(共57张PPT)
1.2 利用二分法求方程的近似解
第五章 §1 方程解的存在性及方程的近似解
学习目标
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图.
2.能借助计算工具用二分法求方程近似解，提升数学运算的核心素养.
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性，培养数学运算的核心素养.
任务一 二分法概念的理解
问题1.有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
提示：4次.
第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币.
问题导思
二分法
新知构建
条件 (1) 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是__________的曲线，
(2)________________
方法 每次取区间的______，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法
一条连续
f(a)·f(b)＜0
中点
一分为二
(1)二分法的求解原理是零点存在定理.(2)并非所有的函数的零点都可以用二分法求解.只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用二分法求函数零点.
微提醒
(1)(多选题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是
典例
1
√
√
由A、C中函数图象可知这两个函数在零点左右函数值不变号，由B、D中的函数图象可知这两个函数在零点左右函数值变号，因此不能用二分法求其零点的是A、C.故选AC.
√
√
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
1.连续性：函数图象在零点附近连续.
2.变号性：在该零点左右两侧函数值异号.
规律方法
对点练1.(1)已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为
A.4，4
B.3，4
C.5，4
D.4，3
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.
√
(2)用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为
A.(0，0.5)，f(0.125) B.(0，0.5)，f(0.25)
C.(0.5，1)，f(0.75) D.(0，0.5)，f(0.375)
√
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任务二 用二分法求函数的零点
问题2.依据二分法的思想，你能想办法求函数f(x)＝x3－3的近似解吗？并思考最终结果如何确定.
提示：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
问题导思
端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0＝1，b0＝2 f(1)＝－2，f(2)＝5 [1，2]
f(x0)＝0.375＞0 [1，1.5]
f(x1)≈－1.046 9＜0 [1.25，1.5]
f(x2)≈－0.400 4＜0 [1.375，1.5]
f(x3)≈－0.029 5＜0 [1.437 5，1.5]
二分法求函数零点近似值的步骤
新知构建
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.
(1)初始区间的确定要包含函数的变号零点.(2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分法.
微提醒
(多选题)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为
A.2.51 B.2.56 C.2.66 D.2.78
√
典例
2
√
f(2)≈－1.307 f(2.5)≈－0.084 f(2.562 5)≈0.066
f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099
因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程ln x＋2x－6＝0的近似解在(2.5，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.625)，(2.5，2.562 5)内，又精确度为0.1，所以方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为2.51，2.56.故选AB.
二分法求函数零点的关注点
1.验证零点所在的区间是否符合精确度要求.
2.区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.
规律方法
对点练2.(1)用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算发现f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈(0，0.5)，则第二次需计算函数值
A.f(1) B.f(－0.5)
C.f(0.25) D.f(0.125)
√
(2)用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，则下列说法正确的是
A.函数f(x)在(1.25，1.5)上不一定有零点
B.已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度，应该接着计算f(1.312 5)
D.没有达到精确度，应该接着计算f(1.437 5)
√
对于A，由f(1.25)·f(1.5)＜0，且f(x)连续，则根据函数零点存在定理知，f(x)在(1.25，1.5)上一定有零点，故A错误；对于B，C，D，1.5－1.375＝0.125＞0.1，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)，故B错误，C错误，D正确.故选D.
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任务三 用二分法求方程的近似解
(链教材P133例4)已知函数f(x)＝2x3－x2－3x＋1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点；
解：证明：因为f(x)＝2x3－x2－3x＋1，
所以f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，
所以f(1)·f(2)＜0，
因此 x0∈(1，2)，f(x0)＝0，且f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内连续，
所以f(x)在(1，2)上存在零点.
典例
3
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x) －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)＝0的一个近似解(精确度0.1).
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x) －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81
解：由(1)可知，f(x)在(1，2)上存在零点，且f(1)＝－1，f(1.5)＝1＞0，
所以零点在(1，1.5)上，
因为f(1.25)＝－0.406 25，f(1.5)＝1，
所以零点在(1.25，1.5)上，
因为f(1.375)＝0.183 59，
所以零点在(1.25，1.375)上，
因为f(1.312 5)＝－0.138 18，
所以零点在(1.312 5，1.375)上，
因为1.375－1.312 5＝0.062 5＜0.1，
故f(x)＝0的一个近似解为1.312 5.
应用二分法需注意的问题
1.精确度：要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的 结束.
2.初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间，在精确度给定的情况下，不同的初始区间结果是相同的.
3.方程根的选取：当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的根.
当区间[an，bn]的长度｜an－bn｜＜ε时，这个近似值可以是区间[an，bn]内任意一个数.
规律方法
对点练3.用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考 数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解：令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0，
因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 1 －1 2 2 1
第2次 1 －1 1.5 0.33 0.5
第3次 1.25 －0.37 1.5 0.33 0.25
第4次 1.375 －0.035 1.5 0.33 0.125
因为｜1.375－1.5｜＝0.125＜0.2，
所以区间[1.375，1.5]内的任意一个数都是满足精确度的近似解，故可取1.4.
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课堂小结
任务
再现 1.二分法概念的理解.2.用二分法求函数的零点.3.用二分法求方程的近似解
方法
提炼 转化法、二分法
易错
警示 二分法并不适用于求所有零点，只能用于求函数的变号零点
随堂评价
1.下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是
√
根据零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间[a，b]上满足f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点；根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)·f(b)＜0，所以C选项不能用二分法求图中函数零点.故选C.
√
3.若函数y＝f(x)的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，f(1.406 25)＝－0.054，f(1.437 5)＝0.162，f(1.6)＝0.625，那么方程f(x)＝0的一个近似根(精确度0.1)为
A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
√
因为1.6－1.437 5＝0.162 5＞0.1，所以不必考虑端点1.6；因为1.406 25－1.25＝0.156 25＞0.1，所以不必考虑端点1.25和1；因为f(1.437 5)＞0，f(1.375)＜0，所以f(1.437 5)f(1.375)＜0，所以函数f(x)在(1.375， 1.437 5)内有零点，因为1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1，所以满足精确度0.1；所以方程f(x)＝0的一个近似根(精确度0.1)是区间(1.375，1.437 5)内的任意一个值(包括端点值)，根据四个选项可知：1.4∈[1.375， 1.437 5].故选C.
4.用二分法求方程x3＋x－3＝0在区间(0，2)内的实根，首先取区间中点x＝1进行判断，那么下一个取的点是x＝______.
1.5
设函数f(x)＝x3＋x－3，易得函数f(x)为增函数，因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，所以下一个有根区间是(1，2)，那么下一个取的点是x＝1.5.
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课时分层评价
1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的
根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，对于A，x＝0两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于B，x＝1两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于C，x＝0两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于D，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，x＝0两侧函数值符号相同，故不可用二分法求交点横坐标.故选D.
√
√
f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，f(2)＝0，当x＜2时，f(x)＞0；当x＞2时，f(x)＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
√
√
3.已知函数y＝f(x)为[0，1]上的连续函数，且f(0)·f(1)＜0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为
A.2 B.3
C.4 D.5
√
4.设函数f(x)＝xln x＋2x－6，用二分法求方程xln x＋2x－6＝0在x∈(2，3)内的近似解的过程中，计算得f(2)＜0，f(2.5)＞0，f(2.25)＞0，则下列必有方程的根的区间为
A.(2，2.25) B.(2.25，2.5)
C.(2.5，3) D.不能确定
√
5.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是
A.1.25 B.1.39
C.1.41 D.1.5
√
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
因为f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以f(1)·f(1.5)＜0，所以函数在(1，1.5)内有零点，因为1.5－1＝0.5＞0.05，所以不满足精确度为0.05；因为f(1.25)＜0，所以f(1.25)·f(1.5)＜0，所以函数在(1.25，1.5)内有零点，因为1.5－1.25＝0.25＞0.05，所以不满足精确度为0.05；因为f(1.375)＜0，所以f(1.375)·f(1.5)＜0，所以函数在(1.375，1.5)内有零点，因为1.5－1.375＝0.125＞0.05，所以不满足精确度为0.05；因为f(1.437 5)＞0，所以f(1.437 5)·f(1.375)＜0，所以函数在(1.375，1.437 5)内有零点，因为1.437 5－1.375＝0.062 5＞0.05，所以不满足精确度为0.05；因为f(1.406 25)＜0，所以f(1.406 25)·f(1.437 5)＜0，所以函数在(1.406 25，1.437 5)内有零点，因为1.437 5－1.406 25＝0.031 25＜0.05，满足精确度为0.05，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是区间(1.406 25，1.437 5)内任意一个值(包括端点值).故选C.
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
6.(多选题)用二分法求方程2x＋3x－7＝0的近似解时，设函数f(x)＝2x＋3x－7来研究，通过计算列出了它的对应值表：
分析表中数据，则下列说法正确的是
A.h＞0
B.方程2x＋3x－7＝0有实数解
C.若精确度为0.1，则近似解可取为1.375
D.若精确度为0.01，则近似解可取为1.437 5
√
√
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) －0.87 －0.28 h －0.05 0.02 0.33
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) －0.87 －0.28 h －0.05 0.02 0.33
7.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是__________.
因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切.所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
a2＝4b
8.用二分法研究函数f(x)＝x3＋x－3的零点时，第一次经计算可知f(0)f(2)＜0，说明该函数在区间(0，2)内存在零点x0，下一次应计算f(x1)，则x1＝_____.
1
9.用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度为0.000 1)时，如果我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度至少需要计算的次数是______.
10
10.(10分)如图所示，给出函数f(x)＝x2的部分图象.
请在图中同一坐标系内画出函数g(x)＝2x的图象.设f(x)
与g(x)在y轴左边的交点为A，试用二分法求出A点的横
坐标x0的近似值(精确度为0.3).
√
12.一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测
A.4次
B.6次
C.7次
D.50次
√
第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二
分法；第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中
继续二分法；第三次，可去掉12或13个结果，考虑
至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中
继续二分法；第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；第七次，可去掉1个结果，得到最终结果.所以最多需要检测7次.故选C.
13.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他取的x的4个值依次是______________________________.
1.5，1.75，1.875，1.8125.
令f(x)＝lg x＋x－2，则方程lg x＝2－x的解即为函数f(x)的零点，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg 2＞0，取(1，2)的中点1.5，f(1.5)＝lg 1.5－0.5＜0，得区间(1.5，2)；取(1.5，2)的中点1.75，f(1.75)＝lg 1.75－0.25≈0.243 0－0.25＜0，得区间(1.75，2)；取(1.75，2)的中点1.875，f(1.875)＝lg 1.875－0.125≈0.273 0－0.125＞0，得区间(1.75，1.875)；取(1.75，1.875)的中点1.812 5，f(1.812 5)＝lg 1.812 5－0.187 5≈0.258 3－0.187 5＞0，得区间(1.75，1.812 5)，所以取的x的4个值依次是1.5，1.75，1.875，1.812 5.
√
√
返回1.2 利用二分法求方程的近似解
学习目标 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图. 2.能借助计算工具用二分法求方程近似解，提升数学运算的核心素养. 3.了解用二分法求方程近似解具有一般性，培养数学运算的核心素养.
任务一 二分法概念的理解
问题1.有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的.用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？
提示：4次.
第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币；第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币；第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币；第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币.
二分法
条件 (1) 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线， (2) f(a)·f(b)＜0
方法 每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法
[微提醒] (1)二分法的求解原理是零点存在定理.(2)并非所有的函数的零点都可以用二分法求解.只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用二分法求函数零点.
(1)(多选题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是( )
(2)(多选题)在用二分法求函数f(x)零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是( )
A.[1，4] B.[－2，1]
C. D.
答案：(1)AC (2)CD
解析：(1)由A、C中函数图象可知这两个函数在零点左右函数值不变号，由B、D中的函数图象可知这两个函数在零点左右函数值变号，因此不能用二分法求其零点的是A、C.故选AC.
(2)第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，所以第三次所取的区间可能是，，，.故选CD.
运用二分法求函数的零点应具备的两个条件
1.连续性：函数图象在零点附近连续.
2.变号性：在该零点左右两侧函数值异号.
对点练1.(1)已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
(2)用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A.(0，0.5)，f(0.125) B.(0，0.5)，f(0.25)
C.(0.5，1)，f(0.75) D.(0，0.5)，f(0.375)
答案：(1)D (2)B
解析：(1)图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右两侧的函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选D.
(2)因为f(0)f(0.5)＜0，由零点存在定理知：零点x0∈(0，0.5)，根据二分法，第二次应计算f，即f(0.25).故选B.
任务二 用二分法求函数的零点
问题2.依据二分法的思想，你能想办法求函数f(x)＝x3－3的近似解吗？并思考最终结果如何确定.
提示：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可以确定区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0＝1，b0＝2 f(1)＝－2， f(2)＝5 [1，2]
x0＝ ＝1.5 f(x0)＝0.375＞0 [1，1.5]
x1＝ ＝1.25 f(x1)≈ －1.046 9＜0 [1.25，1.5]
x2＝ ＝1.375 f(x2)≈ －0.400 4＜0 [1.375，1.5]
x3＝ ＝1.437 5 f(x3)≈ －0.029 5＜0 [1.437 5，1.5]
二分法求函数零点近似值的步骤
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.
[微提醒] (1)初始区间的确定要包含函数的变号零点.(2)精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分法.
(多选题)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307 f(2.5)≈－0.084 f(2.562 5)≈0.066
f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为( )
A.2.51 B.2.56
C.2.66 D.2.78
答案：AB
解析：因为函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上单调递增，结合表格可知，方程ln x＋2x－6＝0的近似解在(2.5，3)，(2.5，2.75)，(2.5，2.625)，(2.5，2.562 5)内，又精确度为0.1，所以方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为2.51，2.56.故选AB.
二分法求函数零点的关注点
1.验证零点所在的区间是否符合精确度要求.
2.区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解.
对点练2.(1)用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算发现f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈(0，0.5)，则第二次需计算函数值( )
A.f(1) B.f(－0.5)
C.f(0.25) D.f(0.125)
(2)用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在(1.25，1.5)上不一定有零点
B.已经达到精确度，可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度，应该接着计算f(1.312 5)
D.没有达到精确度，应该接着计算f(1.437 5)
答案：(1)C (2)D
解析：(1)由题意知，第一次经过计算发现f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈(0，0.5)，由于(0＋0.5)＝0.25，则第二次需计算f(0.25).故选C.
(2)对于A，由f(1.25)·f(1.5)＜0，且f(x)连续，则根据函数零点存在定理知，f(x)在(1.25，1.5)上一定有零点，故A错误；对于B，C，D，1.5－1.375＝0.125＞0.1，没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)，故B错误，C错误，D正确.故选D.
任务三 用二分法求方程的近似解
(链教材P133例4)已知函数f(x)＝2x3－x2－3x＋1.
(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点；
(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)＝0的一个近似解(精确度0.1).
x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75
f(x) －1 1 －0.406 25 0.183 59 －0.138 18 0.015 81
解：(1)证明：因为f(x)＝2x3－x2－3x＋1，
所以f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，
所以f(1)·f(2)＜0，
因此 x0∈(1，2)，f(x0)＝0，且f(x)＝2x3－x2－3x＋1在(1，2)内连续，
所以f(x)在(1，2)上存在零点.
(2)由(1)可知，f(x)在(1，2)上存在零点，且f(1)＝－1，f(1.5)＝1＞0，
所以零点在(1，1.5)上，
因为f(1.25)＝－0.406 25，f(1.5)＝1，
所以零点在(1.25，1.5)上，
因为f(1.375)＝0.183 59，
所以零点在(1.25，1.375)上，
因为f(1.312 5)＝－0.138 18，
所以零点在(1.312 5，1.375)上，
因为1.375－1.312 5＝0.062 5＜0.1，
故f(x)＝0的一个近似解为1.312 5.
应用二分法需注意的问题
1.精确度：要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.
2.初始区间：初始区间的选定一般在两个整数间，在精确度给定的情况下，不同的初始区间结果是相同的.
3.方程根的选取：当区间长度符合“精确度ε”的要求后正确选取方程的根.
当区间[an，bn]的长度｜an－bn｜＜ε时，这个近似值可以是区间[an，bn]内任意一个数.
对点练3.用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解：令f(x)＝2x＋x－4，
则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0，
因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
次数 左端点 左端点 函数值 右端点 右端点 函数值 区间 长度
第1次 1 －1 2 2 1
第2次 1 －1 1.5 0.33 0.5
第3次 1.25 －0.37 1.5 0.33 0.25
第4次 1.375 －0.035 1.5 0.33 0.125
因为｜1.375－1.5｜＝0.125＜0.2，
所以区间[1.375，1.5]内的任意一个数都是满足精确度的近似解，故可取1.4.
任务 再现 1.二分法概念的理解.2.用二分法求函数的零点.3.用二分法求方程的近似解
方法 提炼 转化法、二分法
易错 警示 二分法并不适用于求所有零点，只能用于求函数的变号零点
1.下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是( )
答案：C
解析：根据零点存在定理可知，函数f(x)的图象是一段连续不断的曲线，若在区间[a，b]上满足f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)上存在零点；根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足f(a)·f(b)＜0，所以C选项不能用二分法求图中函数零点.故选C.
2.已知函数f(x)＝x3－3x－1，现用二分法求函数f(x)在(1，3)内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：由二分法可知，第一次计算f(2)＝1＞0，又f(1)＝－3＜0，f(3)＝17＞0，由零点存在定理知零点在区间(1，2)上，所以第二次应该计算f＝－＜0，又f(2)＞0，所以零点在区间.故选B.
3.若函数y＝f(x)的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260，f(1.406 25)＝－0.054，f(1.437 5)＝0.162，f(1.6)＝0.625，那么方程f(x)＝0的一个近似根(精确度0.1)为( )
A.1.2 B.1.3
C.1.4 D.1.5
答案：C
解析：因为1.6－1.437 5＝0.162 5＞0.1，所以不必考虑端点1.6；因为1.406 25－1.25＝0.156 25＞0.1，所以不必考虑端点1.25和1；因为f(1.437 5)＞0，f(1.375)＜0，所以f(1.437 5)f(1.375)＜0，所以函数f(x)在(1.375，1.437 5)内有零点，因为1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1，所以满足精确度0.1；所以方程f(x)＝0的一个近似根(精确度0.1)是区间(1.375，1.437 5)内的任意一个值(包括端点值)，根据四个选项可知：1.4∈[1.375，1.437 5].故选C.
4.用二分法求方程x3＋x－3＝0在区间(0，2)内的实根，首先取区间中点x＝1进行判断，那么下一个取的点是x＝ .
答案：1.5
解析：设函数f(x)＝x3＋x－3，易得函数f(x)为增函数，因为f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，所以下一个有根区间是(1，2)，那么下一个取的点是x＝1.5.
课时分层评价34 利用二分法求方程的近似解
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的( )
答案：D
解析：根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，对于A，x＝0两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于B，x＝1两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于C，x＝0两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于D，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，x＝0两侧函数值符号相同，故不可用二分法求交点横坐标.故选D.
2.(多选题)下列函数中，能用二分法求函数零点的有( )
A.f(x)＝5x－5 B.f(x)＝x2－4x＋4
C.f(x)＝lox D.f(x)＝ln x＋1
答案：ACD
解析：f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，f(2)＝0，当x＜2时，f(x)＞0；当x＞2时，f(x)＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.
3.已知函数y＝f(x)为[0，1]上的连续函数，且f(0)·f(1)＜0，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：C
解析：区间[0，1]的长度为1，每经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过n次后，区间长度变成，则≤0.1，即n≥4，n∈N＋，故对区间至少二分4次即可.故选C.
4.设函数f(x)＝xln x＋2x－6，用二分法求方程xln x＋2x－6＝0在x∈(2，3)内的近似解的过程中，计算得f(2)＜0，f(2.5)＞0，f(2.25)＞0，则下列必有方程的根的区间为( )
A.(2，2.25) B.(2.25，2.5)
C.(2.5，3) D.不能确定
答案：A
解析：显然函数f(x)＝xln x＋2x－6在x∈上是连续不断的曲线，由于f(2)＜0，f(2.25)＞0，所以f(2)·f(2.25)＜0，由零点存在定理可得f(x)＝xln x＋2x－6的零点所在区间为(2，2.25)，所以方程xln x＋2x－6＝0在区间(2，2.25)内一定有根.故选A.
5.若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260 f(1.4375)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是( )
A.1.25 B.1.39
C.1.41 D.1.5
答案：C
解析：因为f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以f(1)·f(1.5)＜0，所以函数在(1，1.5)内有零点，因为1.5－1＝0.5＞0.05，所以不满足精确度为0.05；因为f(1.25)＜0，所以f(1.25)·f(1.5)＜0，所以函数在(1.25，1.5)内有零点，因为1.5－1.25＝0.25＞0.05，所以不满足精确度为0.05；因为f(1.375)＜0，所以f(1.375)·f(1.5)＜0，所以函数在(1.375，1.5)内有零点，因为1.5－1.375＝0.125＞0.05，所以不满足精确度为0.05；因为f(1.437 5)＞0，所以f(1.437 5)·f(1.375)＜0，所以函数在(1.375，1.437 5)内有零点，因为1.437 5－1.375＝0.062 5＞0.05，所以不满足精确度为0.05；因为f(1.406 25)＜0，所以f(1.406 25)·f(1.437 5)＜0，所以函数在(1.406 25，1.437 5)内有零点，因为1.437 5－1.406 25＝0.031 25＜0.05，满足精确度为0.05，所以方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是区间(1.406 25，1.437 5)内任意一个值(包括端点值).故选C.
6.(多选题)用二分法求方程2x＋3x－7＝0的近似解时，设函数f(x)＝2x＋3x－7来研究，通过计算列出了它的对应值表：
x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5
f(x) －0.87 －0.28 h －0.05 0.02 0.33
分析表中数据，则下列说法正确的是( )
A.h＞0
B.方程2x＋3x－7＝0有实数解
C.若精确度为0.1，则近似解可取为1.375
D.若精确度为0.01，则近似解可取为1.437 5
答案：BC
解析：因为y＝2x与y＝3x－7都是R上的单调递增函数，所以f(x)＝2x＋3x－7是R上的单调递增函数，所以f(x)在R上至多有一个零点，由表格中的数据可知f＜0，f＞0，所以f(x)在R上有唯一零点，零点所在的区间为(1.422，1.437 5)，所以h＜0，故A错误；方程2x＋3x－7＝0有实数解，故B正确；f(1.375)＝－0.28＜0，f(1.437 5)＝0.02＞0，1.437 5－1.375＝0.062 5＜0.1，又精确度为0.1，则近似解可取为1.375，故C正确；f(1.422)＝－0.05＜0，f(1.437 5)＝0.02＞0，1.4375 －1.422＝0.015 5＞0.01，又精确度为0.01，则近似解不可取为1.437 5，故D错误.故选BC.
7.函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 .
答案：a2＝4b
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切.所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
8.用二分法研究函数f(x)＝x3＋x－3的零点时，第一次经计算可知f(0)f(2)＜0，说明该函数在区间(0，2)内存在零点x0，下一次应计算f(x1)，则x1＝ .
答案：1
解析：第一次经计算可知f(0)f(2)＜0，说明该函数在区间(0，2)内存在零点x0，下一次计算f(x1)，x1＝＝1.
9.用二分法求方程x2＝2的正实数根的近似解(精确度为0.000 1)时，如果我们选取初始区间是[1.4，1.5]，则要达到精确度至少需要计算的次数是 .
答案：10
解析：设要达到精确度需要计算n次，且n为整数，由题意可得(1.5－1.4)×≤0.000 1 ≤，解得n≥10.
10.(10分)如图所示，给出函数f(x)＝x2的部分图象.
请在图中同一坐标系内画出函数g(x)＝2x的图象.设f(x)与g(x)在y轴左边的交点为A，试用二分法求出A点的横坐标x0的近似值(精确度为0.3).
解：如图.
令F(x)＝f(x)－g(x)，则当x＜0时，方程F(x)＝0的近似解x0等价于求函数F(x)在(－∞，0)内的零点，
因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)2－2－1＝＞0，F(0)＝f(0)－g(0)＝0－1＝－1＜0，
所以F(－1)·F(0)＜0，由零点存在定理可知，x0∈(－1，0).
又因为F(－)＝f(－)－g(－)＝－＜0，
所以F(－1)·F(－)＜0，由零点存在定理可知x0∈(－1，－).
又因为F(－)＝f(－)－g(－)＝(－(＝(－(＜0，
故F(－1)·F(－)＜0，由零点存在定理可知x0∈(－1，－).
因为＝0.25＜0.3，
所以可取x0为－.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.若在用二分法寻找函数y＝2x－(x＞1)零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，则实数a和b分别等于( )
A.， B.2，3
C.，2 D.，
答案：A
解析：由函数f(x)＝2x－＝2x－＝2x－－2，因为函数f(x)在(1，＋∞)上为单调递增函数，所以函数f(x)在(1，＋∞)至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，可得解得a＝，b＝.故选A.
12.一块电路板的AB线路之间有100个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊接点脱落造成的，要想借助万用表，利用二分法的思想检测出哪处焊接点脱落，最多需要检测( )
A.4次 B.6次
C.7次 D.50次
答案：C
解析：第一次，可去掉50个结果，从剩余的50个中继续二分法；第二次，可去掉25个结果，从剩余的25个中继续二分法；第三次，可去掉12或13个结果，考虑至多的情况，所以去掉12个结果，从剩余的13个中继续二分法；第四次，可去掉6或7个结果，考虑至多的情况，所以去掉6个结果，从剩余的7个中继续二分法；第五次，可去掉3或4个结果，考虑至多的情况，所以去掉3个结果，从剩余的4个中继续二分法；第六次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；第七次，可去掉1个结果，得到最终结果.所以最多需要检测7次.故选C.
13.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他取的x的4个值依次是 .
答案：1.5，1.75，1.875，1.8125.
解析：令f(x)＝lg x＋x－2，则方程lg x＝2－x的解即为函数f(x)的零点，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg 2＞0，取(1，2)的中点1.5，f(1.5)＝lg 1.5－0.5＜0，得区间(1.5，2)；取(1.5，2)的中点1.75，f(1.75)＝lg 1.75－0.25≈0.243 0－0.25＜0，得区间(1.75，2)；取(1.75，2)的中点1.875，f(1.875)＝lg 1.875－0.125≈0.273 0－0.125＞0，得区间(1.75，1.875)；取(1.75，1.875)的中点1.812 5，f(1.812 5)＝lg 1.812 5－0.187 5≈0.258 3－0.187 5＞0，得区间(1.75，1.812 5)，所以取的x的4个值依次是1.5，1.75，1.875，1.812 5.
14.(10分)已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.
求证：a＞0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0，1]内有两个实数根.
证明：因为f(1)＞0，所以f(1)＝3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.
因为a＋b＋c＝0，所以a＝－b－c，－b－2c＞0，
所以－b－c＞c，即a＞c.
因为f(0)＞0，所以f(0)＝c＞0，所以a＞0.
取区间[0，1]的中点值，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
因为f(0)＞0，f(1)＞0，所以函数f(x)在区间上各至少有一个零点.
又f(x)为二次函数，最多有两个零点，
所以f(x)＝0在[0，1]内有两个实数根.
15.(5分)(多选题)已知函数f(x)＝ex－x＋a，其中x∈R，a为某确定常数，运用二分法研究函数f(x)的零点时，若第一次经计算f(0)＜0且f(1)＞0，则( )
A.可以确定f(x)的一个零点x0，满足x0∈
B.第二次应计算f，若f＞0，第三次应计算f
C.第二次应计算f，若f＜0，第三次应计算f
D.第二次应计算f，若f＞0，第三次应计算f
答案：AB
解析：对于A，由题意第一次经计算f(0)＜0且f(1)＞0，因此由零点存在定理可知存在x0∈满足f(x0)＝0，故A符合题意；对于B，第二次应计算f，若f＞0，又f(0)＜0，所以有f(0)·f＜0，满足零点存在定理，所以第三次应计算f，故B符合题意；对于C，第二次应计算f，若f＜0，又f(1)＞0，所以有f·f(1)＜0，满足零点存在定理，所以第三次应计算f，故C不符合题意；对于D，第二次应计算f，而不是计算f，故D不符合题意.故选AB.
16.(15分)已知函数f(x)＝ln x＋2x－6.
(1)证明f(x)有且只有一个零点；
(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.
解：(1)证明：令x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝ln＋2(x1－x2)，且＞1，x1－x2＞0，
所以f(x1)＞f(x2)，即f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)至多有一个零点.
又f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0，
所以f(2)f(3)＜0，即f(x)在(2，3)内有一个零点.
所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点.
(2)因为f(2)＜0，f(3)＞0，取x1＝＝，
则f ＝ln－1＜0，
所以f(3)f ＜0，即f(x)的零点x0∈.
取x2＝＝，则f ＝ln－＞0，
所以f f ＜0.所以x0∈，
又＝≤，
所以满足题意的区间为.
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