§1 方程解的存在性及方程的近似解
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
学习目标 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程的解的关系，培养数学抽象的核心素养. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理. 3.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间，提升数学运算的核心素养. 4.能借助函数单调性及图象判断零点个数，提升数学运算、直观想象的核心素养.
任务一 函数的零点
问题1.观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系.
提示：方程x2－2x－3＝0的根为－1，3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1，0)，(3，0)；
方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1，0)；
方程x2－2x＋3＝0没有实数根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点.
问题2.问题1中的方程的根是函数图象与x轴交点的坐标吗？
提示：不是，根不是点，根是函数图象与x轴交点的横坐标.
1.定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
[微思考] 函数的零点是一个点吗？
提示：不是，函数的零点是一个使f(x)＝0的实数x，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
(1)函数y＝x2＋3x＋2的零点是( )
A.(1，0)，(2，0) B.1，2
C.(－1，0)，(－2，0) D.－1，－2
(2)已知函数f(x)＝则函数f(x)的所有零点的和为 .
答案：(1)D (2)－
解析：(1)令y＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1，x＝－2，由零点定义可得函数y＝x2＋3x＋2的零点是－1，－2.故选D.
(2)当x≥－4时，由f(x)＝0可得x2－2｜x｜－3＝0，所以(｜x｜－3)(｜x｜＋1)＝0，所以｜x｜＝3，故x＝±3，当x＜－4时，由f(x)＝0可得2x＋13＝0，故x＝－，则f(x)的零点有－，－3，3，则所有零点的和为－.
求函数零点的方法
1.代数法：求方程f(x)＝0的实数根，其实数根即为函数f(x)的零点；若方程f(x)＝0无实数根，则函数f(x)不存在零点.
2.几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
对点练1.(1)下列图象表示的函数中没有零点的是( )
(2)已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B.－2，0
C. D.0
答案：(1)A (2)D
解析：(1)观察图象可知只有A选项中的图象与x轴没有交点，其他B、C、D选项中的图象与x轴有交点，这意味着只有A选项中的函数没有零点.故选A.
(2)当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解.综上所述，函数的零点为0.故选D.
任务二 函数零点存在定理
问题3.给出下列四个函数图象，根据图象分析判断后回答问题：
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？
(2)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象不连续，但f(a)·f(b)＜0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？
(3)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，但f(a)·f(b)＞0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定没有零点？
提示：(1)一定有，至少有一个.如题图①②.(2)不一定.如题图③.(3)不一定.如题图④.
零点存在定理
条件 函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0
结论 在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解
[微思考]
1.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)＜0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.
2.函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)＜0？
提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1＞0.
(链教材P131例1)(1)(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法错误的是( )
A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
(2)若m为函数f(x)＝log2x＋x－2的零点，则m所在区间为( )
A. B.(1，2)
C. D.
答案：(1)ABD (2)B
解析：(1)由题知f(0)f(1)＜0，函数f(x)的图象在R上连续不断，所以根据零点存在定理可得，f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)f(2)＞0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点.故选ABD.
(2)由于f(x)＝log2x＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，又f＝log2＋－2＝－＜0，
f(1)＝log21＋1－2＝－1＜0，f(2)＝log22＝1＞0，故f(x)＝log2x＋x－2在(1，2)上有唯一零点，即m∈(1，2).故选B.
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
1.解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
2.利用零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
3.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
对点练2.(1)已知x0是函数f(x)＝－x＋3的一个零点，则x0∈( )
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
(2)根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是( )
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
答案：(1)C (2)C
解析：(1)根据题意知函数f(x)＝－x＋3在区间(1，＋∞)上单调递减，因为f(1)＞f(2)＞f(3)＞0，f(4)＜0，f(x)＝－x＋3在(1，＋∞)上是连续不断的，所以根据零点存在定理即可得存在x0∈(3，4)，使得f(x0)＝0.故选C.
(2)设f(x)＝ex－x－2，由表格中的数据得，f(－1)＝－0.63＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，f(3)＝15.09＞0，所以f(1)f(2)＜0，又f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)在(1，2)内有零点.故选C.
任务三 判断函数零点的个数
判断下列函数零点的个数：
(1)f(x)＝x2－x＋；
(2)(一题多解)f(x)＝ln x＋x2－3.
解：(1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，
得Δ＝－4×＝－＜0，
所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0.
(2)法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.
法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，
所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个.
[变式探究]
(变条件)将本例(2)中的函数改为“f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，试判断零点的个数.
解：法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋lg 2－2＞0，
所以由零点存在定理可知函数f(x)在(0，1)上必定存在零点.
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，
故函数f(x)有且只有一个零点.
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图：
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
判断函数零点个数的常用方法
1.利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
2.画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
3.结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
4.转化成两个函数图象的交点个数问题.
对点练3.(1)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.1 15.6 －3.9 10.9 －52.5 －232.1
判断函数的零点个数至少有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(2)设函数f(x)＝则f(x)的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：(1)C (2)D
解析：(1)在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，由数值表知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，因此函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少有1个零点，所以函数f(x)的零点个数至少为3个.故选C.
(2)当x＞0时，令｜log2x｜－1＝0，所以x＝2或x＝，f(x)有2个零点；当x≤0时，令2x＋x＝0，即2x＝－x，结合函数y＝2x，y＝－x的图象可知二者在x≤0时有1个交点，即此时f(x)有1个零点.综上可知，f(x)的零点个数为3.故选D.
任务四 根据函数零点的个数求参数的取值范围
(1)已知f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有两个零点，则实数a的取值范围为 .
(2)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的所有可能取值构成的集合为 .
答案：(1) (2)
解析：(1)令g(x)＝f(x)－a＝0，则f(x)＝a，因为g(x)有两个零点，所以y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，作出y＝f(x)的图象，如图所示.由图可得实数a的取值范围为[0，＋∞).
(2)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，由f(x)有且仅有一个零点，可得一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根，所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.综上，实数a的所有可能取值构成的集合为.
由函数零点(方程根)的情况求参数范围的常用方法
1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决.
3.数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解.
对点练4.(1)已知函数f(x)＝方程f(x)＝k有3个实数解，则实数k的取值范围是( )
A.－4＜k≤－3 B.－4＜k＜－3
C.－3＜k＜0 D.k＞0
(2)若函数f(x)＝｜ex－1｜－b有一个零点，则实数b的取值集合是 .
答案：(1)A (2){0}∪
解析：(1)f(x)的图象如下图所示，因为方程f(x)＝k有3个实数解，所以y＝f(x)与y＝k的图象有3个不同的交点，由图可知－4＜k≤－3.故选A.
(2)函数f(x)＝｜ex－1｜－b有一个零点，即y＝｜ex－1｜与y＝b的图象有1个交点，作出y＝｜ex－1｜与y＝b的大致图象如下图所示，由图可知实数b的取值集合是{0}∪.
任务 再现 1.函数零点的定义.2.零点存在定理及其应用
方法 提炼 转化法、解方程法、数形结合法、零点存在定理法
易错 警示 零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标
1.函数f(x)＝log2x的零点是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：A
解析：令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1，故零点为1.故选A.
2.方程lg x－4＝－x的解所在的区间为( )
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
答案：D
解析：构造函数f(x)＝lg x＋x－4，因为f(3)＝lg 3－1＜0，f(4)＝lg 4＞0，故f(3)f(4)＜0，所以函数f(x)在(3，4)内有零点，因为函数f(x)是增函数，所以函数有唯一零点，故原方程的解所在区间为(3，4).故选D.
3.二次函数y＝x2＋x＋m有零点的充要条件是( )
A.m≥ B.m≤
C.m＞ D.m＜
答案：B
解析：由二次函数y＝x2＋x＋m有零点，即方程x2＋x＋m＝0在R上有实数根，则满足Δ＝1－4m≥0，解得m≤，即二次函数y＝x2＋x＋m有零点的充要条件为m≤.故选B.
4.已知函数y＝f(x)在区间[0，5]上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
x 0 1 2 3 4 5
y －1 2.2 4.6 －3.16 －1 8.8
设函数y＝f(x)在区间[0，5]上零点的个数为n，则n的最小值为 .
答案：3
解析：由题意得f(0)·f(1)＜0，f(2)·f(3)＜0，f(4)·f(5)＜0，故由零点存在定理知函数y＝f(x)在区间[0，5]上零点的个数至少为3，故n的最小值为3.
课时分层评价33 利用函数性质判定方程解的存在性
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.二次函数y＝2x2＋x－1的零点是( )
A.，－1 B.－，1
C.，(1，0) D.，(－1，0)
答案：A
解析：二次函数y＝2x2＋x－1的零点就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝，或x＝－1.故选A.
2.函数f(x)＝x3＋2x－50的零点所在区间为( )
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
答案：C
解析：对于f(x)＝x3＋2x－50，则f(x)为R上的增函数，而f(1)＝－47，f(2)＝－38，f(3)＝－15，f(4)＝30，f(5)＝107，由于f(3)f(4)＜0，根据零点存在定理，知函数f(x)＝x3＋2x－50的零点所在区间为(3，4).故选C.
3.下列函数不存在零点的是( )
A.y＝x－ B.y＝
C.y＝logax2(a＞0且a≠1) D.y＝
答案：D
解析：令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－和1；只有选项D中函数无零点.故选D.
4.函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－18) B.(5，＋∞)
C.(5，18) D.(－18，－5)
答案：D
解析：函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上单调递增，且f(x)在区间(2，4)上存在零点，所以f(2)＜0，f(4)＞0，所以m＋5＜0，18＋m＞0，所以－18＜m＜－5.故选D.
5.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
答案：D
解析：由函数零点可知：2x＋x＝0 2x＝－x，log2x＋x＝0 log2x＝－x，x3＋x＝0 x3＝－x，利用数形结合，构造三个函数y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，它们与y＝－x的交点横坐标就是对应的三个零点a，b，c.由图可知b＞c＞a.故选D.
6.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(2)＞0，f(3)＞0，则下列说法正确的有( )
A.f(x)在区间(0，2)上一定有零点
B.f(x)在区间(0，2)上一定没有零点
C.f(x)在区间(2，3)上可能有零点
D.f(x)在区间(2，3)上一定有零点
答案：AC
解析：由题知f(0)·f(2)＜0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，2)上一定有零点，又f(2)·f(3)＞0，因此无法判断f(x)在区间(2，3)上是否有零点.故选AC.
7.已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为 .
答案：－
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
8.函数y＝2｜x｜－x－2的零点个数为 .
答案：2
解析：令y＝2｜x｜－x－2＝0，即2｜x｜＝x＋2，在同一平面直角坐标系中画出y＝2｜x｜与y＝x＋2的图象如图所示.由图可知y＝2｜x｜与y＝x＋2有且仅有2个交点，即方程2｜x｜＝x＋2有且仅有2个不同实数解，所以函数y＝2｜x｜－x－2有2个零点.
9.(双空题)已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N＋，则a＝ ，b＝ .
答案：1 2
解析：因为函数f(x)＝3x＋x－5，所以f(1)＝31＋1－5＝－1＜0，f(2)＝32＋2－5＝6＞0，所以f(1)f(2)＜0，且函数f(x)在R上是增函数，所以f(x)的零点x0在区间[1，2]内.所以a＝1，b＝2.
10.(10分)已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的零点；
(2)g(x)＝f(x)－a，若函数g(x)有四个零点，求实数a的取值范围.
解：(1)函数f(x)＝
当x＞0时，由｜ln x｜＝0，解得x＝1，
当x≤0时，由x2＋4x＋1＝0，解得x＝－2＋或x＝－2－，
可得函数的零点为1，－2＋或－2－.
(2)g(x)＝f(x)－a，若函数g(x)有四个零点，
即f(x)＝a有四个不等实根，画出函数y＝f(x)的图象，
由图象可得当0＜a≤1时，y＝f(x)的图象和直线y＝a有四个交点，
故函数g(x)有四个零点时，实数a的取值范围是(0，1].
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，a＜b，α＜β，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系是( )
A.a＜α＜b＜β B.a＜α＜β＜b
C.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b
答案：C
解析：因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)＝f(β)＝0.又f(a)＝f(b)＝－2＜0，结合二次函数的图象(如图所示)可知α＜a＜b＜β.故选C.
12.(多选题)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，则a的值可能为( )
A. B.
C. D.3
答案：AC
解析：令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a.则函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点可转化为函数y＝f(x)和y＝a有2个交点，作出f(x)的大致图象，如图所示.由图可知，当a∈(1，3)时，g(x)＝f(x)－a恰有2个零点.故选AC.
13.(开放题)请写出一个同时满足以下三个条件的函数解析式 .
①图象在(1，2)上是连续不断的曲线；②f(1)f(2)＞0；③在(1，2)上至少存在一个零点.
答案：f(x)＝(答案不唯一)
解析：当f(x)＝时，满足f(1)f(2)＞0，且在(1，2)上有一个零点.
14.(10分)已知函数f(x)＝是奇函数，且g(x)＝f(x)－2的一个零点为1.
(1)求m，n的值及f(x)解析式；
(2) 已知函数h(x)＝ln(x＋1)－kln(x＋1)的一个零点为2，求函数h(x)的其余零点.
解：(1)因为函数g(x)的一个零点是1，
所以g(1)＝0 f(1)＝2，
f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－2，
所以
f(x)＝＝x＋，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).
x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，满足题意，
故m＝1，n＝0，f(x)＝x＋.
(2)h(x)＝ln(x＋1)，因为函数h(x)的一个零点为2，所以－k＝0，解得k＝1.
所以h(x)＝ln(x＋1)，
令h(x)＝0，得－1＝0或ln(x＋1)＝0，
解得x＝0，2，4.
所以函数g(x)的其余零点为0，4.
15.(5分)函数f(x)＝至多有 个零点.
答案：1
解析：当x＞a，令x2－a＝0，当a＞0时，解得x＝±，但x＞a，所以只有x＝可能是零点，＞a.当x≤a，令x－2a＝0，解得x＝2a，又x≤a，所以只有2a≤a，即a≤0时，x＝2a可能是零点.综上，当a＞0，至多1个零点；当a≤0，至多1个零点.即函数f(x)＝至多有1个零点.
16.(15分)(新定义)对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称实数x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称实数x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即A＝{x｜f(x)＝x}，B＝{x｜f(f(x))＝x}.
(1)对于函数f(x)＝2x－1，分别求出集合A和B；
(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1，3}，求集合B.
解：(1)由f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合为A＝{x｜f(x)＝x}，B＝{x｜f(f(x))＝x}，
令f(x)＝x，可得2x－1＝x，解得x＝1；
令f(f(x))＝x，可得2(2x－1)－1＝x，解得x＝1，
所以集合A＝{1}，B＝{1}.
(2)由函数f(x)＝x2＋ax＋b，
因为A＝{－1，3}，可得
即
解得a＝－1，b＝－3，
所以f(x)＝x2－x－3，
可得f(f(x))＝f(x2－x－3)＝(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x，
整理得(x2－x－3)2－x2＝0，
即(x2－3)(x2－2x－3)＝0，
所以(x－)(x＋)(x＋1)(x－3)＝0，解得x＝±或x＝－1或x＝3，
所以集合B＝{－，－1，3，}.
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1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
第五章 §1 方程解的存在性及方程的近似解
学习目标
1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程的解的关系，培养数学抽象的核心素养.
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.
3.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间，提升数学运算的核心素养.
4.能借助函数单调性及图象判断零点个数，提升数学运算、直观想象的核心素养.
任务一 函数的零点
问题1.观察下列三组方程与函数：
问题导思
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3
利用函数图象探究方程的根和函数图象与x轴的交点之间的关系.
提示：方程x2－2x－3＝0的根为－1，3，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点(－1，0)，(3，0)；
方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为1，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有唯一交点(1，0)；
方程x2－2x＋3＝0没有实数根，函数y＝x2－2x＋3的图象与x轴无交点.
问题2.问题1中的方程的根是函数图象与x轴交点的坐标吗？
提示：不是，根不是点，根是函数图象与x轴交点的横坐标.
1.定义：使得__________的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的______.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
新知构建
f(x0)＝0
零点
x轴
f(x)＝0
函数的零点是一个点吗？
提示：不是，函数的零点是一个使f(x)＝0的实数x，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
微思考
(1)函数y＝x2＋3x＋2的零点是
A.(1，0)，(2，0) B.1，2
C.(－1，0)，(－2，0) D.－1，－2
√
典例
1
令y＝x2＋3x＋2＝0，解得x＝－1，x＝－2，由零点定义可得函数y＝x2＋3x＋2的零点是－1，－2.故选D.
求函数零点的方法
1.代数法：求方程f(x)＝0的实数根，其实数根即为函数f(x)的零点；若方程f(x)＝0无实数根，则函数f(x)不存在零点.
2.几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
规律方法
对点练1.(1)下列图象表示的函数中没有零点的是
√
观察图象可知只有A选项中的图象与x轴没有交点，其他B、C、D选项中的图象与x轴有交点，这意味着只有A选项中的函数没有零点.故选A.
√
返回
任务二 函数零点存在定理
问题3.给出下列四个函数图象，根据图象分析判断后回答问题：
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？有多少个零点？
提示：一定有，至少有一个.如题图①②.
问题导思
(2)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象不连续，但f(a)·f(b)＜0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定有零点？
提示：不一定.如题图③.
(3)如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，但f(a)·f(b)＞0，那么f(x)在区间(a，b)内是否一定没有零点？
提示：不一定.如题图④.
零点存在定理
新知构建
条件 函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条______的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即_______________
结论 在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)____________零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解
连续
f(a)·f(b)＜0
至少有一个
1.函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)＜0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.
2.函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)·f(b)＜0？
提示：不一定，如f(x)＝x2在区间(－1，1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1＞0.
微思考
(链教材P131例1)(1)(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法错误的是
A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
√
典例
2
√
√
由题知f(0)f(1)＜0，函数f(x)的图象在R上连续不断，所以根据零点存在定理可得，f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)f(2)＞0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点.故选ABD.
√
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
1.解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.
2.利用零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若f(a)f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.
3.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
规律方法
√
(2)根据表格中的数据，可以判断方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是
A.(－1，0) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
√
设f(x)＝ex－x－2，由表格中的数据得，f(－1)＝－0.63＜0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，f(3)＝15.09＞0，所以f(1)f(2)＜0，又f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)在(1，2)内有零点.故选C.
返回
任务三 判断函数零点的个数
典例
3
(2)(一题多解)f(x)＝ln x＋x2－3.
解：法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由
图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.
从而方程ln x＋x2－3＝0只有一个根，即函数y＝ln x＋
x2－3有一个零点.
法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是不间断的，
所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，所以零点只有一个.
变式探究
(变条件)将本例(2)中的函数改为“f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，试判断零点的个数.
解：法一：因为f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋lg 2－2＞0，
所以由零点存在定理可知函数f(x)在(0，1)上必定存在零点.
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，
故函数f(x)有且只有一个零点.
法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图：
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的
图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点.
判断函数零点个数的常用方法
1.利用方程的解，转化为解方程，有几个不同的实数解就有几个零点.
2.画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.
3.结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)内零点的个数.
4.转化成两个函数图象的交点个数问题.
规律方法
对点练3.(1)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：
判断函数的零点个数至少有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 136.1 15.6 －3.9 10.9 －52.5 －232.1
在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，由数值表知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，因此函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少有1个零点，所以函数f(x)的零点个数至少为3个.故选C.
√
返回
任务四 根据函数零点的个数求参数的取值范围
典例
4
令g(x)＝f(x)－a＝0，则f(x)＝a，因为g(x)有两个零点，所
以y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，作出y＝f(x)的图象，
如图所示.由图可得实数a的取值范围为[0，＋∞).
(2)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的所有可能取值构成的集合为___________.
由函数零点(方程根)的情况求参数范围的常用方法
1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围.
2.分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以 解决.
3.数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，利用数形结合的方法求解.
规律方法
√
f(x)的图象如下图所示，因为方程f(x)＝k有3个实数解，
所以y＝f(x)与y＝k的图象有3个不同的交点，由图可知
－4＜k≤－3.故选A.
(2)若函数f(x)＝｜ex－1｜－b有一个零点，则实数b的取值集合是________
__________.
{0}∪
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课堂小结
任务
再现 1.函数零点的定义.2.零点存在定理及其应用
方法
提炼 转化法、解方程法、数形结合法、零点存在定理法
易错
警示 零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标
随堂评价
1.函数f(x)＝log2x的零点是
A.1 B.2
C.3 D.4
√
令f(x)＝log2x＝0，解得x＝1，故零点为1.故选A.
2.方程lg x－4＝－x的解所在的区间为
A.(0，1) B.(1，2)
C.(2，3) D.(3，4)
√
构造函数f(x)＝lg x＋x－4，因为f(3)＝lg 3－1＜0，f(4)＝lg 4＞0，故f(3)f(4)＜0，所以函数f(x)在(3，4)内有零点，因为函数f(x)是增函数，所以函数有唯一零点，故原方程的解所在区间为(3，4).故选D.
√
4.已知函数y＝f(x)在区间[0，5]上的图象是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：
设函数y＝f(x)在区间[0，5]上零点的个数为n，则n的最小值为______.
x 0 1 2 3 4 5
y －1 2.2 4.6 －3.16 －1 8.8
3
由题意得f(0)·f(1)＜0，f(2)·f(3)＜0，f(4)·f(5)＜0，故由零点存在定理知函数y＝f(x)在区间[0，5]上零点的个数至少为3，故n的最小值为3.
返回
课时分层评价
√
2.函数f(x)＝x3＋2x－50的零点所在区间为
A.(1，2) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，5)
√
对于f(x)＝x3＋2x－50，则f(x)为R上的增函数，而f(1)＝－47，f(2)＝－38，f(3)＝－15，f(4)＝30，f(5)＝107，由于f(3)f(4)＜0，根据零点存在定理，知函数f(x)＝x3＋2x－50的零点所在区间为(3，4).故选C.
√
4.函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上存在零点，则实数m的取值范 围是
A.(－∞，－18) B.(5，＋∞)
C.(5，18) D.(－18，－5)
√
函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(2，4)上单调递增，且f(x)在区间(2，4)上存在零点，所以f(2)＜0，f(4)＞0，所以m＋5＜0，18＋m＞0，所以－18＜m＜－5.故选D.
5.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
√
由函数零点可知：2x＋x＝0 2x＝－x，log2x＋x＝0 log2x
＝－x，x3＋x＝0 x3＝－x，利用数形结合，构造三个函
数y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x3，它们与y＝－x的交点横坐标
就是对应的三个零点a，b，c.由图可知b＞c＞a.故选D.
6.(多选题)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(2)＞0，f(3)＞0，则下列说法正确的有
A.f(x)在区间(0，2)上一定有零点
B.f(x)在区间(0，2)上一定没有零点
C.f(x)在区间(2，3)上可能有零点
D.f(x)在区间(2，3)上一定有零点
√
由题知f(0)·f(2)＜0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，2)上一定有零点，又f(2)·f(3)＞0，因此无法判断f(x)在区间(2，3)上是否有零点.故选AC.
√
8.函数y＝2｜x｜－x－2的零点个数为______.
令y＝2｜x｜－x－2＝0，即2｜x｜＝x＋2，在同一平面直角坐
标系中画出y＝2｜x｜与y＝x＋2的图象如图所示.由图可知y
＝2｜x｜与y＝x＋2有且仅有2个交点，即方程2｜x｜＝x＋2有
且仅有2个不同实数解，所以函数y＝2｜x｜－x－2有2个零点.
2
9.(双空题)已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N＋，则a＝______，b＝______.
因为函数f(x)＝3x＋x－5，所以f(1)＝31＋1－5＝－1＜0，f(2)＝32＋2－5＝6＞0，所以f(1)f(2)＜0，且函数f(x)在R上是增函数，所以f(x)的零点x0在区间[1，2]内.所以a＝1，b＝2.
1
2
(2)g(x)＝f(x)－a，若函数g(x)有四个零点，求实数a的取值范围.
解：g(x)＝f(x)－a，若函数g(x)有四个零点，
即f(x)＝a有四个不等实根，画出函数y＝f(x)的图象，
由图象可得当0＜a≤1时，y＝f(x)的图象和直线y＝a有四个交点，
故函数g(x)有四个零点时，实数a的取值范围是(0，1].
11.已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，a＜b，α＜β，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系是
A.a＜α＜b＜β B.a＜α＜β＜b
C.α＜a＜b＜β D.α＜a＜β＜b
√
因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)＝f(β)＝0.又f(a)
＝f(b)＝－2＜0，结合二次函数的图象(如图所示)可知α＜
a＜b＜β.故选C.
√
√
令g(x)＝f(x)－a＝0，得f(x)＝a.则函数g(x)＝f(x)－a恰有
2个零点可转化为函数y＝f(x)和y＝a有2个交点，作出f(x)
的大致图象，如图所示.由图可知，当a∈(1，3)时，g(x)
＝f(x)－a恰有2个零点.故选AC.
13.(开放题)请写出一个同时满足以下三个条件的函数解析式____________
____________.
①图象在(1，2)上是连续不断的曲线；②f(1)f(2)＞0；③在(1，2)上至少存在一个零点.
(答案不唯一)
1
16.(15分)(新定义)对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称实数x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称实数x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即A＝{x｜f(x)＝x}，B＝{x｜f(f(x))＝x}.
(1)对于函数f(x)＝2x－1，分别求出集合A和B；
解：由f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合为A＝{x｜f(x)＝x}，B＝{x｜f(f(x))＝x}，
令f(x)＝x，可得2x－1＝x，解得x＝1；
令f(f(x))＝x，可得2(2x－1)－1＝x，解得x＝1，
所以集合A＝{1}，B＝{1}.
返回
