(共57张PPT)
第2课时 对数函数y＝logax的图象和性质的综合应用
第四章 §3 3.3 对数函数y＝logax的图象和性质
学习目标
1.进一步掌握对数函数的图象和性质，提升直观想象的核心素养.
2.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域，提升数学运算的核心素养.
任务一 对数型复合函数的单调性
(1)函数f(x)＝log3(x2－4)的单调递增区间为
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)
√
典例
1
函数f(x)＝log3(x2－4)，令x2－4＞0，即(x－2)(x＋2)＞0，解得x＞2或x＜－2，所以f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，又y＝log3x在定义域上单调递增，y＝x2－4在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞).故选C.
(2)已知函数f(x)＝loga(x2－2ax)(a＞1)在区间[4，5]上单调递增，则实数a的取值范围是__________.
(1，2)
求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤
第一步：求出函数的定义域；
第二步：研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性；
第三步：依据“复合函数同增异减”原则，求函数y＝logaf(x)的单调区间；
(1)当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性一致.
(2)当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.
规律方法
对点练1.(1)函数y＝log2｜x－2｜在区间(2，＋∞)上的单调性为
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
当x＞2时，函数f(x)＝log2｜x－2｜＝log2(x－2).又函数y＝log2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数，故y＝log2｜x－2｜在区间(2，＋∞)上单调递增.故选C.
√
√
返回
任务二 对数型复合函数的值域或最值
典例
2
与对数函数有关的值域或最值问题的处理方法
1.形如f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的函数，利用对数函数的单调性求解.
2.形如f(x)＝logag(x)的函数，先求出g(x)的值域，再根据y＝logat的单调性求解.
3.形如f(x)＝k·(logax)2＋m·logax＋t(a＞0，且a≠1，k≠0)的函数，求其值域时，常用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
规律方法
√
√
√
√
返回
任务三 对数型复合函数的奇偶性
典例
3
规律方法
奇
－1
返回
任务四 对数函数在实际中的应用
典例
4
对于生活中的实际问题，关键是构造对数函数模型，然后利用对数的运算解决问题.
规律方法
√
[教材拓展7] 几种抽象函数模型(源于教材P69B组T1与P92B组T4)
【常用结论】
正比例函数f(x)＝kx(k≠0)型
一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)型
幂函数f(x)＝xn型
指数函数f(x)＝ax型(a＞0，a≠1)
对数函数f(x)＝logax型(a＞0，a≠1)
√
典例
4
√
√
f(x)＝ln x(答案不唯一)
返回
课堂小结
任务
再现 1.简单对数型复合函数的单调性、奇偶性、值域及最值问题.2.对数函数在实际问题中的应用
方法
提炼 分类讨论法、复合函数法、数学建模
易错
警示 求对数型复合函数的单调性易忽视定义域
随堂评价
1.函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为
A.(3，＋∞) B.(－∞，3)
C.[3，＋∞) D.(－∞，3]
√
因为x≥2，所以log2x≥1，即2＋log2x≥3，所以y≥3.故选C.
2.已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则
A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数
C.f(x)是R上的增函数 D.f(x)是R上的减函数
√
因为f(－x)＝lg [(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数.故选A.
3.(多选题)下列函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增的是
A.f(x)＝－x2＋3 B.f(x)＝lg｜x｜
C.f(x)＝ln(1＋x2) D.f(x)＝x3
√
√
由题可知D是奇函数，故排除D；对于A，图象是开口向下的抛物线，在(0，＋∞)上单调递减，故排除A；对于B，f(－x)＝lg｜－x｜＝lg｜x｜＝f(x)，所以函数f(x)＝lg｜x｜在定义域内是偶函数，当x＞0时，f(x)＝ lg｜x｜＝lg x，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，f(x)＝ln(1＋x2)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，故C正确.故选BC.
4.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是______________.
返回
课时分层评价
1.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的值域为
A.[0，1] B.(0，1)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
√
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，所以log21≤log2(x＋1)≤log22，即0≤log2(x＋1)≤1，故函数f(x)的值域为[0，1].故选A.
2.函数f(x)＝ln(｜x｜＋1)的图象大致是
f(x)＝ln(｜x｜＋1)，x∈R，排除A；f(－x)＝ln(｜－x｜＋1)＝ln(｜x｜＋1)＝f(x)，故函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B；当x＝0时，f(0)＝ln 1＝0，排除D；选项C符合题意.
√
√
√
5.(多选题)已知函数f(x)＝lg(1－x)，则
A.f(x)的定义域为(－∞，1)
B.f(x)的值域为R
C.f(－1)＋f(－4)＝1
D.y＝f(x2)的单调递增区间为(0，1)
√
对于A、B，由1－x＞0，得x＜1，则f(x)的定义域为(－∞，1)，值域为R，故A，B均正确；对于C，f(－1)＋f(－4)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故C正确；对于D，因为f(x2)＝lg(1－x2)，定义域为(－1，1)，所以y＝f(x2)的单调递增区间为(－1，0)，不是(0，1)，故D错误.故选ABC.
√
√
6.(多选题)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则下列选项错误的有
A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.f(x)存在最大值 D.f(x)存在最小值
√
√
√
1
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
解：f(x)为偶函数，理由如下：因为f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，
且f(－x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
√
12.(多选题)若函数f(x)＝loga(x－1)＋b(a＞0，a≠1)，则下列选项正确的是
A.定义域为(1，＋∞) B.值域为R
C.图象过定点(2，b) D.在定义域上单调递增
√
√
√
1
√
√
返回第2课时 对数函数y＝logax的图象和性质的综合应用
学习目标 1.进一步掌握对数函数的图象和性质，提升直观想象的核心素养. 2.掌握对数型复合函数的单调性、最值、值域，提升数学运算的核心素养.
任务一 对数型复合函数的单调性
(1)函数f(x)＝log3(x2－4)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞) B.(－∞，0)
C.(2，＋∞) D.(－∞，－2)
(2)已知函数f(x)＝loga(x2－2ax)(a＞1)在区间[4，5]上单调递增，则实数a的取值范围是 .
答案：(1)C (2)(1，2)
解析：(1)函数f(x)＝log3(x2－4)，令x2－4＞0，即(x－2)(x＋2)＞0，解得x＞2或x＜－2，所以f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，又y＝log3x在定义域上单调递增，y＝x2－4在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞).故选C.
(2)令u＝x2－2ax，因为a＞1时，y＝logau单调递增，所以u＝x2－2ax在[4，5]上单调递增，且u＞0，所以解得1＜a＜2，故实数a的取值范围是(1，2).
求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤
第一步：求出函数的定义域；
第二步：研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性；
第三步：依据“复合函数同增异减”原则，求函数y＝logaf(x)的单调区间；
(1)当a＞1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性一致.
(2)当0＜a＜1时，y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.
对点练1.(1)函数y＝log2｜x－2｜在区间(2，＋∞)上的单调性为( )
A.先增后减 B.先减后增
C.单调递增 D.单调递减
(2)若函数f(x)＝log2在(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.(1，2) B.
C. D.[1，2]
答案：(1)C (2)D
解析：(1)当x＞2时，函数f(x)＝log2｜x－2｜＝log2(x－2).又函数y＝log2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数，故y＝log2｜x－2｜在区间(2，＋∞)上单调递增.故选C.
(2)设t＝－x2＋ax＋2，由题意可知，函数t＝－x2＋ax＋2在(1，2)上单调递减，且t＞0，函数t＝－x2＋ax＋2的对称轴为x＝，所以解得1≤a≤2.故选D.
任务二 对数型复合函数的值域或最值
已知函数f(x)＝loga(2－x)＋loga(a＞0，且a≠1).
(1)若a＞1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)的最小值为－，求a的值.
解：(1)因为f(x)＝loga(2－x)＋loga(x＋4)，所以解得－4＜x＜2，
即函数的定义域为(－4，2)，
f(x)＝loga[(2－x)(x＋4)]＝loga(－x2－2x＋8)＝loga[－(x＋1)2＋9]，
因为y＝－(x＋1)2＋9在(－4，－1)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，
又a＞1，所以y＝logax在定义域上单调递增，
所以函数f(x)＝loga[－(x＋1)2＋9]在(－4，－1)上单调递增，在(－1，2)上单调递减，
即f(x)的单调递增区间为(－4，－1).
(2)由(1)令t＝－(x＋1)2＋9，则t∈(0，9]，y＝logat，
当a＞1时，函数y＝logat在(0，9]上单调递增，函数不存在最小值，故舍去；
当0＜a＜1时，函数y＝logat在(0，9]上单调递减，ymin＝loga9＝－，
所以＝9，解得a＝，符合题意，故a＝.
与对数函数有关的值域或最值问题的处理方法
1.形如f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)的函数，利用对数函数的单调性求解.
2.形如f(x)＝logag(x)的函数，先求出g(x)的值域，再根据y＝logat的单调性求解.
3.形如f(x)＝k·(logax)2＋m·logax＋t(a＞0，且a≠1，k≠0)的函数，求其值域时，常用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
对点练2.(1)若函数f(x)＝log2(4－x＋a)在区间[－1，0]上的最大值与最小值的差不小于3，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(多选题)下列关于函数f(x)＝lo(x2＋x＋1)的说法中，不正确的是( )
A.有最大值2－log23，在上为增函数
B.有最大值2－log23，在上为减函数
C.有最小值2－log23，在上为增函数
D.有最小值2－log23，在上为减函数
答案：(1)A (2)BCD
解析：(1)令t＝4－x＋a，则函数t＝4－x＋a为减函数，又函数y＝log2t为增函数，所以函数f(x)是减函数，故f(x)在区间上的最大值是f(－1)＝log2(4＋a)，最小值是f(0)＝log2(1＋a)，由题设得log2(4＋a)－log2(1＋a)≥3，则log2(4＋a)≥log2(8a＋8)，所以解得－1＜a≤－，故实数a的取值范围是.故选A.
(2)令u＝x2＋x＋1＝＋≥，则y＝lou，所以y＝lou≤lo＝lo3－lo4＝2－log23，所以f(x)有最大值2－log23，所以C、D不正确；因为u＝x2＋x＋1在上递减，在上递增，而y＝lou在定义域内递减，所以f(x)在上递增，在上递减，所以A正确，B不正确.故选BCD.
任务三 对数型复合函数的奇偶性
已知函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)的图象过点.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
解：(1)已知函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)的图象过点，
所以loga3＝1，即a＝3.又＞0，
即(1＋x)(1－x)＞0，解得－1＜x＜1，
所以f(x)的定义域为(－1，1).
(2)f(x)为奇函数，理由如下：
由(1)知：f(x)＝log3，
f(x)的定义域为(－1，1)，定义域关于原点对称，
又f(x)＋f(－x)＝log3＋log3＝log31＝0，即f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)为奇函数.
对数型复合函数奇偶性的判断方法
1.对数函数既不是奇函数又不是偶函数，但与某些函数复合后，就具有奇偶性了，如y＝log2｜x｜就是偶函数.证明这类函数奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义，并结合对数的运算性质.
2.为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数解析式进行化简或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x) f(－x) f(x)＝0 ＝±1(f(x)≠0)，其中f(－x)＋f(x)＝0，
f(－x)－f(x)＝0多用于对数型函数奇偶性的证明，＝±1(f(x)≠0)多用于指数型函数奇偶性的证明.
对点练3.(1)函数f(x)＝ln(－x)为 函数(填“奇”或“偶”).
(2)若a为常数，且函数f(x)＝lg是奇函数，则a的值为 .
答案：(1)奇 (2)－1
解析：(1)由题意知f(x)＝ln(－x)的定义域为R，则f(－x)＝ln(＋x)，所以
f(x)＋f(－x)＝ln(－x)＋ln(＋x)＝0，所以f(x)＝ln(－x)为奇函数.
(2)因为f(x)＝lg是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即f(－x)＋f(x)＝0，所以lg＋lg＝0，即lg＝0，所以＝1，展开整理得a2－1＝x2，要使等式恒成立，则有解得a＝－1.当a＝－1时，f(x)＝lg＝lg＝lg，定义域为{x｜x＞1，或x＜－1}，定义域关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)，所以a＝－1成立.
任务四 对数函数在实际中的应用
(链教材P115例8)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究中发现V与log3成正比，且当Q＝900时，V＝1.
(1)求出V关于Q的函数解析式；
(2)计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数.
解：(1)设V＝k·log3，
因为当Q＝900时，V＝1，所以1＝k·log3，
所以k＝，
所以V关于Q的函数解析式为V＝log3.
(2)令V＝1.5，则1.5＝log3 log3＝3 ＝33＝27，
所以Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位.
对于生活中的实际问题，关键是构造对数函数模型，然后利用对数的运算解决问题.
对点练4.中国高铁技术世界领先，高速列车运行时不仅速度比普通列车快且噪声更小.用声强I(单位：W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积的声能流密度，声强级LI(单位：dB)与声强I的函数关系式为LI＝10lg.若普通列车的声强级是95 dB，高速列车的声强级是45 dB，则普通列车的声强是高速列车声强的( )
A.6倍 B.106倍
C.5倍 D.105倍
答案：D
解析：设普通列车和高速列车的声强分别为I1，I2，由LI＝10lg，得95＝10lg，45＝10lg，所以＝1，＝1，所以＝＝105.故选D.
[教材拓展7] 几种抽象函数模型(源于教材P69B组T1与P92B组T4)
【常用结论】
正比例函数f(x)＝kx(k≠0)型 f＝f(x)±f(y)
一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)型 f＝f(x)±f(y) b
幂函数f(x)＝xn型 f(xy)＝f(x)f(y)或f＝
指数函数f(x)＝ax型(a＞0，a≠1) f(x＋y)＝f(x)f(y)或f(x－y)＝
对数函数f(x)＝logax型(a＞0，a≠1) f(xy)＝f(x)＋f(y)或f＝f(x)－f(y)
(1)(多选题)已知函数y＝f(x)，对于任意x，y∈R，＝f(x－y)，则( )
A.f(0)＝1
B.f＝2f(x)
C.f(x)＞0
D.≥f
(2)(开放题)同时满足下列两个条件：①f＝nf(x)，x＞0；②(x1－x2)＞0的函数可以为 .
答案：(1)ACD (2)f(x)＝ln x(答案不唯一)
解析：(1)令x＝y ＝f(0) f(0)＝1，故A正确；由已知＝f(x－y) f(x)＝f(y)f(x－y) f(x＋y)＝f(x)f(y)①，令f(x)＝ax，a∈∪(1，＋∞)满足题干要求，2f(x)＝2ax，f＝，则f≠2f(x)，故B错误；由①可知，令x＝y＝，则f(x)＝ff＝，又因为＝f(x－y)，则f≠0，所以f(x)＝＞0，故C正确；因为f(x)＞0，所以f(x)＋f(y)≥2＝2，又由①，令x＝y＝，则f(x＋y)＝ff＝，所以≥f，故D正确.故选ACD.
(2)由(x1－x2)＞0可知函数为增函数，再由f＝nf(x)可知f(x)可以为对数函数，故可以填f(x)＝ln x，或者其它底数大于1的对数函数.故答案为f(x)＝ln x(答案不唯一).
任务 再现 1.简单对数型复合函数的单调性、奇偶性、值域及最值问题.2.对数函数在实际问题中的应用
方法 提炼 分类讨论法、复合函数法、数学建模
易错 警示 求对数型复合函数的单调性易忽视定义域
1.函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为( )
A.(3，＋∞) B.(－∞，3)
C.[3，＋∞) D.(－∞，3]
答案：C
解析：因为x≥2，所以log2x≥1，即2＋log2x≥3，所以y≥3.故选C.
2.已知函数f(x)＝lg(x2＋1)，则( )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)是R上的增函数
D.f(x)是R上的减函数
答案：A
解析：因为f(－x)＝lg [(－x)2＋1]＝lg(x2＋1)＝f(x)，且定义域为R，关于原点对称，所以f(x)是偶函数.故选A.
3.(多选题)下列函数中，是偶函数且在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.f(x)＝－x2＋3 B.f(x)＝lg｜x｜
C.f(x)＝ln(1＋x2) D.f(x)＝x3
答案：BC
解析：由题可知D是奇函数，故排除D；对于A，图象是开口向下的抛物线，在(0，＋∞)上单调递减，故排除A；对于B，f(－x)＝lg｜－x｜＝lg｜x｜＝f(x)，所以函数f(x)＝lg｜x｜在定义域内是偶函数，当x＞0时，f(x)＝lg｜x｜＝lg x，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，f(x)＝ln(1＋x2)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，故C正确.故选BC.
4.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是 .
答案：
解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是.
课时分层评价31 对数函数y＝logax的图象和性质的综合应用
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域是[0，1]，则函数f(x)的值域为( )
A.[0，1] B.(0，1)
C.(－∞，1] D.[1，＋∞)
答案：A
解析：因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，所以log21≤log2(x＋1)≤log22，即0≤log2(x＋1)≤1，故函数f(x)的值域为[0，1].故选A.
2.函数f(x)＝ln(｜x｜＋1)的图象大致是( )
答案：C
解析：f(x)＝ln(｜x｜＋1)，x∈R，排除A；f(－x)＝ln(｜－x｜＋1)＝ln(｜x｜＋1)＝f(x)，故函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B；当x＝0时，f(0)＝ln 1＝0，排除D；选项C符合题意.
3.设函数f(x)＝log2[x(a－x)]在(2，3)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由函数f(x)＝log2[x(a－x)]在(2，3)上单调递减，得函数g(x)＝x(a－x)在(2，3)上单调递减，且 x∈(2，3)，x(a－x)＞0，而函数g(x)的图象开口向下，对称轴方程为x＝，因此解得3≤a≤4.故选D.
4.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的( )
A.10倍 B.10倍
C.10倍 D.10倍
答案：B
解析：由里氏震级的计算公式M＝lg A－lg A0，可得M＝lg，所以＝10M，从而得出A＝A0·10M.当M＝7.5时，根据A＝A0·10M，可得地震的最大振幅为A1＝A0·107.5.当M＝6时，同样根据A＝A0·10M，可得地震的最大振幅为A2＝A0·106.＝＝＝107.5－6＝101.5＝10.故选B.
5.(多选题)已知函数f(x)＝lg(1－x)，则( )
A.f(x)的定义域为(－∞，1)
B.f(x)的值域为R
C.f(－1)＋f(－4)＝1
D.y＝f(x2)的单调递增区间为(0，1)
答案：ABC
解析：对于A、B，由1－x＞0，得x＜1，则f(x)的定义域为(－∞，1)，值域为R，故A，B均正确；对于C，f(－1)＋f(－4)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故C正确；对于D，因为f(x2)＝lg(1－x2)，定义域为(－1，1)，所以y＝f(x2)的单调递增区间为(－1，0)，不是(0，1)，故D错误.故选ABC.
6.(多选题)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则下列选项错误的有( )
A.f(x)在(0，2)上单调递增
B.f(x)在(0，2)上单调递减
C.f(x)存在最大值
D.f(x)存在最小值
答案：ABD
解析：f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln＝ln(2x－x2)，由得0＜x＜2，故函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)；令t＝2x－x2，则y＝ln t，二次函数t＝2x－x2开口向下，其对称轴为直线x＝1，所以t＝2x－x2在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以t＝2x－x2∈，又函数y＝ln t在t∈上单调递增，由复合函数的单调性，可得f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A、B错误；因为t∈时，y＝ln t∈，即f(x)∈，所以f(x)在(0，2)上的最大值为0，无最小值，故C正确，D错误.故选ABD.
7.已知f(x)＝2lg x－1，g(x)＝lg x－2，若＋＝，则满足条件的x的取值范围是 .
答案：
解析：因为＋＝，所以f(x)·g(x)≥0，所以所以0＜x≤或x≥100.
8.若函数f(x)＝3loga是定义域内的增函数，且函数g(x)＝x2－8x＋6在区间(－∞，a]上单调递减，则实数a的取值范围是 .
答案：
解析：因为函数f(x)＝3loga是定义域内的增函数，得a＞1，又因为函数g(x)＝x2－8x＋6在区间(－∞，a]上单调递减，所以a≤－＝4，所以a∈.
9.已知函数f(x)＝log2为奇函数，则实数a的值为 .
答案：1
解析：由题意得f(－x)＝－f(x)，即log2＝－log2，所以＝，解得a2＝1，因为a≠－1，所以a＝1.
10.(10分)已知函数f(x)＝log2(1－x)＋log2(x＋1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.
解：(1)由题意可得解得－1＜x＜1，
所以f(x)的定义域为(－1，1).
(2)f(x)为偶函数，理由如下：因为f(x)的定义域为(－1，1)，关于原点对称，
且f(－x)＝log2(1＋x)＋log2(1－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )
A. B.
C.2 D.4
答案：B
解析：由题意得当a＞1时，f(1)＋f(0)＝a＋loga2＋1＝a，即loga2＝－1，解得a＝，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，f(0)＋f(1)＝1＋a＋loga2＝a，即loga2＝－1，解得a＝.综上，a的值为.故选B.
12.(多选题)若函数f(x)＝loga(x－1)＋b(a＞0，a≠1)，则下列选项正确的是( )
A.定义域为(1，＋∞) B.值域为R
C.图象过定点(2，b) D.在定义域上单调递增
答案：ABC
解析：由题意得，x－1＞0，则x＞1，所以函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，故A正确；根据对数函数的值域可得函数f(x)的值域为R，故B正确；令x－1＝1，则x＝2，f(2)＝b，所以函数f(x)的图象过定点，故C正确；当0＜a＜1时，函数f(x)在定义域上单调递减，故D错误.故选ABC.
13.已知函数f(x)＝ln－x(m＞0)为偶函数，则实数m＝ .
答案：1
解析：由偶函数的定义得f(－x)＝f(x)，所以ln(e－2x＋m)＋x＝ln－x，即ln＝2x，所以＝e2x，即e2x＋m＝1＋me2x，整理得＝0，此等式在函数f(x)的定义域内恒成立，所以m－1＝0，即m＝1.
14.(10分)已知函数f(x)＝log3·log3(9x).
(1)求函数f(x)的值域；
(2)求不等式f(x)＜－4的解集.
解：(1)f(x)＝(1－log3x)(2＋log3x)＝－(log3x)2－log3x＋2＝－＋≤，
当log3x＝－，即x＝时，f(x)取得最大值.所以f(x)的值域为.
(2)根据题意得－(log3x)2－log3x＋2＜－4，整理得(log3x)2＋log3x－6＞0，
即(log3x＋3)(log3x－2)＞0，解得log3x＜－3，或log3x＞2，所以0＜x＜，或x＞9，
故不等式的解集为∪(9，＋∞).
15.(5分)(多选题)关于函数f(x)＝ln，下列结论正确的是( )
A.若函数g(x)＝ln(x－3)－ln(x＋1)，则f(x)与g(x)是相等函数
B.f(x)是奇函数
C.f(x)的图象关于(1，0)对称
D.f(x)在(3，＋∞)上单调递增
答案：CD
解析：对于A、B，g(x)＝ln(x－3)－ln(x＋1)的定义域为(3，＋∞)，f(x)＝ln的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，f(x)的定义域不关于原点对称，故A错误，B错误；对于C，f(x)的定义域关于(1，0)对称，且f(1＋x)＋f(1－x)＝ln＋ln＝ln 1＝0，故C正确；对于D，f(x)＝ln＝ln，因为y＝ln u在定义域内单调递增，u＝1－在(3，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可知，f(x)在(3，＋∞)上单调递增，故D正确.故选CD.
16.(15分)已知函数f(x)＝loga，其中a＞0，且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性，并证明；
(2)若a＞1，判断f(x)的单调性；
(3)当f(x)的定义域为(1，a)时，f(x)的值域为(1，＋∞)，求a的值.
解：(1)函数f(x)为奇函数，证明如下：
由＞0得x＜－1或x＞1，即f(x)的定义域为{x｜x＜－1，或x＞1}，关于原点对称，
因为f(－x)＝loga＝loga＝loga＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.
(2)因为f(x)＝loga，
当a＞1时，t＝＝1＋在(－∞，－1)和(1，＋∞)上都为减函数，
所以f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上都为减函数.
(3)由题意a＞1，所以由(2)可知f(x)在(1，a)上为减函数，
因为当x∈(1，a)时，f(x)＞f(a)＝loga＝1，故＝a，
即a2－2a－1＝0，解得a＝1±，
因为a＞1，所以a＝1＋.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
