(共51张PPT)
§2 对数的运算
第四章 对数运算与对数函数
学习目标
1.理解对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算，培养数学运算的核心素养.
2.能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数，培养数学运算的核心素养.
3.了解对数在简化运算中的作用，并能利用对数解决实际应用问题，培养数学建模的核心素养.
任务一 对数的运算性质
问题1.将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？
提示：由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN).
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0).
问题导思
新知构建
logaM＋logaN
logaM－logaN
blogaM
(1)简记为：“积对和，商对差，遇到指数就搬家”.
(2)公式成立的条件是M ＞0，N＞0，而不是M·N＞0，比如式子log2 [(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N＋.
微提醒
典例
1
(2)log2(32×42)；
解：原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.
对数式化简与求值的基本原则和方法
规律方法
基本
原则 1.对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理.
2.选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
常用
方法 1.“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式 逆用.
2.“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式正用.
3.“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简.
对点练1.(1)求值：2log510－log54＝
A.1 B.log516
C.2 D.log596
2log510－log54＝log5100－log54＝log525＝2.故选C.
√
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返回
任务二 对数的换底公式
问题导思
一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝_______.这个结论称为对数的__________.
新知构建
换底公式
微思考
典例
2
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
规律方法
对点练2.(1)化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为
A.1 B.2
C.4 D.6
√
√
√
返回
任务三 对数运算的综合应用
典例
3
解对数综合应用问题的方法
规律方法
化统一 所求为对数式，条件转为对数式
选底数 针对具体问题，选择恰当的底数
会结合 学会换底公式与对数运算法则结合使用
√
√
返回
课堂小结
任务
再现 1.对数的运算性质.2.换底公式以及换底公式的应用
方法
提炼 转化法、性质法
易错
警示 对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件以及换底公式成立的条件
随堂评价
1.计算：log123＋log124等于
A.1 B.2
C.3 D.4
√
log123＋log124＝log12(3×4)＝log1212＝1.故选A.
2.已知log2m－log2n＝1，则
A.mn＝2 B.m－n＝2
C.2m＝n D.m＝2n
√
√
√
√
3a＋b－1
返回
课时分层评价
√
√
由已知得ln a＋ln b＝0，即ln(ab)＝0，所以ab＝1.故选C.
√
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√
7.log64＋log69＝______.
log64＋log69＝log6(4×9)＝log636＝2.
2
8.求值：(lg 2)2＋lg 5×lg 20＋lg 0.01＝______.
－1
2
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－1
√
√
√
16.(开放题)已知a，b是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，若a，b满足lg(a＋b)＝lg a＋lg b，则一组符合题意的p，q的值分别为__________________
______________________________________________.
p＝－5，q＝5
(答案不唯一，需满足p＋q＝0，q＞0，p2－4q≥0)
返回§2 对数的运算
学习目标 1.理解对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算，培养数学运算的核心素养. 2.能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数，培养数学运算的核心素养. 3.了解对数在简化运算中的作用，并能利用对数解决实际应用问题，培养数学建模的核心素养.
任务一 对数的运算性质
问题1.将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，结合指数运算性质MN＝apaq＝ap＋q能否将其化为对数式？它们之间有何联系(用一个等式表示)？
提示：由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN).
从而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0).
问题2.结合问题1，若＝＝，Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能得到什么结论？
提示：将指数式＝化为对数式，得loga＝p－q＝logaM－logaN(a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0).
由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(n∈R).
若a＞0，且a≠1，M ＞0，N＞0，b∈R，则有：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMb＝blogaM.
[微提醒] (1)简记为：“积对和，商对差，遇到指数就搬家”.
(2)公式成立的条件是M ＞0，N＞0，而不是M·N＞0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义.
(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N＋.
(链教材P102例1、例2)计算：
(1)log5；(2)log2(32×42)；(3)log535－2log5 ＋log57－log5.
解：(1)原式＝ log5625＝ log554＝.
(2)原式＝log232＋log242＝5＋4＝9.
(3)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－(log59－log55)＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
对数式化简与求值的基本原则和方法
基本 原则 1.对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理. 2.选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
常用 方法 1.“收”：将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数，即公式逆用. 2.“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差)，即公式正用. 3.“凑”：将同底数的对数凑成特殊值，如利用lg 2＋lg 5＝1，进行计算或化简.
对点练1.(1)求值：2log510－log54＝( )
A.1 B.log516
C.2 D.log596
(2)已知log83＝a，log87＝b，则log8的值为( )
A.a－b2 B.a－2b
C. D.
答案：(1)C (2)B
解析：(1)2log510－log54＝log5100－log54＝log525＝2.故选C.
(2)log8＝log83－log872＝log83－2log87＝a－2b.故选B.
任务二 对数的换底公式
问题3.根据对数的定义，你能用logca，logcb表示logab(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)吗？
提示：能.设logab＝x，则ax＝b，根据等式性质，两边同时取以c为底的对数仍相等，得logcax＝logcb.所以xlogca＝logcb，所以x＝，即logab＝.
一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝.这个结论称为对数的换底公式.
[微思考] 结合对数的换底公式探究logba与logab，lobn与logab之间有什么关系.
提示：logba＝，lobn＝logab.
(链教材P105例3、例4)计算：
(1)log29·log34；
(2)(log43＋log83)·(log32＋log92)；
(3)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23.
解：(1)原式＝·＝·＝4.
(2)原式＝·＝·＝×＝.
(3)原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2－2log32×log23＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
对点练2.(1)化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为( )
A.1 B.2
C.4 D.6
(2)(多选题)若实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系正确的有( )
A.＋＝1 B.＋＝lg 20
C.＋＝2 D.＋＝
答案：(1)B (2)AB
解析：(1)原式＝(2×log23＋log23)(log32＋log32)＝log23×log32＝2.故选B.
(2)因为2a＝5b＝10，则a＝log210，b＝log510，可得＝＝lg 2，＝＝lg 5.对于A，＋＝lg 2＋lg 5＝1，故A正确；对于B，＋＝2lg 2＋lg 5＝lg 4＋lg 5＝lg 20，故B正确；对于C、D，＋＝lg 2＋2lg 5＝lg 2＋lg 25＝lg 50，故C，D不正确.故选AB.
任务三 对数运算的综合应用
已知log189＝a，18b＝5，求log3645.(用a，b表示)
解：因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝＝＝
＝＝＝.
[变式探究]
1.(变设问)若本例条件不变，如何求log945(用a，b表示)？
解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log945＝log99＋log95＝1＋＝1＋.
2.(变条件)若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？
解：因为9b＝5，所以log95＝b.
所以log3645＝＝＝＝.
解对数综合应用问题的方法
化统一 所求为对数式，条件转为对数式
选底数 针对具体问题，选择恰当的底数
会结合 学会换底公式与对数运算法则结合使用
对点练3.(1)log23＝a，log27＝b，用a，b表示log4256＝( )
A. B.
C. D.
(2)若4a＝3b＝24，则＋＝( )
A.2 B.log24486
C. D.log24566
答案：(1)B (2)A
解析：(1)由log23＝a，log27＝b，则log4256＝＝＝.故选B.
(2)由4a＝3b＝24，得a＝log424，b＝log324，所以＋＝＋＝3log244＋2log243＝log2443＋log2432＝log24242＝2.故选A.
任务 再现 1.对数的运算性质.2.换底公式以及换底公式的应用
方法 提炼 转化法、性质法
易错 警示 对数的运算性质的结构形式及公式使用的条件以及换底公式成立的条件
1.计算：log123＋log124等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：A
解析：log123＋log124＝log12(3×4)＝log1212＝1.故选A.
2.已知log2m－log2n＝1，则( )
A.mn＝2 B.m－n＝2
C.2m＝n D.m＝2n
答案：D
解析：根据题意，log2m－log2n＝log2＝1，所以＝2，m＝2n.故选D.
3.(多选题)下列各式中正确的是( )
A.10－2lg 3＝ B.log168＝
C.log34·log427＝2 D.＝
答案：ABD
解析：10－2lg 3＝＝，故A正确；log168＝lo23＝log22＝，故B正确；log34·log427＝log34·＝log327＝log333＝3log33＝3，故C错误；＝＝＝，故D正确.故选ABD.
4.已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg＝ .(用a，b表示)
答案：3a＋b－1
解析：易知lg＝lg 12－lg 5＝lg－＝lg 3＋2lg 2－1＋lg 2＝3a＋b－1.
课时分层评价28 对数的运算
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.若lg 2＝m，则lg 5等于( )
A.m B.1－m
C. D.
答案：B
解析：lg 5＝lg＝lg 10－lg 2＝1－m.故选B.
2.已知ln a(a＞0)与ln b(b＞0)互为相反数，则( )
A.a＋b＝0 B.a－b＝0
C.ab＝1 D.＝1
答案：C
解析：由已知得ln a＋ln b＝0，即ln(ab)＝0，所以ab＝1.故选C.
3.若2x＝6，y＝log4，则x＋2y的值是( )
A.3 B.log23
C.8 D.－3
答案：A
解析：由2x＝6，得x＝log26，而y＝log4，所以x＋2y＝log26＋2log4＝log26＋＝log26＋log2＝log28＝3.故选A.
4.0.25－＋log23·log34的值为( )
A. B.
C.1 D.
答案：D
解析：因为0.25－＋log23·log34＝－＋log23·＝－＋log24＝－＋2＝.故选D.
5.已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝( )
A. B.
C.＋ D.
答案：A
解析：由b＝log23，得＝log32，则lg 3＝＝＝＝.故选A.
6.(多选题)若lg a，lg b是方程2x2＋6x－1＝0的两个根，则下列等式正确的是( )
A.lg a＋lg b＝－3 B.lg a·lg b＝－3
C.lg(ab)＝－ D.＝11
答案：AD
解析：由根与系数的关系，得lg a＋lg b＝－3，lg a·lg b＝－，lg(ab)＝lg a＋lg b＝－3，＝＝－4lg a·lg b＝9－4×＝11.故选AD.
7.log64＋log69＝ .
答案：2
解析：log64＋log69＝log6(4×9)＝log636＝2.
8.求值：(lg 2)2＋lg 5×lg 20＋lg 0.01＝ .
答案：－1
解析：由题意可得(lg 2)2＋lg 5×lg 20＋lg 0.01＝＋lg 5×－2＝＋lg 5＋lg 5×lg 2－2＝lg 2＋lg 5－2＝lg 2＋lg 5－2＝1－2＝－1.
9.(新情境)十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：对数源出于指数，并发现了对数与指数的关系，即当a＞0，且a≠1时，ab＝N b＝logaN.已知4x＝6，9y＝6，则＋＝ .
答案：2
解析：由题意知，当a＞0，且a≠1时，ab＝N b＝logaN，所以4x＝6 x＝log46，9y＝6 y＝log96，所以＋＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝log636＝2.
10.(15分)计算：
(1)＋log3－；
(2)lg 25＋lg 8－log227×log32.
解：(1)原式＝＋log3－5＝＋－5
＝＋－5＝－3.
(2)原式＝lg 25＋2lg 2－×＝lg 100－3＝2－3＝－1.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(多选题)已知2log3＋log3b＝0，则下列等式一定正确的是( )
A.＝2b B.a·eln a＝b
C.b＝2a D.log2a＝log8ab
答案：BD
解析：由2log3＋log3b＝0，得a＞0，b＞0，且log3a－2＋log3b＝0，即log3a－2b＝0，所以a－2b＝1，b＝a2，而此时b＝2a不总是成立，则C错误；由于＝2b，即22a＝2b，所以b＝2a，结合以上分析可知A错误；由于a·eln a＝b，即为a·a＝a2＝b，故B正确；又log8ab＝log8a3＝loa3＝log2a，故D正确.故选BD.
12. (新情境)中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7 738可用算筹表示为.
1－9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为( )
答案：A
解析：因为＝35＝243，由题中所给表示数码知243可用A选项中的算筹表示.故选A.
13.已知2x＝24y＝3，则的值为 .
答案：－1
解析：因为2x＝24y＝3，所以x＝log23，y＝log243，所以＝log32，＝log324，所以＝－＝3log32－log324＝log38－log324＝log3＝－1.
14.(15分)已知logax＋3logxa－logxy＝3(a＞1)，若设x＝at，试用a，t表示y.
解：由换底公式，得logax＋－＝3(a＞1)，所以logay＝(logax)2－3logax＋3.
当x＝at时，logax＝logaat＝t(t≠0)，
所以logay＝t2－3t＋3，所以y＝(t≠0).
(15、16题，每小题5分，共10分)
15.(多选题)下列命题中正确的是( )
A.已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝
B.2(lg 2)2＋3lg 2lg 5＋(lg 5)2－lg 2的值为1
C.若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为
D.若2m＝3n＝k且＋＝2，则k＝6
答案：ABC
解析：因为2a＝5，则a＝log25，且b＝log83＝log23，则a－3b＝log25－log23＝log2，则4a－3b＝22(a－3b)＝＝＝，故A正确；2(lg 2)2＋3lg 2lg 5＋(lg 5)2－lg 2＝(2lg 2＋lg 5)(lg 2＋lg 5)－lg 2＝2lg 2＋lg 5－lg 2＝lg 2＋lg 5＝1，故B正确；由xlog34＝1可得x＝＝log43，则4x＋4－x＝＋＝3＋＝，故C正确；因为2m＝3n＝k，则m＝log2k，n＝log3k，则＝logk2，＝logk3，所以＋＝logk2＋logk3＝logk6＝2，所以k＝，故D错误.故选ABC.
16.(开放题)已知a，b是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，若a，b满足lg(a＋b)＝lg a＋lg b，则一组符合题意的p，q的值分别为 .
答案：p＝－5，q＝5(答案不唯一，需满足p＋q＝0，q＞0，p2－4q≥0)
解析：由题意得又lg(a＋b)＝lg a＋lg b＝lg(ab)，即a＋b＝ab，即－p＝q＞0，令p＝－5，则q＝5，所以一组符合题意的值为p＝－5，q＝5.答案不唯一.
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