§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义，提升直观想象的核心素养. 3.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，培养数学建模的核心素养.
任务一 函数模型的增长差异
观察函数y＝x，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的图象，思考以下两个问题：
问题1.三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？
提示：三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，即单调递增.
问题2.当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？
提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢.
1.指数函数、对数函数、幂函数图象的特征
函数 特征 y＝ax (a＞1) y＝logbx (b＞1) y＝xc (x＞0，c＞0)
在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴“平行” 随x增大逐渐表现为与x轴“平行” 在(0，＋∞)上，随x的增大，图象平稳上升
2.y＝ax(a＞1)，y＝logbx(b＞1)，y＝xc(x＞0，c＞0)不同增长情况比较
随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长，即尽管它们在(0，＋∞)上都是增函数，但增长速度不在一个档次上，在(0，＋∞)上总存在一个x0，当x＞x0时，logbx＜xc＜ax.
3.三种函数的增长趋势
当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快.
当b＞1时，对数函数y＝logbx是增函数，并且当b越小时，其函数值的增长就越快.
当x＞0，c＞0时，幂函数y＝xc是增函数，并且当x＞1时，c越大其函数值的增长就越快.
当底数a＞1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”.
[微提醒] (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型.
(1)下列函数中，随着自变量x的增大，增长速度最快的是( )
A.y＝2 025x B.y＝
C.y＝log2 025x D.y＝2 025x
(2)(多选题)根据三个函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，以下四个选项正确的是( )
A.f(x)的增长速度始终不变
B.f(x)的增长速度越来越快
C.g(x)的增长速度越来越快
D.h(x)的增长速度越来越慢
答案：(1)A (2)ACD
解析：(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.故选A.
(2)由下图可知A、C、D正确.故选ACD.
常见的函数模型及其增长特点
1.指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.
2.对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
3.幂函数模型：幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
对点练1.(1)下面对函数f(x)＝lox，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的叙述正确的是( )
A.f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢
B.f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快
C.f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢
D.f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快
(2)(多选题)三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
则下列说法合理的是( )
A.y1关于x呈指数增长
B.y2关于x呈指数增长
C.y3关于x呈直线上升
D.y2的增长速度最快
答案：(1)C (2)BCD
解析：(1)由函数f(x)＝lox，g(x)＝与h(x)＝在区间(0，＋∞)上的图象(右图)以及性质知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢.故选C.
(2)y1随x增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，…，增长的速度相对缓慢，不是指数增长，故A错误；y2随x增大而增大，增加量依次是85，1530，27 540，495 720，…，增长的速度越来越快，呈指数增长，且增长速度最快，故B，D正确；y3随x增大而增大，增加量依次是25，25，25，…，呈均匀增加状态，呈直线上升，故C正确.故选BCD.
任务二 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 025)，g(2 025)的大小.
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，
g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，
f(10)＞g(10).
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10.
所以x1＜8＜x2＜2 025.
从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(2 025)＞g(2 025)＞g(8)＞f(8).
指数函数、对数函数和幂函数的增长的比较
判断指数函数、对数函数和幂函数增长快慢时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
对点练2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.
解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)由已知，以x1，x2为分界点，
当0＜x＜x1时，g(x)＞f(x)；
当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；
当x＞x2时，g(x)＞f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
任务三 函数增长模型的选取
某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
解：作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图).
观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求.
不同函数模型的选取标准
1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.
2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧上升的变化规律.
3.对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律.
对点练3.为净化湖水的水质，某市环保局于2024年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2025年经两次实地测量得到表中的数据：
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面积y/m2 24 36
现有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝mx2＋n(m＞0)可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式；
(2)若市环保局在2024年年底投放了11 m2的水生植物，试判断哪个函数模型更合适.并说明理由.
解：(1)对于函数模型y＝kax，由已知得
所以y＝×.
对于函数模型y＝mx2＋n，由已知得所以y＝x2＋.
(2)若用模型y＝×，则当x＝0时，y1＝，
若用模型y＝x2＋，则当x＝0时，y2＝.
易知，使用模型y＝×更为合适.
任务 再现 三种函数模型的增长差异
方法 提炼 数形结合法和转化的思想方法
易错 警示 实际问题要注意函数的定义域并作答
1.(多选题)当a＞1时，有下列结论，其中正确的结论是( )
A.指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B.指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C.对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快
D.对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快
答案：AD
解析：由指数函数、对数函数的图象，知A，D正确，B，C错误.故选AD.
2.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x2 D.y＝6x
答案：B
解析：指数函数y＝6x先慢后爆炸性增长，对数函数y＝log6x增长速度越来越慢，幂函数y＝x2增长速度越来越快，一次函数y＝6x匀速增长.故选B.
3.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝2x
C.f3(x)＝log2x D.f4(x)＝2x
答案：D
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.
4.已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为 .
答案：f(x)＞g(x)
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)＞g(x).
课时分层评价32 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.下列函数中，随着x(x＞1)的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A.y＝8lg x B.y＝x8
C.y＝ D.y＝9×8x
答案：D
解析：当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数y＝9×8x的增长速度最快.故选D.
2.有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是( )
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
A.y＝ B.y＝·2x
C.y＝log2x D.y＝2x－3
答案：B
解析：f(3)－f(2)＝1.16，f(4)－f(3)＝2.75，f(5)－f(4)＝5.69，f(6)－f(5)＝10.3，通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A、C选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确.故选B.
3.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为( )
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
答案：C
解析：通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，变量y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，变量y1随x的变化符合此规律.故选C.
4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其行驶时间均为x h，行驶的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5 h以后跑在最前面的为( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
答案：D
解析：由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，结合指数增长越来越快可知，5 h以后丁车在最前面.故选D.
5.下面对函数f(x)＝x，g(x)＝(与h(x)＝－在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度比较平稳
B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度比较平稳
D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
答案：C
解析：观察函数f(x)＝x、g(x)＝()x、h(x)＝－在区间(0，＋∞)上的图象如图所示.函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；函数f(x)在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢.同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢.函数h(x)的图象递减速度比较平稳.故选C.
6.(多选题)已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是( )
A.在上，随着x的逐渐增大，y1的增长速度越来越快于y2
B.在上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1
C.当x∈时，y1的增长速度一直快于y3
D.当x∈时，y2的增长速度有时快于y1
答案：BD
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x的图象，如图所示.对于A、B，在上，随着x的逐渐增大，y2的增长速度越来越快于y1，故A错误，B正确；对于C，当x∈(0，＋∞)时，y1的增长速度不是一直快于y3，故C错误；对于D，当x∈(0，＋∞)时，y2的增长速度有时快于y1，故D正确.故选BD.
7.(开放题)下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，最为有前途的生意对应的函数是 .
①y＝10×1.05x，②y＝20＋x1.5，③y＝30＋lg(x－1)，④y＝50.
答案：①
解析：由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，所以y＝10×1.05x对应的是最为有前途的生意.
8.当x∈(1，e)时，试探究3x，ln x，x的增长差异，用“＞”把它们的大小关系连接起来为 .
答案：3x＞x＞ln x
解析：令y1＝3x，y2＝x，y3＝ln x，易知三个函数在区间上均单调递增，所以，当x∈时，3＜3x＜3e，1＜＜x＜3，0＜ln x＜1，故3x＞3＞x＞1＞ln x.
9.已知A，B，C三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程y关于时间x(x＞0)的函数关系式分别为yA＝2x－1，yB＝log2(x＋1)，yC＝，则下列结论中，所有正确结论的序号是 .
①当x＞1时，A总走在最前面；
②当0＜x＜1时，C总走在最前面；
③当x＞1时，B总走在C的前面.
答案：①②
解析：对于①，指数函数的变化是先慢后快，当x＝1时，yA＝yB＝yC＝1，所以当x＞1时，A总走在最前面，判断正确；对于②，同一坐标系内画出y＝2x－1，y＝log2(x＋1)，y＝的简图，由图可得当0＜x＜1时，2x－1＜log2(x＋1)＜，故0＜x＜1时，C总走在最前面，判断正确；对于③，当x＝63时，yB＝log2(63＋1)＝6，yC＝＞＝6，故yB＜yC，即C走在B的前面，判断错误.故答案为：①②.
10.(10分)已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由.
解：依题意知，x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.
当x＜x1时，2x＞x3，即f(x)＞g(x)；
当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x).
因为f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1，2]，即a＝1.
又因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)＜g(8)，
f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，f(9)＜g(9)，
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，f(10)＞g(10)，
所以x2∈[9，10]，即b＝9.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：其中随着x的增大，增长速度越来越快的变量是( )
x 1 2 3 4 5 6 7
y1 1 2 3 4 5 6 7
y2 3 3 3 3 3 3 3
y3 0 1 1.6 2 2.3 2.6 28
y4 1 4 16 64 256 1 024 4 096
A.y1 B.y2
C.y3 D.y4
答案：D
解析：观察数表知，随着x的增大，y1的值匀速增长；y2值恒为定值；y3的值逐渐增大，增长速度时快时慢，随着x的增大，y4的值越来越大，增长速度越来越快，所以随着x的增大，增长速度越来越快的变量是y4.故选D.
12.(多选题)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中正确的是( )
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一
B.投资4天，不采用方案三
C.投资6天，采用方案一
D.投资12天，采用方案二
答案：ABC
解析：若投资3天以内(含3天)，由图易知方案一每天的回报最多，故采用方案一；若投资4天，方案三回报最少，故不采用；若投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋…＋60＝210(元)，故采用方案一；若投资12天，易知采用方案三回报最多.故选ABC.
13.已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa(a＞0，且a≠1)，给出下列结论：
①当a＞1时， x∈(0，＋∞)，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方；
② x0∈(0，＋∞)，当x＞x0时，恒有h(x)＞g(x)；
③ a∈(0，1)，方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解.
其中正确结论的序号是 .
答案：②③
解析：对于①，取a＝＞e0＝1，则f(x)＝，f(e)＝＝e，g(x)＝lox，g(e)＝loe＝eln e＝e，此时f＝g，不满足函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方，故①错误；对于②，当0＜a＜1时，在x∈(1，＋∞)上，g(x)＝logax的图象在x轴下方，h(x)＝xa的图象在x轴上方，此时满足条件；当a＞1时，对数函数g(x)＝logax和幂函数h(x)＝xa，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，g(x)＝logax增长得越来越慢，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xa，但由于xa的增长快于logax的增长，则总存在一个x0，当x＞x0时，就会有h(x)＞g(x)成立，故②正确；对于③，0＜a＜1，在同一坐标系中作出函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的大致图象，如图：函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的图象两两都分别有交点，所以方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解，故③正确.所以正确结论的序号是②③.
14.(10分)设y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x.令x1＝2n，x2＝2n＋1.
(1)请分别化简下列各式：①log2x2－log2x1；②－；③－；
(2)结合(1)中的化简结果，谈谈你对对数函数y1、幂函数y2、指数函数y3变化的看法.
解：(1)①将x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得log2x2－log2x1＝log22n＋1－log22n＝n＋1－n＝1；
②将x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得－＝－＝－22n＝4×22n－22n＝3·22n＝3·4n；
③将x1＝2n，x2＝2n＋1代入可得－＝－＝－.
(2)结合(1)中的化简结果可知，
对数函数y1、幂函数y2、指数函数y3都会随着x的增大而增大，但是它们的增长速度不同，
当自变量x的增量相同时可知，对数函数y1的增长速度越来越慢，幂函数y2、指数函数y3的增长速度越来越快，且y3的增长速度大于y2.
15.(5分)(多选题)下列说法正确的是( )
A.函数y＝lox减小的速度越来越慢
B.在指数函数y＝ax中，当x＞0时，底数a越大，其增长速度越快
C.不存在一个实数m，使得当x＞m时，1.1x＞x100
D.当a＞1，k＞0时，在区间内，对任意的x，总有logax＜kx＜ax成立
答案：AB
解析：对于A，由对数函数的性质知，函数y＝lox减小的速度越来越慢，故A正确；对于B，由指数函数的性质知，指数函数y＝ax中，当x＞0时，底数a越大，其增长速度越快，故B正确；对于C，由指数函数的性质知，随x的增大，y＝1.1x的增长速度是非常快的，远远超过幂函数y＝x100的增长速度，因此一定存在一个实数m，使得当x＞m时，1.1x＞x100，故C不正确；对于D，取a＝2，k＝4，由图知，在区间内，对任意的x，logax＜kx＜ax不成立，故D不正确.故选AB.
16.(15分)1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.科学家在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星(后被命名为谷神星)存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星 编号(x) 1 (金星) 2 (地球) 3 (火星) 4 ( ) 5 (木星) 6 (土星)
离太阳的 距离(y) 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01
(1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论)；
①y＝ax＋b；②y＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b.
(2)根据你的选择，依表中前三组数据求出函数解析式，并用剩下的两组数据检验模型的吻合情况；(误差小于0.2的为吻合)
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.
解：(1)散点图如图所示：
根据图象可知，模型②符合题意.
(2)将，，分别代入y＝a×2x＋b，
得解得a＝0.15，b＝0.4，
所以y＝0.15×2x＋0.4(x∈N＋).
当x＝5时，y＝0.15×25＋0.4＝5.2，误差5.21－5.2＝0.01＜0.2，吻合；
当x＝6时，y＝0.15×26＋0.4＝10，误差10.01－10＝0.01＜0.2，吻合.
所以模型与数据吻合.
(3)当x＝4时，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星离太阳的距离为2.8 AU.
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§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
第四章 对数运算与对数函数
学习目标
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.
2.理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义，提升直观想象的核心素养.
3.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，培养数学建模的核心素养.
任务一 函数模型的增长差异
观察函数y＝x，y＝2x，y＝log2x在区间(0，＋∞)上的
图象，思考以下两个问题：
问题1.三个函数在区间(0，＋∞)上的图象有什么特点？
提示：三个函数在区间(0，＋∞)上的图象都是上升的，
即单调递增.
问题2.当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个最慢？
提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝log2x增长速度最慢.
问题导思
1.指数函数、对数函数、幂函数图象的特征
新知构建
函数
特征 y＝ax
(a＞1) y＝logbx
(b＞1) y＝xc
(x＞0，c＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性 ________ ________ ________
增长速度 __________ 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x增大逐渐表现为与_____“平行” 随x增大逐渐表现为与_____“平行” 在(0，＋∞)上，随x的增大，图象平稳上升
增函数
增函数
增函数
越来越快
y轴
x轴
2.y＝ax(a＞1)，y＝logbx(b＞1)，y＝xc(x＞0，c＞0)不同增长情况比较
随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远大于y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远大于y＝logbx的函数值增长，即尽管它们在(0，＋∞)上都是增函数，但增长速度不在一个档次上，在(0，＋∞)上总存在一个x0，当x＞x0时，_________________.
logbx＜xc＜ax
3.三种函数的增长趋势
当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，并且当a______时，其函数值的增长就越快.
当b＞1时，对数函数y＝logbx是增函数，并且当b______时，其函数值的增长就越快.
当x＞0，c＞0时，幂函数y＝xc是增函数，并且当x＞1时，c______其函数值的增长就越快.
当底数a＞1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”.
越大
越小
越大
微提醒
(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型.
√
典例
1
比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.故选A.
(2)(多选题)根据三个函数f(x)＝2x，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，以下四个选项正确的是
A.f(x)的增长速度始终不变 B.f(x)的增长速度越来越快
C.g(x)的增长速度越来越快 D.h(x)的增长速度越来越慢
√
√
√
由下图可知A、C、D正确.故选ACD.
常见的函数模型及其增长特点
1.指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.
2.对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.
3.幂函数模型：幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
规律方法
√
(2)(多选题)三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
则下列说法合理的是
A.y1关于x呈指数增长 B.y2关于x呈指数增长
C.y3关于x呈直线上升 D.y2的增长速度最快
√
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
√
√
y1随x增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，…，增长的速度相对缓慢，不是指数增长，故A错误；y2随x增大而增大，增加量依次是85，1530，27 540，495 720，…，增长的速度越来越快，呈指数增长，且增长速度最快，故B，D正确；y3随x增大而增大，增加量依次是25，25，25，…，呈均匀增加状态，呈直线上升，故C正确.故选BCD.
x 0 5 10 15 20 25 30
y1 5 130 505 1 130 2 005 3 130 4 505
y2 5 90 1 620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120
y3 5 30 55 80 105 130 155
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任务二 指数函数、对数函数与幂函数模型的增长比较
函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
解：C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
典例
2
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 025)，g(2 025)的大小.
解：因为g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，
g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
所以f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，
f(10)＞g(10).
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10.
所以x1＜8＜x2＜2 025.
从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(2 025)＞g(2 025)＞g(8)＞f(8).
指数函数、对数函数和幂函数的增长的比较
判断指数函数、对数函数和幂函数增长快慢时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.
规律方法
对点练2.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
解：C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝
lg x.
(2)以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.
解：由已知，以x1，x2为分界点，
当0＜x＜x1时，g(x)＞f(x)；
当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；
当x＞x2时，g(x)＞f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).
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任务三 函数增长模型的选取
某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
解：作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图).
观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，
y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有
模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5和y＝0.25x的下方，
这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司
的要求.
典例
3
不同函数模型的选取标准
1.线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.
2.指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧上升的变化规律.
3.对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律.
规律方法
对点练3.为净化湖水的水质，某市环保局于2024年年底在管辖区湖水中投入一些水生植物，这些植物在水中的蔓延速度越来越快，2025年经两次实地测量得到表中的数据：
现有两个函数模型y＝kax(k＞0，a＞1)与y＝mx2＋n(m＞0)可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式；
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面积y/m2 24 36
月份x/月 1 2 3 4 5
植物面积y/m2 24 36
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课堂小结
任务
再现 三种函数模型的增长差异
方法
提炼 数形结合法和转化的思想方法
易错
警示 实际问题要注意函数的定义域并作答
随堂评价
1.(多选题)当a＞1时，有下列结论，其中正确的结论是
A.指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快
B.指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快
C.对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快
D.对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快
√
√
由指数函数、对数函数的图象，知A，D正确，B，C错误.故选AD.
2.下列函数中，增长速度越来越慢的是
A.y＝6x B.y＝log6x
C.y＝x2 D.y＝6x
√
指数函数y＝6x先慢后爆炸性增长，对数函数y＝log6x增长速度越来越慢，幂函数y＝x2增长速度越来越快，一次函数y＝6x匀速增长.故选B.
3.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x＞1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是
A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝2x
C.f3(x)＝log2x D.f4(x)＝2x
√
由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.
4.已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为__________.
f(x)＞g(x)
在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，
如图所示，由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x图象
的上方，则f(x)＞g(x).
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课时分层评价
√
当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数y＝9×8x的增长速度最快.故选D.
√
f(3)－f(2)＝1.16，f(4)－f(3)＝2.75，f(5)－f(4)＝5.69，f(6)－f(5)＝10.3，通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A、C选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确.故选B.
x 2 3 4 5 6
y 1.40 2.56 5.31 11 21.30
3.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
√
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，变量y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，变量y1随x的变化符合此规律.故选C.
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4
4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其行驶时间均为x h，行驶的路程分别满足关系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，则5 h以后跑在最前面的为
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
√
由于4个函数均为增函数，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，结合指数增长越来越快可知，5 h以后丁车在最前面.故选D.
√
√
√
7.(开放题)下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，最为有前途的生意对应的函数是______.
①y＝10×1.05x，②y＝20＋x1.5，③y＝30＋lg(x－1)，④y＝50.
由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，所以y＝10×1.05x对应的是最为有前途的生意.
①
①②
10.(10分)已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并说明理由.
解：依题意知，x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值.
当x＜x1时，2x＞x3，即f(x)＞g(x)；
当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x).
因为f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1，2]，即a＝1.
又因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)＜g(8)，
f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，f(9)＜g(9)，
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，f(10)＞g(10)，
所以x2∈[9，10]，即b＝9.
11.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：其中随着x的增大，增长速度越来越快的变量是
A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
√
x 1 2 3 4 5 6 7
y1 1 2 3 4 5 6 7
y2 3 3 3 3 3 3 3
y3 0 1 1.6 2 2.3 2.6 28
y4 1 4 16 64 256 1 024 4 096
观察数表知，随着x的增大，y1的值匀速增长；y2值恒为定值；y3的值逐渐增大，增长速度时快时慢，随着x的增大，y4的值越来越大，增长速度越来越快，所以随着x的增大，增长速度越来越快的变量是y4.故选D.
x 1 2 3 4 5 6 7
y1 1 2 3 4 5 6 7
y2 3 3 3 3 3 3 3
y3 0 1 1.6 2 2.3 2.6 28
y4 1 4 16 64 256 1 024 4 096
12.(多选题)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法中正确的是
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一
B.投资4天，不采用方案三
C.投资6天，采用方案一
D.投资12天，采用方案二
√
√
√
若投资3天以内(含3天)，由图易知方案一每天的回
报最多，故采用方案一；若投资4天，方案三回报
最少，故不采用；若投资6天，方案一的回报约为
40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋…＋
60＝210(元)，故采用方案一；若投资12天，易知采用方案三回报最多.故选ABC.
13.已知函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa(a＞0，且a≠1)，给出下列结论：
①当a＞1时， x∈(0，＋∞)，函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象上方；
② x0∈(0，＋∞)，当x＞x0时，恒有h(x)＞g(x)；
③ a∈(0，1)，方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解.
其中正确结论的序号是__________.
②③
轴下方，h(x)＝xa的图象在x轴上方，此时满足条件；当
a＞1时，对数函数g(x)＝logax和幂函数h(x)＝xa，在区间
(0，＋∞)上，随着x的增大，g(x)＝logax增长得越来越慢，
尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xa，但由于
xa的增长快于logax的增长，则总存在一个x0，当x＞x0时，就会有h(x)＞g(x)成立，故②正确；对于③，0＜a＜1，在同一坐标系中作出函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的大致图象，如图：函数f(x)＝ax，g(x)＝logax，h(x)＝xa的图象两两都分别有交点，所以方程f(x)＝g(x)，f(x)＝h(x)，g(x)＝h(x)都有解，故③正确.所以正确结论的序号是②③.
(2)结合(1)中的化简结果，谈谈你对对数函数y1、幂函数y2、指数函数y3变化的看法.
解：结合(1)中的化简结果可知，
对数函数y1、幂函数y2、指数函数y3都会随着x的增大而增大，但是它们的增长速度不同，
当自变量x的增量相同时可知，对数函数y1的增长速度越来越慢，幂函数y2、指数函数y3的增长速度越来越快，且y3的增长速度大于y2.
√
√
16.(15分)1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.科学家在研究了各行星离太阳的距离(单位：AU，AU是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星(后被命名为谷神星)存在，并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据：
行星编号(x) 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星)
离太阳的距离(y) 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01
(1)为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论)；
①y＝ax＋b；②y＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b.
解：散点图如图所示：
根据图象可知，模型②符合题意.
(3)请用你求得的模型，计算谷神星离太阳的距离.
解：当x＝4时，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星离太阳的距离为2.8 AU.
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