§3 对数函数
3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质
学习目标 1.通过具体实例，了解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系，培养数学抽象的核心素养. 2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数. 3.掌握对数函数y＝log2x的图象和性质，提升逻辑推理的核心素养.
任务一 对数函数的概念
问题1.将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作关于y的函数？
提示：x＝log2y；任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的实数x与之对应；x能看作关于y的函数.
1.对数函数的概念
一般将函数y＝logax(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中x为自变量，a为底数.
2.对数函数的基本性质
(1)定义域是(0，＋∞)；(2)图象过定点(1，0).
3.特殊的对数函数
常用对 数函数 以10为底的对数函数y＝lg x
自然对 数函数 以无理数e为底的对数函数y＝ln x
[微思考] 对数函数的解析式有何特征？
提示：①对数函数的系数为1；②自变量x在真数的位置上，且真数只能是一个x；③底数a的取值范围是a＞0，且a≠1.
(1)(多选题)下列函数表达式中，是对数函数的有 ( )
A.y＝logπx B.y＝lox
C.y＝log4x2 D.y＝log2(x＋1)
(2)若函数y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x为自变量的对数函数，则实数a＝ .
答案：(1)AB (2)3
解析：(1)根据对数函数的定义知，y＝logπx，y＝lox是对数函数，故A、B正确；而y＝log4x2，y＝log2(x＋1)不符合对数函数的定义，故C、D错误.故选AB.
(2)因为函数y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x为自变量的对数函数，所以解得a＝3.
判断一个函数是对数函数的依据
对点练1.(1)已知对数函数的图象过点M(9，－2)，则此对数函数的解析式为( )
A.y＝log2x B.y＝log3x
C.y＝lox D.y＝lox
(2)(多选题)下列函数中为对数函数的是( )
A.y＝lo(－x)
B.y＝loga
C.y＝ln x
D.y＝lox(a是常数)
答案：(1)C (2)CD
解析：(1)设对数函数为y＝logax，M代入可得－2＝loga9，所以a－2＝9，＝9，a＝，则对数函数的解析式为y＝lox.故选C.
(2)对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，y＝loga，不符合对数函数的定义，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝＋＞1，真数是x，故D是对数函数.故选CD.
任务二 反函数
问题2.在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察这两个函数的图象间有怎样的关系.
提示：y＝2x与y＝log2x的图象如图，y＝2x与y＝log2x的图象关于y＝x对称.
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)；
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数是指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1).
即它们互为反函数.
[微思考] y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，这两个函数的定义域和值域有什么关系呢？
提示：y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域和值域互换.
(链教材P111例2、例3)写出下列函数的反函数：
(1)y＝10x；(2)y＝；(3)y＝log2x；(4)y＝lox.
解：(1)因为指数函数y＝10x的底数是10，所以它的反函数是对数函数y＝lg x.
(2)因为指数函数y＝，所以它的反函数是对数函数y＝lox.
(3)因为对数函数y＝log2x的底数是2，所以它的反函数是指数函数y＝2x.
(4)因为对数函数y＝lox的底数是，所以它的反函数是指数函数y＝.
反函数的性质特征
1.同底的指数函数、对数函数互为反函数.
2.反函数的性质
(1)对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
(2)坐标关系：若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图象上，反之若点(b，a)在反函数图象上，则点(a，b)必在原函数图象上.
对点练2.(1)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且满足f(2)＝1，则f(x)＝( )
A.log2x B.
C.log0.5x D.2x
(2)已知函数y1＝f(x)的图象与函数y＝的图象关于直线y＝x对称，则当x＝3时，y1＝ .
答案：(1)A (2)－1
解析：(1)函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝logax，即f(x)＝logax，又f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2，则f(x)＝log2x.故选A.
(2)因为函数y1＝f(x)的图象与函数y＝的图象关于直线y＝x对称，即互为反函数，则y1＝lox，当x＝3时，y1＝lo3＝－1.
任务三 对数函数y＝log2x的图象和性质
问题3.请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一平面直角坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝lox的函数图象.
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 …
y＝log2x … …
y＝lox … …
提示：①－2 －1 0 1 2 3
2 1 0 －1 －2 －3
②描点、连线
问题4.观察你作出的y＝log2x的图象，图象有什么特征呢？
提示：(1)图象位于y轴右侧；(2)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当x→0时，y→－∞.
对数函数y＝log2x与y＝lox的图象与性质
函数 y＝log2x y＝lox
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在定义域(0，＋∞)上是增函数 在定义域(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数 值特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0) 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)
当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]
[微提醒] (1)函数图象只出现在y轴右侧，注意图象永远不和y轴相交.(2)y＝log2x和y＝lox的图象关于x轴对称.
(1)(链教材P112例4)比较log2(a2＋a＋1)与lo的大小；
(2)(链教材P113例5)求使不等式lo(x＋1)＞lo(3－x2)成立的实数x的集合.
解：(1)lo＝－log2＝log2，
又因为a2＋a＋1＝＋≥，
所以log2(a2＋a＋1)≥log2，
所以log2(a2＋a＋1)≥lo.
(2)原不等式可化为log2(x＋1)＜log2(3－x2)，因为函数y＝log2x(x＞0)为单调增函数，
故原不等式可化为解得－1＜x＜1，
故使不等式成立的x的集合为{x｜－1＜x＜1}.
函数y＝log2x单调性的应用
函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以比较对数值的大小，解不等式，求函数值域.
对点练3.(1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则( )
A.a＝b＜c B.a＜b＜c
C.a＝c＞b D.a＞c＞b
(2)不等式log2(2－x)≤log2(3x＋10)的解集为 .
答案：(1)C (2)[－2，2)
解析：(1)因为b＝log46＝log2，c＝log49＝lo32＝log23，所以a＝c；又因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，又＜3，所以log2＜log23，所以a＝c＞b.故选C.
(2)由log2(2－x)≤log2(3x＋10)可得0＜2－x≤3x＋10，解得－2≤x＜2，故答案为：[－2，2).
任务四 函数y＝log2x性质的综合应用
已知函数f(x)＝2－log2x，x∈[1，4].
(1)求函数f(x)的值域；
(2)设g(x)＝[f(x)]2－f(x2)，求g(x)的最值及相应的x的值.
解：(1)因为f(x)＝2－log2x在[1，4]上是减函数，
又f(1)＝2－log21＝2，f(4)＝2－log24＝2－2＝0，
所以函数f(x)的值域是[0，2].
(2)因为g(x)＝[f(x)]2－f(x2)＝4－4log2x＋(log2x)2－(2－log2x2)
＝(log2x)2－2log2x＋2＝(log2x－1)2＋1.
又函数g(x)的定义域满足得1≤x≤2，所以g(x)的定义域是[1，2]，
所以0≤log2x≤1.所以当log2x＝0，即x＝1时，g(x)有最大值g(1)＝2；
当log2x＝1，即x＝2时，g(x)有最小值g(2)＝1.
解答与对数函数y＝log2x有关的复合函数最值问题时的关注点
1.针对函数的解析式合理变形化简，并注意复合函数的定义域.
2.分清楚对数函数的底数，根据底数的大小确定其单调性.
3.注意换元法、整体思想等在解题中的运用.
对点练4.根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题.
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值.
解：函数y＝log2x的图象如图所示.
(1)因为y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，f(a)＞f(2)，即log2a＞log22，解得a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
(2)因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27，
所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23.
所以函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为3log23.
任务 再现 1.对数函数以及反函数的概念.2.对数函数y＝log2x的图象与性质
方法 提炼 待定系数法、数形结合法
易错 警示 忽视对数函数中隐含的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1
1.(多选题)下列函数为对数函数的是( )
A.f(x)＝log(m－1)x(m＞1，且m≠2)
B.f(x)＝lg x3
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝ln x＋e
答案：AC
解析：形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数为对数函数，对于A，由m＞1，且m≠2，可知m－1＞0，且m－1≠1，故A符合题意；对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意.故选AC.
2.f(x)＝log2x的反函数是( )
A.y＝ax B.y＝2x
C.y＝logx2 D.y＝4x
答案：B
解析：根据指数函数与对数函数的关系，可得函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x.故选B.
3.设a＝3－0.2，b＝log20.2，c＝log23，则( )
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
答案：D
解析：因为0＜a＝3－0.2＜30＝1，b＝log20.2＜log21＝0，c＝log23＞log22＝1，所以c＞a＞b.故选D.
4.若log2(x＋1)≤0，则实数x的取值范围是 .
答案：(－1，0]
解析：log2(x＋1)≤0 0＜x＋1≤1，解得－1＜x≤0，故实数x的取值范围为(－1，0].
课时分层评价29 对数函数的概念 对数函数y＝log2x的图象和性质
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.若函数f(x)＝logax是对数函数，则a的值是( )
A.1或2 B.1
C.2 D.a＞0且a≠1
答案：C
解析：因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，所以a2－3a＋3＝1，a＞0且a≠1，解得a＝1或a＝2，所以a＝2.故选C.
2.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( )
A.y＝log2x
B.y＝2log4x
C.y＝log2x，或y＝2log4x
D.不确定
答案：A
解析：设函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，依题可知，2＝loga4，解得a＝2.故选A.
3.若对数函数f(x)的图象经过点(4，－2)，则它的反函数g(x)的解析式为( )
A.g(x)＝2x B.g(x)＝
C.g(x)＝4x D.g(x)＝x2
答案：B
解析：设f(x)＝logax，函数图象过点(4，－2)，即f(4)＝loga4＝－2，即a＝，f(x)＝lox，它的反函数g(x)的解析式为g(x)＝.故选B.
4.设P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，则( )
A.R＜Q＜P B.P＜R＜Q
C.Q＜R＜P D.R＜P＜Q
答案：C
解析：因为P＝2log23＝log232＝log29＞log28＝3，Q＝log23＜log24＝2，R＝log25＜log28＝3，R＝log25＞log24＝2，所以Q＜R＜P.故选C.
5.方程lo(x2－9)＝lo(4x－4)的解为( )
A.x＝1或x＝5 B.x＝－1
C.x＝1 D.x＝5
答案：D
解析：依题意得解得x＝5.故选D.
6.若点P(16，2)，Q(t，log23)都在同一个对数函数的图象上，则t等于( )
A.3 B.6
C.9 D.12
答案：C
解析：设对数函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，代入点P(16，2)可得loga16＝2，则a2＝16，解得a＝4，所以y＝log4x，代入点Q(t，log23)可得log4t＝log23，则log2t＝log23，可得log2t＝2log23＝log29，所以t＝9.故选C.
7.设y＝logax(a＞0，且a≠1)，若图象经过和，则k＝ .
答案：－
解析：因为
8.函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a＞0)上最大值与最小值之差为 .
答案：1
解析：因为f(x)＝log2x在区间[a，2a]上单调递增，所以f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝log22＝1.
9.(开放题)已知集合M＝{x｜log2(x－a)＜1}，若2 M，写出一个满足题意的实数a的值为 .
答案：2(本题答案不唯一，只要所写数值满足a∈(－∞，0]∪[2，＋∞)即可)
解析：由log2(x－a)＜1得0＜x－a＜2，即a＜x＜a＋2，所以M＝(a，a＋2)，因为2 M，所以a≥2或a＋2≤2，得a∈(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以一个满足题意的实数a的值为2(答案不唯一).
10.(10分)已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x).
(1)若函数f(x)的定义域为[3，63]，求函数f(x)的最值；
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围.
解：(1)因为y＝log2x是其定义域上的增函数，
所以函数f(x)＝log2(x＋1)在[3，63]上单调递增，
所以f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)因为f(x)－g(x)＞0，即log2(1＋x)＞log2(1－x)，所以1＋x＞1－x＞0，解得0＜x＜1.
即x的取值范围是(0，1).
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.(多选题)若函数f(x)＝lox，则下列说法正确的是( )
A.函数定义域为R
B.0＜x＜1时，f(x)＞0
C.f(x)＞1的解集为
D.f＝0
答案：BD
解析：由题意知，f(x)＝lox，对于A，函数定义域为(0，＋∞)，故A错误；对于B，f(x)＝lox在(0，＋∞)上单调递减，当0＜x＜1时，f(x)＝lox＞lo1＝0，故B正确；对于C，f(x)＝lox在(0，＋∞)上单调递减，f(x)＞1，即lox＞lo，解得x∈，故C错误；对于D，f＝f(1)＝lo1＝0，故D正确.故选BD.
12.函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝log2x图象交点个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：C
解析：在同一个平面直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图，由图象可知f(x)与g(x)的交点个数是3.故选C.
13.(开放题)写出满足条件“函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一个函数f(x)＝ .
答案：log2x(答案不唯一)
解析：f(xy)＝f(x)＋f(y)是对数函数模型，f(x)＝log2x满足条件.(答案不唯一)
14.(10分)已知函数f(x)＝logax＋b(a＞0，且a≠1)的图象经过点(2，0)和(16，3).
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y＝[f(x)]2－f(x)，求y的最小值.
解：(1)由题意得
所以f(x)＝log2x－1.
(2)y＝[f(x)]2－f(x)＝(log2x－1)2－log2x＋1＝(log2x)2－3log2x＋2.
令log2x＝t，则y＝t2－3t＋2＝－，
故当t＝，即log2x＝，x＝2时，ymin＝－，
所以y的最小值为－.
15.(5分)(多选题)已知a，b∈R，且满足＜＜1，则( )
A.log2b＞log2a B.log2a＞log2b
C.log2a2＞log2b2 D.log2b2＞log2a2
答案：BC
解析：由题设知a＞b＞0，故B正确，A错误，且a2＞b2＞0，所以log2a2＞log2b2，故C正确，D错误.故选BC.
16.(15分)已知函数f(x)＝.
(1)画出函数y＝f(x)的图象；
(2)写出函数y＝f(x)的单调区间；
(3)当x∈时，函数y＝f(x)的值域为[0，1]，求实数m的取值范围.
解：(1)先作出y＝lox的图象，再把y＝lox的图象在x轴下方的部分往上翻折，得到f(x)＝的图象，如图.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由图可知，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).
(3)由f(x)＝的图象可知f＝f(2)＝1，f(1)＝0，
由题意结合图象知，1≤m≤2.
故实数m的取值范围是[1，2].
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3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质
第四章 §3 对数函数
学习目标
1.通过具体实例，了解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系，培养数学抽象的核心素养.
2.了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数.
3.掌握对数函数y＝log2x的图象和性质，提升逻辑推理的核心素养.
任务一 对数函数的概念
问题1.将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间(0，＋∞)内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？x能否看作关于y的函数？
提示：x＝log2y；任意y∈(0，＋∞)，都有唯一的实数x与之对应；x能看作关于y的函数.
问题导思
1.对数函数的概念
一般将函数y＝_______(a＞0，且a≠1)称为对数函数，其中___为自变量，___为底数.
2.对数函数的基本性质
(1)定义域是___________；(2)图象过定点________.
新知构建
logax
x
a
(0，＋∞)
(1，0)
3.特殊的对数函数
常用对
数函数 以____为底的对数函数_________
自然对
数函数 以_________为底的对数函数_________
10
y＝lg x
无理数e
y＝ln x
对数函数的解析式有何特征？
提示：①对数函数的系数为1；②自变量x在真数的位置上，且真数只能是一个x；③底数a的取值范围是a＞0，且a≠1.
微思考
√
典例
1
√
(2)若函数y＝(a2－2a－2)log(a＋1)x是以x为自变量的对数函数，则实数a＝______.
3
判断一个函数是对数函数的依据
规律方法
√
√
√
返回
任务二 反函数
问题2.在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察这两个函数的图象间有怎样的关系.
提示：y＝2x与y＝log2x的图象如图，y＝2x与y＝log2x的图象关于y＝x对称.
问题导思
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是对数函数____________________
_________；
对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的反函数是指数函数__________________
_________.
即它们______反函数.
新知构建
y＝logax(a＞0，
且a≠1)
y＝ax(a＞0，
且a≠1)
互为
y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，这两个函数的定义域和值域有什么关系呢？
提示：y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域和值域互换.
微思考
(链教材P111例2、例3)写出下列函数的反函数：
(1)y＝10x；
解：因为指数函数y＝10x的底数是10，所以它的反函数是对数函数y＝lg x.
典例
2
(3)y＝log2x；
解：因为对数函数y＝log2x的底数是2，所以它的反函数是指数函数y＝2x.
反函数的性质特征
1.同底的指数函数、对数函数互为反函数.
2.反函数的性质
(1)对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
(2)坐标关系：若函数y＝f(x)图象上有一点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数图象上，反之若点(b，a)在反函数图象上，则点(a，b)必在原函数图象上.
规律方法
√
函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数为y＝logax，即f(x)＝logax，又f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2，则f(x)＝log2x.故选A.
－1
返回
任务三 对数函数y＝log2x的图象和性质
问题导思
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 …
y＝log2x … …
… …
－2
－1
0
1
2
3
2
1
0
－1
－2
－3
提示：描点、连线
问题4.观察你作出的y＝log2x的图象，图象有什么特征呢？
提示：(1)图象位于y轴右侧；(2)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当x→0时，y→－∞.
新知构建
函数 y＝log2x
图象
定义域 ___________
值域 R
(0，＋∞)
函数 y＝log2x
单调性 在定义域(0，＋∞)上是____函数 在定义域(0，＋∞)上是____函数
共点性 图象过定点________，即x＝1时，y＝0
函数
值特点 当x∈(0，1)时，y∈___________ 当x∈(0，1)时，y∈___________
当x∈[1，＋∞)时，y∈____________ 当x∈[1，＋∞)时，y∈____________
增
减
(1，0)
(－∞，0)
(0，＋∞)
[0，＋∞)
(－∞，0]
微提醒
典例
3
函数y＝log2x单调性的应用
函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，利用单调性可以比较对数值的大小，解不等式，求函数值域.
规律方法
对点练3.(1)已知a＝log23，b＝log46，c＝log49，则
A.a＝b＜c B.a＜b＜c
C.a＝c＞b D.a＞c＞b
√
(2)不等式log2(2－x)≤log2(3x＋10)的解集为__________.
[－2，2)
由log2(2－x)≤log2(3x＋10)可得0＜2－x≤3x＋10，解得－2≤x＜2，故答案为：[－2，2).
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任务四 函数y＝log2x性质的综合应用
已知函数f(x)＝2－log2x，x∈[1，4].
(1)求函数f(x)的值域；
解：因为f(x)＝2－log2x在[1，4]上是减函数，
又f(1)＝2－log21＝2，f(4)＝2－log24＝2－2＝0，
所以函数f(x)的值域是[0，2].
典例
4
解答与对数函数y＝log2x有关的复合函数最值问题时的关注点
1.针对函数的解析式合理变形化简，并注意复合函数的定义域.
2.分清楚对数函数的底数，根据底数的大小确定其单调性.
3.注意换元法、整体思想等在解题中的运用.
规律方法
对点练4.根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题.
(1)若f(a)＞f(2)，求a的取值范围；
解：函数y＝log2x的图象如图所示.
因为y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，f(a)＞f(2)，
即log2a＞log22，解得a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最值.
解：因为2≤x≤14，所以3≤2x－1≤27，
所以log23≤log2(2x－1)≤log227＝3log23.
所以函数y＝log2(2x－1)在x∈[2，14]上的最小值为log23，最大值为3log23.
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课堂小结
任务
再现 1.对数函数以及反函数的概念.2.对数函数y＝log2x的图象与性质
方法
提炼 待定系数法、数形结合法
易错
警示 忽视对数函数中隐含的条件：真数大于0，底数大于0且不等于1
随堂评价
1.(多选题)下列函数为对数函数的是
A.f(x)＝log(m－1)x(m＞1，且m≠2)
B.f(x)＝lg x3
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝ln x＋e
√
√
形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数为对数函数，对于A，由m＞1，且m≠2，可知m－1＞0，且m－1≠1，故A符合题意；对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意.故选AC.
2.f(x)＝log2x的反函数是
A.y＝ax B.y＝2x
C.y＝logx2 D.y＝4x
√
根据指数函数与对数函数的关系，可得函数f(x)＝log2x的反函数为y＝2x.故选B.
3.设a＝3－0.2，b＝log20.2，c＝log23，则
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.c＞a＞b
√
因为0＜a＝3－0.2＜30＝1，b＝log20.2＜log21＝0，c＝log23＞log22＝1，所以c＞a＞b.故选D.
4.若log2(x＋1)≤0，则实数x的取值范围是__________.
(－1，0]
log2(x＋1)≤0 0＜x＋1≤1，解得－1＜x≤0，故实数x的取值范围为 (－1，0].
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课时分层评价
√
因为函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，所以a2－3a＋3＝1，a＞0且a≠1，解得a＝1或a＝2，所以a＝2.故选C.
2.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为
A.y＝log2x
B.y＝2log4x
C.y＝log2x，或y＝2log4x
D.不确定
√
设函数为y＝logax(a＞0，且a≠1)，依题可知，2＝loga4，解得a＝2.故 选A.
√
4.设P＝2log23，Q＝log23，R＝log25，则
A.R＜Q＜P B.P＜R＜Q
C.Q＜R＜P D.R＜P＜Q
√
因为P＝2log23＝log232＝log29＞log28＝3，Q＝log23＜log24＝2，R＝log25＜log28＝3，R＝log25＞log24＝2，所以Q＜R＜P.故选C.
√
6.若点P(16，2)，Q(t，log23)都在同一个对数函数的图象上，则t等于
A.3 B.6
C.9 D.12
√
8.函数f(x)＝log2x在区间[a，2a](a＞0)上最大值与最小值之差为_______.
因为f(x)＝log2x在区间[a，2a]上单调递增，所以f(x)max－f(x)min＝f(2a)－f(a)＝log2(2a)－log2a＝log22＝1.
1
9.(开放题)已知集合M＝{x｜log2(x－a)＜1}，若2 M，写出一个满足题意的实数a的值为___________________________________________________
______________.
由log2(x－a)＜1得0＜x－a＜2，即a＜x＜a＋2，所以M＝(a，a＋2)，因为2 M，所以a≥2或a＋2≤2，得a∈(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以一个满足题意的实数a的值为2(答案不唯一).
2(本题答案不唯一，只要所写数值满足a∈(－∞，0]∪
[2，＋∞)即可)
10.(10分)已知函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x).
(1)若函数f(x)的定义域为[3，63]，求函数f(x)的最值；
解：因为y＝log2x是其定义域上的增函数，
所以函数f(x)＝log2(x＋1)在[3，63]上单调递增，
所以f(x)max＝f(63)＝log2(63＋1)＝6，f(x)min＝f(3)＝log2(3＋1)＝2.
(2)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围.
解：因为f(x)－g(x)＞0，即log2(1＋x)＞log2(1－x)，所以1＋x＞1－x＞0，解得0＜x＜1.
即x的取值范围是(0，1).
√
√
√
在同一个平面直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图，
由图象可知f(x)与g(x)的交点个数是3.故选C.
13.(开放题)写出满足条件“函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(xy)＝f(x)＋f(y)”的一个函数f(x)＝_________________.
log2x(答案不唯一)
f(xy)＝f(x)＋f(y)是对数函数模型，f(x)＝log2x满足条件.(答案不唯一)
√
√
由题设知a＞b＞0，故B正确，A错误，且a2＞b2＞0，所以log2a2＞log2b2，故C正确，D错误.故选BC.
(2)写出函数y＝f(x)的单调区间；
解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由图可知，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).
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