C.－ D.±
答案：B
解析：因为7为奇数，8的7次方根只有一个，为.故选B.
3.下列各式正确的是( )
A.＝
B.＝3－π
C.＝
D.()n＝a
答案：D
解析：＝－2，＝＝＝2，故A错误；＝＝π－3，故B错误；因为n＞1，n∈N*，所以当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝，故C错误；()n＝a(n＞1，n∈N*)成立，故D正确.故选D.
4.下列式子的互化正确的是( )
A.＝(y＜0)
B.＝－(x≠0)
C.＝(x＞0)
D.－＝(－x(x＞0)
答案：C
解析：根据分数指数幂的运算可知，＝｜y＝－(y＜0)，＝(x≠0)，＝(x＞0)，－＝－(x＞0)，故A，B，D错误，C正确.故选C.
课时分层评价23 指数幂的拓展
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.将写成根式，正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：＝.故选D.
2.若x＜3，则＝( )
A.3－x B.3＋x
C.－3－x D.x－3
答案：A
解析：因为x＜3，所以＝＝3－x.故选A.
3.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )
A.－＝(－x
B.＝－
C.＝(xy＞0)
D.＝
答案：C
解析：对于A，－＝－ (x≥0)，因此不正确；对于B，＝(x≠0)，因此不正确；对于C，＝＝(xy＞0)，因此正确；对于D，＝｜y，因此不正确.故选C.
4.(多选题)下列各等式中成立的是( )
A.＝ B.＝
C.＝± D.＝
答案：BD
解析：＝，＝，＝，＝，则A，C错误，B，D正确.故选BD.
5.如果x＝(2y (y＞0)，那么y＝( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由x＝(2y，则xb＝(2y)－2＝，y2＝，得y＝.故选D.
6.下列各式中成立的是( )
A.＝n7 B.＝
C.＝(x＋y D.＝
答案：D
解析：对于A，＝n7m－7，故A错误；对于B，＝＝，故B错误；对于C，当x＝1，y＝2时，＝＝＝，(x＋y＝，所以≠(x＋y，故C错误；对于D，＝＝＝＝＝，故D正确.故选D.
7.函数y＝的定义域为 .
答案：(0，＋∞)
解析：因为y＝＝有意义，所以x∈(0，＋∞).
8.化简：(x＞0)＝ .
答案：3xy
解析：由二次根式的定义可知：18x2y3≥0，因为x＞0，所以y≥0，因此＝×＝3xy.
9.设a是实数，若对任意负数x，代数式｜x｜＋2·＋a·恒为定值，则a的值为 .
答案：3
解析：由x＜0，得｜x｜＋2·＋a·＝｜x｜＋2｜x｜＋ax＝－3x＋ax＝(a－3)x，因为对任意负数x，代数式｜x｜＋2·＋a·恒为定值，则有a－3＝0，解得a＝3，所以a的值为3.
10.(10分)计算下列各式的值：
(1)12；
(2)；
(3)10 00；
(4).
解：(1)设b＝12，由定义，得b2＝121，所以b＝11(b＞0)，所以12＝11.
(2)由负分数指数幂的定义，得＝，
设b＝，由定义，得b2＝，所以b＝(b＞0)，所以＝.
(3)由负分数指数幂的定义，
得10 00＝，
设b＝10 00，由定义，得b4＝10 0003＝(104)3＝(103)4，所以b＝103(b＞0)，
所以10 00＝＝.
(4)由负分数指数幂的定义，
得＝，
设b＝，由定义，得b3＝＝＝，所以b＝(b＞0)，所以＝＝.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(多选题)下列运算正确的是( )
A.＝－8 B.＝－10
C.＝π－3 D.＝a－b
答案：AC
解析：对于A，＝－8，故A正确；对于B，＝＝10，故B错误；对于C，＝＝π－3，故C正确；对于D，当a≥b时，＝＝a－b，当a＜b时，＝＝b－a，故D错误.故选AC.
12.若正数x，y满足x3＝8，y4＝81，则x＋y＝( )
A.1 B.3
C.5 D.7
答案：C
解析：因为正数x，y满足x3＝8，y4＝81，所以x＝＝2，y＝＝3，所以x＋y＝2＋3＝5.故选C.
13.(新情境)2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目前，祝融号火星车在火星上留下1 900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为9∶5，则地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设地球的公转周期为5T，则火星的公转周期为9T.设地球、火星运行轨道的半长轴分别为m，n，则＝，于是＝.故选A.
14.(10分)根据已知条件求下列各式的值：
(1)已知x＝，y＝，求－；
(2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求.
解：(1)－＝－＝.
将x＝，y＝代入上式得，
原式＝＝＝－24＝－8.
(2)因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，
所以
因为a＞b＞0，所以＞.
又因为＝＝＝＝，所以＝＝.
15.(5分)(新角度)瑞士数学家伯努利提出了一个重要的不等式：设实数x＞－1，0≤α≤1，则(1＋x)α≤1＋αx，该不等式被称为“伯努利不等式”.当｜x｜比较接近于0时，(1＋x)α≈1＋αx，常被用于估值问题，则方程x15＝1.005的根的近似值为(结果保留四位小数)( )
A.1.000 3 B.1.000 6
C.1.000 8 D.1.005 0
答案：A
解析：方程x15＝1.005的根为x＝(1.005＝(1＋0.005≈1＋0.005×≈1.000 3.故选A.
16.(15分)若a2－b2＞0，试化简a－b.
解：原式＝a－b
＝－，
因为a2－b2＞0，
所以a＋b＞0且a－b＞0，或a＋b＜0且a－b＜0.
当a＋b＞0且a－b＞0时，
原式＝＝
＝.
当a＋b＜0且a－b＜0时，
原式＝＝－.
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