(共64张PPT)
2.1 实际问题的函数刻画
2.2 用函数模型解决实际问题
第五章 §2 实际问题中的函数模型
学习目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题，培养数学运算的核心素养.
2.能建立函数模型解决实际问题，提升学生数学建模与数学运算的核心素养.
3.了解拟合函数模型并解决实际问题，培养学生数学建模、数据分析的核心素养.
任务一 实际问题的函数刻画
问题.你能写出几种函数模型？
提示：6种.如下表：
问题导思
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例型
函数模型
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
实际问题的函数刻画
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学 模型.
新知构建
(链教材P136例1)如图①是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象.
(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
解：点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上(不包括B点)的点表示亏损，线段AB延长线上的点表示盈利.
典例
1
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
解：图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是提高票价.
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
解：斜率表示票价.
(4)图①、图②、图③中的票价分别是多少元？
解：图①、图②中的票价是2元，图③中的票价是4元.
建立模拟函数解应用题的一般步骤
第一步(作图)：根据已知数据作出散点图；
第二步(选择函数模型)：根据散点图，结合函数图象的形状，找出比较接近的函数模型；
第三步(求出函数模型)：选出几组数据代入，求出函数解析式；
第四步：利用所求得的函数模型解决问题.
规律方法
返回
任务二 用函数模型解决实际问题
1.数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构.其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一.实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决.
2.用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.
新知构建
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.
可将这些步骤用框图表示如下：
(1)注意实际问题中的限制条件.(2)注意解题步骤的规范性和完整性.
微提醒
(链教材P139例5)为了改善学校办公环境，某校计划购买A，B两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5 200元，B型笔记本电脑每台6 400元，设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式；
解：因为购买A型笔记本电脑x台，所以购买B型笔记本电脑(15－x)台，
所以y＝5 200x＋6 400(15－x)＝－1 200x＋96 000，
所以y关于x的函数解析式为y＝－1 200x＋96 000.
典例
2
自建模型时主要抓住四个关键
1.求什么：就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
2.设什么：就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
3.列什么：就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
4.限制什么：主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义.
规律方法
返回
任务三 实际问题中函数模型的综合应用
为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据：
若该病毒的数量y(单位：万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y＝px2＋q与y＝kax(k＞0，a＞1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
典例
3
x(T) 1 2 3 4 5 6 …
y(万个) … 10 … 50 … 250 …
x(T) 1 2 3 4 5 6 …
y(万个) … 10 … 50 … 250 …
建立拟合函数与预测的基本步骤
规律方法
对点练3.(2025·山东日照高二检测)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为S1；方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为S2.(其中y＞x≥4，b＞a＞4).
(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
解：由题意得，方案一的总费用为S1＝ax＋by元，
方案二的总费用为S2＝bx＋ay元，所以S2－S1＝bx＋ay－(ax＋by)，
＝a(y－x)＋b(x－y)＝(a－b)(y－x)，因为y＞x≥4，b＞a＞4，
所以y－x＞0，a－b＜0，故S2－S1＜0，S2＜S1，
即方案二的花费更少.
返回
课堂小结
任务
再现 1.实际问题的函数刻画.2.用函数模型解决实际问题.3.实际问题中函数模型的综合应用
方法
提炼 转化法、数学建模
易错
警示 实际问题中一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，最后要将数学问题还原为实际问题
随堂评价
1.一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是
A.分段函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
√
由题图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型.故选A.
2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x应为
A.10 m
B.15 m
C.20 m
D.25 m
√
3.如图，某小区内有一个矩形花坛ABCD，且矩形ABCD的
周长是4，设AB＝x，AC＝y，则函数y＝f(x)的大致图象为
√
4.用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______ m.
3
返回
课时分层评价
√
由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中的函数符合题意.故选D.
x 1 2 3 4 5
y 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482
√
√
4.(多选题)某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是
A.x＝10时费用之和有最小值
B.x＝45时费用之和有最小值
C.最小值为850万元
D.最小值为360万元
√
√
√
6.(多选题)国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用“购买所有商品一律打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元减40元”的促销策略.某顾客计划消费x(x＞0)元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则
A.当0＜x＜200时，应进甲商场购物
B.当200≤x＜300时，应进乙商场购物
C.当400≤x＜500时，应进乙商场购物
D.当x＞500时，应进甲商场购物
√
√
当0＜x＜200时，甲商场的费用为0.84x，乙商场的费用为x，由题意知，x＞0.84x，故应进甲商场购物，故A正确；当200≤x＜300时，甲商场的费用为0.84x，乙商场的费用为x－40，x－40－0.84x＝0.16x－40，当200≤x＜250，x－40＜0.84x，应进乙商场购物，当250＜x＜300，x－40＞0.84x，应进甲商场购物，故B错误；当400≤x＜500时，甲商场的费用为0.84x，乙商场的费用为x－80，x－80－0.84x＝0.16x－80，因为400≤x＜500，所以－16≤0.16x－80＜0，故x－80＜0.84x，所以应进乙商场购物，故C正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为600×0.84＝504，在乙商场的费用为600－120＝480，所以乙商场费用低，故应进乙商场购物，故D错误.故选AC.
7.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出游客支付的飞机票总额y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式
______________________________________.
8.某商店销售A，B两款商品，利润(单位：元)分别为y1＝－x2＋23x和y2＝4x，其中x为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为__________.
170元
57 600
11.某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定：
①行程在3 km以内的(含3 km)，车费10元；
②行程在3 km以上且不超过10 km的，前3 km车费10元，以后每增加1 km车费增加2元(不足1 km的按1 km计算)；
③行程超过10 km，则超过的部分每公里车费3元(不足1 km的按1 km计算).
小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为
A.13 km B.14 km
C.15 km D.16 km
√
√
√
1 000
14.(10分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的图象，当x∈(0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，顶点为A，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当x∈(12，40]时，图象是线段BC，其中C(40，50).
(1)求y关于x的函数解析式；
15.(5分)(新情境)薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”(图①)，将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.
在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图②记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为
A.2.25 min
B.2.75 min
C.3.25 min
D.3.75 min
√
返回§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画 2.2 用函数模型解决实际问题
学习目标 1.会利用已知函数模型解决实际问题，培养数学运算的核心素养. 2.能建立函数模型解决实际问题，提升学生数学建模与数学运算的核心素养. 3.了解拟合函数模型并解决实际问题，培养学生数学建模、数据分析的核心素养.
任务一 实际问题的函数刻画
问题.你能写出几种函数模型？
提示：6种.如下表：
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例型 函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，且k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
实际问题的函数刻画
设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型.
(链教材P136例1)如图①是某公共汽车线路收支差额y(元)与乘客量x(人)的图象.
(1)试说明图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图②③所示.你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图①、图②、图③中的票价分别是多少元？
解：(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上(不包括B点)的点表示亏损，线段AB延长线上的点表示盈利.
(2)图②的建议是降低成本，票价不变，图③的建议是提高票价.
(3)斜率表示票价.
(4)图①、图②中的票价是2元，图③中的票价是4元.
建立模拟函数解应用题的一般步骤
第一步(作图)：根据已知数据作出散点图；
第二步(选择函数模型)：根据散点图，结合函数图象的形状，找出比较接近的函数模型；
第三步(求出函数模型)：选出几组数据代入，求出函数解析式；
第四步：利用所求得的函数模型解决问题.
对点练1.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.
解：(1)由图象可设y1＝k1x＋29(k1≠0).y2＝k2x(k2≠0)，
把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋29，y2＝k2x，
得k1＝，k2＝.
所以y1＝x＋29(x≥0)，y2＝x(x≥0).
(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x＝96时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当0≤x＜96时，y1＞y2，使用便民卡便宜；
当x＞96时，y1＜y2，使用如意卡便宜.
任务二 用函数模型解决实际问题
1.数学模型是针对或参照某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构.其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一.实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决.
2.用函数模型解决实际问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型.
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型.
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论.
(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中.
可将这些步骤用框图表示如下：
[微提醒] (1)注意实际问题中的限制条件.(2)注意解题步骤的规范性和完整性.
(链教材P139例5)为了改善学校办公环境，某校计划购买A，B两种型号的笔记本电脑共15台，已知A型笔记本电脑每台5 200元，B型笔记本电脑每台6 400元，设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)若因为经费有限，学校预算不超过9万元，且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，请问：学校共有几种购买方案？哪种方案费用最少？求出费用最少的方案所需费用.
解：(1)因为购买A型笔记本电脑x台，所以购买B型笔记本电脑(15－x)台，
所以y＝5 200x＋6 400(15－x)＝－1 200x＋96 000，
所以y关于x的函数解析式为y＝－1 200x＋96 000.
(2)因为学校预算不超过9万元，购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多，
所以解得5≤x≤10，
而x为整数，故x可取5，6，7，8，9，10，学校共有6种购买方案.
由y＝－1 200x＋96 000，因为－1200＜0，所以函数y＝－1 200x＋96 000单调递减，
又5≤x≤10且x为整数，所以当x＝10时，y有最小值，
最小值ymin＝－1 200×10＋96 000＝84 000，此时15－x＝5.
故学校共有6种购买方案，购买A型电脑10台、B型电脑5台时费用最少，该方案所需费用为84 000元.
自建模型时主要抓住四个关键
1.求什么：就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.
2.设什么：就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.
3.列什么：就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.
4.限制什么：主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义.
对点练2.某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为f(n)万元.
(1)写出f(n)关于n的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；
(2)使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理.
根据方案一、方案二分别求出总利润，并选择哪种处理方案更合适？请说明理由.
解：(1)由题意得，f(n)＝55n－－90＝－n2＋50n－90(n∈N＋)，
由f(n)＞0，得－n2＋50n－90＞0，
即n2－20n＋36＜0，
解得2＜n＜18，n∈N＋，
故该设备从第3年开始使企业盈利.
(2)方案一：由(1)得，f(n)＝－＋160，当n＝10时，f(n)max＝160，
所以方案一总利润为160＋10＝170万元，此时n＝10.
方案二：由(1)得，＝50－≤50－×2＝20，当且仅当n＝，即n＝6时，等号成立.故方案二总利润为6×20＋50＝170万元，此时n＝6.
比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.
任务三 实际问题中函数模型的综合应用
为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据：
x(T) 1 2 3 4 5 6 …
y(万个) … 10 … 50 … 250 …
若该病毒的数量y(单位：万个)与经过x(x∈N*)个单位时间T的关系有两个函数模型y＝px2＋q与y＝kax(k＞0，a＞1)可供选择.
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？
参考数据：≈2.236，≈2.449，lg 2≈0.301，lg 6≈0.778.
解：(1)若选y＝px2＋q，将x＝2，y＝10和x＝4，y＝50代入可得
解得故y＝x2－，
将x＝6代入，得y＝×62－＝与y＝250相差太大，不符合题意；
若选y＝kax，将x＝2，y＝10和x＝4，y＝50代入可得
解得故y＝2·()x，
将x＝6代入，得y＝2·()6＝250，符合题意.
综上，选择函数y＝kax更合适，解析式为y＝2·()x.
(2)根据题意，设至少需要x个单位时间，则2()x≥120 000，即()x≥60 000，
两边同时取对数，可得xlg≥lg 6＋4，
则x≥＝≈≈13.671，
因为x∈N＋，所以x的最小值为14，
故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个.
建立拟合函数与预测的基本步骤
对点练3.(2025·山东日照高二检测)某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为S1；方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为S2.(其中y＞x≥4，b＞a＞4).
(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
(2)若a，b，x，y同时满足关系y＝2x－，b＝2a＋，求这两种购买方案花费的差值S的最小值(注：差值S＝花费较大值－花费较小值).
解：(1)由题意得，方案一的总费用为S1＝ax＋by元，
方案二的总费用为S2＝bx＋ay元，所以S2－S1＝bx＋ay－(ax＋by)，
＝a(y－x)＋b(x－y)＝(a－b)(y－x)，因为y＞x≥4，b＞a＞4，
所以y－x＞0，a－b＜0，故S2－S1＜0，S2＜S1，
即方案二的花费更少.
(2)由(1)问得S＝S1－S2＝(b－a)(y－x)，
因为y＝2x－，b＝2a＋，
所以S＝(2a＋－a)(2x－－x)，
S＝(a＋)(x－)
＝(x－)，
因为(a－4)＋＋4和x－互不影响，所以它们同时取到最小值时，S取得最小值，而(a－4)＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当a－4＝时取等号，此时a＝6，b＝14，由题意得x≥4，所以令＝t≥2，令f(x)＝x－，故得g(t)＝t2－t，
由二次函数性质得g(t)的对称轴为t＝，
故g(t)在(2，＋∞)上单调递增，
此时g(t)的最小值为g(2)＝4－2＝2，故f(x)的最小值为2，
此时x＝4，y＝6，故S的最小值为2×8＝16.
任务 再现 1.实际问题的函数刻画.2.用函数模型解决实际问题.3.实际问题中函数模型的综合应用
方法 提炼 转化法、数学建模
易错 警示 实际问题中一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，最后要将数学问题还原为实际问题
1.一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
答案：A
解析：由题图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型.故选A.
2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x应为( )
A.10 m B.15 m
C.20 m D.25 m
答案：C
解析：设矩形花园的宽为y m，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，其中x∈(0，40)，故当x＝20 m时，面积最大.故选C.
3.如图，某小区内有一个矩形花坛ABCD，且矩形ABCD的周长是4，设AB＝x，AC＝y，则函数y＝f(x)的大致图象为( )
答案：C
解析：由条件，得y＝＝，在区间(0，1]上是减函数，在区间[1，2)上是增函数，由题可知选项C符合题意.故选C.
4.用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 m.
答案：3
解析：设隔墙的长度为x(0＜x＜6) m，矩形面积为y m2，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y最大.
课时分层评价35 实际问题的函数刻画 用函数模型解决实际问题
(时间：40分钟 满分：100分)
(1—9题，每小题5分，共45分)
1.在一次物理实验中某同学测量获得如下数据：
x 1 2 3 4 5
y 5.380 11.232 20.184 34.356 53.482
下列所给函数模型较适合的是( )
A.y＝ax＋b(a＞1) B.y＝a＋b(a＞1)
C.y＝＋b(a＞1) D.y＝ax2＋b(a＞1)
答案：D
解析：由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中的函数符合题意.故选D.
2.某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)满足x∈[5，15]时，每天售出该鲜花支数p(x)＝，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为( )
A.9元 B.11元
C.13元 D.15元
答案：D
解析：设每天的利润为y元，则y＝(x－5)×＝500×，5≤x≤15，显然此函数在[5，15]上单调递增，故当x＝15时，y取得最大值.故选D.
3.如图，把直截面半径为25 cm的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm)，面积为y(单位：cm2)，则把y表示为x的函数的解析式为( )
A.y＝x·
B.y＝x·，0＜x＜50
C.y＝x·
D.y＝x·，0＜x＜50
答案：B
解析：如图所示，圆的直径AC＝2OC＝50 cm，矩形的边AB＝x cm.因为∠ABC＝90°，所以由勾股定理，得BC＝ cm，所以矩形ABCD的面积y＝AB·BC＝x· cm2，又因为0＜AB＜AC＝50，所以0＜x＜50.故选B.
4.(多选题)某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费用之和最小，则下列说法正确的是( )
A.x＝10时费用之和有最小值
B.x＝45时费用之和有最小值
C.最小值为850万元
D.最小值为360万元
答案：BD
解析：一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买次，运费是9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为×9＋4x，因为×9＋4x≥2＝2×180＝360，当且仅当＝4x，即x＝45时，等号成立，所以当x＝45时，一年的总运费与总储存费用之和最小为360万元，故选BD.
5.某家医院成为病毒检测定点医院，在开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位：小时)大致服从的关系为t(n)＝(t0，N0为常数).已知第16天检测过程平均耗时为10小时，第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时约为( )
A.6小时 B.7小时
C.9小时 D.5小时
答案：B
解析：因为第65天和第68天检测过程平均耗时均为5小时，所以16＜N0，所以＝10，即t0＝40，所以＝5，解得N0＝64，所以t(n)＝所以第36天检测过程平均耗时t＝＝≈7小时.故选B.
6.(多选题)国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用“购买所有商品一律打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元减40元”的促销策略.某顾客计划消费x(x＞0)元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则( )
A.当0＜x＜200时，应进甲商场购物
B.当200≤x＜300时，应进乙商场购物
C.当400≤x＜500时，应进乙商场购物
D.当x＞500时，应进甲商场购物
答案：AC
解析：当0＜x＜200时，甲商场的费用为0.84x，乙商场的费用为x，由题意知，x＞0.84x，故应进甲商场购物，故A正确；当200≤x＜300时，甲商场的费用为0.84x，乙商场的费用为x－40，x－40－0.84x＝0.16x－40，当200≤x＜250，x－40＜0.84x，应进乙商场购物，当250＜x＜300，x－40＞0.84x，应进甲商场购物，故B错误；当400≤x＜500时，甲商场的费用为0.84x，乙商场的费用为x－80，x－80－0.84x＝0.16x－80，因为400≤x＜500，所以－16≤0.16x－80＜0，故x－80＜0.84x，所以应进乙商场购物，故C正确；假设消费了600，则在甲商场的费用为600×0.84＝504，在乙商场的费用为600－120＝480，所以乙商场费用低，故应进乙商场购物，故D错误.故选AC.
7.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出游客支付的飞机票总额y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式 .
答案：y＝
解析：由题意得，当0＜x≤30时，y＝900x；当30＜x≤75时，y＝[900－(x－30)×10]x＝－10x2＋1 200x.则y＝
8.某商店销售A，B两款商品，利润(单位：元)分别为y1＝－x2＋23x和y2＝4x，其中x为销量(单位：袋)，若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 .
答案：170元
解析：设该商店销售A商品x袋，则销售B商品(20－x)袋，所以可获得的利润y＝－x2＋23x＋4(20－x)＝－＋，因为x∈，x∈N，所以当x＝9或10时，利润最大，最大利润为170元.
9.某公司生产A产品，每月的固定成本为10 000元，每生产一件A产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入R(单位：元)关于月产量x(单位：台)满足函数R＝则该公司的月利润的最大值为 元.
答案：57 600
解析：该公司的月利润f(x)＝R－10 000－80x＝故函数y＝f(x)在[0，260]上单调递增，在(260，＋∞)上单调递减，故f(x)max＝f(260)＝57 600，该公司的月利润的最大值为57 600元.
10.(10分)近年来，共享单车的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资200万元，每个城市都至少要投资70万元，由前期市场调研可知：在甲城市的收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝2－8，在乙城市的收益Q(单位：万元)与投入b(单位：万元)满足Q＝b＋3.
(1)当在甲城市投资125万元时，求该公司的总收益；
(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大.
解： (1)当在甲城市投资125万元时，在乙城市投资75万元，
所以总收益为2－8＋×75＋3＝63.75(万元).
(2)设在甲城市投资x万元，则在乙城市投资(200－x)万元，
总收益为f(x)＝2－8＋(200－x)＋3＝－x＋2＋45，
由题意得解得70≤x≤130.故f(x)＝－x＋2＋45(70≤x≤130).令t＝，则t∈[，]，
所以y＝－t2＋2t＋45，t∈[，]，
因为该二次函数的图象开口向下，且对称轴t＝4∈[，]，
所以当t＝4，即x＝80时，y取得最大值65，
所以当在甲城市投资80万元，乙城市投资120万元时，总收益最大，且最大总收益为65万元.
(11—13题，每小题5分，共15分)
11.某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定：
①行程在3 km以内的(含3 km)，车费10元；
②行程在3 km以上且不超过10 km的，前3 km车费10元，以后每增加1 km车费增加2元(不足1 km的按1 km计算)；
③行程超过10 km，则超过的部分每公里车费3元(不足1 km的按1 km计算).
小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为( )
A.13 km B.14 km
C.15 km D.16 km
答案：C
解析：设行程为x km，车费为y元，当0＜x≤3时，y＝10，当3＜x≤10时，y＝10＋2(x－3)＝2x＋4∈(10，24]，当x＞10时，y＝10＋2(10－3)＋3(x－10)＝3x－6.小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，所以解得x＝15 km.故选C.
12.(多选题)几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润p(x)(单位：万元)与每月投入的研发经费x(单位：万元)有关.当每月投入的研发经费不高于16万元时，p(x)＝－x2＋6x－20，研发利润率y＝×100％.他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是( )
A.投入9万元研发经费可以获得最大利润率
B.要再投入6万元研发经费才能获得最大月利润
C.要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元
D.要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费1万元
答案：BC
解析：由p(x)＝－x2＋6x－20＝－(x－15)2＋25，所以当投入15万元时，月利润最大，所以需再投入6万元研发经费，故B正确，D错误；研发利润率y＝×100％＝－x＋6－＝－＋6，又＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝10时，利润率最大，所以需再投入研发经费1万元，可获得最大利润率，故A错误，C正确.故选BC.
13.已知超市内某商品的日销量y(单位：件)与当日销售单价x(单位：元)满足关系式y＝－2x＋100，其中10＜x＜55，a为常数.当该商品的销售单价为15元时，日销量为110件.若该商品的进价为每件10元，则超市内该商品的日利润最大为 元.
答案：1 000
解析：根据条件，将x＝15，y＝110，代入y＝－2x＋100，得a＝200，所以超市内该商品的日利润为g(x)＝(x－10)＝－2x2＋120x－800＝－2(x－30)2＋1 000，其中10＜x＜55，所以当x＝30时，超市内该商品的日利润取得最大值，且最大值为1 000元.
14.(10分)学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的关系满足如图所示的图象，当x∈(0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，顶点为A，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当x∈(12，40]时，图象是线段BC，其中C(40，50).
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？
解：(1)由于听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的注意力指数都为78，
＝10，所以顶点的横坐标为10，
当x∈(0，12]时，设y＝a(x－10)2＋m，将(8，78)，(4，62)代入上式得
解得a＝－，m＝80，所以y＝－(x－10)2＋80，
当x∈(12，40]时，设y＝kx＋b(k≠0)，将(12，78)，(40，50)代入上式得，解得k＝－1，b＝90，所以y＝－x＋90.
所以y＝
(2)当x∈(0，12]时，－(x－10)2＋80＞62 4＜x≤12，
当x∈(12，40]时，－x＋90＞62 12＜x＜28，
综上所述，教师在x∈(4，28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳.
15.(5分)(新情境)薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”(图①)，将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.
在特定条件下，薯条品质得分p与煎炸时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图②记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为( )
A.2.25 min B.2.75 min
C.3.25 min D.3.75 min
答案：C
解析：由题图②知解得a＝－20，b＝130，c＝－130，所以p＝－20t2＋130t－130，所以当t＝－＝3.25时，p取得最大值.故选C.
16.(15分)对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1－)为0.8.要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x＞a－1)，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c(0.8＜c＜0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.
(1)分别求出方案甲以及c＝0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
(2)若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并求出最少用水量.
解：(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x，z，则由题意得＝0.99，解得x＝19，由c＝0.95，可令＝0.95，解得m＝3，即方案乙初次用水量为3，
第二次用水量y满足＝0.99，解得y＝4a，所以z＝4a＋3，
即两种方案的用水量分别为19和4a＋3，
因为1≤a≤3时，x－z＝19－4a－3＝4(4－a)＞0，所以x＞z，所以方案乙的用水量较少.
(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(1)得x＝，y＝a(99－100c)，
所以x＋y＝＋a(99－100c)＝＋100a(1－c)－a－1，
当a为定值时，x＋y≥2－a－1＝－a＋4－1，
当且仅当＝100a(1－c)时取等号，
此时c＝1＋不合题意舍去，或c＝1－∈(0.8，0.99)，
将c＝1－代入x＝，y＝a(99－100c)，
得x＝2－1＞a－1，y＝2－a，
所以c＝1－时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为2－1和2－a，
最少用水量为T(a)＝2－1＋2－a＝－a＋4－1.
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